浙江省杭州市高桥初中教育集团2024—2025学年上学期九年级期中数学试卷（解析版）-A4

这是一份浙江省杭州市高桥初中教育集团2024—2025学年上学期九年级期中数学试卷（解析版）-A4，共21页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题卷．等内容，欢迎下载使用。
请同学们注意：
1、考试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间为120分钟．
2、所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应．
3、考试结束后，只需上交答题卷．
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．
1. 在下列函数表达式中，属于二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．分别利用正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的定义分析得出答案．
【详解】解：A、是反比例函数关系，故此选项不符合题意；
B、是一次函数关系，故此选项不符合题意；
C、是二次函数关系，故此选项符合题意；
D、不是二次函数关系，故此选项不符合题意．
故选：C．
2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A. 抛掷硬币时，正面朝上
B. 明天太阳从东方升起
C. 经过红绿灯路口，遇到红灯
D. 玩“石头、剪刀、布”游戏时，对方出“剪刀”
【答案】B
【解析】
【分析】根据随机事件、必然事件的概念即可作答．
【详解】A．抛硬币时，正面有可能朝上也有可能朝下，故正面朝上是随机事件；
B．太阳从东方升起是固定的自然规律，是不变的，故此事件是必然事件；
C．经过路口，有可能出现红灯，也有可能出现绿灯、黄灯，故遇到红灯是随机事件；
D．对方有可能出“剪刀”，也有可能出“石头”、“布”，出现对方出“剪刀”是随机事件．
故选：B．
【点睛】本题考查了随机事件、必然事件的概念，充分理解随机事件的概念是解答本题的关键．
3. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【详解】设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则d>r.
解：当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符.
故选D.
“点睛”本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离化为半径的大小关系.
4. 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠BAC的度数是（ ）
A 45°B. 38°C. 36°D. 30°
【答案】C
【解析】
【分析】连接，根据正多边形的性质可得，的度数，再根据圆的性质，求解即可．
【详解】解：连接，如下图：
根据正多边形的性质可得：
根据圆周角定理可得：
故选C
【点睛】此题考查了圆的有关性质，涉及了圆周角定理以及正多边形的性质，解题的关键是掌握圆的有关性质．
5. 如图，是的直径，是弦且不是直径，，则下列结论不一定正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理．解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容．
由于，根据垂径定理有，，不能得出，圆的半径都相等，即可求解；
【详解】解：，
，，
的半径都相等，
那么，
不能得出．
故选B．
6. 为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获100条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在左右，则鱼塘中估计有鱼（ ）条．
A. 4000B. 5000C. 10000D. 2000
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了用样本估计总体，熟知总体数目部分数目相应频率是解题的关键．根据总体数目部分数目相应频率求解即可．
【详解】解：鱼塘中估计有鱼条，
故选：．
7. 如图，已知二次函数 、、为常数，且图象顶点为，经过点；有以下结论：①；②；③；④x>1时，随的增大而减小；⑤对于任意实数，总有，其中正确的有( )

A. ①②③B. ②③④C. ③④⑤D. ①④⑤
【答案】D
【解析】
【分析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图像的性质确定、、的正负即可解答；③将点的坐标代入即可解答；④根据函数图像即可解答；⑤运用作差法判定即可．
【详解】解：①由抛物线的开口方向向下，则，故①正确；
②∵抛物线的顶点为，，
，，
，
，
抛物线与轴的交点在正半轴，
，
，故②错误；
③抛物线经过点，
，即，故③错误；
④抛物线的顶点为，且开口方向向下，
时，随的增大而减小，即④正确；
⑤，
，
，则⑤正确；
综上，正确是①④⑤．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，灵活运用二次函数图像的性质以及掌握数形结合思想成为解答本题的关键．
8. 如图，可由旋转而成，点的对应点是，点的对应点是，在平面直角坐标系中，三点坐标为，，，则旋转中心的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，线段垂直平分线的性质．连接，分别作和的线段垂直平分线，且它们的交点即为旋转中心，由图写出其坐标即可．理解两线段垂直平分线的交点即为旋转中心是解答本题的关键．
【详解】如图，连接，分别作和的线段垂直平分线，且交于点P．则P点即为旋转中心．
由图可知P点坐标为，即旋转中心的坐标为．
故选：A．
9. 已知二次函数经过点，，若，则下列说法正确的为（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 当时，D. 当时，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题的关键：熟练掌握开口向上，对称轴为直线．根据二次函数图象上点的坐标特征即可得到m的取值范围．
【详解】解：当时，
开口向上，
∵二次函数经过点，，且，
，
解得：，故选项B符合题意，选项C不符合题意；
当时，
开口向下，
