浙江省杭州市萧山区高桥教育集团2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份浙江省杭州市萧山区高桥教育集团2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了仔细选一选，认真填一填，全面答一答解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分。下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）
1．（3分）下面所给的交通标志中，轴对称图形是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）在下列长度的四根木棒中，能与4cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）
A．4cmB．5cmC．7cmD．14cm
3．（3分）已知实数a，b，若a＞b，则下列结论错误的是（ ）
A．a﹣5＞b﹣5B．3+a＞b+3C．＞D．﹣3a＞﹣3b
4．（3分）根据等腰三角形的周长为17cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边是（ ）
A．7cmB．5cm或7cmC．6cm或5cmD．5cm
5．（3分）如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么x的值是（ ）
A．30°B．45°C．50°D．85°
6．（3分）下列条件中，能构成直角△ABC的是（ ）
A．∠A＝∠B＝∠CB．∠A+∠C＝2∠B
C．D．
7．（3分）定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（ ）
A．有两个角相等的三角形是等腰三角形
B．有两个底角相等的三角形是等腰三角形
C．有两个角不相等的三角形不是等腰三角形
D．不是等腰三角形的两个角不相等
8．（3分）如果△ABC的三边分别为m2﹣1，2m，m2+1，其中m为大于1的正整数，则（ ）
A．△ABC是直角三角形，且斜边为m2﹣1
B．△ABC是直角三角形，且斜边为2m
C．△ABC是直角三角形，且斜边为m2+1
D．△ABC不是直角三角形
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角的平分线交于E点，连接AE，则∠AEB的度数是（ ）
A．50°B．45°C．40°D．35°
10．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，按下列步骤作图：
①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AB于点D；
②以C为圆心，CD长为半径画弧交AB于点E．
方方探究得到以下两个结论：
①△BCE是等腰△；
②若AC＝6，BC＝8，则点E到AC的距离为，
则（ ）
A．结论①正确，结论②正确
B．结论①正确，结论②错误
C．结论①错误，结论②正确
D．结论①错误，结论②错误
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）“x的2倍与1的差不大于3”用不等式表示为 ．
12．（4分）若x＜y，则3x+1 3y+1．（填“＜”或“＞”）
13．（4分）△ABC是等腰三角形，∠C＝100°，则∠A＝ °．
14．（4分）在Rt△ABC中，AB＝5，AC＝4，则BC＝ ．
15．（4分）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝ ．
16．（4分）如图，A，B，C，D四个点顺次在直线l上，AC＝a，BD＝b．以AC为底向下作等腰直角三角形ACE，以BD为底向上作等腰三角形BDF，且FB＝FD＝BD．当a＝3，b＝6时，△AEC和△BFD的面积和是 ．连接AF，DE，当BC的长度变化时，△ABF与△CDE的面积之差保持不变，则a与b需满足的条件是 ．
三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，你们把自己能写出的解答写出一部分也可以。
17．（6分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线．
（1）CD AC．（填“＜”或“＞”）
（2）AC+BC AB．（填“＜”或“＞”）
（3）若点E是线段AB上的一个动点，连结CE，则CD CE．（填“≤”或“≥”）
18．（6分）如图，在边长为1的小正方形所组成的网格上，每个小正方形的顶点都称为“格点”，△ABC的顶点都在格点上．
（1）直接判断△ABC的形状．
（2）画出△ABC关于直线MN的对称图形△A1B1C1．
（3）在直线MN上作一点P，使得PA+PB最小，
19．（6分）如图，已知B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．AC与DE交于点G，
（1）求证△ABC≌△DEF；
