高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数教学设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数教学设计，共10页。
4.4.3 不同函数增长的差异


[基础自测]


1．函数y＝ex的图象与函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，则( )


A．f(x)＝lg x B．f(x)＝lg2x


C．f(x)＝ln x D．f(x)＝xe


解析：易知y＝f(x)是y＝ex的反函数，所以f(x)＝ln x.


答案：C


2．若lg3a＜0，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))b＞1，则( )


A．a＞1，b＞0 B．0＜a＜1，b＞0


C．a＞1，b＜0 D．0＜a＜1，b＜0


解析：由函数y＝lg3x，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x的图象知，0＜a＜1，b＜0.


答案：D


3．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )


A．y＝3x B．y＝103x


C．y＝lg2x D．y＝x3


解析：指数函数模型增长速度最快，故选A.


答案：A


4．函数f(x)＝lg3(4x－x2)的递增区间是________．


解析：由4x－x2＞0得0＜x＜4，


函数y＝lg3(4x－x2)的定义域为(0,4)．


令u＝4x－x2＝－(x－2)2＋4，


当x∈(0,2]时，u＝4x－x2是增函数，


当x∈(2,4]时，u＝4x－x2是减函数．


又∵y＝lg3u是增函数，


∴函数y＝lg3(4x－x2)的增区间为(0,2]．


答案：(0,2]











题型一 比较大小[教材P133例3]


例1 比较下列各题中两个值的大小：


(1)lg23.4，lg28.5；


(2)lg0.31.8，lg0.32.7；


(3)lga5.1，lga5.9(a＞0，且a≠1)．


【解析】 (1)lg23.4和lg28.5可看作函数y＝lg2x的两个函数值．因为底数2＞1，对数函数y＝lg2x是增函数，且3.4＜8.5，所以lg23.4＜lg28.5.


(2)lg0.31.8和lg0.32.7可看作函数y＝lg0.3x的两个函数值．因为底数0.3＜1，对数函数y＝lg0.3x是减函数，且1.8＜2.7，所以lg0.31.8＞


(3)lga5.1和lga5.9可看作函数y＝lgax的两个函数值．对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论．


当a＞1时，因为函数y＝lgax是增函数，且5.1＜5.9，所以lga5.1＜lga5.9；


当0＜a＜1时，因为函数y＝lgax是减函数，且5.1＜5.9，所以lga5.1＞lga5.9.


构造对数函数，利用函数单调性比较大小．


教材反思


比较对数值大小时常用的三种方法





跟踪训练1 (1)设a＝lg2π，b＝lgπ，c＝π－2，则( )


A．a＞b＞c B．b＞a＞c


C．a＞c＞b D．c＞b＞a


(2)比较下列各组值的大小：


①lg0.5，lg0.6. ②lg1.51.6，


③lg0.57，lg0.67. ④lg3π，lg20.8.


【解析】 (1)a＝lg2π＞1，b＝lgπ＜0，c＝π－2∈(0,1)，所以a＞c＞b.


(2)①因为函数y＝lgx是减函数，且0.5＜0.6，所以lg0.5＞lg0.6.


②因为函数y＝lg1.5x是增函数，且1.6＞1.4，所以lg1.51.6＞


③因为0＞lg70.6＞lg70.5，所以eq \f(1,lg70.6)＜eq \f(1,lg70.5)，即lg0.67＜lg0.57.


④因为lg3π＞lg31＝0，lg20.8＜lg21＝0，所以lg3π＞lg20.8.


【答案】 (1)C


(2)①lg0.5＞lg0.6.②lg1.51.6＞


③lg0.67＜lg0.57.④lg3π＞lg20.8.


eq \x(状元随笔) (1)选择中间量0和1，比较大小．


(2)①②③利用对数函数的单调性比较大小．


④用中间量0比较大小．





题型二 解对数不等式


例2 (1)已知lg0.72x＜lg0.7(x－1)，则x的取值范围为________；


(2)已知lga(x－1)≥lga(3－x)(a＞0，且a≠1)，求x的取值范围．


【解析】 (1)∵函数y＝lg0.7x在(0，＋∞)上为减函数，


∴由lg0.72x＜lg0.7(x－1)得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＞0，,x－1＞0，,2x＞x－1，))解得x＞1，


即x的取值范围是(1，＋∞)．


(2)lga(x－1)≥lga(3－x)，


当a＞1时，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＞0，,3－x＞0，,x－1≥3－x，))解得2≤x＜3.