∵二次函数经过点，，且，
，
解得：，故选项A不符合题意，选项D不符合题意；
故选：B．
10. 如图，为的直径，点为圆上一点，，若将劣弧沿弦翻折交于点，连接，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理以及折叠问题的知识，根据同弦所对的两个圆周角互补求解是解题的关键，此题难度不大．连接，根据直径所对的圆周角是直角求出和，根据翻折的性质，可知所对的圆周角为，所对的圆周角为，再根据，可得，即可得解．
【详解】解：如图，连接，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
根据翻折的性质，所对的圆周角为，所对的圆周角为，
∴，
∵，
，
．
故选：A．
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11. 有一枚质地均匀的骰子，骰子各个面上的点数分别为1－6，任意抛掷这枚骰子，朝上面的点数大于2的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】由朝上的面的点数有6种等可能结果，其中朝上面的点数大于2的有3，4，5，6，共4种结果，根据概率公式计算可得．
【详解】解：任意抛掷这枚骰子，朝上的面的点数有6种等可能结果，其中朝上面的点数大于2的有3，4，5，6，共4种结果，
朝上面的点数大于2的概率是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
12. 二次函数的顶点坐标为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键；把二次函数的一般式化为顶点式，再求顶点坐标即可．
【详解】解：，
顶点坐标为，
故答案为：．
13. 学校组织去宋城秋游，安排给九年级4辆车，小高和小乔都可以从这4辆车中任选一辆搭乘．则小高和小乔不坐同一辆车的概率为_____．
【答案】##0.75
【解析】
【分析】此题考查了利用树状图求概率，画树状图表示所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的结果数，进而求出概率，正确画出树状图或列表，找到所有等可能情况数和满足要求情况数是解题的关键．四辆车分别用1，2，3，4表示，画树状图得出所有等可能的结果数和符合条件的结果数，再利用概率公式得出答案．
【详解】解：四辆车分别用1，2，3，4表示，
画树状图：
所有等可能的结果数为16种，小高和小乔不坐同一辆车的结果有12种，
∴小高和小乔不坐同一辆车的概率为．
故答案为：．
14. 如图，在中，，，则的度数是__________．
【答案】##70度
【解析】
【分析】先利用等腰三角形的性质得，然后根据三角形内角和计算的度数．
【详解】解：，
，
．
故答案为：
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．
15. 已知关于二次函数有最小值，则当时，的取值范围是_____．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的解析式得出对称轴直线是解题的关键．首先确定二次函数的对称轴为直线，然后得出时，或，再根据二次函数有最小值得出时x的取值范围．
【详解】解：二次函数的对称轴为直线，
∵当时，，
时，，
∵关于x二次函数有最小值，
∴或时，．
故答案为：或．
16. 如图，AB是⊙O的直径，点C在半圆的中点，且BC＝4cm，点D是上的一个动点，连接BD，过C点作CH⊥BD于H，连接AH，在点D的运动过程中，AH长度的最小值是 ______．
【答案】##
【解析】
【分析】取BC的中点M，连接AC，HM，AM．由题意点H在以M为圆心，BC为直径的⊙M上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，取BC的中点M，连接AC，HM，AM．
∵CH⊥BD，
∴∠BHC＝90°，
∴点H在以M为圆心，BC为直径的⊙M上，CM=BM=HM
∴当A、H、M共线时，AH的值最小，
∵AB是直径，点C在半圆的中点，BC＝4cm
∴，AC=BC=4cm，∠ADB＝90°
∵CM=cm
∴AM＝
∴BH的最小值为AM−MH＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用辅助线圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
三、全面答一答（本题有8个小题，共72分）
解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，你们把自己能写出的解答写出一部分也可以．
17. 已知二次函数图象的顶点坐标为，且过点，
（1）求出函数解析式．
（2）请求出函数图像与坐标轴的交点．
【答案】（1）
（2）与轴的交点坐标为：，与轴交点坐标为：
【解析】
【分析】本题考查求二次函数的解析式以及抛物线与x轴，轴的交点坐标，利用待定系数法准确的求出函数解析式是解题的关键．
（1）设出顶点式，利用待定系数法求解析式即可；
（2）令，解一元二次方程即可；
【小问1详解】
解：∵二次函数图象的顶点坐标为，且过点，
∴设函数解析式为：，
将代入得：，解得：；
∴；
∴解析式为：；
【小问2详解】
解：当时：，
解得：或，
∴图象与轴的交点坐标为：．
由条件知，图象与轴交点坐标为：．
18. 上城区要在语、数、英、科、社五科中，随机抽出两科进行期末抽测．
（1）抽到数学学科的概率是 ；
（2）用画树状图或列表法求抽到的学科恰好是数学和英语的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率：
（1）根据题意，画出树状图，可得共有20种等可能的结果，其中抽到数学学科的结果有8种，再根据概率公式计算，即可求解；
（2）根据树状图，可得共有20种等可能的结果，其中抽到的学科恰好是数学和英语的结果有2种，，再根据概率公式计算，即可求解．
【小问1详解】
解：画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中抽到数学学科的结果有：（语，数），（数，语），（数，英），（数，科），（数，社），（英，数），（科，数），（社，数），共8种，
∴抽到数学学科的概率是．
故答案为：．
【小问2详解】
解：由树状图可得，抽到的学科恰好是数学和英语的结果有2种，
∴抽到的学科恰好是数学和英语的概率为．