（2）若∠B＝50°，∠ACB＝60°，求∠EGC的度数．
20．（8分）如图，点E，F在CD上，且∠AEC＝∠BFD＝90°，AC＝BD，CF＝DE．
（1）求证：Rt△AEC≌Rt△BFD．
（2）连结AF，若AC＝5，AE＝3，CF＝1，求AF的长度．
21．（8分）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．
求证：
（1）AD＝BE；
（2）△CPQ为等边三角形．
22．（10分）如图，长方形纸片ABCD的长AD＝9cm，宽AB＝3cm，将它折叠，使点D与点B重合．（注：该长方形的性质：两组对边平行且相等，每个内角都是90°）
（1）求证：△BEF是等腰三角形；
（2）求折痕EF的长．
23．（10分）根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
（1）①如果a﹣b＜0，那么a b；
②如果a﹣b＝0，那么a b；
③如果a﹣b＞0，那么a b．
（2）如（1）中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下面的问题：
①若2a+2b﹣1＞3a+b，比较a，b的大小；
②比较3a2﹣2b+2b2与3a2+b2﹣1的大小．
24．（12分）[感知]：如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°且∠B＝90°．求证：DB＝DC．
[探究]：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求证：DB＝DC．
[应用]：如图3，四边形ABDC中，∠B＝45°，∠C＝135°，，求AB﹣AC的值．
2024-2025学年浙江省杭州市萧山区高桥教育集团八年级（上）期中
数学试卷
参考答案与试题解析
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分。下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）
1．（3分）下面所给的交通标志中，轴对称图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的知识求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．（3分）在下列长度的四根木棒中，能与4cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）
A．4cmB．5cmC．7cmD．14cm
【答案】C
【分析】判定三条线段能否构成三角形，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【解答】解：设三角形的第三边为x，则
9﹣4＜x＜4+9
即5＜x＜13，
∴当x＝7时，能与4cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形，
故选：C．
3．（3分）已知实数a，b，若a＞b，则下列结论错误的是（ ）
A．a﹣5＞b﹣5B．3+a＞b+3C．＞D．﹣3a＞﹣3b
【答案】D
【分析】根据不等式性质逐项判断即可．
【解答】解：A、根据不等式性质1，在不等式两边同时加上同一个数（或式），不等号的方向不变，在a＞b两边都加﹣5可得：a﹣5＞b﹣5，故A不符合题意；
B、根据不等式性质1，在不等式两边同时加上同一个数（或式），不等号的方向不变，在a＞b两边都加3可得：3+a＞b+3，故B不符合题意；
C、根据不等式性质2，在不等式两边同时除以同一个正数，不等号的方向不变，在a＞b两边都乘以可得：，故C不符合题意；
D、根据不等式性质3，在不等式两边同时乘以同一个负数，不等号的方向改变，在a＞b两边都乘以﹣3，可得：﹣3a＜﹣3b，故D符合题意；
故选：D．
4．（3分）根据等腰三角形的周长为17cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边是（ ）
A．7cmB．5cm或7cmC．6cm或5cmD．5cm
【答案】B
【分析】此题分为两种情况：5cm是等腰三角形的底边或5cm是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．
【解答】解：当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（17﹣5）÷2＝6（cm），能够组成三角形；
当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是17﹣5×2＝7（cm），能够组成三角形．
故该等腰三角形的底边长为：5cm或7cm．
故选：B．
5．（3分）如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么x的值是（ ）
A．30°B．45°C．50°D．85°
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质和三角形内角和，可以求得x的值．
