2022-2023学年浙江省杭州市萧山区高桥初中教育集团九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年浙江省杭州市萧山区高桥初中教育集团九年级（上）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省杭州市萧山区高桥初中教育集团九年级（上）期中数学试卷  一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）   在一个装有黑色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是(    )A. 必然事件 B. 不确定事件 C. 不可能事件 D. 无法判断   二次函数图像与轴的交点坐标是(    )A.  B.  C.  D.    在不透明口袋中装有个红色小球和个黑色小球只有颜色不同，则从中摸出一个球为红色小球的概率是(    )A.  B.  C.  D.    抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得的抛物线表达式是(    )A.  B.  C.  D.    如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题：投篮次数投中次数估计这位同学投篮一次，投中的概率约是精确到(    )A.  B.  C.  D.   若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是(    )A.  B.  C.  D.   同一根细铁丝可以折成边长为的等边三角形，也可以折成面积为的长方形．设折成的长方形的一边长为，则可列方程为(    )A.  B.  C.  D.   如图，在正方形网格中，线段绕点旋转一定的角度后与线段重合、均为格点，的对应点是点，若点的坐标为，点的坐标为，则旋转中心点的坐标为(    )A.
B.
C.
D. 或  设一元二次方程的两实数根分别为，且，则、满足(    )A.  B.  C.  D. 已知二次函数为常数，则对如下两个结论的判断正确的是(    )
不论为何值，函数图像的顶点始终在一条直线上；
当时，随的增大而增大，则的取值范围为．A. 两个都对 B. 两个都错 C. 对错 D. 错对 二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）在同一平面内，已知圆的半径为，一点到圆心的距离是，则这点在______填写“圆内”或“圆上”或“圆外”．学校组织秋游，安排给九年级辆车，小明和小慧都可以从这辆车中任选一辆搭乘．则小明和小慧同车的概率为______．如图，是的直径，弦垂足为若，则的半径为______．
 抛物线的对称轴是直线______ ．在平面直角坐标系中，以点为圆心、为半径的圆与坐标轴恰好有三个公共点，那么的值为．已知二次函数，若，是该二次函数图象上的两点，且，则实数的取值范围为______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点，点的坐标分别为，，将绕点顺时针旋转得到．
画出；
直接写出点和点的坐标．
本小题分
在平面直角坐标系中，二次函数都是常数的图象经过点和．
当时，求的取值范围；
已知点在该函数的图象上，且，求点的坐标．本小题分
如图，是的直径，点，是上的点，且，分别与，相交于点，．
求证：点为的中点；
若，，求的直径．
本小题分
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与轴交于点、点在点左侧．
求二次函数的解析式及顶点坐标；
求，两点的坐标，并根据图象直接写出当时，自变量的取值范围．
本小题分
为满足即将到来的春节市场需求，某超市购进一种品牌的食品，每盒进价为元．根据往年销售经验发现：当售价定为每盒元时，每天可卖出盒，每降价元，每天可多卖出盒．超市规定售价不低于元盒，不高于元盒．
求每天的销售利润元与每盒降价元之间的函数关系式注明自变量的取值范围；
当每盒售价为多少元时，每天的销售利润最大？
若要使每天的销售利润不低于元，那么每盒的售价应定在什么范围？本小题分
已知关于的二次函数．
当，时，求该函数图象的对称轴及顶点坐标．
在的条件下，为该函数图象上的一点，若关于原点的对称点也落在该函数图象上，求的值．
当该函数图象经过点时，若，是该函数图象上的两点，试比较与的大小．本小题分
如图，正方形边长为，点在对角线上运动不与点，重合，连接，作，交直线于点．
判断线段，的数量关系，并说明理由．
当时，求的长．
设线段，，，围成的图形面积为，的面积为，求的最值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：在一个装有黑色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是不可能的，
因而这是一个不可能事件．
必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；
不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；
不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
解决本题要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念；一定不发生的事件叫不可能事件．
 2.【答案】 【解析】解：将代入得，
抛物线与轴交点坐标为，
故选：．
将代入解析式求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 3.【答案】 【解析】解：袋子中球的总数为，红球有个，则摸出红球的概率为，
故选：．
红球的个数除以球的总数即为所求的概率
本题主要考查概率公式的知识点，解答本题的关键是熟练掌握概率公式：概率所求情况数与总情况数之比．
 4.【答案】 【解析】解：将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得的抛物线表达式为，
故选：．
根据左加右减，上加下减的平移变换规律求解即可．
本题考查了二次函数图象的平移变换规律，熟练掌握二次函数图象平移变换规律是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：根据题意得：
，
，
，
，
，
，
，
由此，估计这位同学投篮一次，投中的概率约是，
故选：．
计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率．
此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．
 6.【答案】 【解析】解：，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
，
．
故选：．
由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据点，，到对称轴的距离大小关系求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
 7.【答案】 【解析】解：边长为的等边三角形的周长为，
即铁丝的长度为，
设折成的长方形的一边长为，则长方形的另一边长为，
长方形的面积为，
．
故选：．
先根据等边三角形的性质得到铁丝的长度为，设折成的长方形的一边长为，则长方形的另一边长为，然后根据长方形的面积公式列方程即可．
本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三条边都相等，三个内角都相等，且都等于也考查了一元二次方程的应用．
 8.【答案】 【解析】解：作、的垂直平分线交于点，

