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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.3 频率与概率达标测试
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.3 频率与概率达标测试，共18页。试卷主要包含了频率与概率概念的辨析，频率与概率的计算，随机模拟，综合运用等内容，欢迎下载使用。
典例精讲
考点一 频率与概率概念的辨析
【例1】（2023·全国·高一专题练习）下列四个命题中真命题的个数为（ ）个
①有一批产品的次品率为，则从中任意取出件产品中必有件是次品；
②抛次硬币，结果次出现正面，则出现正面的概率是；
③随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率；
④掷骰子次，得点数为的结果有次，则出现点的频率为.
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2022·高一课时练习）下列说法中正确的是（ ）
A．当试验次数很大时，随机事件发生的频率接近概率
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
2．（2022·全国·高一专题练习）下列四个命题中正确的是（ ）
A．设有一批产品，其次品率为，则从中任取200件，必有10件是次品
B．做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面，因此出现正面的概率是
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D．抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是
3．（2022·高一课时练习）某地气象局预报说：明天本地降水的概率为80%，则下列解释正确的是（ ）
A．明天本地有80%的区域降水，20%的区域不降水
B．明天本地有80%的时间降水，20%的时间不降水
C．明天本地降水的可能性是80%
D．以上说法均不正确
4．（2022·全国·高一专题练习）（多选）对下面的描述：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A发生的概率；③频率是不能脱离具体的n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的说法有（ ）
A．①B．②C．③D．④
考点二 频率与概率的计算
【例2-1】（2023·高一课时练习）已知一个容量为20的样本，其数据具体如下：
10 8 6 10 13 8 10 12 11 7
8 9 11 9 12 9 10 11 12 11
那么频率为0.4的范围是（ ）
A．5.5~7.5B．7.5~9.5C．9.5~11.5D．11.5~13.5
【例2-2】（2023·全国·高一专题练习）根据统计，某篮球运动员在1000次投篮中，命中的次数为560次，则该运动员（ ）
A．投篮命中的频率为0.56B．投篮10次至少有5次命中
C．投篮命中的概率为0.56D．投篮100次有56次命中
【一隅三反】
1．（2022福建）抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是___________.
2．（2023·高一课时练习）某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中男婴数如下表：
（1）填写表中的男婴出生频率；（保留两位有效数字）
（2）这一地区男婴出生的概率约是______.
3．（2022·全国·高一专题练习）某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：
（1）该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？
（2）假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？
（3）假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？
（4）假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？
考点三 随机模拟
【例3-1】（2022春·福建宁德·高一统考期末）在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（ ）.
A．0.25B．0.4C．0.6D．0.75
【一隅三反】
1．（2022·全国·高一专题练习）某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：
812，832，569，683，271，989，730，537，925，907
由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
2．（2023西藏）在这个热“晴”似火的7月，多地持续高温，某市气象局将发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温37摄氏度以上的概率是．某人用计算机生成了20组随机数，结果如下：
若用0，1，2，3，4表示高温橙色预警，用5，6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·高一课时练习）手机支付已经成为人们常用的付费方式．某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下：
从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在且未使用手机支付的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023北京）试解释下面情况中的概率意义：
①某厂产品的次品率为；
②服用某种药物治愈某种疾病的概率为．
考点四 综合运用
【例4】（2022·高一课前预习）有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种:
A．猜“是奇数”或“是偶数”
B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”
C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”
请回答下列问题:
(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜?为什么?
(2)为了保证游戏的公平性,你认为应制定哪种猜数方案?为什么?
(3)请你设计一种其他的猜数方案,并保证游戏的公平性.
