高考数学一轮复习：8平面解析几何-专题5练习（题型归纳与重难专题突破提升）

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\l "_Tc154052598" 题型二： 双曲线的标准方程 PAGEREF _Tc154052598 \h 5
\l "_Tc154052599" 题型三： 双曲线的焦点三角形 PAGEREF _Tc154052599 \h 6
\l "_Tc154052600" 题型四： 双曲线的渐近线 PAGEREF _Tc154052600 \h 7
\l "_Tc154052601" 题型五： 双曲线的离心率 PAGEREF _Tc154052601 \h 8
\l "_Tc154052602" 题型六： 直线与双曲线的位置关系 PAGEREF _Tc154052602 \h 12
知识点总结
双曲线的定义
(1)定义：一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
(2)等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝eq \r(2).
双曲线的标准方程和简单几何性质
【常用结论与知识拓展】
1．与双曲线定义及标准方程相关结论
(1)在双曲线定义中，当2a＝|F1F2|时，点的轨迹为以F1，F2为端点的两条射线；当2a>|F1F2|时，轨迹不存在.
(2)在已知双曲线上一点与其中一个焦点的距离时，求该点到另一个焦点的距离时，不能简单套用“||PF1|－|PF2||＝2a”求解，要先判断该点在双曲线的“哪一支”上，然后进行下一步运算．
(3)已知双曲线的标准方程，只要令双曲线的标准方程中右边的“1”为“0”就可得到渐近线方程.
(4)双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax2＋By2＝1的形式，当A＞0，B＞0，A≠B时为椭圆，当A·B＜0时为双曲线.
(5)直线与双曲线只有一个公共点时，不一定相切，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，此时该公共点为“交点”，而不是相切；而当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个公共点，此时该公共点为“切点”，因此，当直线与双曲线只有一个公共点时，要注意两种情况的可能性.
(6)与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线系方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0).
2．与双曲线几何性质相关结论
(1)离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)，离心率越大，双曲线“张口”越大、越开阔.
(2)焦点到渐近线的距离为“虚半轴长”.
(3)通径长为eq \f(2b2,a).
(4)P为双曲线上一点，则|OP|≥a，|PF1|≥c－a，△PF1F2的面积为S＝b2·eq \f(sin θ,1－cs θ)＝eq \f(b2,tan\f(θ,2))(θ＝∠F1PF2).
例题精讲
双曲线的定义
【要点讲解】以双曲线为背景的点的轨迹问题求解策略：借助题目给出的“几何特征”判断平面内动点所满足的“几何条件”，根据双曲线定义进行对比研究，究竟是“双曲线”还是“双曲线的一支”．
已知点，，动点满足条件．则动点的轨迹方程为
A．B．
C．D．
动点与点与点满足，则点的轨迹方程为 ．
与圆及圆都外切的圆的圆心在
A．一个椭圆上B．双曲线的一支上
C．一条抛物线上D．一个圆上
已知两定点，，曲线上的点到、的距离之差的绝对值是8，则曲线的方程为
A．B．
C．D．
已知圆和圆，动圆同时与圆及圆外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 ．
已知平面内两定点，，下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是
A．B．
C．D．
双曲线的标准方程
【要点讲解】求双曲线的标准方程一般用待定系数法；当双曲线焦点的位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，常设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)，这样可以简化运算.
写出一个离心率为且焦点在轴上的双曲线的标准方程 ．
已知双曲线的离心率为，且该双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则这个双曲线的方程是 ．
与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为
A．B．C．D．
设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26，若曲线上的点到的两个焦点的距离的差的绝对值为8，则曲线的标准方程为
A．B．
C．D．
已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为
A．B．C．D．
“”是“方程表示的曲线是双曲线”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
已知等轴双曲线经过点，则的标准方程为
A．B．C．D．
若离心率为的双曲线与椭圆的焦点相同，则双曲线的方程是
A．B．C．D．
与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的方程为
A．B．C．D．
与双曲线共渐近线，且经过点的双曲线的标准方程是
A．B．C．D．
双曲线的焦点三角形
【要点讲解】根据双曲线的定义，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，结合∠F1PF2＝60°利用余弦定理可得mn＝4b2，再根据等面积法求得内切圆半径的表达式，结合正弦定理可得外接圆半径的表达式，进而列式求解离心率即可．
已知双曲线的左右焦点分别是，，是双曲线上一点，若，则
A．3B．9C．21D．27
如图，，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若点为的中点，且，则
A．4B．C．6D．9
双曲线的渐近线
【要点讲解】求双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0. 双曲线焦点到渐近线的距离为b，这个结论要熟记.