【解答】解：∵图中的两个三角形是全等三角形，
∴第二个三角形中x是边长为3对应的角的度数，
∵180°﹣85°﹣45°＝50°，
∴第一个三角形中边长为3对应的角的度数是50°，
∴x＝50°，
故选：C．
6．（3分）下列条件中，能构成直角△ABC的是（ ）
A．∠A＝∠B＝∠CB．∠A+∠C＝2∠B
C．D．
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理求出三角形的最大角，由直角三角形的定义．即可判断．
【解答】解：A、由∠A＝∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，得到∠A＝∠B＝∠C＝60°，因此△ABC不是直角三角形，故A不符合题意；
B、由∠A+∠C＝2∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，求出∠B＝60°，得到∠A+∠C＝2∠B＝120°，不能证明△ABC是直角三角形，故B不符合题意；
C、由∠B＝∠C＝∠A，∠A+∠B+∠C＝180°，得到∠A+∠A+∠A＝180°，求出∠A＝120°，则△ABC不是直角三角形，故C不符合题意；
D、由∠A＝∠B＝∠C，得到∠B＝2∠A，∠C＝3∠A，又∠A+∠B+∠C＝180°，求出∠A＝30°，得到∠C＝90°，则△ABC是直角三角形，故D符合题意；
故选：D．
7．（3分）定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（ ）
A．有两个角相等的三角形是等腰三角形
B．有两个底角相等的三角形是等腰三角形
C．有两个角不相等的三角形不是等腰三角形
D．不是等腰三角形的两个角不相等
【答案】A
【分析】根据题意可以写出原定理的逆定理，本题得以解决．
【解答】解：定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是有两个角相等的三角形是等腰三角形，
故选：A．
8．（3分）如果△ABC的三边分别为m2﹣1，2m，m2+1，其中m为大于1的正整数，则（ ）
A．△ABC是直角三角形，且斜边为m2﹣1
B．△ABC是直角三角形，且斜边为2m
C．△ABC是直角三角形，且斜边为m2+1
D．△ABC不是直角三角形
【答案】C
【分析】用三勾股定理的逆定理即可作出判断．
【解答】解：（m2﹣1）2+（2m）2＝m4+2m2+1＝（m2+1）2，
故△ABC是直角三角形，m2+1是斜边．
故选：C．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角的平分线交于E点，连接AE，则∠AEB的度数是（ ）
A．50°B．45°C．40°D．35°
【答案】B
【分析】作EF⊥AC交CA的延长线于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延长线于H，根据角平分线的性质和判定得到AE平分∠FAG，求出∠EAB的度数，根据角平分线的定义求出∠ABE的度数，根据三角形内角和定理计算得到答案．
【解答】解：作EF⊥AC交CA的延长线于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延长线于H，
∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABD，
∴EF＝EH，EG＝EH，
∴EF＝EG．
又EF⊥AC，EG⊥AB，
∴AE平分∠FAG，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BAF＝150°，
∴∠EAB＝75°，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABH＝120°，
又∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝60°，
∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠ABE＝45°．
故选：B．
10．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，按下列步骤作图：
①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AB于点D；
②以C为圆心，CD长为半径画弧交AB于点E．
方方探究得到以下两个结论：
①△BCE是等腰△；
②若AC＝6，BC＝8，则点E到AC的距离为，
则（ ）
A．结论①正确，结论②正确
B．结论①正确，结论②错误
C．结论①错误，结论②正确
D．结论①错误，结论②错误
【答案】C
【分析】①错误，理由反证法判断即可；
②正确．求出AE，再利用平行线分线段成比例定理求解．
【解答】解：①错误．当∠B＝30°时，E，A重合，△BCE明显不是等腰三角形；
②正确．
