人教A版 (2019)必修 第二册10.3 频率与概率精品当堂检测题

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考法一 频率与概率
【例1】（2024新疆和田）抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件“正面向上”，则下列说法正确的是（ ）
A．抛掷硬币次，事件必发生次
B．抛掷硬币次，事件不可能发生次
C．抛掷硬币次，事件发生的频率一定等于
D．随着抛掷硬币次数的增多，事件发生的频率逐渐稳定在附近
【答案】D
【解析】不管抛掷硬币多少次，事件A发生的次数是随机事件，故ABC错误；
随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小；故选：D
【一隅三反】
1．（2023新疆喀什）给出下列四个命题：
①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品；
②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；
④抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是.
其中正确命题有（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】D
【解析】对于①，实验中，出现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动，并不是一个确定的值，
一批产品次品率为0.05，则从中任取200件，次品的件数在10件左右，而不一定是10件，①错误；
对于②，100次并不是无穷多次，只能说明这100次试验出现正面朝上的频率为，故②错误；
对于③，根据定义，随机事件的频率只是概率的近似值，它并不等于概率，③错误；
对于④，频率估计概率，频率为出现的次数与重复试验的次数的比值，
抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是，④正确.
故选：D.
2．（2023高一单元测试）将一枚硬币掷10次，正面向上出现了6次，若用表示正面向上这一事件，则（ ）
A．发生的概率为B．发生的概率接近
C．在这十次试验中发生的频率为D．在这十次试验中发生的频率为6
【答案】C
【解析】概率是频率的稳定值，发生的概率等于，故AB错误；
在这十次试验中发生的频率为，故C正确，D错误.故选：C
考法二 频率估计概率
【例2-1】（2023黑龙江）（多选）“今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%”，下列说法正确的是（ ）
A．北京今天一定降雨，而上海一定不降雨
B．上海今天可能降雨，而北京可能没有降雨
C．北京和上海都可能没降雨
D．北京降雨的可能性比上海大
【答案】BCD
【解析】北京的降雨概率80%大于上海的降雨概率20%，说明北京降雨的可能性比上海大，也可能都降雨，也可能都没有降雨，但是不能确定北京今天一定降雨，上海一定不降雨，故只有A不正确．
故选：BCD
【例2-2】（2023海南）每年4月15日为全民国家安全教育日，某学校党委组织党员学习《中华人民共和国国家安全法》，为了解党员学习的情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的学习时间（单位：时）进行调查，统计数据如下表所示：
则从该校随机抽取1名党员，估计其学习时间不少于6小时的概率为（ ）
A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8
【答案】B
【解析】由统计表可知，样本容量为人，学习时间不少于6小时有人，
所以学习时间不少于6小时的概率为.故选：B
【一隅三反】
1．（2024北京）（多选）下列说法中错误的是（ ）
A．抛掷硬币出现正面向上的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上
B．如果某种彩票的中奖概率为，那么买10张这种彩票一定能中奖
C．在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过上抛均匀塑料圆板并让运动员猜着地时是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做公平
D．一个骰子掷一次得到点数2的概率是，这说明一个骰子掷6次会出现一次点数2
【答案】ABD
【解析】概率反映的是随机性的规律，但每次试验出现的结果具有不确定性，因此A、B、D错误；抛掷均匀塑料圆板出现正面与反面的概率相等，是公平的，因此C正确.
故选：ABD.
2．（2023辽宁丹东）手机支付已经成为人们常用的付费方式.某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下：
从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】在随机抽取的100名顾客中，顾客年龄在内且未使用手机支付的共有（人），所以从该超市随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为.
故选：B.
3．（2023重庆渝中·期末）某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有100名志愿者服用此药．结果：体重减轻的人数为59人，体重不变的21人，体重增加的20人．如果另外有一人服用此药，请你估计这个人体重减轻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可知：体重减轻的频率为，用频率估计概率可知：体重减轻的概率为.故选：A.
