北师大版 (2019)必修 第一册2.2 全称量词与存在量词第2课时教案

                           2.2 全称量词与存在量词

第2课时  全称量词命题与存在量词命题的否定

学习目标:

1.掌握对含有一个量词的命题的否定方法.正确掌握量词的否定的各种形式.

2.明确全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题.

3.通过对命题否定的学习,体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用,提升交流的严谨性与准确性.

教学重点、难点[来^#源:中教&~网@]

重点：1.掌握全称量词命题与存在量词命题的否定的方法.

2.判断否定命题的真假.

难点：正确地对命题进行否定.

教学方法

    情景教学法

教学过程[中国教育*出&@^#版网]

【问题思考】

一、全称量词命题的否定

【问题思考】

1.观察下列命题:

①所有矩形都是平行四边形; [中国教^#育出~&版%网]

②每一个数的平方都是正数;

③∀x∈R,|x|≥0.

(1)上述命题是全称量词命题还是存在量词命题?你能写出它们的否定吗?

提示:它们都是全称量词命题.(1)的否定是“存在一个矩形不是平行四边形”;命题(2)的否定是“存在一个数的平方不是正数”;(3)的否定是“∃x∈R,使|x|<0”.

(2)观察以上三个命题的否定在形式上有什么变化?这种变化是否对任意一个全称量词命题都有此规律?你能概括出来吗?

提示:从命题形式看,这三个命题的否定都变成了存在量词命题.这种变化对任意一个全称量词命题都有这种规律,即“∀x∈M,p(x)成立”的否定为“∃x∈M,使p(x)不成立”.

2.全称量词命题的否定

(1)语言描述

一般地,要否定一个全称量词命题,只需要在给定集合中找到一个元素,使命题的结论不正确,即全称量词命题不成立. [w~ww.zz&step%.c@om#]

(2)全称量词命题的否定是存在量词命题.

对于全称量词命题p:∀x∈M,x具有性质p(x),通常把它的否定表示为∃x∈M,x不具有性质p(x).

3.想一想:用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗?

提示:不唯一,如“所有的菱形都是平行四边形”,它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”,也可以是“有些菱形不是平行四边形”.

4.做一做:命题“∀x2>4,有x>2”的否定是(　　)

A.∀x2>4,有x≤2 B.∀x2≤4,有x≤2

C.∃x2>4,使x≤2 D.∃x2≤4,使x≤2

解析:所给命题“∀x2>4,有x>2”是全称量词命题,它的否定是存在量词命题,为“∃x2>4,使x≤2”. [来@~源:^中国教育&出版#网]

答案:C

二、存在量词命题的否定

【问题思考】 [中^国教#育出~版*&网]

1.给出下列命题:

①有些实数的绝对值是正数;

②某些平行四边形是菱形;

③∃x∈R,x2+1<0.

(1)上述命题是全称量词命题还是存在量词命题?你能写出它们的否定吗?

提示:它们是存在量词命题.其中①的否定是“所有实数的绝对值都不是正数”,②的否定是“每一个平行四边形都不是菱形”,③的否定是“∀x∈R,x2+1≥0”. [来#%源@:~中教网^]

(2)观察以上三个命题的否定在形式上有什么变化?这种变化是否对任意一个存在量词命题都有此规律?你能概括出来吗?

提示:这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题,这种变化对任意一个存在量词命题都有这种规律,即“∃x∈M,使p(x)成立”的否定为“∀x∈M,p(x)都不成立”.

2.存在量词命题的否定 [来源:中国教^育出版网~%#@]

(1)语言描述 [www.*@^z~zstep.c#om]

一般地,要否定一个存在量词命题,需要判定给定集合中每一个元素均不能使存在量词命题的结论成立.

(2)存在量词命题的否定是全称量词命题. [中国#教*&育出版^网~]

对于存在量词命题p:∃x∈M,x具有性质p(x),通常把它的否定表示为∀x∈M,x不具有性质p(x).

(3)一些常见词语的否定 [来%@#源:*中国~教育出版网]

3.做一做:

命题:“有的四边形是平行四边形”的否定为 　        . 

答案:“所有的四边形都不是平行四边形” [来源%:z#~z&step@.com]

【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.