点即为旋转中心，，
故选：．
画出平面直角坐标系，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
本题考查坐标与图形变换旋转，解题关键在于理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
 9.【答案】 【解析】解：一元二次方程的解为，，
二次函数与轴的交点坐标为，．
依照题意，画出函数图象，如图所示．
观察图形，可知：．
故选：．
依照题意，画出图形，利用数形结合，即可得出、满足的条件．
本题考查了一元二次方程的解，依照题意，画出图形是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：，
抛物线顶点坐标为，
抛物线顶点在直线上，正确．
抛物线开口向上，顶点坐标为，
时，随增大而减小，时，随增大而增大，
当时，随的增大而增大，
，不正确．
故选：．
由二次函数解析式可得抛物线顶点坐标，从而判断，由抛物线开口方向及顶点坐标可得随增大而增大时的取值范围，从而判断．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
 11.【答案】圆外 【解析】解：，
点在圆外，
故答案为：圆外．
根据点和圆的位置关系得出即可．
本题考查了点和圆的位置关系，能熟记点和圆的位置关系的内容是解此题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：列表如下三辆车分别用，，表示：  所有等可能的情况有种，其中小明和小慧同车的情况有种，
则．
故答案为：．
列举出所有情况，看在同一辆车的情况数占总情况数的多少即可．
此题考查了利用树状图求概率；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．得到在同一辆车的情况数是解决本题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：如图，连接．

，
．
设，则．
是的直径，弦垂足为，
．
在中，，
．
．
．
．
的半径为．
故答案为：．
如图，连接设，则，根据垂径定理，由是的直径，弦垂足为，得再根据勾股定理，在中，，得，从而求得，进而解决此题．
本题主要考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理以及勾股定理是解决本题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：

由公式得，
抛物线的对称轴为．
先把抛物线的方程变为，由公式得抛物线的对称轴为．
本题考查抛物线的对称轴的求法，同学们要熟练记忆抛物线的对称轴公式．
 15.【答案】或 【解析】解：点坐标为，
点到轴的距离为，到轴的距离为，
当与轴相切时，与轴有个交点，圆与坐标轴恰好有三个公共点，此时；
当经过原点时，圆与坐标轴恰好有三个公共点，此时，
综上所述，的值为或．
故答案为或．
利用点的坐标得到点到轴的距离为，到轴的距离为，根据直线与圆的位置关系，当与轴相切时，满足条件，易得此时；当经过原点时，满足条件，利用勾股定理计算出此时的值．
本题考查了直线与圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和相交；直线和相切；直线和相离．
 16.【答案】 【解析】解：，是函数的图象上的两点，且，
，
化简整理得，，
，
实数的取值范围为．
故答案为：．
将，代入二次函数解析式即可得出的取值范围．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意列出不等式是解题的关键．
 17.【答案】解：如图，即为所求．

由图可得，点的坐标为，点的坐标为． 【解析】根据旋转的性质作图即可．
由图可得出答案．
本题考查作图旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
 18.【答案】解：将，代入得：，
解得：，
这个函数的解析式为：；
把代入得，，
的取值范围是；
点在该函数的图象上，
，
，
，
解得，，
点的坐标为． 【解析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，求得解析式上解题的关键．
利用待定系数法求二次函数解析式，然后利用二次函数的性质得出函数值的取值范围；
根据题意得出，再根据点在函数图象上，联立方程，解方程即可求得．
 19.【答案】解：证明：是的直径，
，
，
，
，
，
即点为的中点；
，
，
，
，
，
，
，
的直径为． 【解析】利用圆周角定理得到，再证明，然后根据垂径定理得到点为的中点；
根据垂径定理得到，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
 20.【答案】解：将代入得，
，
，
，
顶点坐标为；
令得，
解得，，
，，
当时，自变量的取值范围是或． 【解析】将点的坐标代入二次函数，求出，则可求出抛物线的解析式，由解析式可求出顶点坐标；
令，求出或，则可求出，的坐标，由图象可求出自变量的取值范围．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与轴的交点，解题的关键是确定函数图象与轴的交点．
 21.【答案】解：；
对解析式进行配方，得．
，
当时，，
答：当每盒售价定为元时，每天的利润最大；
由，
解得，，
根据函数图象可知，时，大于或等于，
答：每盒的售价不高于元，不低于元． 【解析】销售利润销售一盒的利润销售量，每盒降价元，每盒的利润减少元，向量增加元，据此解答；
将上步所得函数关系式化为顶点式，可得，，根据二次函数的图象和性质即可解答；
由，得，，再结合二次函数的图象和性质即可解答．
本题考查了二次函数的运用．关键是根据题意列出函数关系式，运用二次函数的性质解决问题．
 22.【答案】解：当，时，
，
该函数图象的顶点坐标是，对称轴为直线；
点关于原点对称的点的坐标是，
则，
解得，；
函数的图象经过点，
，
，
，
函数的对称轴为直线，
当时，，
，，，是该函数图象上的两点，
，
当时，
，
，，，是该函数图象上的两点，
． 【解析】将、的值代入函数解析式即可；
根据中的结论，即可求得的值；
根据题意和二次函数的性质，利用分类讨论的数学思想即可求得与的大小．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、关于原点对称的点的坐标，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
 23.【答案】解：，理由是：
如图，过作于，过作于，

四边形是正方形，
，，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
≌，
；
如图，过作于，过作于，连接，

，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，，
≌，
，
，
，
；
如图，连接，过作于，于，

设，则，，，
由知：≌，
，
，
当时，有最大值是． 【解析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形全等的性质和判定等等知识的综合运用，熟练掌握正方形的性质是关键．
过作于，过作于，证明四边形是正方形，得，，再证明≌，则；
如图，作辅助线，证明是等腰直角三角形，得，证明≌，再由等腰三角形的性质可得的长；
如图，作辅助线，构建三角形全等，设，则，，，根据，则，配方后可得结论．