理由：过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EG⊥AC于点G．
∵AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝10，
∴CH＝＝＝，
∴AH＝＝＝，
由作图可知DA＝DC＝DB＝5，
∵CE＝CD＝5，
∴EH＝＝＝，
∴AE＝AH＝EH＝﹣＝，
∵S△ACE＝•AC•EG＝•AE•CH，
∴EG＝，故②正确．
故选：C．
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）“x的2倍与1的差不大于3”用不等式表示为 2x﹣1≤3 ．
【答案】2x﹣1≤3．
【分析】根据“x的2倍与1的差不大于3”即可得出关于x的一元一次不等式，此题得解．
【解答】解：依题意得：2x﹣1≤3．
故答案为：2x﹣1≤3．
12．（4分）若x＜y，则3x+1 ＜ 3y+1．（填“＜”或“＞”）
【答案】＜．
【分析】根据x＜y，应用不等式的性质，判断出3x+1与3y+1的大小关系即可．
【解答】解：∵x＜y，
∴3x＜3y，
∴3x+1＜3y+1．
故答案为：＜．
13．（4分）△ABC是等腰三角形，∠C＝100°，则∠A＝ 40 °．
【答案】40．
【分析】根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为180°即可求解．
【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∠C＝100°，
∴∠C是顶角，
∴∠A＝（180°﹣100°）÷2＝40°．
故答案为：40．
14．（4分）在Rt△ABC中，AB＝5，AC＝4，则BC＝ 3或 ．
【答案】3或．
【分析】分两种情况，①当AB为斜边时，②当AB为直角边时，分别由勾股定理求出BC的长即可．
【解答】解：分两种情况：
①当AB为斜边时，由勾股定理得：BC＝＝＝3；
②当AB为直角边时，由勾股定理得：BC＝＝＝；
综上所述，BC的长为3或，
故答案为：3或．
15．（4分）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝ 50° ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案．
【解答】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD＝x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，
∴PF＝PM，
∵∠BPC＝40°，
∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，
∴∠CAF＝100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
∵，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），
∴∠FAP＝∠PAC＝50°．
故答案为：50°．
16．（4分）如图，A，B，C，D四个点顺次在直线l上，AC＝a，BD＝b．以AC为底向下作等腰直角三角形ACE，以BD为底向上作等腰三角形BDF，且FB＝FD＝BD．当a＝3，b＝6时，△AEC和△BFD的面积和是 16.5 ．连接AF，DE，当BC的长度变化时，△ABF与△CDE的面积之差保持不变，则a与b需满足的条件是 ．
【答案】16.5； ．
【分析】过点E作EM⊥AD于点M，过点F作FN⊥AD于点N，先根据等腰三角形的性质求出，，再利用勾股定理求出，然后根据三角形面积公式计算△AEC和△BFD的面积和，同时表示出△ABF与△CDE的面积之差，然后根据“当BC的长度变化时，△ABF与△CDE的面积之差保持不变”建立等式，化简即可得．
【解答】解：如图，过点E作EM⊥AD于点M，过点F作FN⊥AD于点N，
∵△ACE是等腰直角三角形，且AC＝a，
∴，
∵△BDF是等腰三角形，且BD＝b，
∴，
∵，
∴，
∴△AEC和△BFD是面积和是：，
△ABF与△CDE的面积之差为：
＝
＝
＝，
∵当BC的长度变化时，△ABF与△CDE的面积之差保持不变，
∴，
∴，
故答案为：16.5，．
三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，你们把自己能写出的解答写出一部分也可以。
17．（6分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线．
（1）CD ＜ AC．（填“＜”或“＞”）
（2）AC+BC ＞ AB．（填“＜”或“＞”）
（3）若点E是线段AB上的一个动点，连结CE，则CD ＜ CE．（填“≤”或“≥”）
【答案】（1）＜；
（2）＞；
（3）＜．
【分析】（1）利用垂线段最短进行分析作答；
（2）利用三角形的三边关系进行分析作答；
（3）利用垂线段最短进行分析作答．
【解答】解：（1）∵CD是斜边AB上的高线，
∴CD⊥AB，
∴CD＜AC．
故答案为：＜；
（2）由三角形的三边关系得：AC+BC＞AB．
