高考数学一轮复习：8平面解析几何-专题2练习（题型归纳与重难专题突破提升）

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\l "_Tc154051487" 题型二： 与圆有关的轨迹问题 PAGEREF _Tc154051487 \h 6
\l "_Tc154051488" 题型三： 与圆有关的最值问题 PAGEREF _Tc154051488 \h 8
知识点总结
圆的方程
(1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.
(2)圆的标准方程：我们把方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2称为圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程.
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点O为圆心，r为半径的圆.
(3)圆的一般方程：对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方得到：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(D,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(E,2)))2＝eq \f(D2＋E2－4F,4).
①当D2＋E2－4F>0时，该方程表示以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心，eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)为半径的圆，该方程叫做圆的一般方程；
②当D2＋E2－4F＝0时，该方程表示点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))；
③当D2＋E2－4F0.))
3．圆的“直径式”方程：以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
4．圆的参数方程：圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝a＋rcs θ，,y＝b＋rsin θ，))其中θ为参数. 可用来设圆上的点的坐标．
例题精讲
圆的方程
【要点讲解】充分把握题目的特征，标准方程形式更具“几何特征”明确圆心和半径即可；而一般方程形式则更具“代数方程特征”，得到关于待定系数的方程组即可，依据圆的“直径式”方程可以直接写出圆的方程. 几何法确定圆心的位置的方法一般有：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；③圆心在圆的任意两条不平行的弦的中垂线的交点上；④两圆相切时，切点与两圆圆心共线. 确定圆的半径的主要方法是构造直角三角形(即以弦长的一半、弦心距、半径组成的三角形)，并解此直角三角形；代数法即设出圆的方程(标准方程或一般方程)，用“待定系数法”求解a，b，r或D，E，F.
若圆的半径为2，则实数的值为
A．B．C．9D．8
【解答】解：由，得，
所以，解得．
故选：．
已知圆的一条直径的端点分别为，，则此圆的标准方程是
A．B．
C．D．
【解答】解：因为圆的一条直径的端点分别为，，
所以圆的圆心，，
则此圆的标准方程是．
故选：．
若圆经过点，，且圆心在直线 上，则圆的方程为
A．B．
C．D．
【解答】解：圆经过点，，
可得线段的中点为，又，
所以线段的中垂线的方程为，
即．
由，解得，
即，圆的半径，
所以圆的方程为．
故选：．
若方程表示圆，则的范围是
A．B．，C．D．，
【解答】解：根据题意，若方程表示圆，则有，
即，解可得，即的取值范围为，
故选：．
经过点，且以为圆心的圆的一般方程为
A．B．
C．D．
【解答】解：由题意得，圆的半径，
所以圆的标准方程为，
所以圆的一般方程为．
故选：．
若方程表示一个圆，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：由得，解得．
故选：．
圆的圆心和半径分别是
A．，3B．，3C．，1D．，1
【解答】解：将圆化成标准方程，得，
圆心坐标为，．
故选：．
设，，则以线段为直径的圆的方程是
A．B．C．D．
【解答】解：由题设，所求圆的圆心为，半径为，
所以以线段为直径的圆的方程是．
故选：．
与圆有关的轨迹问题
【要点讲解】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；②定义法：根据圆、直线等定义列方程；③几何法：利用圆的几何性质列方程；还需注意是否有“特殊点”的需要“抠除”．
已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是
A．B．
C．D．
【解答】解：设，则由中点坐标公式可得，
将代入中得．
故选：．
圆关于直线对称的图形轨迹方程为
A．B．
C．D．
【解答】解：化圆为标准方程，得，
已知圆的圆心为，半径．
所求的圆与圆关于直线对称，
所求圆的半径也等于2，圆心为满足与关于直线对称，
由，解出，，得，
所求圆的方程为．
故选：．
点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是
A．B．
C．D．
【解答】解：设点的坐标为，
，线段的中点为，
，
又点在圆上，
，
即．
故选：．
已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，求底边的另一个端点的轨迹方程，并说明它是什么图形．
【解答】解：由题可知，，
又因为三角形为等腰三角形，所以，
所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
所以点的轨迹方程为，且，
故轨迹为圆（去掉与在同一直线上的点）．
在平面内，，，为动点，若．
（1）求点的轨迹方程；
（2）若直线与曲线交于，，求的长．
【解答】解：（1）设，，，
所以，，，
所以，
即，
所以点的轨迹方程为．
（2）由（1）可知点的轨迹为以为圆心，3为半径的圆，
若曲线截直线所得的弦长最小，则圆心到直线的距离最大，
又圆心到直线的距离为，
所以由弦长公式可得弦长为．
与圆有关的最值问题
【要点讲解】求解与圆相关的最值问题，基本思路是利用数形结合思想转化.
(1)已知圆的半径为r，则①圆O上一点到圆外一点P的距离d的最大值和最小值分别为dmax＝|OP|＋r，dmin＝|OP|－r；②圆上的点到与该圆相离的某条直线的距离d的最大值和最小值分别为dmax＝m＋r，dmin＝m－r，其中m为圆心到直线的距离.
