北师大版 (2019)必修 第一册2.2 全称量词与存在量词第2课时教学设计

这是一份北师大版 (2019)必修 第一册2.2 全称量词与存在量词第2课时教学设计，共9页。教案主要包含了知识应用，归纳小结 布置作业，目标检测设计等内容，欢迎下载使用。

教学目标
1．通过对具体命题的分析，对它们的否定经历从文字叙述到符号表示，抽象出全称量词命题与存在量词命题的否定形式，并用文字与符号来表示，在这个过程中提升直观想象和数学抽象素养．
2．通过对具体问题的分析解决，掌握全称量词命题、存在量词命题否定的书写方法及其真假的判断方法，在这个过程提升逻辑推理和数学运算素养．
教学重难点
重点：使用存在量词对全称量词命题进行否定，使用全称量词对存在量词命题进行否定．
难点：正确地写出含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题的否定．
课前准备
PPT课件
教学过程
知识引入
问题1：前面我们学习了全称量词和存在量词以及全称量词命题和存在量词命题的真假判断，类比它们的学习过程，你认为对于全称量词命题和存在量词命题的否定，我们该如何展开研究呢？
师生活动：学生独立思考，写出研究过程，展示交流，师生共同补充．
预设的答案：命题的否定→具体例子（全称量词命题和存在量词命题的否定）→发现规律，形成方法→巩固练习．
设计意图：通过类比所学知识，猜想新知识的研究过程．首先让学生对本节的内容有一个初步的整体认识和把握，有利于提高学生研究问题的能力和抽象概括能力．
新知探究
1.全称量词命题
问题2：阅读教材第21－22页，完成下列问题：
（1）请举例说明，对于一个命题，什么是它的否定？一个命题和它的否定的真假有什么关系？
（2）请分别写出下列命题的否定，并判断它们的真假．
①集合是集合的真子集；
②方程有实根．
师生活动：学生阅读教材，独立思考，回答问题，互相纠正，或者老师纠正．
预设的答案：
一个命题与它的否定在内容上是完全对立的．两者不可能同时为真命题，也不可能同时为假命题，只能一真一假．
命题①的的否定：集合不是集合的真子集；
命题①为假命题，命题①的否定为真命题．
命题②的否定：方程没有实根．
命题②为真命题，命题②的否定为假命题．
设计意图：命题的否定对学生来说是一个新概念，首先通过举例让学生认识它，为后续学习做好铺垫．
1．发现规律
问题3：写出命题的否定：
（1）所有的素数都是奇数；
（2）每一个矩形都是平行四边形；
（3）．
师生活动：学生独立思考，尝试写出命题（1）的否定，展示结果．
追问1：大家给出的命题（1）的否定有如下结果，你认为哪些正确？哪些错误？并结合原命题和它的否定的关系，阐述你的理由．
（1）所有的素数都不是奇数；
（2）所有的素数不都是奇数；
（3）并非所有的素数都是奇数．
师生活动：小组讨论，展示交流，互相更正．
预设的答案：
（1）不正确，（2）（3）正确．
素数按照其中的数是不是奇数分类，可分三类：①都是奇数；②有些不是奇数，有些是奇数；③都不是奇数．
命题“所有的素数都是奇数”，包含第①类．
因为一个命题与它的否定在内容上是完全对立的，所以该命题的否定应该包括两种情形：第②和③类．
（1）只包括第③类，所以不正确；（2）（3）都包括第②和③类，所以正确．
我们也可以从集合的角度理解这个问题．
如果用A表示所有素数的集合，B表示所有奇数的集合，那么命题“所有的素数都是奇数”可以表示为“”，那么它的否定应该是“”．
而命题“所有的素数都不是奇数”可以表示为“”，它与“”不等价，只是“”的一种特殊情形．“所有的素数不都是奇数”、“并非所有的素数都是奇数”可以表示为“”，它与“”等价，所以（2）（3）正确．
另外还可以从原命题和它的否定的真假关系对结果进行初步判断．一个命题与它的否定不可能同时为真命题，也不可能同时为假命题，只能一真一假．
命题“所有的素数都是奇数”是假命题．命题“所有的素数都不是奇数”也是假命题，所以它一定不是命题（1）的否定；