【一隅三反】
1．（2023广东）下面有三种游戏规则：袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球，
问其中不公平的游戏是( )
A．游戏1 B．游戏1和游戏3
C．游戏2 D．游戏3
2.（2022甘肃）如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
3．（2022·高一课时练习）某商场为提高服务质量，用简单随机抽样的方法从该商场调查了60名男顾客和80名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，结果如表所示．
(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率．
(2)估计顾客对该商场满意的概率．
(3)若该商场一天有2100名顾客，大约有多少人对该商场的服务满意？
(4)通过以上数据能否说明顾客对该商场的服务是否满意与性别有关？并说明理由．时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数
5544
9013
13520
17191
男婴数
2716
4899
6812
8590
男婴出生频率
____
____
____
____
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
0.8
0.95
0.88
0.92
0.89
0.91
116
785
812
730
134
452
125
689
024
169
334
217
109
361
908
284
044
147
318
027
顾客年龄岁
20岁以下
70岁及以上
手机支付人数
3
12
14
9
13
2
0
其他支付方式人数
0
0
2
11
31
12
1
游戏1
游戏2
游戏3
3个黑球和1个白球
1个黑球和1个白球
2个黑球和2个白球
取1个球，再取1个球
取1个球
取1个球，再取1个球
取出的两个球同色→甲胜
取出的球是黑球→甲胜
取出的两个球同色→甲胜
取出的两个球不同色→乙胜
取出的球是白球→乙胜
取出的两个球不同色→乙胜
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
满意
不满意
男顾客
50
10
女顾客
50
30
10.3 频率与概率（精讲）思维导图
典例精讲
考点一 频率与概率概念的辨析
【例1】（2023·全国·高一专题练习）下列四个命题中真命题的个数为（ ）个
①有一批产品的次品率为，则从中任意取出件产品中必有件是次品；
②抛次硬币，结果次出现正面，则出现正面的概率是；
③随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率；
④掷骰子次，得点数为的结果有次，则出现点的频率为.
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】对于①，一批产品的次品率即出现次品的概率，它表示的是产品中出现次品的可能性的大小，并非表示件产品中必有件次品，故①不是真命题；
对于②，抛次硬币，结果次出现正面，可知出现正面的频率是，而非概率，故②不是真命题；
对于③，随机事件发生的概率不随试验次数的多少而发生变化，是事件的一种固有属性，而随机事件发生的频率，会发生变化，随着试验次数的增加，频率会稳定于概率，但频率只是概率的近似值，并不表示概率就是频率，故③不是真命题；
对于④，掷骰子次，得点数为的结果有次，即次试验中，“出现点”这一事件发生了次，则出现点的频率为，故④为真命题.
综上所述，真命题个数为个.
故选：A.
【一隅三反】
1．（2022·高一课时练习）下列说法中正确的是（ ）
A．当试验次数很大时，随机事件发生的频率接近概率
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
【答案】A
【解析】A选项，根据频率的稳定性可知A选项正确.
B选项，频率与实验次数有关，B选项错误.
C选项，随机事件发生的频率不是这个随机事件发生的概率，C选项错误.
D选项，概率不是随机的，是确定的，D选项错误.
故选：A
2．（2022·全国·高一专题练习）下列四个命题中正确的是（ ）
A．设有一批产品，其次品率为，则从中任取200件，必有10件是次品
B．做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面，因此出现正面的概率是
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D．抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是
【答案】D
【解析】对于A，次品率是大量产品的估计值，并不是必有10件是次品，故A错误；
对于B，抛硬币出现正面的概率是，而不是，故B错误；
对于C，频率与概率不是同一个概念，故C错误；
对于D，利用频率计算公式求得频率，故D正确.
故选：D
3．（2022·高一课时练习）某地气象局预报说：明天本地降水的概率为80%，则下列解释正确的是（ ）
A．明天本地有80%的区域降水，20%的区域不降水
B．明天本地有80%的时间降水，20%的时间不降水
C．明天本地降水的可能性是80%
D．以上说法均不正确
【答案】C
【解析】选项A，B显然不正确，因为明天本地降水的概率为80%，不是说有80%的区域降水，也不是说有80%的时间降水，而是指降水的可能性是80%.
故选：C.
4．（2022·全国·高一专题练习）（多选）对下面的描述：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A发生的概率；③频率是不能脱离具体的n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的说法有（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】ACD
【解析】由频率和概率的意义知，频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小，故①正确；
由频率和概率的关系知，频率是概率的近似值，是通过大量试验得到的，而概率是频率的稳定值，是确定的理论值，故②错误，③④正确.