考法三 游戏的公平性
【例3】（2024湖南）下面有三个游戏，其中不公平的游戏是（ ）
A．游戏1和游戏3 B．游戏1C．游戏2D．游戏3
【答案】D
【解析】对于游戏1，样本点共有12个，取出的2个球同色包含的样本点有6个，其概率是，取出的2个球不同色的概率也是，故游戏1公平；
对于游戏2，样本点共有2个，分析易知，取出的球是黑球和取出的球是白球的概率都是，故游戏2公平；
对于游戏3，样本点共有12个，取出的2个球同色的概率是，取出的2个球不同色的概率是，故此游戏不公平，乙胜的概率大.
故选D.
【一隅三反】
1．（2024湖北）一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子（一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色），跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的概率为，我赢的概率也是，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平.
【答案】见解析.
【解析】把卡片六个面的颜色记为，，，，，，
其中，G表示绿色，B表示蓝色；和是两面颜色不一样的那张卡片的颜色.
游戏所有的结果可以用如图表示.
不难看出，此时，样本空间中共有6个样本点，朝上的面与朝下的面颜色不一致的情况只有2种，因此乙赢的概率为.因此，这个游戏不公平.
2（2024河北）下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放同地取球，分别计算三个游戏中甲获胜的概率，你认为哪个游戏是公平的？
【答案】；；；游戏1和游戏3是公平的
【解析游戏1中，甲获胜的概率为；游戏2中，甲获胜的视率为；游戏3中，甲获胜的概率为，所以游戏1和游戏3是公平的.
考法四 随机模拟
【例4】（2023广东佛山·阶段练习）规定：投掷飞镖次为一轮，若次中至少两次投中环以上为优秀．根据以往经验某选手投掷一次命中环以上的概率为．现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生到之间的随机整数，用、表示该次投掷未有环以上，用、、、、、、、表示该次投掷在环以上，经随机模拟试验产生了如下组随机数：
据此估计，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可知，随机模拟试验产生了如下组随机数中，
代表“次中至少两次投中环以上”的数组共组，
因此，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为.
故选：A.
【一隅三反】
1．（2024福建）在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（ ）.
A．0.25B．0.4C．0.6D．0.75
【答案】D
【解析】由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染，随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989共5个，故三只豚鼠都没被感染的概率为，则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为
故选：D
2．（2024山东）池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0~9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数：
据此估计四天中恰有三天下雨的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由表中数据可得四天中恰有三天下雨的有9533，9522，0018，0018，3281，8425，2436，0753，共8组，所以估计四天中恰有三天下雨的概率为.故选：B.
3．（2024黑龙江哈尔滨）进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下：
116 785 812 730 134 452 125 689 024 169
334 217 109 361 908 284 044 147 318 027
若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可知表示今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有：
116 812 730 217 109 361 284 147 318 027共10个，
故今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是，
故选：B
单选题
1．（2023陕西咸阳）甲同学在数学探究活动中做抛硬币实验，共抛掷了2000次，其中正面朝上的有1034次，则下列说法正确的是（ ）
A．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.517
B．甲同学的实验中，反面朝上的频率为0.483
C．抛掷一枚硬币，反面朝上的概率小于0.5
D．甲同学的实验中，正面朝上的频率接近0.517
【答案】B
【解析】甲同学的实验中，正面朝上的频率为0.517，反面朝上的频率为0.483，故B正确；
抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的概率均为0.5，为定值，故AC错误；
甲同学的实验中，正面朝上的频率就是0.517，而不是接近0.517，故D错误.
故选：B
2．（2023新疆）从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
则取到号码为奇数的频率是（ ）
A．0.53B．0.51C．0.49D．0.47
【答案】B
【解析】由题意知，取到号码为奇数的频率为.故选：B.
3．（2024河南）某地一种植物一年生长的高度如下表：
则该植物一年生长在[30，40）内的频率是（ ）
A．0.80B．0.65
C．0.40D．0.25
【答案】C
【解析】根据表格中的数据，可得该植物一年生长在内的频率.