已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，直线与相交于，两点，若线段的中点为，则直线的斜率为
A．B．1C．D．2
设双曲线的左、右焦点为、，渐近线方程为，过直线交双曲线左支于、两点，则的最小值为
A．9B．10C．14D．
若双曲线的焦距长为8，则该双曲线的渐近线方程为
A．B．C．D．
已知双曲线的一条渐近线为，则双曲线的焦距为
A．2B．4C．D．
若双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为
A．B．C．D．
双曲线的离心率
【要点讲解】求双曲线离心率或其范围的常用方法：①求a及b或c的值，由e＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)求e；②列出含有a，b，c的齐次式(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.
如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右左两支分别交于点、两点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为
A．4B．C．D．
已知，分别为双曲线的左、右焦点，点，为双曲线在第一象限的右支上一点，以为切点作双曲线的切线交轴于点，若，且，则双曲线的离心率为
A．B．C．2D．
如图，，分别是双曲线的两个焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线左支交于，两点，若△是等边三角形，则双曲线的离心率为
A．B．2C．D．
已知双曲线，则该双曲线的离心率为
A．B．C．D．
已知双曲线的离心率为2，则其渐近线的倾斜角为
A．B．C．或D．或
双曲线的右焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与另一渐近线交于点，若是的中点，则双曲线的离心率为
A．B．2C．D．3
已知，是双曲线的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第一象限的交点为，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是
A．B．C．D．
如图所示，，是双曲线的左、右焦点，的右支上存在一点满足，与的左支的交点满足，则双曲线的离心率为
A．3B．C．D．
已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且，的面积为为坐标原点），则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
已知、分别为双曲线的左右焦点，双曲线上的点到原点的距离为，且，则该双曲线的离心率为
A．B．C．D．2
如图，已知，是双曲线的左、右焦点，，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
已知点，是双曲线上关于原点对称的任意两点，点在双曲线上（异于，两点），若直线，斜率之积为，则双曲线的离心率为
A．B．2C．D．3
已知直线与双曲线无公共交点，则的离心率的取值范围是
A．B．C．D．
已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点所作的圆的两条切线，切点为、，且，则双曲线的离心率的取值范围是
A．B．C．D．
已知双曲线，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则的离心率取值范围是
A．B．C．D．
直线与双曲线的位置关系
【要点讲解】有关弦长、面积问题的解题策略：(1)弦长问题，通常利用“弦长公式”，借助“韦达定理”进行求解；(2)面积问题多为“三角形或四边形的面积”，首先是图形的面积怎么表示出来，是通过直接手段还是间接手段，其实质也是“弦长问题”．
已知直线，双曲线，则
A．直线与双曲线有且只有一个公共点
B．直线与双曲线的左支有两个公共点
C．直线与双曲线的右支有两个公共点
D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点
已知双曲线的右焦点为，点，若直线与只有一个交点，则
A．B．C．D．
已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的两条渐近线分别交于，两点，若为线段的中点，且，则的离心率为
A．B．2C．D．3
已知双曲线的离心率为且过点，直线与的右支有两个不同的交点，则实数的取值范围是
A．，，B．
C．D．
已知双曲线的一条渐近线为，且双曲线的虚轴长为．
（1）求双曲线的方程；
（2）记为坐标原点，过点的直线与双曲线相交于不同的两点、，若的面积为，求直线的方程．
已知双曲线的离心率为，设的右焦点为，右顶点为，虚轴下端点为，且．
（1）求的方程；
（2）过坐标原点的直线与交于，两点，与直线交于点，且点，都在第一象限，若的面积是面积的2倍，求的斜率．
已知双曲线经过点，其中一条渐近线为．
（1）求双曲线的方程；
（2）一条过双曲线的右焦点且纵截距为的直线，交双曲线于，两点，求的值．
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1
(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1
(a>0，b>0)
图形
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
a，b，c
的关系
c2＝a2＋b2
简单几
何性质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴为坐标轴，对称中心为原点
顶点
(－a,0)，(a,0)
(0，－a)，(0，a)
轴长
实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，且e∈(1，＋∞)