当0＜a＜1时，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＞0，,3－x＞0，,x－1≤3－x，))解得1＜x≤2.


综上可得，


当a＞1时，不等式lga(x－1)≥lga(3－x)中x的取值范围为[2,3)；


当0＜a＜1时，不等式lga(x－1)≥lga(3－x)(a＞0且a≠1)中x的取值范围是(1,2]．


【答案】 (1)(1，＋∞) (2)答案见解析


eq \x(状元随笔) (1)利用函数y＝lg0.7x的单调性求解．


(2)分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论，解不等式．





方法归纳


两类对数不等式的解法


(1)形如lgaf(x)＜lgag(x)的不等式．


①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞g(x)＞0；


②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜g(x)．


(2)形如lgaf(x)＜b的不等式可变形为lgaf(x)＜b＝lgaab.


①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞ab；


②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜ab.





跟踪训练2 (1)满足不等式lg3x＜1的x的取值集合为________；


(2)根据下列各式，确定实数a的取值范围：


①lg1.5(2a)＞lg1.5(a－1)；


②lg0.5(a＋1)＞lg0.5(3－a)．


解析：(1)因为lg3x＜1＝lg33，


所以x满足的条件为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＞0，,lg3x＜lg33，))


即0＜x＜3.所以x的取值集合为{x|0＜x＜3}．


(2)①函数y＝lg1.5x在(0，＋∞)上是增函数．


因为lg1.5(2a)＞lg1.5(a－1)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＞a－1，,a－1＞0，))解得a＞1，


即实数a的取值范围是a＞1.


②函数y＝lg0.5x在(0，＋∞)上是减函数，因为lg0.5(a＋1)＞lg0.5(3－a)，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋1＞0，,3－a＞0，,a＋1＜3－a，))解得－1＜a＜1.即实数a的取值范围是－1＜a＜1.


答案：(1){x|0＜x＜3} (2)①(1，＋∞) ②(－1,1)


(1)lg33＝1.


(2)由对数函数的单调性求解．


题型三 对数函数性质的综合应用


例3 已知函数f(x)＝lga(1＋x)＋lga(3－x)(a＞0且a≠1)．


(1)求函数f(x)的定义域；


(2)若函数f(x)的最小值为－2，求实数a的值．


【解析】 (1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋x＞0，,3－x＞0，))


解得－1＜x＜3，所以函数f(x)的定义域为(－1,3)．


(2)因为f(x)＝lga[(1＋x)(3－x)]


＝lga(－x2＋2x＋3)


＝lga[－(x－1)2＋4]，


若0＜a＜1，则当x＝1时，f(x)有最小值lga4，


所以lga4＝－2，a－2＝4，


又0＜a＜1，所以a＝eq \f(1,2).


若a＞1，则当x＝1时，f(x)有最大值lga4，f(x)无最小值．


综上可知，a＝eq \f(1,2).


真数大于0.


分0＜a＜1，a＞1两类讨论．





方法归纳


1．解答y＝lgaf(x)型或y＝f(lgax)型函数需注意的问题


①要注意变量的取值范围．例如，f(x)＝lg2x，g(x)＝x2＋x，则f(g(x))＝lg2(x2＋x)中需要g(x)＞0；g(f(x))＝(lg2x)2＋lg2x中需要x＞0.