故选：ACD.
考点二 频率与概率的计算
【例2-1】（2023·高一课时练习）已知一个容量为20的样本，其数据具体如下：
10 8 6 10 13 8 10 12 11 7
8 9 11 9 12 9 10 11 12 11
那么频率为0.4的范围是（ ）
A．5.5~7.5B．7.5~9.5C．9.5~11.5D．11.5~13.5
【答案】C
【解析】5.5~7.5的频率为，
7.5~9.5的频率为，
9.5~11.5的频率为，
11.5~13.5的频率为，
所以C选项正确.
故选：C
【例2-2】（2023·全国·高一专题练习）根据统计，某篮球运动员在1000次投篮中，命中的次数为560次，则该运动员（ ）
A．投篮命中的频率为0.56B．投篮10次至少有5次命中
C．投篮命中的概率为0.56D．投篮100次有56次命中
【答案】A
【解析】由题意可知投篮命中的频率为，得到的频率可能比概率大，也可能小于概率，也可能等于概率，故A正确，C错误，
投篮10次或100次相当于做10次或100次实验，每一次的结果都是随机的，其结果可能一次没中，或者多次投中等，频率、概率只反映事件发生的可能性的大小，不能说明事件是否一定发生，故BD错误；
故选：A
【一隅三反】
1．（2022福建）抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是___________.
【答案】
【解析】抛掷一枚质地均匀的硬币，要么正面向上，要么反面向上，因此第999次出现正面朝上的概率是，
故答案为：
2．（2023·高一课时练习）某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中男婴数如下表：
（1）填写表中的男婴出生频率；（保留两位有效数字）
（2）这一地区男婴出生的概率约是______.
【答案】 0.49 0.54 0.50 0.50 0.50
【解析】（1）根据得：
1年内男婴出生频率为；
2年内男婴出生频率为；
3年内男婴出生频率为；
4年内男婴出生频率为；
（2）根据频率估计概率，频率的稳定值为，
所以，这一地区男婴出生的概率约是.
故答案为：；；；；.
3．（2022·全国·高一专题练习）某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：
（1）该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？
（2）假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？
（3）假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？
（4）假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？
【答案】（1）0.9；（2）270；（3）不一定击不中靶心；（4）不一定
【解析】（1）由题意得，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9.
（2）击中靶心的次数大约为.
（3）由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化.后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定击不中靶心.
（4）由概率的意义知，不一定.
考点三 随机模拟
【例3-1】（2022春·福建宁德·高一统考期末）在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（ ）.
A．0.25B．0.4C．0.6D．0.75
【答案】D
【解析】由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染，随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989共5个，故三只豚鼠都没被感染的概率为，则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为
故选：D
【一隅三反】
1．（2022·全国·高一专题练习）某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：
812，832，569，683，271，989，730，537，925，907
由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
【答案】A
【解析】由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心脏手术全部成功”的有： 569, 989，故2个，故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为.故选：A.
2．（2023西藏）在这个热“晴”似火的7月，多地持续高温，某市气象局将发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温37摄氏度以上的概率是．某人用计算机生成了20组随机数，结果如下：
若用0，1，2，3，4表示高温橙色预警，用5，6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有12个，分别为：
116, 812, 730, 452, 125, 217, 109, 361, 284, 147, 318, 027,
则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是：，
故选：A.
3．（2022·高一课时练习）手机支付已经成为人们常用的付费方式．某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下：
从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在且未使用手机支付的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在随机抽取的100名顾客中，顾客年龄在且未使用手机支付的共有人，所以从该超市随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在且未使用手机支付的概率为．
故选：A.