命题“所有的素数不都是奇数”、“并非所有的素数都是奇数”都是真命题，所以它们有可能是命题（1）的否定．
追问2：命题“所有的素数不都是奇数”“并非所有的素数都是奇数”还能怎么表述？
师生活动：学生与同桌交流，回答问题，老师帮助修正．
预设的答案：存在一个素数，它不是奇数．
设计意图：正确写出含有一个量词的命题的否定是本节课的难点，对于第一个全称量词命题的否定的探究，这里没有直接给出命题的否定的最终表述形式，而是根据全称量词的含义，直接对原命题进行否定，然后从多个角度对不同的结果进行辨析，真正理解如何对全称量词命题进行否定．最后，因为直接否定的表述不易被理解，所以将其等价转化为存在量词命题，让表述更清晰易懂．
追问3：类比命题（1），你能写出命题（2）和（3）的否定吗？
师生活动：学生独立完成，展示交流，互相纠正．
预设的答案：
命题（2）的否定：并非每一个矩形都是平行四边形．也就是说，存在一个矩形，不是平行四边形．
命题（3）的否定：并非，．也就是说，，．
追问4：以上全称量词命题的否定与它们的原命题在形式上有什么变化？你能用符号语言表示命题“”的否定吗？
师生活动：学生独立完成，讨论交流，展示纠正．
预设的答案：全称量词命题的否定是存在量词命题.
全称量词命题“，都具有性质”的否定为“，不具有性质”
追问5：你能梳理全称量词命题的否定的探究过程吗？请写出来．
师生活动：以小组为单位完成，展示交流．
预设的答案：对命题直接否定（直接在命题前面添加否定词）→等价转化为存在量词命题→用符号语言表达规律．
设计意图：借助具体实例，让学生进一步理解全称量词和存在量词的含义，学会如何对全称量词命题进行否定，进而发现其中的规律，并用符号语言进行表示．整个过程是一个再发现的过程，为接下来探究存在量词命题的否定奠定基础．
例6.写出下列全称量词命题的否定 .
(1)对任意的锐角，有；
(2)任意一个一元二次函数的图象都与x轴相交；
(3) ，.
师生活动：学生独立完成，要求写出结果，然后展示交流，老师帮助学生规范表达.一般地．
预设的答案：
(1) “对任意的锐角，有的否定是“存在一个锐角 ，使；
(2) “任意一个一元二次函数的图象都与x轴相交”的否定是“存在一个一元二次函数， 它 的图象与x轴不相交”；
(3)对， 的否定是“，使”
（4）一般地，要否定一个存在量词命题，需要判定给定集合中每一个元素均不能使存在量词 命题的结论成立．
设计意图：巩固全称量词命题的否定，进一步理解全称量词和存在量词的含义．
2.存在量词命题
问题4：类比全称量词命题的否定，探究如何用符号语言表示命题“”的否定？
完成对下列命题的否定，并由此探究存在量词命题的否定的一般规律和形式：：
（1）存在一个实数的绝对值是正数；
（2）有些平行四边形是菱形；
（3），．
师生活动：学生先独立思考，然后以小组为单位，讨论交流，最后展示本组的研究过程及结果，各组之间互相补充纠正．
预设的答案：
命题（1）的否定：不存在一个实数的绝对值是正数．
也就是说：任意一个实数的绝对值都不是正数．
也就是说：任意一个实数的绝对值都小于或等于0．
也就是说：，．
命题（2）的否定：每一个平行四边形都不是菱形．
命题（3）的否定：，．
综上，存在量词命题的否定是全称量词命题．
结论：对于存在量词命题具有性质” 的否定为“都不具有性质”
设计意图：经过探究全称量词命题的否定，学生有了一定的探究经验，可以类比完成存在量词命题的否定的探究，同时能提高学生的研究问题的能力、合作学习的能力．
例7.写出下列存在量词命题的否定：
(1)某箱产品中至少有一件次品；
(2)方程有一个根为偶数；
(3)，使.
师生活动：学生独立完成，要求写出结果，然后展示交流，老师帮助学生规范表达．
预设的答案：
解：(1)“某箱产品都是正品”；
(2)“方程的每一个根都不是偶数”，真命题；
(3)“，”是真命题.
