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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.3 频率与概率一课一练
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.3 频率与概率一课一练，共32页。试卷主要包含了故选等内容，欢迎下载使用。
1．（2022·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．任何事件的概率总是在(0，1)之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
2．（2022·高一单元测试）某人将一枚硬币连抛20次，正面朝上的情况出现了12次.若用A表示事件“正面向上”，则A的（ ）
A．频率为B．概率为C．频率为D．概率接近
3．（2022春·海南省直辖县级单位·高一嘉积中学校考期末）抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，下列说法正确的是（ ）
A．正面向上的概率为0.48B．反面向上的概率是0.48
C．正面向上的频率为0.48D．反面向上的频率是0.48
4．（2022·全国·高一专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．随机事件的概率与频率是一样的
B．在试验中，某事件发生的频率的取值范围是
C．必然事件的概率是1
D．不可能事件的概率是0
5（2022·全国·高一专题练习）以下是表述“频率”与“概率”的语句：
①在大量试验中，事件出现的频率与其概率很接近；
②概率可以作为当实验次数无限增大时频率的极限；
③计算频率通常是为了估计概率．
其中正确的语句为（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
6．（2022·全国·高一专题练习）下列叙述随机事件的频率与概率的关系中哪个是正确的（ ）
A．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．概率是随机的，在试验前不能确定
D．频率就是概率
7．（2022·高一单元测试）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了40次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A．0.4，0.4B．0.5，0.5C．0.4，0.5D．0.5，0.4
8．（2023·全国·高一专题练习）一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色的围棋子放入其中，充分捡拌后随机抽出了20颗，数得其中有5颗黑色的围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子的数目约为（ ）
A．200颗B．300颗C．400颗D．500颗
9．（2023天津）某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，体重变化结果统计如表格．如果另一人服用此药，估计这个人的体重减轻的概率约为（ ）
A．0.1B．0.2C．0.4D．0.6
10．（2022春·湖南岳阳·高一统考期末）天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206．据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ）
A．B．C．D．
11．（2022春·吉林长春·高一长春市第二实验中学校考期中）袋子中装有大小相同2个红球，4个蓝球，搅拌均匀后从中随机摸出3个球，现在用数字0，1表示红球，数字2，3，4，5表示蓝球，通过计算器随机模拟10次该试验，得到如下数据：024 234 213 012 034 125 035 345 134 304三个数为一组，代表摸到三个球的结果，以此估计，摸到三个球都是蓝球的概率为（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
12．（2022春·天津西青·高一天津市第九十五中学益中学校校考阶段练习）某射箭运动员进行射箭训练，射箭次，统计结果如下：
则估计他击中的环数不小于的概率为（ ）
A．B．C．D．
13．（2022·全国·高一专题练习）长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约有40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为（ ）
A．0.125B．0.25C．0.375D．0.4
14（2022·高一课时练习）某射击运动员在同一条件下射击的成绩记录如表所示：
根据表中的数据，估计该射击运动员射击一次射中8环以上的概率为（ ）
A．0.78B．0.79C．0.80D．0.82
15．（2023北京）气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说法正确的是（ ）
A．本市明天将有70%的地区降雨B．本市有天将有70%的时间降雨
C．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大D．明天出行不带雨具肯定要淋雨
16．（2023·全国·高一专题练习）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）
A．42名B．32名C．24名D．18名
17．（2022·全国·高一专题练习）经过科学的研究论证，人类的四种血型与基因类型的对应为：型的基因类型为，型的基因类型为或，型的基因类型为或，型的基因类型为，其中、是显性基因，是隐性基因.若一对夫妻的血型一个型，基因类型为，一个型，基因类型为.则他们的子女的血型为（ ）
A．型或型B．型或型
C．型或型D．型或型
18．（2021·高一课时练习）数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2020石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．222石B．224石
C．230石D．232石
19．（2022·高一课前预习）已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A．0.35B．0.25C．0.20D．0.15
20．（2023河北）在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A．0.45，0.45B．0.5，0.5C．0.5，0.45D．0.45，0.5
21．（2022·全国·高一专题练习）袋中有2个黑球，3个白球，除颜色外完全相同，从中有放回地取出一球，连取三次，观察球的颜色.用计算机产生0到9的数字进行模拟试验，用0，1，2，3代表黑球，4，5，6，7，8，9代表白球，在下列随机数中表示结果为二白一黑的组数为（ ）
160 288 905 467 589 239 079 146 351
A．3B．4C．5D．6
22．（2022·全国·高一专题练习）已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281