4．（2023北京）试解释下面情况中的概率意义：
①某厂产品的次品率为；
②服用某种药物治愈某种疾病的概率为．
【答案】①答案见解析；②答案见解析．
【解析①“某厂产品的次品率为”是指任取一件产品为次品的可能性为，
即若从该产品中任取件产品，其中可能有件次品，而不是一定有件次品；
②“服用某种药物治愈某种疾病的概率为”是一个随机事件，
概率为说明这种药治愈此种疾病的可能性是，但不是表示其一定能治愈，
只是治愈的可能性较大．
考点四 综合运用
【例4】（2022·高一课前预习）有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种:
A．猜“是奇数”或“是偶数”
B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”
C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”
请回答下列问题:
(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜?为什么?
(2)为了保证游戏的公平性,你认为应制定哪种猜数方案?为什么?
(3)请你设计一种其他的猜数方案,并保证游戏的公平性.
【答案】(1) 应选方案B ,猜“不是4的整数倍数”;(2) 应当选择方案A;
(3) 可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”
【解析】 (1)如题图,方案A中“是奇数”或“是偶数”的概率均为=0.5;方案B中“不是4的整数倍数”的概率为=0.8,“是4的整数倍数”的概率为=0.2;方案C中“是大于4的数”的概率为=0.6,“不是大于4的数”的概率为=0.4.乙为了尽可能获胜,应选方案B,猜“不是4的整数倍数”.
(2)为了保证游戏的公平性,应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5,从而保证了该游戏是公平的.
(3)可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”,此方案也可以保证游戏的公平性.
【一隅三反】
1．（2023广东）下面有三种游戏规则：袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球，
问其中不公平的游戏是( )
A．游戏1 B．游戏1和游戏3
C．游戏2 D．游戏3
【答案】D
【解析】游戏1中，取2个球的所有可能情况为：(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(黑1，白)，(黑2，白)，(黑3，白)．所以甲胜的可能性为0.5，故游戏是公平的；游戏2中，显然甲胜的可能性为0.5，游戏是公平的；游戏3中，取2个球的所有可能情况为：(黑1，黑2)，(黑1，白1)，(黑2，白1)，(黑1，白2)，(黑2，白2)，(白1，白2)．所以甲胜的可能性为eq \f(1,3)，游戏是不公平的．故选D.
2.（2022甘肃）如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
【答案】见解析
【解析】(1)共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，
用频率估计概率，可得所求概率为eq \f(44,100)＝0.44.
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得所求各频率为
(3)记事件A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；
记事件B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．
由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)>P(A2)，∴甲应选择L1；
P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P(B2)>P(B1)，
∴乙应选择L2.
3．（2022·高一课时练习）某商场为提高服务质量，用简单随机抽样的方法从该商场调查了60名男顾客和80名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，结果如表所示．
(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率．
(2)估计顾客对该商场满意的概率．
(3)若该商场一天有2100名顾客，大约有多少人对该商场的服务满意？
(4)通过以上数据能否说明顾客对该商场的服务是否满意与性别有关？并说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)1500人
(4)可以认为顾客对该商场的服务是否满意与性别有关，理由见解析
【解析】（1）估计男顾客对该商场服务满意的概率为；
女顾客对该商场服务满意的概率为．
（2）估计顾客对该商场满意的概率为．
（3）（人），所以约有1500人对该商场的服务满意．
（4）由（1）知男顾客对该商场服务满意的比例约为，
女顾客对该商场服务满意的比例约为，
因为这两个比例相差较大，所以可以认为顾客对该商场的服务是否满意与性别有关．
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数
5544
9013
13520
17191
男婴数
2716
4899
6812
8590
男婴出生频率
____
____
____
____
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
0.8
0.95
0.88
0.92
0.89
0.91
116
785
812
730
134
452
125
689
024
169
334
217
109
361
908
284
044
147
318
027
顾客年龄岁
20岁以下
70岁及以上
手机支付人数
3
12
14
9
13
2
0
其他支付方式人数
0
0
2
11
31
12
1
游戏1
游戏2
游戏3
3个黑球和1个白球
1个黑球和1个白球
2个黑球和2个白球
取1个球，再取1个球
取1个球
取1个球，再取1个球
取出的两个球同色→甲胜
取出的球是黑球→甲胜
取出的两个球同色→甲胜
取出的两个球不同色→乙胜
取出的球是白球→乙胜
取出的两个球不同色→乙胜
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
满意
不满意
男顾客
50
10
女顾客
50
30
典例精讲
考点一 频率与概率概念的辨析
【例1】（2023·全国·高一专题练习）下列四个命题中真命题的个数为（ ）个
①有一批产品的次品率为，则从中任意取出件产品中必有件是次品；
②抛次硬币，结果次出现正面，则出现正面的概率是；
③随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率；
④掷骰子次，得点数为的结果有次，则出现点的频率为.
