高考数学一轮复习：2基本初等函数-重难点突破5练习（题型归纳与重难专题突破提升）

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"型
这一类型是同一个函数自身嵌套问题,求解这一类型的策略是:首先将“内层函数”换元,即设,然后根据题设条件解出相应的值或范围,最后利用函数或利用函数与的图像关系解得问题.
“型
这一类型是两个函数的互嵌问题,求解这一类型的策略是:首先将“内层函数”换元,即设,然后通过中间变量即是“内层函数”的函数值,又是的自变量,或利用与两个函数的性质,或做出并利用与两个函数的图像来解决问题.
在数学命题中,嵌套函数问题常以能力型问题出现,且常处于客观题压轴的位置.这类问题因其抽象程度高,综合性强,能很好地考查数学抽象、逻辑推理、数学建模及直观想象等数学核心素养,因而是高考或各地模拟考试的热点题型.
一．选择题（共11小题）
1．已知函数是上的奇函数，当时，．若关于的方程有且仅有两个不相等的实数解，则实数的取值范围是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【解答】解：由题设，若，则，
所以，值域为，函数图象如下：
当，时，只有一个，与之对应；
当，时，有两个对应自变量，
记为，，则；
当时，有三个对应自变量且，0，；
当，时，有两个对应自变量，
记为，，则；
当，时，有一个，与之对应；
令，则，要使有且仅有两个不相等的实数解，
若有三个解，则，0，，此时有7个解，不满足；
若有两个解，且，此时和各有一个解，
结合图象知，不存在这样的，故不存在对应的；
若有一个解，则有两个解，此时，，，
所以对应的，，，
综上，，，．
故选：．
2．已知函数为自然对数的底数，则函数的零点个数为
A．5B．6C．7D．3
【解答】解：令，则有，
作出的图象，如图所示：
设直线与相切，切点为，，
则有，解得，，
设直线与相切，切点为，，
则有，解得，，
所以直线与的图象有4个交点，
不妨设4个交点的横坐标分别为：，，，，且，
由图象可知，，，，
由图象可知无解，有1个解，有3个解，有2个解，
所以有6个零点．
故选：．
3．已知函数为自然对数的底数），则函数的零点个数为
A．3B．5C．7D．9
【解答】解：设，令可得：，
对于，，故在处切线的斜率值为，
设与相切于点，，
，切线斜率，则切线方程为：，
即，，解得：；
由于，故作出与图象如下图所示，
与有四个不同交点，
即与有四个不同交点，
设三个交点为，，，，由图象可知：，
作出函数，的图象如图，
由此可知与无交点，与有三个不同交点，与，各有两个不同交点，
的零点个数为7个，
故选：．
4．已知函数，则函数的零点个数为
A．5B．6C．7D．8
【解答】解：令，则有，
作出的图象，如图所示：
设直线与相切，切点为，，
则有，解得，，
设直线与相切，切点为，，
则有，解得，，
所以直线与的图象有4个交点，
不妨设4个交点的横坐标分别为：，，，，且，
由图象可知，，，，
由图象可知无解，有1个解，有3个解，有2个解，
所以有6个零点．
故选：．
5．已知函数，则函数的零点个数为
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：设，则，
令，可得，
在处的导数为，
与在轴左边没有交点，
作出与的图象，如图所示，
数形结合可得与两交点横坐标满足：，，
又，作出，与的图象，如图所示，
数形结合可得，与的图象共有三个交点，交点横坐标分别为，，，
故的零点个数为3，
故选：．
6．已知函数，g（x）＝x﹣k，函数g（f（x））有4个不同的零点x1，x2，x3，x4且x1＜x2＜x3＜x4，则x1+x2+x3+x4的取值范围为（ ）
A．B．C．D．（0，+∞）
【解答】解：g（f（x））＝f（x）﹣k，令g（f（x））＝0，得f（x）＝k，
函数g（f（x））有4个不同的零点，即f（x）＝k有4个不同的根；
根据题意，作出f（x）的图像，如图：
明显地，根据二次函数和对数函数的性质，有x1+x2＝﹣2，x3x4＝1，
因为x4＞x3＞0，故，
令，得或x＝9，故，
又因为x1+x2+x3+x4＝﹣2+x3+x4，
则，整理得，
故x1+x2+x3+x4的取值范围为．
故选：B．
7．已知函数，函数恰有5个零点，则的取值范围是
A．B．C．，D．
【解答】解：当时，．由，得，由，得，
则在，上单调递减，在上单调递增，
故的大致图象如图所示．
设，则，由图可知当时，有且只有1个实根，
则最多有3个不同的实根，不符合题意．
当时，的解是，．有2个不同的实根，有2个不同的实根，
则有4个不同的实根，不符合题意．
当时，有3个不同的实根，，，且，，，，．
有2个不同的实根，有2个不同的实根，有3个不同的实根，
则有7个不同的实根，不符合题意．
当时，有2个不同的实根，，且，，．
有2个不同的实根，有3个不同的实根，
则有5个不同的实根，符合题意．
当时，有2个不同的实根，，且，，
有2个不同的实根，，有2个不同的实根，则有4个不同的实根，不符合题意．
当时，有且只有1个实根，则最多有3个不同的实根，不符合题意，
综上，的取值范围是，．
故选：．
8．已知函数，则函数的零点个数是
A．1B．0C．2D．3
【解答】解：函数，
对，令，令，
可知在上单调递增，在上单调递减，
且趋向负无穷时，，时，，
故结合对数函数图象，可画出函数图像如下图所示：
函数的零点，即，令，代入可得，
由图像可知，即，
结合函数图像可知，有1个解，
综合可知，函数的零点有1个．
故选：．
9．已知函数，则函数零点个数最多是