故选：C.
4．（2023广东惠州）手机支付已经成为人们常用的付费方式，某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下，
从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可知：该顾客年龄在内且未使用手机支付的频率为，
用频率估计概率，估计该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为.
故选：C.
5．（2024广东）张明与张华两人做游戏,下列游戏中不公平的是( )
①抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则张华获胜;
②同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则张华获胜;
③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则张华获胜;
④张明、张华两人各写一个数字6或8,如果两人写的数字相同张明获胜,否则张华获胜.
A．①②B．②C．②③④D．①②③④
【答案】B
【解析】①抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数和偶数是等可能的，均为，所以公平；
②中,恰有一枚正面向上包括(正,反),(反,正)两种情况,而两枚都正面向上仅为(正,正),因此②中游戏不公平.
③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色和黑色是等可能的，均为，所以公平；
④张明、张华两人各写一个数字6或8,一共四种情况(6,6),(6,8),(8,6),(8,8)，两人写的数字相同和不同是等可能的，均为，所以公平；.
故选B.
6．（2024·河南）三国时期，诸葛亮曾经利用自身丰富的气象观测经验，提前三天准确地预报出一场大雾，并在大雾的掩护下，演出了一场“草船借箭”的好戏，令世人惊叹.诸葛亮应用的是（ ）
A．动力学方程的知识B．概率与统计的知识
C．气象预报模型的知识D．迷信求助于神灵
【答案】B
【解析】诸葛亮曾经利用自身丰富的气象观测经验，提前三天准确地预报出一场大雾，
属于气象业务实践中的经验预报法，利用的是概率与统计的知识.
并未应用到动力学方程的知识和气象预报模型的知识.
故选：B.
7（2024新疆）下列说法正确的是（ ）
A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率
B．某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票一定能中奖
C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为
D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水
【答案】A
【解析】对于A, 随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率，概率是频率的稳定值，故A正确，
对于B, 某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票不一定中奖，故B错误，
对于C, 连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则在100此抛硬币的实验中掷一枚硬币出现反面的频率为，而掷一枚硬币出现反面的概率为，故C错误，
对于D，某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的明天会降水的可能性为70%.故D错误，
故选：A
8．（2024湖北）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．我们通过设计模拟实验的方法求概率，利用计算机产生之间的随机数：
425123423344144435525332152342
534443512541135432334151312354
若用1，3，5表示下雨，用2，4表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设事件“三天中至少有两天下雨”，20个随机数中，
至少有两天下雨有，
即事件发生了13次，用频率估计事件的概率近似为．
故选：D．
多选题
9．（2023高一下·全国·课时练习）利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验，在重复试验次数分别为20，100，500时各做5组试验，得到事件“一枚正面朝上，一枚反面朝上”发生的频数和频率情况如下表：
根据以上信息，下面说法正确的有（ ）
A．试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性
B．试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小，所以试验次数越多越好
C．随机事件发生的频率会随着试验次数的增加而逐渐稳定在一个固定值附近
D．我们要想得到某事件发生的概率，只需要做一次随机试验，得到事件发生的频率即为概率
【答案】ABC
【解析】对于A选项：根据表中数据得到试验次数相同时，频率可能不同，则说明随机事件发生的频率具有随机性，所以A选项正确；
对于B选项：分别对比每个序号重复试验次数分别为20，100，500的频率可得试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小，则试验次数越多越好，所以B选项正确；
对于C选项：根据表中数据得到随机事件发生的频率会随着试验次数的增加而逐渐稳定在一个固定值附近，所以C选项正确；
对于D选项：我们要想得到某事件发生的概率，需要进行多次重复试验才能得到概率的估计值，所以D选项错误；
故选：ABC.
10．（2023辽宁朝阳·期中）下列说法不正确的是（ ）
A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖
B．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值
C．连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地不均匀
D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水
【答案】AD
【解析】中奖概率为，并不是买1000张这种彩票一定能中奖，故A错误；结合概率的概念即可判断B项正确；C项中说的是“可以认为”，故C项正确：降水概率为70%就是降水的可能性有70%，故D错误.