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2022·高一课时练习）下列说法中正确的是（ ）
A．当试验次数很大时，随机事件发生的频率接近概率
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
2．（2022·全国·高一专题练习）下列四个命题中正确的是（ ）
A．设有一批产品，其次品率为，则从中任取200件，必有10件是次品
B．做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面，因此出现正面的概率是
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D．抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是
3．（2022·高一课时练习）某地气象局预报说：明天本地降水的概率为80%，则下列解释正确的是（ ）
A．明天本地有80%的区域降水，20%的区域不降水
B．明天本地有80%的时间降水，20%的时间不降水
C．明天本地降水的可能性是80%
D．以上说法均不正确
4．（2022·全国·高一专题练习）（多选）对下面的描述：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A发生的概率；③频率是不能脱离具体的n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的说法有（ ）
A．①B．②C．③D．④
考点二 频率与概率的计算
【例2-1】（2023·高一课时练习）已知一个容量为20的样本，其数据具体如下：
10 8 6 10 13 8 10 12 11 7
8 9 11 9 12 9 10 11 12 11
那么频率为0.4的范围是（ ）
A．5.5~7.5B．7.5~9.5C．9.5~11.5D．11.5~13.5
【例2-2】（2023·全国·高一专题练习）根据统计，某篮球运动员在1000次投篮中，命中的次数为560次，则该运动员（ ）
A．投篮命中的频率为0.56B．投篮10次至少有5次命中
C．投篮命中的概率为0.56D．投篮100次有56次命中
【一隅三反】
1．（2022福建）抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是___________.
2．（2023·高一课时练习）某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中男婴数如下表：
（1）填写表中的男婴出生频率；（保留两位有效数字）
（2）这一地区男婴出生的概率约是______.
3．（2022·全国·高一专题练习）某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：
（1）该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？
（2）假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？
（3）假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？
（4）假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？
考点三 随机模拟
【例3-1】（2022春·福建宁德·高一统考期末）在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（ ）.
A．0.25B．0.4C．0.6D．0.75
【一隅三反】
1．（2022·全国·高一专题练习）某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：
812，832，569，683，271，989，730，537，925，907
由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
2．（2023西藏）在这个热“晴”似火的7月，多地持续高温，某市气象局将发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温37摄氏度以上的概率是．某人用计算机生成了20组随机数，结果如下：
若用0，1，2，3，4表示高温橙色预警，用5，6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·高一课时练习）手机支付已经成为人们常用的付费方式．某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下：
从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在且未使用手机支付的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023北京）试解释下面情况中的概率意义：
①某厂产品的次品率为；
②服用某种药物治愈某种疾病的概率为．
考点四 综合运用
【例4】（2022·高一课前预习）有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种:
A．猜“是奇数”或“是偶数”
B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”
C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”
请回答下列问题:
(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜?为什么?
(2)为了保证游戏的公平性,你认为应制定哪种猜数方案?为什么?
(3)请你设计一种其他的猜数方案,并保证游戏的公平性.
