2022-2023学年人教版数学九年级下册相似三角形（课时3）同步练习

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2022-2023学年人教版数学九年级下册相似三角形（课时3）同步练习 一、基础巩固1.  [2022武汉东西湖区质检]如图,下列四个三角形中,与△ABC相似的是(　　)2.  [2022洛阳期末]如图,四边形ABCD的两条不等长对角线AC,BD相交于点O,且将四边形分成甲、乙、丙、丁四个三角形.若OA∶OC=OB∶OD=1∶2,则 (　　)A.甲、丙相似,乙、丁相似B.甲、丙相似,乙、丁不相似C.甲、丙不相似,乙、丁相似D.甲、丙不相似,乙、丁不相似3.  [2021成都期中]如图,在△ABC与△ADE中,∠BAC=∠D,要使△ABC与△ADE相似,还需满足下列条件中的 (　　)A.=  B.=  C.=  D.=4.  [2022唐山路北区三模]如图,在△ABC中,P,Q分别为AB,AC边上的点,且满足=.根据以上信息,嘉嘉说:“连接PQ,则PQ∥BC.”淇淇说:“△AQP∽△ABC.”对于嘉嘉和淇淇的结论,下列判断正确的是(　　)A.嘉嘉正确,淇淇错误B.嘉嘉错误,淇淇正确C.两人都正确D.两人都错误5.  [2022大连期末]如图,已知在正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP=3PC,Q是CD的中点.求证:△ADQ∽△QCP.     6.  [2022茂名期中]如图,在△ABC中,AB=4,BC=8,D为BC边上一点,且BD=2.(1)求证:△ABD∽△CBA.(2)过点D作DE∥AB交AC于点E,请再写出一个与△ABD相似的三角形,并直接写出DE的长.     二、能力提升1.  [2022郑州期中]如图,下面网格纸中小正方形边长均相等.△ABC和△DEP的各顶点均为格点(小正方形的顶点),若△ABC∽△PDE,且两三角形不全等,则P点所在的格点为 (　　)A.P1  B.P2  C.P3  D.P42.  [2022上海延安中学期中]如图,在等边三角形ABC中,D,E分别在边AC,AB上,且AD∶AC=1∶3,AE=BE,则 (　　)A. △AED∽△BED  B. △AED∽△CBDC. △AED∽△ABD  D. △BAD∽△BCD3.  [2022聊城东昌府区二模]如图,Rt△ABC中,∠BCA=90°,BC=3,AC=4,将△ABC绕点B逆时针旋转得△A'BC',若点C'在AB上,连接CC',则CC'的长为 (　　)A. B. C.  D.4.  [2020苏州中考]如图,在△ABC中,已知AB=2,AD⊥BC,垂足为D,BD=2CD.若E是AD的中点,则EC的长为　　　　. 5.  [2021南充中考]如图,在△ABC中,D为BC上一点,BC=AB=3BD,则AD∶AC的值为　　　　.6.  [2022广州越秀区期末]如图,在△ABC中,AB=7 cm,AC=4 cm,点D从点B沿BA方向以2 cm/s的速度向点A移动,点E从点A沿AC方向以1 cm/s的速度向点C移动,若D,E同时出发,同时停止,则经过　　　　s时,△ADE与△ABC相似. 7.  [2022南京二模]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4,CA=6,☉C的半径为2,P为圆上一动点,连接AP,BP,则AP+BP的最小值为　　　. 8.  [2022南京玄武区期末]如图,△AOB∽△A'OB',连接AA',BB'交于点C.(1)求证:△AOA'∽△BOB'.(2)若∠AOB=44°,则∠ACB的度数为　　　　.           参考答案一、基础巩固1.  C　由题图,知AB=AC=6,∠B=75°,∴∠C=∠B=75°,∴∠A=30°.根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似,知与△ABC相似的是C项中的三角形.2.  