A．10B．12C．14D．16
【解答】解：由题意可得，
作出的图象，如图所示：
由此可得，
令，则，
所以，
令，则有，
则有，，
当时，有三个实数根，分别为，，，
若，即时，则有，，，
若，即时，则，
当，即时，没有实数根，
又，，
若，，即时，有3个零点；，即时，有4个零点；，，即时，有4个零点，
所以此时共有11个零点；
若时，，，各自对应着4个零点，此时共有12个零点，
所以函数零点个数最多为12个．
故选：．
10．已知函数则解的个数为
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：时，，
则，
在上单调递减，
又时，，，，
作出函数的图象如图：
由，得，即，
则有两个根，即解的个数为2．
故选：．
11．已知函数，，若有6个零点，则的取值范围为
A．B．C．，D．
【解答】解：作出函数的图象如图所示：
根据图像可得，当或时，有两个解；
当时，有4个解；
当时，有3个解；
当时，有1个解．
因为最多有两个解．
因此要使有6个零点，则有两个解，设为，．
则存在下列几种情况：
①有2个解，有4个解，即或，，显然，
则此时应满足，解得；
②有3个解，有3个解，设即，，
则应满足，解得；
综上所述，或，
即的取值范围为．
故选：．
二．多选题（共4小题）
12．已知函数，下列关于函数的零点个数的说法中，正确的是
A．当，有1个零点B．当时，有3个零点
C．当，有4个零点D．当时，有7个零点
【解答】解：，则当时，，
当时，，
令得，设，即，
对于：当时，当时，，对称轴，当时，，
在，上单调递减，在上单调递增，
当时，，
由得，即，解得，
故时，有1个零点，故正确；
对于：当时，当时，，当时，，
由得，即，即，则当时，，解得，
当时，，解得，
故时，有3个零点，故正确；
对于：当时，当时，，对称轴，，
由得，即，解得，
故当时，有1个零点，故错误；
对于：当时，当时，，当时，，
由得，即，即，则当时，，解得，
当时，，解得，
由得，解得，
则当，即，此时有1解，
当，即，此时有2解，或，此时有1解，
综上所述，当时，有7个零点，故正确，
故选：．
13．若函数和的定义域都是，且关于的方程有实数解，则下列式子中可以是的是
A．B．C．D．
【解答】解：因为，所以，
则有解，
对于，当时，方程有解，故选项正确；
对于，当时，方程无解，故选项错误；
对于，当，令，
因为，
由零点的存在性定理可知，在上存在零点，
所以方程有解，故选项正确；
对于，当时，为方程的解，
所以方程有解，故选项正确．
故选：．
14．已知函数和函数，关于的方程有个实根，则下列说法中正确的是
A．当时，B．当时，C．，D．，
【解答】解：令，若，则，
解得或，
即或，
当，即，解得，
该方程有一解，正确；
当时，，易知为单调递增函数，
当时，，由对勾函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
作出图象如图，若，可知，，错误；
若，可知，，正确；
至多三个解，错误．
故选：．
15．已知函数，若，则下列说法正确的是
A．当时，有4个零点B．当时，有5个零点
C．当时，有1个零点D．当时，有2个零点
【解答】解：令，
当时，作出的图象如图所示：
对于，令，则有，
所以，
由此可得有3个解：，，，
又因为的值域为，，
所以无解；
有一个解；
有三个解；
所以此时共有4个解，
即共有4个零点，故正确，错误；
当时，作出的图象，如图所示：
对于，，令，则有，
所以，
所以，，
又因为的值域为，，，
所以无解，
只有一个解，
所以此时只有一个解，
即只有一个零点，故正确，错误．
故选：．
三．填空题（共5小题）
16．设函数，若函数有六个不同的零点，则实数的取值范围为 ， ．
【解答】解：函数，，
令，则，
函数有六个不同的零点，
则有6个实数根，
作出函数与的图象如图所示，
当时，与有两个交点，此时或，
此时有3个不同的零点，不符合题意，
当时，与有3个交点，
此时有6个不同的零点，符合题意，
当时，与有2个交点，
此时有4个不同的零点，不符合题意，
故函数有六个不同的零点时，实数的取值范围为，．
故答案为：，．
17．已知函数，若函数有5个零点，则实数的取值范围是 ， ．
【解答】解：设，则由得，
若，作出函数的图象如图：
当或时，，此时，无解，
当时，由，得只有一个解且，此时，最多有3个零点，不满足条件．
故，不成立，
当时，作出函数的图象如图：．
则，
由，得方程有3个不同的根，其中，
其中，，，
当时，，只有一个根，
当时，，只有一个根，
要使函数有5个零点，
则必有，有3个零点，
由，得，即，
此时只要，即可，
得，即，
得，
即实数的取值范围是，．
故答案为：，．
18．已知函数，若有六个零点，则实数的取值范围是 ， ．
【解答】解：由，解得或；
由，解得．
因为，所以或或，
即，，，
因为有六个零点，
所以函数的图象与三条直线，，共有六个交点，
因为函数的图象与三条直线，，共有三个交点，
所以的图象与三条直线共有三个交点，
当时，，
所以在区间单调递增，在区间单调递减，
所以时，取得极大值也即是最大值，
，，
结合的图象，可知或或，
所以或或，即实数的取值范围是，．
故答案为：，．
19．已知函数，若有三个零点，则 ．
【解答】解：令，由可知，
，
，有三个零点，
有三解，
又，的图象开口向下，
函数的顶点为，
，解得（负值舍去），
．
故答案为：．
20．已知函数，若函数有三个零点，则 ．
【解答】解：令，由可知，，
，有三个零点，
有三解，
由图象的图象，可知，
．
故答案为：．