(1)全称量词命题的否定就是把结论否定.(  ×  )

(2)“∃锐角A,使sin A=cos A”的否定是“∀角A,使sin A≠cos A”.

(  ×  )

(3)小于的否定是大于.(  ×  )[来%源:中教网#*~^]

合作探究·释疑解惑

探究一  全称量词命题的否定 [中国#@*教~育出&版网]

例1.写出下列全称量词命题的否定:

(1)任何一个平行四边形的对边都平行;

(2)任意a,b∈R,方程ax=b都有唯一解;

(3)可以被5整除的整数,末位是0.

解:(1)原命题的否定是“存在一个平行四边形,它的对边不都平行”.

(2)原命题的否定是“存在a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在”. [来源:zz~*s#t%^ep.com]

(3)原命题的否定是“存在被5整除的整数,末位不是0”.

点睛：全称量词命题的否定的两个关键

(1)看格式:写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结论,把全称量词改为存在量词,结论变为否定的形式就得到命题的否定.

(2)看含义:有些全称量词命题省略了量词,在这种情况下,千万不要将否定写成“是”或“不是”.变式1. 写出下列全称量词命题的否定:

(1)p:所有自然数的平方都是正数;

(2)p:任何实数x都是方程5x-12=0的根. [来%源:@~z&z#step.com]

解:(1)原命题的否定是“有些自然数的平方不是正数”.

(2)原命题的否定是“存在实数x不是方程5x-12=0的根”.

探究二  存在量词命题的否定

例2：写出下列存在量词命题的否定,并判断其否定的真假.

(1)有些实数的相反数是正数;

(2)某些菱形是正方形;

（3）Z，使得.

分析：先把存在量词改为全称量词,然后把结论否定,推理或举特例判断命题的真假.

解:(1)命题的否定是“不存在一个实数,它的相反数是正数”,即“所有实数的相反数都不是正数”.它为假命题.

(2)命题的否定是“没有一个菱形是正方形”,即“每一个菱形都不是正方形”.由于邻边互相垂直的菱形是正方形,因此命题的否定是假命题.

（3）命题的否定是Z，，当时，，因此命题的否定是假命题.

点睛：写存在量词命题的否定的方法:

(1)将存在量词改写为全称量词.

(2)将结论否定.

变式2. 命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是(　　)

A.任意一个有理数,它的平方是有理数 [来#源:中^%教&网@]

B.任意一个无理数,它的平方都不是有理数

C.存在一个有理数,它的平方是有理数

D.存在一个无理数,它的平方不是有理数

解: 根据存在量词命题的否定是全称量词命题,先将存在量词改为全称量词,然后否定结论,故该命题的否定为“任意一个无理数,它的平方都不是有理数”.[来源*:中^教%网@#]

答案:B

探究三  全称(存在)量词命题的否定的应用

例3 . 已知命题“对于任意x∈R,x²+x+a≥0”是假命题,求实数a的取值范围.

分析：由其否定是真命题→先求其否定→转化为不等式恒成立求解.

解：因为全称量词命题“对于任意x∈R,x2+x+a≥0”的否定形式为“存在x∈R,x2+x+a<0”.

由于原命题是假命题,所以其否定为真命题.

由于函数y=x2+x+a的图象是开口向上的抛物线,借助二次函数的图象,易知Δ=1-4a>0, [来源:中*国教育出版^网%~#]

解得.

所以实数a的取值范围是.

拓展：

1. 本例中把条件“假命题”改为“真命题”,求实数a的取值范围.

解: “对于任意x∈R,x²+x+a≥0”是真命题，即对任意实数x，不等式x²+x+a≥0恒成立，

则，解得，

所以实数a的取值范围是.

2.本例中把条件“对于任意x∈R,x2+x+a≥0”改为“对任意x>0,x2+ax+1≥0”,则实数a的取值范围是　　　　　　　　.

解:由题意,命题的否定是“存在x>0,x2+ax+1<0”,为真命题.

因为函数f(x)=x2+ax+1的图象是开口向上的抛物线,且过点(0,1),借助二次函数的图象(图略),

易知，解得.

故实数的取值范围是.[来源^:z&zstep.c@~om%]

答案：

变式3.由命题“存在x∈R,使x2-2x+2-m≤0”是假命题,得m的取值范围是(-∞,a),则实数a的值是　　　　　. 