故选：AD.
11．（2024湖南）下列说法不正确的是（ ）
A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛场，甲胜场
B．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前个病人没有治愈，则第个病人一定治愈
C．随机试验的频率与概率相等
D．用某种药物对患有胃溃疡的名病人治疗，结果有人有明显疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其会有明显疗效的可能性为
【答案】ABC
【解析】概率只是说明事件发生的可能性大小，其发生具有随机性，则A，B是错的.频率受试验次数的影响，不稳定，但当试验次数较多时频率会稳定在概率附近，则C错误，D正确.
故选：ABC.
12．（2024广东佛山市 ）下列说法中错误的有（ ）
A．任何事件的概率总是在（0，1）之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
【答案】ABD
【解析】必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，故A错；
频率是由试验的次数决定的，故B错；
概率是频率的稳定值，故C正确，D错.
故选：ABD.
填空题
13．（2024上海虹口 ）某人抛掷一枚硬币100次，结果正面朝上53次，设正面朝上为事件A，则事件A出现的频率为 ．
【答案】/0.53
【解析】事件A出现的频率为.故答案为：
14．（2024湖北荆门）在一次羽毛球男子单打比赛中，运动员甲、乙进入了决赛．比赛规则是三局两胜制．根据以往战绩，每局比赛甲获胜概率为0.4，乙获胜概率为0.6，利用计算机模拟实验，产生内的整数随机数，当出现随机数1或2时，表示一局比赛甲获胜，现计算机产生15组随机数为：421，231，344，114，522，123，354，535，425，232，233，351，122，153，533，据此估计甲获得冠军的概率为 ．
【答案】
【解析】由计算机产生的15组数据中，甲获得冠军的数据有421，231，114，522，123，232，122，共7组，据此估计甲获得冠军的概率为．故答案为：.
15．（2024河北）假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
据此估计，该运动员两次掷飞镖恰有一次正中靶心的概率为 ．
【答案】/0.5
【解析】两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1，2，3，4中的之一.
它们分别是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35共10个，因此所求的概率为=0.5.
故答案为：.
16（2024·北京）某班有42名学生，其中选考物理的学生有21人，选考地理的学生有14人，选考物理或地理的学生有28人，从该班任选一名学生，则该生既选考物理又选考地理的概率为_______________.
【答案】
【解析】设选考物理的学生为集合，选考地理的同学为集合，
由题意可得：，
即，解得：，
所以该班有人既选考物理又选考地理，
所以从该班任选一名学生，则该生既选考物理又选考地理的概率为，
故答案为：.
解答题
17．（2023甘肃）根据统计，某篮球运动员在5000次投篮中，命中的次数为2348次．
(1)求这名运动员的投篮命中率；
(2)若这名运动员要想投篮命中10000次，则大概需要投篮多少次？（结果精确到100）
(3)根据提供的信息，判断“该篮球运动员投篮3次，至少能命中1次”这一说法是否正确．
【答案】(1)
(2)
(3)不正确
【解析】（1）根据题意，某篮球运动员在5000次投篮中，命中的次数为2348次，
则这名运动员的投篮命中率；
（2）若这名运动员要想投篮命中10000次，则有；
（3）虽然这名运动员的投篮命中率，但由概率的定义，“该篮球运动员投篮3次，至少能命中1次”说法不正确.
18．（2024河南）对一批西装进行了多次检查，并记录结果如下表：
(1)根据表中数据，计算并填写每次检出次品的频率；
(2)从这批西装中任意抽取一件，抽到次品的经验概率是多少？
(3)如果要销售1000件西装，至少要额外准备多少件正品西装以供买到次品的顾客调换？
【答案】(1)0.1，0.07，0.06，0.075，0.07，0.075；
(2)0.075；
(3)75件.