②判断y＝lgaf(x)型或y＝f(lgax)型函数的奇偶性，首先要注意函数中变量的范围，再利用奇偶性定义判断．


2．形如y＝lgaf(x)的函数的单调性判断


首先要确保f(x)＞0，


当a＞1时，y＝lgaf(x)的单调性在f(x)＞0的前提下与y＝f(x)的单调性一致．


当0＜a＜1时，y＝lgaf(x)的单调性在f(x)＞0的前提下与y＝f(x)的单调性相反．


跟踪训练3 已知函数f(x)＝lg2(1＋x2)．


求证：(1)函数f(x)是偶函数；


(2)函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．


证明：(1)函数f(x)的定义域是R，


f(－x)＝lg2[1＋(－x)2]


＝lg2(1＋x2)＝f(x)，


所以函数f(x)是偶函数．


(2)设0＜x1＜x2，


则f(x1)－f(x2)＝lg2(1＋xeq \\al(2,1))－lg2(1＋xeq \\al(2,2))＝lg2eq \f(1＋x\\al(2,1),1＋x\\al(2,2))，


由于0＜x1＜x2，则0＜xeq \\al(2,1)＜xeq \\al(2,2)，


则0＜1＋xeq \\al(2,1)＜1＋xeq \\al(2,2)，


所以0＜eq \f(1＋x\\al(2,1),1＋x\\al(2,2))＜1.


又函数y＝lg2x在(0，＋∞)上是增函数，


所以lg2eq \f(1＋x\\al(2,1),1＋x\\al(2,2))＜0.


所以f(x1)＜f(x2)．


所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．


(1)函数是偶函数，


f(－x)＝f(x)．


(2)用定义法证明函数是增函数．


题型四 几类函数模型的增长差异


例4 (1)下列函数中，增长速度最快的是( )


A．y＝2 018x B．y＝x2 018


C．y＝lg2 018x D．y＝2 018x


(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：


则关于x呈指数型函数变化的变量是________．


【解析】 (1)比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知，指数函数增长速度最快．


(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．


【答案】 (1)A (2)y2





eq \x(状元随笔) (1)由题意，指数函数增长速度最快．


(2)观察变量y1，y2，y3，y4的变化情况→eq \x(找出增长速度最快的变量)→eq \x(该变量关于x呈指数型函数变化)


跟踪训练4 分析指数函数y＝2x与对数函数y＝lg2x在区间[1，＋∞)上的增长情况．


解析：指数函数y＝2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，y2－y1＝23－21＝6；


对数函数y＝lg2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，而y2－y1＝lg23－lg21≈1.585 0.


由此可知，在区间[1，＋∞)上，指数函数y＝2x随着x的增长函数值的增长速度快，而对数函数y＝lg2x的增长速度缓慢．


eq \x(状元随笔) 在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x和y＝lg2x的图象，从图象上可观察出函数的增长变化情况．如图：

















课时作业 24





一、选择题


1．设a＝lg0.50.9，b＝lg1.10.9，c＝1.10.9，则a，b，c的大小关系为( )


A．a＜b＜c B．b＜a＜c


C．b＜c＜a D．a＜c＜b


解析：因为0＝lg0.51＜a＝lg0.50.9＜lg0.50.5＝1，


b＝lg1.10.9＜lg1.11＝0，c＝1.10.9＞1.10＝1，


所以b＜a＜c，故选B.


答案：B


2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝lg2x，当2＜x＜4时，有( )


A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3


C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y3＞y1


解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝lg2x，故y2＞y1＞y3.


答案：B


3．若lgaeq \f(3,4)＜1(a＞0，且a≠1)，则实数a的取值范围是( )


A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))∪(1，＋∞)


C．(1，＋∞) D．(0,1)


解析：当a＞1时，lgaeq \f(3,4)＜0＜1，成立．


当0＜a＜1时，y＝lgax为减函数．


由 lgaeq \f(3,4)＜1＝lgaa，得0＜a＜eq \f(3,4).


综上所述，0＜a＜eq \f(3,4)或a＞1.