故答案为：＞；
（3）由（1）知，CD⊥AB，
∵点E是线段AB上的一个动点，
∴CD＜CE．
故答案为：＜．
18．（6分）如图，在边长为1的小正方形所组成的网格上，每个小正方形的顶点都称为“格点”，△ABC的顶点都在格点上．
（1）直接判断△ABC的形状．
（2）画出△ABC关于直线MN的对称图形△A1B1C1．
（3）在直线MN上作一点P，使得PA+PB最小，
【答案】（1）△ABC为直角三角形；
（2）（3）见解答．
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可判断△ABC为直角三角形；
（2）利用网格特点和轴对称的性质画出点A、B、C关于直线MN的对称点即可；
（3）连接AB1交直线MN于P点，由于PB＝PB1，则PA+PB＝AB1，根据两点之间线段最短可判断P点满足条件．
【解答】解：（1）∵AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝52＝25，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形；
（2）如图，△A1B1C1为所作；
（3）如图，点P为所作．
19．（6分）如图，已知B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．AC与DE交于点G，
（1）求证△ABC≌△DEF；
（2）若∠B＝50°，∠ACB＝60°，求∠EGC的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）∠EGC＝70°．
【分析】（1）由BE＝CF，可得BC＝EF，证明△ABC≌△DEF（SSS）即可；
（2）如图，由（1）知，△ABC≌△DEF（SSS），则∠B＝∠DEF，AB∥DE，∠EGC＝∠A，由三角形内角和定理可得∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝70°，进而可求∠EGC的度数．
【解答】（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，
∵AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；
（2）解：如图，
由（1）知，△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠B＝∠DEF，
∴AB∥DE，
∴∠EGC＝∠A，
∵∠B＝50°，∠ACB＝60°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝70°，
∴∠EGC＝70°．
20．（8分）如图，点E，F在CD上，且∠AEC＝∠BFD＝90°，AC＝BD，CF＝DE．
（1）求证：Rt△AEC≌Rt△BFD．
（2）连结AF，若AC＝5，AE＝3，CF＝1，求AF的长度．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）AF的长度是3．
【分析】（1）先由CF＝DE，推导出CE＝DF，即可根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明Rt△AEC≌Rt△BFD；
（2）先由勾股定理求得CE＝4，则EF＝CE﹣CF＝3，再由勾股定理求出AF的长度即可．
【解答】（1）证明：∵CF＝DE，
∴CF+EF＝DE+EF，
∴CE＝DF，
在Rt△AEC和Rt△BFD中，
，
∴Rt△AEC≌Rt△BFD（HL）．
（2）解：∠AEC＝90°，AC＝5，AE＝3，
∴CE＝＝＝4，
∵CF＝1，
∴EF＝CE﹣CF＝4﹣1＝3，
∴AF＝＝＝3，
∴AF的长度是3．
21．（8分）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．
求证：
（1）AD＝BE；
（2）△CPQ为等边三角形．
【答案】（1）（2）见解析．
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质证明即可；
（2）根据全等三角形的性质和等边三角形的判定证明即可．
【解答】证明：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，
（2）∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
又∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠ACP＝∠BCQ＝60°，
在△ACP和△BCQ中，
∠ACP＝∠BCQ，∠CAP＝∠CBQ，AC＝BC，
∴△ACP≌△BCQ（AAS），
∴AP＝BQ，CP＝CQ，
又∵∠PCQ＝60°，
∴△CPQ为等边三角形．
22．（10分）如图，长方形纸片ABCD的长AD＝9cm，宽AB＝3cm，将它折叠，使点D与点B重合．（注：该长方形的性质：两组对边平行且相等，每个内角都是90°）