19. 某衬衫的进价为每件40元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件衬衫的售价上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于105元），设每件衬衫的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元．
（1）求月利润为7000元时，每件衬衫的售价；
（2）求每件衬衫的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？
【答案】（1）每件衬衫的售价90元
（2）每件衬衫的售价定为100元时，每个月可获得最大利润，最大月利润7200元
【解析】
【分析】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数的最值问题，根据利润=一件的利润×销售量，建立函数关系式，借助二次函数解决实际问题是解题关键．
（1）设每件衬衫的售价上涨x元，则且（即），即可求解；
（2）由结合二次函数的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：设每件衬衫的售价上涨x元，由题意得：
且（即），
解得：（舍弃），
∴，
答：每件衬衫的售价90元
【小问2详解】
解：每件衬衫的售价上涨x元，月利润是y元，
则，
∴，开口向下，
，
∴当时，y有最大值，最大值为；
此时每件衬衫的售价为（元），
答：每件衬衫的售价定为100元时，每个月可获得最大利润，最大月利润7200元．
20. 如图为一圆弧形钢梁，该钢梁的拱高为，跨径为．
（1）用尺规作出该圆弧所在圆的圆心；
（2）求这钢梁圆弧的半径长．
【答案】（1）图见详解
（2）这钢梁圆弧的半径长为
【解析】
【分析】本题考查作图—应用与设计作图，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
（1）在上取一点E，连接，作线段，的垂直平分线交于点O，点O即为所求；
（2）设，的垂直平分线交于点C，交于点D．利用勾股定理构建方程求解．
【小问1详解】
解：如图，点即为所求；
【小问2详解】
解：设，的垂直平分线交于点C，交于点D．
，
，
∵，
∴，
在中，则有，
解得，
∴这钢梁圆弧的半径长为．
21. 如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为，面积为．
（1） （用含的代数式表示）．
（2）求出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
（3）饲养室长为何值时，占地面积最大？并求出的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）当时，最大，最大值
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用．
（1）依据题意，由，从而，进而可以得解；
（2）由（1）根据长方形的面积即可写出函数关系式，同时求出自变量取值范围；
（3）根据（2）中所得函数关系式化为顶点式，再根据自变量的取值范围即可求出最大面积．
【小问1详解】
解：由题意，，
．
故答案为：．
【小问2详解】
根据题意，得
，
，
．
答：与的函数关系式为，值的取值范围是．
【小问3详解】
由题意，．
，
对称轴，开口向下，
当时，最大，最大值．
答：当的长是米时，围成的花圃的面积最大，最大面积是平方米．
22. 如图，已知为直径的半圆上有点，连结，，为中点，连结，，分别交于点，．
（1）求与的数量关系，并说明理由；
（2）若，且，求的长．
【答案】（1），理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是综合运用以上知识求解．
（1）由垂径定理可得，由三角形中位线定理即可求解；
（2）证明，可得，设，则，再根据勾股定理列方程求解即可．
【小问1详解】
解：，理由如下：
中点，
，
，
，
；
【小问2详解】
解： 是直径，
，
，，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
，
．
23. 关于的二次函数（，，是实数且）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
（1）若，求二次函数的表达式；
（2）若二次函数的图象与轴没有交点，求的取值范围；
（3）若在，，这三个实数中，有且只有一个是正数，直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解不等式，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）二次函数的图象与轴没有交点，即，代入求解即可；
（3）根据题意，把，，代入方程，根据，，这三个实数中，有且只有一个是正数，计算不等式求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得：当时，
解得：，
二次函数的表达式：；
【小问2详解】
解：根据题意可得：，
当和时，
所以当该函数对称轴；
即，，
将代入，
可得：，
解得：（舍去）或，
即的取值范围为：，
【小问3详解】
根据题意可得：由题意得：，，这三个实数中，有且只有一个是正数；
，，
方程为，
把，，代入方程；
，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当时，
解得：（舍去），
综上所述，的取值范围为：或；
24. 如图，是的直径，弦垂直平分，交于点，点是弧上的一点，连结，，，
（1）求的度数；
（2）求证：；
（3）若，求四边形的面积．
【答案】（1）
（2）见详解 （3）四边形的面积
【解析】
【分析】（1）连接，，利用等腰三角形的三线合一的性质，特殊三角函数值和圆周角定理解答即可；
（2）在上截取，连接，利用（1）的结论得到为等边三角形，利用圆周角定理，垂径定理得到为等边三角形，再利用全等三角形的判定与性质得到，则结论得证；
（3）过点C作于点M，，交的延长线于点N，利用直角三角形的边角关系定理求得，，再利用四边形的面积和（2）的结论解答即可．
【小问1详解】
解：连接，，如图，
，，
．
∵，．
，即，
，
，
，
；
【小问2详解】
证明：在上截取，连接，如图，
由（1）知：，
∴为等边三角形，
，
．
∵是的直径，弦，
，
，
，
∴为等边三角形，
，．
∵四边形为圆的内接四边形，
，
，
．
在和中，
，
∴，
．
，
；
【小问3详解】
解：过点C作于点M，，交的延长线于点N，如图，
由（2）知：为等边三角形，
，
．
，
．
，
．
∴四边形的面积
．
由（2）知：，
∴四边形的面积．
…
1
…
…
n
…