B　∵OA∶OC=OB∶OD,∠AOB=∠COD,∴△OAB∽△OCD,即甲、丙相似;根据已知条件可知△OBC与△OAD不相似,即乙、丁不相似.3.  C　∵∠BAC=∠D,∴当=时,△ABC∽△DEA.4.  B　 因为=,∠PAQ=∠CAB,所以△AQP∽△ABC,即淇淇的结论正确;由△AQP∽△ABC,得∠AQP=∠ABC,∠APQ=∠ACB,不能得出∠AQP=∠ACB或∠APQ=∠ABC,所以不能得出PQ∥BC,即嘉嘉的结论不正确.5.  证明:∵四边形ABCD是正方形,BP=3PC,Q是CD的中点,∴QC=QD=AD,CP=AD,∴=,又∠ADQ=∠QCP=90°,∴△ADQ∽△QCP.6.  (1)证明:∵AB=4,BC=8,BD=2,∴=,又∠ABD=∠CBA,∴△ABD∽△CBA.(2)解:△CDE∽△ABD.DE=3.∵DE∥AB,∴△CDE∽△CBA,由(1)知△ABD∽△CBA,∴△CDE∽△ABD,∴=,∵BC=8,BD=2,∴CD=BC-BD=8-2=6,∴=,∴DE=3.二、能力提升1. D　由题图,知∠ABC=∠PDE=90°.∵△ABC∽△PDE,∴=.设小正方形的边长均为1,则AB=2,BC=1,DE=2,∴==2,∴PD=4,故P点所在的格点为P4.2. B　设AD=x.∵AD∶AC=1∶3,∴AC=3AD=3x.∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC=3x,∠A=∠C.∵AE=BE,AE+BE=AB,∴AE=BE=1.5x,∴==.∵=,∴=,∴=,又∠A=∠C,∴△AED∽△CBD.3. C　如图,连接AA',根据旋转的性质可知,∠A'C'B=∠ACB=90°,A'C'=AC=4,BC'=BC=3,AB=A'B.根据勾股定理,得AB==5,∴A'B=AB=5,∴AC'=AB-BC'=5-3=2.在Rt△AA'C'中,根据勾股定理,得AA'==2,∵=,∠C'BC=∠A'BA,∴△CBC'∽△ABA',∴=,即=,∴CC'=.4.  1　 解法一 　∵BD=2CD,∴=2,∵E是AD的中点,∴AD=2DE,∴=2,∴==2,又AD⊥BC,∴∠ADB=∠EDC=90°,∴△ADB∽△EDC,∴==2,又AB=2,∴EC=1.解法二　如图,过点E作EF∥AB,交BC于点F.∵E是AD的中点,∴BF=DF,∴EF是△ABD的中位线,∴EF=AB=1.∵BD=2CD,∴DF=CD,又AD⊥BC,∴DE所在直线垂直平分CF,∴EC=EF=1.5.  6.  或　设经过t s,△ADE与△ABC相似,则BD=2t cm,AE=t cm.∵AB=7 cm,∴AD=AB-BD=(7-2t)cm.分两种情况:①如图1,当△ADE∽△ABC时,=,即=,解得t=;②如图2,当△AED∽△ABC时,=,即=,解得t=.综上所述,经过 s或 s时,△ADE与△ABC相似.7.  　 如图,连接CP,在CB上取点D,使CD=1,则有==,结合∠PCD=∠BCP,∴△PCD∽△BCP,∴=,∴PD=BP,∴AP+BP=AP+PD.要使AP+BP最小,只要AP+PD最小即可,当点A,P,D在同一条直线上时,AP+PD最小,即AP+BP的最小值为AD.在Rt△ACD中,CD=1,AC=6,∴AD==,∴AP+BP的最小值为.8.  (1)证明:∵△AOB∽△A'OB',∴=,∠AOB=∠A'OB',∴=,∵∠AOB=∠A'OB',∴∠AOB+∠BOA'=∠A'OB'+∠BOA',∴∠AOA'=∠BOB',∵=,∴△AOA'∽△BOB'.(2)解:44°∵△AOA'∽△BOB',∴∠OAA'=∠OBB'.如图,设AC与OB交于点E,在△AOE中,∠AOE=180°-∠OAA'-∠OEA=44°,在△CEB中,∠ACB=180°-∠OBB'-∠CEB,∵∠OAA'=∠OBB',∠OEA=∠CEB,∴∠ACB=∠AOE=44°.