答案：B


4．函数y＝lg0.4(－x2＋3x＋4)的值域是( )


A．(0,2] B．[－2，＋∞)


C．(－∞，－2] D．[2，＋∞)


解析：－x2＋3x＋4＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋eq \f(25,4)≤eq \f(25,4)，又－x2＋3x＋4＞0，则0＜－x2＋3x＋4≤eq \f(25,4)，函数y＝lg0.4x为(0，＋∞)上的减函数，则y＝lg0.4(－x2＋3x＋4)≥lg0.4eq \f(25,4)＝－2，函数的值域为[－2，＋∞)．


答案：B


二、填空题


5．函数f(x)＝lgax(a＞0，且a≠1)在[2,3]上的最大值为1，则a＝________.


解析：当a＞1时，f(x)的最大值是f(3)＝1，


则lga3＝1，∴a＝3＞1.∴a＝3符合题意．


当0＜a＜1时，f(x)的最大值是f(2)＝1.


则lga2＝1，∴a＝2＞1.∴a＝2不合题意，综上知a＝3.


答案：3


6．已知函数f(x)＝lg2eq \f(a－x,1＋x)为奇函数，则实数a的值为________．


解析：由奇函数得f(x)＝－f(－x)，


lg2 eq \f(a－x,1＋x)＝－lg2eq \f(a＋x,1－x)，


eq \f(a－x,1＋x)＝eq \f(1－x,a＋x)，a2＝1，


因为a≠－1，


所以a＝1.


答案：1


7．如果函数f(x)＝(3－a)x与g(x)＝lgax的增减性相同，则实数a的取值范围是________．


解析：若f(x)，g(x)均为增函数，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－a＞1，,a＞1，))则1＜a＜2；


若f(x)，g(x)均为减函数，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＜3－a＜1，,0＜a＜1，))无解．


答案：(1,2)


三、解答题


8．比较下列各组对数值的大小：


(1)lg1.6与lg2.9；


(2)lg21.7与lg23.5；


(3)lg3与lg3；


(4)lg0.3与lg20.8.


解析：(1)∵y＝lgx在(0，＋∞)上单调递减，1.6＜2.9，


∴lg1.6＞lg2.9.


(2)∵y＝lg2x在(0，＋∞)上单调递增，而1.7＜3.5，


∴lg21.7＜lg23.5.





(3)借助y＝lgx及y＝lgx的图象，如图所示．


在(1，＋∞)上，前者在后者的下方，


∴lg3＜lg3.


(4)由对数函数性质知，lg0.3＞0，lg20.8＜0，


∴lg0.3＞lg20.8.





9．已知lga(2a＋3)＜lga3a，求a的取值范围．


解析：(1)当a＞1时，原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞1，,2a＋3＜3a，,2a＋3＞0，))解得a＞3.


(2)当0＜a＜1时，原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＜a＜1，,2a＋3＞3a，,3a＞0，))


解得0＜a＜1.


综上所述，a的范围是(0,1)∪(3，＋∞)．


[尖子生题库]


10．已知a＞0且a≠1，f(lgax)＝eq \f(a,a2－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x))).


(1)求f(x)；


(2)判断f(x)的单调性和奇偶性；


(3)对于f(x)，当x∈(－1,1)时，有f(1－m)＋f(1－2m)＜0，求m的取值范围．


解析：(1)令t＝lgax(t∈R)，


则x＝at，且f(t)＝eq \f(a,a2－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(at－\f(1,at)))，


所以f(x)＝eq \f(a,a2－1)(ax－a－x)(x∈R)；


(2)因为f(－x)＝eq \f(a,a2－1)(a－x－ax)


＝－f(x)，


且x∈R，所以f(x)为奇函数．


当a＞1时，ax－a－x为增函数，


并且注意到eq \f(a,a2－1)＞0，


所以这时f(x)为增函数；


当0＜a＜1时，类似可证f(x)为增函数．


所以f(x)在R上为增函数；


(3)因为f(1－m)＋f(1－2m)＜0，且f(x)为奇函数，


所以f(1－m)＜f(2m－1)．


因为f(x)在(－1,1)上为增函数，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＜1－m＜1，,－1＜2m－1＜1，,1－m＜2m－1.))


解之，得eq \f(2,3)＜m＜1.


即m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1)).


x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1 024
32 768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907