高考数学一轮复习：8平面解析几何-重难点突破1练习（题型归纳与重难专题突破提升）

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A．B．1C．D．2
【解答】解：因为双曲线的标准方程为，
所以它的一个焦点为，一条渐近线方程为，
所以焦点到渐近线的距离，
化简得，解得，
所以双曲线的标准方程为，
设，，，，
所以①，②，
①②得，
化简得③，
因为线段的中点为，所以，，代入③，
整理得，
显然，，所以直线的斜率．
故选：．
2．设双曲线的左、右焦点为、，渐近线方程为，过直线交双曲线左支于、两点，则的最小值为
A．9B．10C．14D．
【解答】解：根据题意可得，，又，，
，
当且仅当弦为双曲线的通径（通径长为，即垂直于轴时，等号成立，
故的最小值为9．
故选：．
3．已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，△为等腰三角形，，则的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可知：，，，
直线的方程为：，
由，，则，
代入直线，整理得：，
题意的离心率．
故选：．
4．已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，，分别为的左，右顶点．为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点，与轴交于点．若直线经过的中点，则的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可设，，，
设直线的方程为，
令，可得，，令，可得，
设的中点为，可得，
由，，三点共线，可得，
即为，
化简可得，即为，
可得．
另解：由，
可得，
由，
可得，
即有即，
可得．
故选：．
5．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，可得椭圆的焦点坐标，
所以，．可得：，可得，可得，，
解得．
法二，由题意可得，，
，．
故选：．
6．设直线与抛物线相交于、两点，与圆相切于点，且为线段的中点，若这样的直线恰有4条，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：设，，，，，，
斜率存在时，设斜率为，则，，
则，相减，得，
当的斜率存在时，利用点差法可得，
因为直线与圆相切，所以，所以，
即的轨迹是直线．
将代入，得，，
在圆上，，，
直线恰有4条，，，
故时，直线有2条；
斜率不存在时，直线有2条；
所以直线恰有4条，，
故选：．
7．已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点．设，到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可得图象如图，是双曲线的一条渐近线
，即，，
，，，是梯形，
是的中点，，
，
所以，双曲线的离心率为2，可得，
可得：，解得．
则双曲线的方程为：．
故选：．
8．设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为
A．B．C．D．
【解答】解：抛物线的焦点坐标为，
则直线的方程为，
双曲线的方程为的渐近线方程为，
的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，
，，
，，
双曲线的方程为，
故选：．
9．设是椭圆的上顶点，点在上，则的最大值为
A．B．C．D．2
【解答】解：是椭圆的上顶点，所以，
点在上，设，，，，
所以
，
当时，取得最大值，最大值为．
故选：．
10．已知点是抛物线上的动点，点在轴上的射影是，点，则的最小值是
A．5B．C．4D．
【解答】解：依题意可知焦点，，准线，延长交准线于点．则．
，我们只有求出最小值即可．
由三角形两边长大于第三边可知，，①
设直线与 抛物线交于点，可计算得，另一交点，舍去．
当重合于时，可取得最小值，可得．
则所求为．
故选：．
二．多选题（共1小题）
11．已知曲线．
A．若，则是椭圆，其焦点在轴上
B．若，则是圆，其半径为
C．若，则是双曲线，其渐近线方程为
D．若，，则是两条直线
【解答】解：．若，则，则根据椭圆定义，知表示焦点在轴上的椭圆，故正确；
．若，则方程为，表示半径为的圆，故错误；
．若，，则方程为，表示焦点在轴的双曲线，故此时渐近线方程为，
若，，则方程为，表示焦点在轴的双曲线，故此时渐近线方程为，
故正确；
．当，时，则方程为表示两条直线，故正确；
故选：．
三．填空题（共9小题）
12．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方．若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是 ．
【解答】解：椭圆的，，，，
设椭圆的右焦点为，连接，
线段的中点在以原点为圆心，2为半径的圆，
连接，可得，
设的坐标为，可得，可得，，
由，可得直线的斜率为
．
另解：由，，，
可得，
，
可得直线的斜率为．
故答案为：．
13．已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则 2 ．
【解答】解：抛物线的焦点，
过，两点的直线方程为，
联立可得，，
设，，，，
则，，
，，
，
，，，，
，
，
整理可得，，
，
即，
．
故答案为：2
14．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且．若，则的准线方程为 ．
【解答】解：法一：由题意，不妨设在第一象限，则，，，．
所以，所以的方程为：，
时，，
，所以，解得，
所以抛物线的准线方程为：．
法二：根据射影定理，可得，可得，解得，
因此，抛物线的准线方程为：．
故答案为：．
15．斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则 ．
【解答】解：由题意可得抛物线焦点，直线的方程为，
代入并化简得，
设，，，，则；
，
由抛物线的定义可得．
故答案为：．
16．设双曲线的左、右焦点分别为、，若点在双曲线上，且△为锐角三角形，则的取值范围是 ．
【解答】解：如图，
由双曲线，得，，
．
不妨以在双曲线右支为例，当轴时，
把代入，得，即，
此时，则；
由，得，
又，①
两边平方得：，
，②
联立①②解得：，
此时．
使△为锐角三角形的的取值范围是．
故答案为：．
17．设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，．若点满足，则该双曲线的离心率是 ．
【解答】解：双曲线的两条渐近线方程为，则
与直线联立，可得，，，，
中点坐标为，，
点满足，
，
，
，
．
故答案为：．
18．已知椭圆，焦点，，．若过的直线和圆相切，与椭圆的第一象限交于点，且轴，则该直线的斜率是 ，椭圆的离心率是 ．
【解答】解：直线斜率不存在时，直线与圆不相切，不符合题意；
由直线过，设直线的方程为，
直线和圆相切，
圆心到直线的距离与半径相等，
，解得，
将代入，可得点坐标为，
，
，，
．
故答案为：．
19．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．
【解答】解：在△中，
由正弦定理得：
则由已知得：，
即：
设点，由焦点半径公式，
得：，
则
解得：
由椭圆的几何性质知：则，
整理得，解得：或，又，
故椭圆的离心率：，
故答案为：．
20．已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与交于，两点，，则的周长是 13 ．
【解答】解：椭圆的离心率为，
不妨可设椭圆，，
的上顶点为，两个焦点为，，
△为等边三角形，
过且垂直于的直线与交于，两点，
，
由等腰三角形的性质可得，，，
设直线方程为，，，，，
将其与椭圆联立化简可得，，
由韦达定理可得，，，
，解得，
的周长等价于．
故答案为：13．