【解析】（1）利用频率的计算公式可得，
每次次检出次品的频率即为当次检出次品件数除以本次抽取件数，
所以从左到右的6次检测对应的频率分别为：
，，，
，，
所以，对应的频率表格如下：
（2）从这批西装中任意抽取一件，抽到次品的经验概率约为6次检出次品频率的稳定值，
即，
所以抽到次品的经验概率约为；
（3）由（2）可知，销售1000件西装大约有件次品，
所以，应当准备75件正品西装以供买到次品的顾客调换.
19．（2024广西）已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等）
现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.
（1）由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来.
（2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）不公平，理由见解析.
【解析】（1）由题意知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数共有20个.
分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456.
（2）不公平由（1）知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”有20个，记“甲参加数学竞赛”为事件A，记“乙参加数学竞赛”为事件B.则事件A含有基本事件有：124，134，234，126，136，146，156，236，246，256，346，356，456共13个.
由古典概型计算公式，得
，
又A与B对立，所以，
所以.故选取规则对甲、乙两名学生不公平.
20．（2023·全国·模拟预测）鲁班锁是一种广泛流传于中国民间的智力玩具，相传由春秋末期到战国初期的鲁班发明，它看似简单，却凝结着不平凡的智慧，易拆难装，十分巧妙，每根木条上的花纹是卖点，也是手工制作的关键．某玩具公司开发了甲、乙两款鲁班锁玩具，各生产了100件样品，样品分为一等品、二等品、三等品，根据销售部市场调研分析，得到相关数据如下（单件成本利润率＝利润÷成本）：
甲款鲁班锁玩具
乙款鲁班锁玩具
(1)用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件，求该产品是一等品的概率；
(2)若甲、乙两款鲁班锁玩具的投资成本均为20000元，且每件的投资成本是相同的，分别求投资这两款鲁班锁玩具所获得的利润．
【答案】(1)
(2)甲鲁班锁玩具所获得的利润1400元；乙鲁班锁玩具所获得的利润1200元
【解析】（1）用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件，该产品是一等品的概率为．
（2）甲款鲁班锁玩具一等品的利润为（元），
二等品的利润为（元），
三等品的利润为（元），
故100件甲款鲁班锁玩具的利润为（元）．
乙款鲁班锁玩具一等品的利润为（元），
二等品的利润为（元），
三等品的利润为（元），
故100件乙款鲁班锁玩具的利润为（元）．
21．（2023河北唐山）近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，常用身体质量指数BMI来衡量人体胖瘦程度.其计算公式是：，成年人的BMI数值标准是：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<24为正常；24≤BMI<28为偏胖；BMI≥28为肥胖.某公司随机抽取了100个员工的体检数据，将其BMI值分成以下五组：，，，，，得到相应的频率分布直方图.

(1)求的值，并估计该公司员工BMI的样本数据的众数与中位数（精确到0.1）；
(2)该公司共有1200名员工，用频率估计概率，估计该公司员工BMI数值正常的人数.
【答案】(1)a=0.08，众数为；中位数为
(2)
【解析】（1）根据频率分布直方图可知组距为4，
所以，解得.
该公司员工的样本数据的众数为22 .
设该公司员工的样本数据的中位数为，
则，解得.
故该公司员工的样本数据的中位数约为.
（2）因为成年人的数值为正常，
所以该公司员工数值正常的概率为
，
所以该公司员工数值正常的人数为.
22．（2023云南）同时抛掷两枚均匀的骰子，观察并记录两枚骰子掷出的点数之和．
(1)两枚骰子掷出的点数之和有多少种可能？
(2)重复抛掷两枚骰子次，根据试验结果，分别估计“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的概率；
(3)汇总全班同学的数据，得到至少次试验结果，用上述结果对上述概率重新进行估计；
(4)为了对上述事件的概率给出比较好的估计，你需要怎么做？
(5)你认为“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的概率相等吗？
【答案】(1)有，，，，，，，，，，共种可能
(2)分别约为，，
(3)分别约为，，，且比第（2）问结果更加接近，，
(4)可增加重复试验的次数
(5)不相等
【解析】（1）同时抛掷两枚均匀的骰子，经过观察、记录，两枚骰子掷出的点数之和有，，，，，，，，，，，共有种可能.