【一隅三反】
1．（2023广东）下面有三种游戏规则：袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球，
问其中不公平的游戏是( )
A．游戏1 B．游戏1和游戏3
C．游戏2 D．游戏3
2.（2022甘肃）如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
3．（2022·高一课时练习）某商场为提高服务质量，用简单随机抽样的方法从该商场调查了60名男顾客和80名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，结果如表所示．
(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率．
(2)估计顾客对该商场满意的概率．
(3)若该商场一天有2100名顾客，大约有多少人对该商场的服务满意？
(4)通过以上数据能否说明顾客对该商场的服务是否满意与性别有关？并说明理由．时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数
5544
9013
13520
17191
男婴数
2716
4899
6812
8590
男婴出生频率
____
____
____
____
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
0.8
0.95
0.88
0.92
0.89
0.91
116
785
812
730
134
452
125
689
024
169
334
217
109
361
908
284
044
147
318
027
顾客年龄岁
20岁以下
70岁及以上
手机支付人数
3
12
14
9
13
2
0
其他支付方式人数
0
0
2
11
31
12
1
游戏1
游戏2
游戏3
3个黑球和1个白球
1个黑球和1个白球
2个黑球和2个白球
取1个球，再取1个球
取1个球
取1个球，再取1个球
取出的两个球同色→甲胜
取出的球是黑球→甲胜
取出的两个球同色→甲胜
取出的两个球不同色→乙胜
取出的球是白球→乙胜
取出的两个球不同色→乙胜
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
满意
不满意
男顾客
50
10
女顾客
50
30
10.3 频率与概率（精讲）思维导图
典例精讲
考点一 频率与概率概念的辨析
【例1】（2023·全国·高一专题练习）下列四个命题中真命题的个数为（ ）个
①有一批产品的次品率为，则从中任意取出件产品中必有件是次品；
②抛次硬币，结果次出现正面，则出现正面的概率是；
③随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率；
④掷骰子次，得点数为的结果有次，则出现点的频率为.
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】对于①，一批产品的次品率即出现次品的概率，它表示的是产品中出现次品的可能性的大小，并非表示件产品中必有件次品，故①不是真命题；
对于②，抛次硬币，结果次出现正面，可知出现正面的频率是，而非概率，故②不是真命题；
对于③，随机事件发生的概率不随试验次数的多少而发生变化，是事件的一种固有属性，而随机事件发生的频率，会发生变化，随着试验次数的增加，频率会稳定于概率，但频率只是概率的近似值，并不表示概率就是频率，故③不是真命题；
对于④，掷骰子次，得点数为的结果有次，即次试验中，“出现点”这一事件发生了次，则出现点的频率为，故④为真命题.
综上所述，真命题个数为个.
故选：A.
【一隅三反】
1．（2022·高一课时练习）下列说法中正确的是（ ）
A．当试验次数很大时，随机事件发生的频率接近概率
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
【答案】A
【解析】A选项，根据频率的稳定性可知A选项正确.
B选项，频率与实验次数有关，B选项错误.
C选项，随机事件发生的频率不是这个随机事件发生的概率，C选项错误.
D选项，概率不是随机的，是确定的，D选项错误.
故选：A
2．（2022·全国·高一专题练习）下列四个命题中正确的是（ ）
A．设有一批产品，其次品率为，则从中任取200件，必有10件是次品
B．做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面，因此出现正面的概率是
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D．抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是
【答案】D
【解析】对于A，次品率是大量产品的估计值，并不是必有10件是次品，故A错误；
对于B，抛硬币出现正面的概率是，而不是，故B错误；
对于C，频率与概率不是同一个概念，故C错误；
对于D，利用频率计算公式求得频率，故D正确.
故选：D
3．（2022·高一课时练习）某地气象局预报说：明天本地降水的概率为80%，则下列解释正确的是（ ）
A．明天本地有80%的区域降水，20%的区域不降水
B．明天本地有80%的时间降水，20%的时间不降水
C．明天本地降水的可能性是80%
D．以上说法均不正确
【答案】C
【解析】选项A，B显然不正确，因为明天本地降水的概率为80%，不是说有80%的区域降水，也不是说有80%的时间降水，而是指降水的可能性是80%.
故选：C.
4．（2022·全国·高一专题练习）（多选）对下面的描述：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A发生的概率；③频率是不能脱离具体的n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的说法有（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】ACD
【解析】由频率和概率的意义知，频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小，故①正确；
由频率和概率的关系知，频率是概率的近似值，是通过大量试验得到的，而概率是频率的稳定值，是确定的理论值，故②错误，③④正确.