解析：命题“存在x∈R,使x2-2x+2-m≤0”的否定为“∀x∈R,有x2-2x+2-m>0”,且为真命题,即对∀x∈R,有m<x2-2x+2.

只需m<(x2-2x+2)min,又x2-2x+2=(x-1)2+1≥1,则m<1,故a=1.

答案:1

易  错  辨  析

对命题的否定理解不透彻致误 

典例：写出下列命题的否定.

(1)∀x∈R,都有x2=1. [来源:%中国教@^育#*出版网]

(2)∃x∈R,使x2=1.

错解  它们的否定分别是:

(1)∀x∈R,都有x2≠1. [来源~:中*%国@教育出版#网]

(2)∃x∈R,使x2≠1.

以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?

提示: 对命题进行否定时没有改变量词.

正解: 它们的否定分别是:

(1)∃x∈R,使x2≠1.

(2)∀x∈R,都有x2≠1.

警示：全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题,对全称量词命题和存在量词命题否定时,不仅要否定结论,还要将全称量词变为存在量词,存在量词变为全称量词.[中国^@教*%育出#版网]

变式：写出下列命题的否定.

(1)所有的负数都小于零;

(2)至少有一个实数x,使x3+1=0.[来%&@#源:^中教网]

解:(1)命题的否定为“至少存在一个负数不小于零”.

(2)命题的否定为“∀x∈R,x3+1≠0”.

随  堂  练  习

1.命题“∀x∈R,∃n∈N+,使得n≥x2”的否定形式是(　　)

A.∀x∈R,∃n∈N+,使得n<x2

B.∀x∈R,∀n∈N+,有n<x2

C.∃x∈R,∃n∈N+,使得n<x2 [ww@w#.zzs%t~e&p.com]

D.∃x∈R,∀n∈N+,有n<x2

解析: ∀的否定是∃,∃的否定是∀,n≥x2的否定是n<x2.

答案: D

2.命题∃x>0,使x2-3x+2>0的否定为(　　)

A.∃x>0,x2-3x+2≤0

B.∃x≤0,x2-3x+2≤0

C.∀x>0,有x2-3x+2≤0

D.∀x≤0,有x2-3x+2≤0 [来^%&源#:中@教网]

解析:该命题是一个存在量词命题,它的否定为“∀x>0,有x2-3x+2≤0”.

答案:C

3.下列命题的否定为假命题的是(　　)

A.∃x∈R,使x2+2x+2≤0

B.任意一个四边形的四个顶点共圆

C.所有能被3整除的整数都是奇数

D.∀x∈R,有x2≥0

解析: 因为x2+2x+2=(x+1)2+1≥1,原命题为假命题,则其否定为真命题;根据圆内接四边形的定义,可得任意一个四边形的四个顶点共圆为假命题,其否定为真命题;所有能被3整除的整数都是奇数为假命题,如整数6,它是偶数,故其否定为真命题; ∀x∈R,有x2≥0为真命题,所以它的否定是假命题.

答案:D

4.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定.

（1）p:对任意的R，都有成立.

（2）q: R，使.[中国教育出版网*~&%@]

（3）r: 所有的正方形都是矩形.

（4）s: 有些三角形是锐角三角形.

解析:命题（1）（3）为全称量词命题，命题（2）（4）为存在量词命题.

（1）命题p的否定为R，使成立.

（2）命题q的否定为R，有.

（3）命题r的否定为至少存在一个正方形不是矩形.

（4）命题s的否定为所有的三角形都不是锐角三角形.

5.已知命题p:任意x∈R,有ax2-2x+3≥0,如果命题p的否定是真命题,求实数a的取值范围.

解:因为命题p的否定是真命题，所以p是假命题，

又当p是真命题，即对R，ax2-2x+3≥0恒成立时，

应有，解得，[来源:z~@^zstep#*.com]

所以当p是假命题时，有.

所以实数的取值范围是｛a|｝.

课堂总结

1.全称量词命题的否定

2.存在量词命题的否定

课后作业[来源:zzs^tep~.@&com*]

课本第22页练习第1题

板书设计

                           全称量词命题与存在量词命题的否定

1.全称量词命题的否定[www.z#zste&*p~.co@m]

2.存在量词命题的否定