设计意图：巩固存在量词命题的否定，进一步理解全称量词和存在量词的含义．
三、知识应用
写出下列两个命题的否定，并判断它们的真假：
（1）任意两个等边三角形都相似；
（2），．
师生活动：学生独立完成，要求写出结果，然后展示交流，老师帮助学生规范表达．
预设的答案：
（1）该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似．因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似．因此这是一个假命题．
（2）该命题的否定：，.
因为对，，，所以这是一个真命题．
设计意图：进一步巩固含有一个量词的命题的否定以及它们的真假判断方法．
追问：如何对全称量词命题和存在量词命题进行否定？判断它们真假的方法是什么？
师生活动：学生自己先总结，然后师生补充完善．并将实际的研究过程和思路与一开始的设计进行对照，改进补充，提升学生研究问题的能力．
预设的答案：
常见词语的否定
总之，全称量词命题、存在量词命题的否定要注意两个变、一个不变．“”与“”互变，结论“p”变为“”，条件中的范围不变．要否定一个全称量词命题，只需要在给定集合中找到一个元素，使命题的结论不正确，即全称量词命题不成立.要否定一个存在量词命题，需要判定在给定集合中每一个元素均不能使命题的结论成立，即存在量词命题不成立.
【课堂练习一】
1．已知命题，，则是（ ）
A．，2x2+1≤0B．，
C．，D．，
师生活动：学生独立完成，口头回答.
预设的答案：D.
设计意图：巩固含有一个全称量词的命题的否定.
【课堂练习二】
写出命题的否定： ___________.
师生活动：学生独立完成， 教师引导学生交流展示，规范符号语言.
预设的答案：．
设计意图：巩固含有一个存在量词的命题的否定.
四、归纳小结 布置作业
问题5：本节课我们学习了全称量词命题和存在量词命题的否定，它们的符号表示分别是什么？回顾本节学习过程，与你在问题1中设计的研究过程和思路是否一致？
师生活动：学生自己先总结，将内容补充在上一节的表格中．并将实际的研究过程和思路与一开始的设计进行对照，改进补充，提升学生研究问题的能力．
预设的答案：
总之，全称量词命题、存在量词命题的否定要注意两个变、一个不变．“”与“”互变，结论“p”变为“”，条件中的范围不变．
研究思路体现了研究一个规律或者方法的基本路径：具体例子→形成规律或者方法→表示→巩固．
作业布置：教材第22页练习第1题；第23页习题A组第3题．
五、目标检测设计
1．命题“∃x∈R，2x＜x2”的否定为（ ）
A．∃x∈R，2x＞x2B．∃x∈R，2x＜x2C．∀x∈R，2x≥x2D．∀x∈R，2x≥x2
设计意图：检测对存在量词命题的否定的掌握情况．
2．命题“∀x∈R，x﹣1≥0”的否定是（ ）
A．∃x∈R，x﹣1≤0B．∃x∈R，x﹣1＜0C．∀x∈R，x﹣1＜0D．∀x∈R，x﹣1≤0
设计意图：检测对任意量词命题的否定的掌握情况．
“∀x∈R，x2+2x+1＞0”的否定是
设计意图：检测对任意量词命题的否定的做大规范．
4．写出下列命题的否定并判断真假：
（1）不论m取何实数，方程x2＋x＋m＝0必有实数根；
（2）某些梯形的对角线互相平分；
（3）被8整除的数能被4整除．
设计意图：考查全称量词命题与存在量词命题的否定形式及方法，以及两种命题真假的判断方法．
5.命题”，使方程都有唯一解”的否定是（ ）
A．，使方程的解不唯一
B．，使方程的解不唯一
C．，使方程的解不唯一或不存在
D．，使方程的解不唯一或不存在
设计意图：易错题难题辨析.
参考答案：
1．C
2．B
3.x∈R，x2+2x+10
4．（1）存在实数m，方程x2＋x＋m＝0没有实数根；真命题．
（2）所有梯形的对角线都不互相平分；真命题．
（3）存在能被8整除的数，但它不能被4整除．假命题．
5.选D.该命题的否定：∃a，b∈ R，使方程的解不唯一或不存在.
原词语
所有的
存在
任意的
是
都是
等于
大于
否定
存在有
所有的
某些个
不是
不都是
不等于
不大于
命题
否定
命题
否定