故选：ACD.
考点二 频率与概率的计算
【例2-1】（2023·高一课时练习）已知一个容量为20的样本，其数据具体如下：
10 8 6 10 13 8 10 12 11 7
8 9 11 9 12 9 10 11 12 11
那么频率为0.4的范围是（ ）
A．5.5~7.5B．7.5~9.5C．9.5~11.5D．11.5~13.5
【答案】C
【解析】5.5~7.5的频率为，
7.5~9.5的频率为，
9.5~11.5的频率为，
11.5~13.5的频率为，
所以C选项正确.
故选：C
【例2-2】（2023·全国·高一专题练习）根据统计，某篮球运动员在1000次投篮中，命中的次数为560次，则该运动员（ ）
A．投篮命中的频率为0.56B．投篮10次至少有5次命中
C．投篮命中的概率为0.56D．投篮100次有56次命中
【答案】A
【解析】由题意可知投篮命中的频率为，得到的频率可能比概率大，也可能小于概率，也可能等于概率，故A正确，C错误，
投篮10次或100次相当于做10次或100次实验，每一次的结果都是随机的，其结果可能一次没中，或者多次投中等，频率、概率只反映事件发生的可能性的大小，不能说明事件是否一定发生，故BD错误；
故选：A
【一隅三反】
1．（2022福建）抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是___________.
【答案】
【解析】抛掷一枚质地均匀的硬币，要么正面向上，要么反面向上，因此第999次出现正面朝上的概率是，
故答案为：
2．（2023·高一课时练习）某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中男婴数如下表：
（1）填写表中的男婴出生频率；（保留两位有效数字）
（2）这一地区男婴出生的概率约是______.
【答案】 0.49 0.54 0.50 0.50 0.50
【解析】（1）根据得：
1年内男婴出生频率为；
2年内男婴出生频率为；
3年内男婴出生频率为；
4年内男婴出生频率为；
（2）根据频率估计概率，频率的稳定值为，
所以，这一地区男婴出生的概率约是.
故答案为：；；；；.
3．（2022·全国·高一专题练习）某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：
（1）该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？
（2）假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？
（3）假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？
（4）假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？
【答案】（1）0.9；（2）270；（3）不一定击不中靶心；（4）不一定
【解析】（1）由题意得，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9.
（2）击中靶心的次数大约为.
（3）由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化.后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定击不中靶心.
（4）由概率的意义知，不一定.
考点三 随机模拟
【例3-1】（2022春·福建宁德·高一统考期末）在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（ ）.
A．0.25B．0.4C．0.6D．0.75
【答案】D
【解析】由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染，随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989共5个，故三只豚鼠都没被感染的概率为，则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为
故选：D
【一隅三反】
1．（2022·全国·高一专题练习）某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：
812，832，569，683，271，989，730，537，925，907
由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
【答案】A
【解析】由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心脏手术全部成功”的有： 569, 989，故2个，故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为.故选：A.
2．（2023西藏）在这个热“晴”似火的7月，多地持续高温，某市气象局将发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温37摄氏度以上的概率是．某人用计算机生成了20组随机数，结果如下：
若用0，1，2，3，4表示高温橙色预警，用5，6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有12个，分别为：
116, 812, 730, 452, 125, 217, 109, 361, 284, 147, 318, 027,
则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是：，
故选：A.
3．（2022·高一课时练习）手机支付已经成为人们常用的付费方式．某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下：
从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在且未使用手机支付的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在随机抽取的100名顾客中，顾客年龄在且未使用手机支付的共有人，所以从该超市随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在且未使用手机支付的概率为．
故选：A.
4．（2023北京）试解释下面情况中的概率意义：
①某厂产品的次品率为；
②服用某种药物治愈某种疾病的概率为．
【答案】①答案见解析；②答案见解析．
【解析①“某厂产品的次品率为”是指任取一件产品为次品的可能性为，
即若从该产品中任取件产品，其中可能有件次品，而不是一定有件次品；
②“服用某种药物治愈某种疾病的概率为”是一个随机事件，
概率为说明这种药治愈此种疾病的可能性是，但不是表示其一定能治愈，
只是治愈的可能性较大．
考点四 综合运用
【例4】（2022·高一课前预习）有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种:
A．猜“是奇数”或“是偶数”
B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”
C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”
请回答下列问题:
(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜?为什么?