(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型：
①形如u＝eq \f(y－b,x－a)型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；
②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；
③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题；
④形如|ax＋by＋c|型的最值问题，可转化为动点(x，y)到直线ax＋by＋c＝0距离的eq \r(a2＋b2)倍的最值问题.
求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.
已知点，若过点的直线与圆交于、两点，则的最大值为
A．12B．C．10D．6
【解答】解：设中点，则，，
所以，
即，
所以点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，
所以，，
所以，
又，
所以的最大值为12．
故选：．
若直线始终平分圆的周长，则的最小值为
A．B．5C．D．10
【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：，
圆心坐标为，半径，
直线始终平分圆的周长，
直线过圆的圆心，
把代入直线得：
，即，
到直线的距离，
的最小值为．
故选：．
直线被曲线截得的弦长的最小值为
A．B．1C．D．2
【解答】解：由，可得直线过定点，
把圆的方程化为标准方程可得，所以圆心为，半径为，
因此当圆心与连线垂直于直线时，
直线被曲线截得的弦长最小，
此时最小值为．
故选：．
已知点是圆上的动点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值是
A．B．C．D．
【解答】解：圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为2，
如图，过点作，垂足为，连接，
所以为中点，即，又，
所以，
故点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
则点的轨迹方程为，
因为是中点，所以，
则，
所以的最大值为．
故选：．
点是圆上任意一点，为圆的弦，且，为的中点．则的最小值为
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：根据题意，可得，解得，
所以点在以为圆心，1为半径的圆上，
由图可知的最小值为．
故选：．
已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为
A．B．6C．D．
【解答】解：根据题意，圆，变形可得，
其圆心为，半径为，则，
当圆的面积最小时，必有，此时，
圆的方程为，
圆心到原点为距离，
则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为，
故选：．
已知实数，满足方程，则的最大值是
A．B．C．0D．
【解答】解：的方程可化为，
它表示圆心，半径为1的圆，
表示圆上的点与点的连线的斜率，
设过圆上点与点的直线方程为，
则圆心到直线的距离，
可得，即最大值为，
故选：．
已知圆，点在圆上，点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为
A．B．C．D．
【解答】解：由题意知圆的方程为，设，，，
则，所以，
所以，所以，
化简可得的轨迹方程为．如图所示，
如图当与圆相切时，取得最大值，
此时，，
所以的最大值为．
故选：．
已知圆，点是圆上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为
A．B．C．D．
【解答】解：由题意知四边形的面积，
所以当取得最小值时，四边形的面积取得最小值．
又，所以．
故选：．
已知直线，若直线与圆交于，两点，则的最小值为
A．B．2C．D．4
【解答】解：直线，即，
令，解得，
所以直线过定点，
圆的圆心，半径，
因为，
所以点在圆内，
则圆心到直线的距离时取等号），
所以时取等号），
所以的最小值为．
故选：．
已知圆，直线与相交于，两点，则的最小值为
A．B．2C．4D．
【解答】解：直线可化为，
令，
即，
即直线过点，
又，
则，
由圆的性质可得：当时，取最小值，
则．
故选：．
过点引直线与圆相交于，两点，为坐标原点，当面积取最大值时，直线的斜率为
A．B．C．D．
【解答】解：当面积取最大值时， ，圆与直线相交于，两点，
为坐标原点，圆心，半径，，，
圆心到直线直线的距离为1，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，不合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
圆心到直线的距离，解得．
故选：．
已知圆的一条直径的两个端点为和．
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线与圆交于，两点，求的最小值，并求出当最小时直线的方程．
【解答】解：（1）由题意可知圆的圆心为，半径为，
因此圆的方程为；
（2）易知当时最小，
因为
所以的斜率为2，
因为直线过点，所以的方程为，
即的方程为，
．
已知直线与圆相交于，不同两点．
（1）求的范围；
（2）设是圆上的一动点（异于，，为坐标原点，若，求面积的最大值．
【解答】解：（1）直线与圆交于两点，
，
解得；
（2）设，，，，
将代入方程，
整理得，
，，
则有，
解得，由（1）知，
所以直线的方程为，
可知圆心在直线上，
是圆的直径，且，
是圆上的一动点（异于，，
到直线的最大距离即为半径为1，
面积的最大值为．
位置
关系
d与r的
大小关系
图示
点P的坐标满足条件
点在
圆外
d＞r
(x0－a)2＋ (y0－b)2＞r2
点在
圆上
d＝r
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点在
圆内
d＜r
(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2
标准方程的设法
一般方程的设法
圆心在原点
x2＋y2＝r2
x2＋y2－r2＝0
过原点
(x－a)2＋(y－b)2
＝a2＋b2
x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
圆心在x轴上
(x－a)2＋y2＝r2
x2＋y2＋Dx＋F＝0
圆心在y轴上
x2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＋Ey＋F＝0
与x轴相切
(x－a)2＋(y－b)2＝b2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq \f(1,4)D2＝0
与y轴相切
(x－a)2＋(y－b)2＝a2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq \f(1,4)E2＝0