（1）求证：△BEF是等腰三角形；
（2）求折痕EF的长．
【答案】（1）证明见解答；
（2）折痕EF的长为cm．
【分析】（1）由BC∥AD得∠BFE＝∠DEF，由折叠得∠BEF＝∠DEF，则∠BFE＝∠BEF，所以BE＝BF，则△BEF是等腰三角形；
（2）作EH⊥BF于点H，由∠A＝90°，AD＝9cm，AB＝3cm，BE＝DE，得AB2+AE2＝BE2，且AE＝9﹣DE＝9﹣BE，则32+（9﹣BE）2＝BE2，求得BE＝5，则BE＝BF＝5cm，AE＝4cm，所以EH＝AB＝3cm，BH＝AE＝4cm，则FH＝1cm，求得EF＝＝cm．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是长方形，
∴BC∥AD，
∴∠BFE＝∠DEF，
由折叠得∠BEF＝∠DEF，
∴∠BFE＝∠BEF，
∴BE＝BF，
∴△BEF是等腰三角形．
（2）解：作EH⊥BF于点H，则∠BHE＝∠CHE＝90°，
∵∠A＝90°，AD＝9cm，AB＝3cm，BE＝DE，
∴AB2+AE2＝BE2，且AE＝9﹣DE＝9﹣BE，
∴32+（9﹣BE）2＝BE2，
解得BE＝5，
∴BE＝BF＝5cm，AE＝9﹣5＝4（cm），
∵AD∥BC，AB∥EH，
∴EH＝AB＝3cm，BH＝AE＝4cm，
∴FH＝BF﹣BH＝5﹣4＝1（cm），
∴EF＝＝＝（cm），
∴折痕EF的长为cm．
23．（10分）根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
（1）①如果a﹣b＜0，那么a ＜ b；
②如果a﹣b＝0，那么a ＝ b；
③如果a﹣b＞0，那么a ＞ b．
（2）如（1）中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下面的问题：
①若2a+2b﹣1＞3a+b，比较a，b的大小；
②比较3a2﹣2b+2b2与3a2+b2﹣1的大小．
【答案】（1）①＜；②＝；③＞；
（2）①b＞a；②3a2﹣2b+2b2≥3a2+b2﹣1．
【分析】（1）①根据不等式的性质，可以求得a、b的大小关系；
②根据不等式的性质，可以求得a、b的大小关系；
③根据不等式的性质，可以求得a、b的大小关系；
（2）①根据2a+2b﹣1＞3a+b，移项并作差，然后即可得到a和b的关系；
②将两个多项式作差，然后与0比较大小，即可得到3a2﹣2b+2b2与3a2+b2﹣1的大小．
【解答】解：（1）①∵a﹣b＜0，
∴a﹣b+b＜0+b，
∴a＜b，
故答案为：＜；
②∵a﹣b＝0，
∴a﹣b+b＝0+b，
∴a＝b，
故答案为：＝；
③∵a﹣b＞0，
∴a﹣b+b＞0+b，
∴a＞b，
故答案为：＞；
（2）①∵2a+2b﹣1＞3a+b，
∴（2a+2b﹣1）﹣（3a+b）＞0，
∴2a+2b﹣1﹣3a﹣b＞0，
∴b﹣1﹣a＞0，
∴b﹣a＞1＞0，
∴b＞a；
②（3a2﹣2b+2b2）﹣（3a2+b2﹣1）
＝3a2﹣2b+2b2﹣3a2﹣b2+1
＝b2﹣2b+1
＝（b﹣1）2≥0，
∴3a2﹣2b+2b2≥3a2+b2﹣1．
24．（12分）[感知]：如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°且∠B＝90°．求证：DB＝DC．
[探究]：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求证：DB＝DC．
[应用]：如图3，四边形ABDC中，∠B＝45°，∠C＝135°，，求AB﹣AC的值．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）证明见解答过程；
（3）2．
【分析】（1）利用HL判断出△ADC≌△ADC，即可得出结论；
（2）先构造出△ACD≌△AED，得出DC＝DE，∠AED＝∠C，在判断出DE＝DB，即可得出结论；
（3）利用（2）结论得出DE＝DB，再判断出∠BDE＝90°，利用勾股定理求出BE即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，
∴∠C＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAD，
∵AD＝AD，
∴△ACD≌△ABD（AAS），
∴BD＝CD；
（2）证明：如图2，在AB边上取点E，使AC＝AE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD，
∵AD＝AD，AC＝AE，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴DC＝DE，∠AED＝∠C，
∵∠C+∠B＝180°，∠AED+∠DEB＝180°，
∴∠DEB＝∠B，
∴DE＝DB，
∴DB＝DC；
（3）解：如图3，连接AD，在AB上取一点E使AE＝AC，
同（2）的方法得，AE＝AC，CD＝DE＝BD＝，
∴∠DEB＝∠B＝45°，
∴∠BDE＝90°，
根据勾股定理得，BE＝＝2，
∴AB﹣AC＝BE＝2，
故答案为：2．