实际上，由古典概型知识，抛掷两枚均匀的骰子，用有序数对将可能出现的点数表示为：
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，共种可能，
并可由此求得两枚骰子掷出的点数之和有，，，，，，，，，，，共有种可能.
（2）重复抛掷两枚骰子次，分别观察、记录，
记“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的频数分别为，，，（不同同学得到的结果可能会不一样）.
由此可以分别求出“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的频率分别为（），（），（），（不同同学得到的结果可能会不一样）.
由频率估计概率，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的概率分别约为（），（），（），（不同同学得到的结果可能会不一样）.
实际上，由古典概型知识可以求得，
“掷出的点数之和为”有，，共种可能，概率为，故，
“掷出的点数之和为”有，，，，，共种可能，概率为，故，
“掷出的点数之和为”有，，共种可能，概率为，故.
（3）汇总全班同学的数据，对“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”进行估计，所得结果会更加接近，，（随着重复试验次数的增加，频率逐渐稳定于概率）.
（4）为了对上述事件的概率给出比较好的估计，可以增加重复试验的次数，也可以采用计算机模拟试验的方法实现.
（5）由试验结果可知，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的概率不相等.
实际上，可以由第（2）问中古典概型计算结果进行确认.
学习时间（时）
党员人数
8
13
9
10
10
顾客年龄（岁）
20岁以下
70岁及以上
手机支付人数
3
12
14
9
5
2
0
其他支付方式人数
0
0
2
13
27
12
1
取球方式
结果
游戏1
有3个黑球和1个白球，游戏时，不放回地依次取2个球
取出的2个球同色→甲胜；取出的2个球不同色→乙胜
游戏2
有1个黑球和1个白球，游戏时，任取1个球.
取出的球是黑球→甲胜；取出的球是白球→乙胜.
游戏3
有2个黑球和2个白球，游戏时，不放回地依次取2个球.
取出的2个球同色→甲胜；取出的2个球不同色→乙胜.
游戏1
游戏2
游戏3
袋子中球的数量和颜色
1个红球和1个白球
2个红球和2个白球
3个红球和1个白球
取球规则
取1个球
依次取出2个球
依次取出2个球
获胜规则
取到红球→甲胜
两个球同色→甲胜
两个球同色→甲胜
取到白球→乙胜
两个球不同色→乙胜
两个球不同色→乙胜
9533
9522
0018
7472
0018
3879
5869
3281
7890
2692
8280
8425
3990
8460
7980
2436
5987
3882
0753
8935
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
11
10
5
8
5
12
19
10
11
9
高度/cm
[10，20）
[20，30）
[30，40）
[40，50）
[50，60]
频数
20
30
80
40
30
顾客年龄（岁）
20岁以下
70岁及以上
手机支付人数
3
12
14
9
5
2
0
其他支付方式人数
0
0
2
13
27
12
1
序号
频数
频率
频数
频率
频数
频率
1
12
0.6
56
0.56
261
0.522
2
9
0.45
50
0.5
241
0.482
3
13
0.65
48
0.48
250
0.5
4
7
0.35
55
0.55
258
0.516
5
12
0.6
52
0.52
253
0.506
93
28
12
45
85
69
68
34
31
25
73
93
02
75
56
48
87
30
11
35
抽取件数
50
100
150
200
300
400
检出次品件数
5
7
9
15
21
30
检出次品频率
抽取件数
50
100
150
200
300
400
检出次品件数
5
7
9
15
21
30
检出次品频率
0.1
0.07
0.06
0.075
0.07
0.075
一等品
二等品
三等品
单件成本利润率
10%
8%
4%
频数
10
60
30
一等品
二等品
三等品
单件成本利润率
7.5%
5.5%
3%
频数
50
30
20