(2)为了保证游戏的公平性,你认为应制定哪种猜数方案?为什么?
(3)请你设计一种其他的猜数方案,并保证游戏的公平性.
【答案】(1) 应选方案B ,猜“不是4的整数倍数”;(2) 应当选择方案A;
(3) 可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”
【解析】 (1)如题图,方案A中“是奇数”或“是偶数”的概率均为=0.5;方案B中“不是4的整数倍数”的概率为=0.8,“是4的整数倍数”的概率为=0.2;方案C中“是大于4的数”的概率为=0.6,“不是大于4的数”的概率为=0.4.乙为了尽可能获胜,应选方案B,猜“不是4的整数倍数”.
(2)为了保证游戏的公平性,应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5,从而保证了该游戏是公平的.
(3)可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”,此方案也可以保证游戏的公平性.
【一隅三反】
1．（2023广东）下面有三种游戏规则：袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球，
问其中不公平的游戏是( )
A．游戏1 B．游戏1和游戏3
C．游戏2 D．游戏3
【答案】D
【解析】游戏1中，取2个球的所有可能情况为：(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(黑1，白)，(黑2，白)，(黑3，白)．所以甲胜的可能性为0.5，故游戏是公平的；游戏2中，显然甲胜的可能性为0.5，游戏是公平的；游戏3中，取2个球的所有可能情况为：(黑1，黑2)，(黑1，白1)，(黑2，白1)，(黑1，白2)，(黑2，白2)，(白1，白2)．所以甲胜的可能性为eq \f(1,3)，游戏是不公平的．故选D.
2.（2022甘肃）如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
【答案】见解析
【解析】(1)共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，
用频率估计概率，可得所求概率为eq \f(44,100)＝0.44.
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得所求各频率为
(3)记事件A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；
记事件B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．
由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)>P(A2)，∴甲应选择L1；
P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P(B2)>P(B1)，
∴乙应选择L2.
3．（2022·高一课时练习）某商场为提高服务质量，用简单随机抽样的方法从该商场调查了60名男顾客和80名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，结果如表所示．
(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率．
(2)估计顾客对该商场满意的概率．
(3)若该商场一天有2100名顾客，大约有多少人对该商场的服务满意？
(4)通过以上数据能否说明顾客对该商场的服务是否满意与性别有关？并说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)1500人
(4)可以认为顾客对该商场的服务是否满意与性别有关，理由见解析
【解析】（1）估计男顾客对该商场服务满意的概率为；
女顾客对该商场服务满意的概率为．
（2）估计顾客对该商场满意的概率为．
（3）（人），所以约有1500人对该商场的服务满意．
（4）由（1）知男顾客对该商场服务满意的比例约为，
女顾客对该商场服务满意的比例约为，
因为这两个比例相差较大，所以可以认为顾客对该商场的服务是否满意与性别有关．
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数
5544
9013
13520
17191
男婴数
2716
4899
6812
8590
男婴出生频率
____
____
____
____
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
0.8
0.95
0.88
0.92
0.89
0.91
116
785
812
730
134
452
125
689
024
169
334
217
109
361
908
284
044
147
318
027
顾客年龄岁
20岁以下
70岁及以上
手机支付人数
3
12
14
9
13
2
0
其他支付方式人数
0
0
2
11
31
12
1
游戏1
游戏2
游戏3
3个黑球和1个白球
1个黑球和1个白球
2个黑球和2个白球
取1个球，再取1个球
取1个球
取1个球，再取1个球
取出的两个球同色→甲胜
取出的球是黑球→甲胜
取出的两个球同色→甲胜
取出的两个球不同色→乙胜
取出的球是白球→乙胜
取出的两个球不同色→乙胜
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
满意
不满意
男顾客
50
10
女顾客
50
30
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