据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（ ）
A．0.85B．0.8192C．0.8D．0.75
23．（2022·高一课时练习）（多选）小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了30次，每次朝上的点数都是2，则下列说法正确的是（ ）
A．朝上的点数是2的概率和频率均为1
B．若抛掷30000次，则朝上的点数是2的频率约为0.17
C．抛掷第31次，朝上的点数一定不是2
D．抛掷6 000次，朝上的点数为2的次数大约为1000次
24．（2022春·新疆巴音郭楞·高一校考期末）（多选）下列说法错误的是（ ）
A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率
B．某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票一定能中奖
C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为
D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水
25．（2022·高一单元测试）（多选）小明与小华两人玩游戏，则下列游戏公平的有（ ）
A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜
B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜
C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜
D．小明､小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜
1．（2023·高一单元测试）对一批西装进行了多次检查，并记录结果如下表：
(1)根据表中数据，计算并填写每次检出次品的频率；
(2)从这批西装中任意抽取一件，抽到次品的经验概率是多少？
(3)如果要销售1000件西装，至少要额外准备多少件正品西装以供买到次品的顾客调换？
2．（2023·全国·高一专题练习）某商场在周年庆举行了一场抽奖活动，抽奖箱中所有乒乓球都是质地均匀，大小与颜色相同的，且每个小球上标有1，2，3，4，5，6这6个数字中的一个，每个号都有若干个乒乓球.抽奖顾客有放回地从抽奖箱中抽取小球，用x表示取出的小球上的数字，当时，该顾客积分为3分，当时，该顾客积分为2分，当时，该顾客积分为1分.以下是用电脑模拟的抽签，得到的30组数据如下：
(1)以此样本数据来估计顾客的抽奖情况，分别估计某顾客抽奖1次，积分为3分和2分的概率：
(2)某顾客抽奖3次，求该顾客至多有1次的积分大于1的概率.
3．（2022·全国·高一专题练习）某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解全校学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取100名学生进行问卷调查.将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间（单位：时）各分为5组[0，10）、[10，20）、[20，30）、[30，40）、[40，50]，得到频率分布直方图如图所示.
(1)估计全校学生中课外阅读时间在[30，40）小时内的总人数是多少；
(2)从课外阅读时间不足10小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有2个初中生的概率；
(3)国家规定，初中学生平均每人每天课外阅读时间不少于半个小时.若该校初中学生课外阅读时间小于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间，根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加初中学生的课外阅读时间？并说明理由.
4．（2021·高一课时练习）小张大学毕业后决定选择自主创业，在进行充分的市场调研下得到如下的两张表格：
项目B的表格中的两个数据丢失，现用x，y代替但调研时发现：投资A，B这两个项目的平均利润率相同.以下用频率代替概率，A，B两个项目的利润情况互不影响.
（1）求x，y的值，并分别求投资A，B项目不亏损的概率；
（2）小张在进行市场调研的同时，拿到了100万人民币的风险投资现在小张与投资方决定选择投资其中的一个项目进行投资，请你从统计学的角度给出一个建议，并阐述你的理由.
5．（2023湖南）年是全面建成小康社会目标实现之年，是全面打赢脱贫攻坚战收官之年.为帮助某村巩固扶贫成果，该村的结对帮扶共建企业在该村建立了一座精米加工厂，并对粮食原料进行深加工，研发出一种新产品，已知该产品的质量以某项指标值为衡量标准，质量指标的等级划分如表：
为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，从中随机抽取了件产品，测量了每件产品的指标值，得到如下的产品质量指标值的频率分布直方图；设，当时，满足.
（1）试估计样本质量指标值的中位数；
（2）从样本质量指标值不小于的产品中采用分层抽样的方法抽取件产品，然后从这件产品中任取件产品，求至少有件级品的概率.
6．（2022春·河北衡水·高一校考阶段练习）某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图.
（1）求图中的值；
（2）求这组数据的平均数和中位数；
（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.
7．（2022春·广西百色·高一统考期末）某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期两人5次数学考试的成绩，统计结果如下表：
（Ⅰ）已知甲、乙两名学生这5次数学考试成绩的平均分都为83分，若从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，请从统计学的角度考虑，你认为选谁参加数学竞赛较合适？并说明理由；
（Ⅱ）若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰.方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被淘汰.已知学生甲、乙都只会5道备选题中的3道，那么你推荐的选手选择哪种答题方案进入复赛的可能性更大？并说明理由.
8．（2023辽宁）某市为了了解校园安全教育系列活动的成效，对全市高中生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化，现随机抽取部分高中生的答卷，统计结果如下，对应的频率分布直方图如图所示．
（1）求、的值；
（2）估计该市高中生测试成绩评定等级为“合格”的概率；
（3）在抽取的答卷中，用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的答卷中抽取5份，再从这5份答卷中任取2份，求恰有1份评定等级为“不合格”的概率体重变化
体重减轻
体重不变
体重增加
人数
600
200
200
环数
击中的次数
射击次数
50
100
200
400
1000
射中8环以上的次数
44
78
158
320
800
抽取件数
50
100
150
200
300
400
检出次品件数
5
7
9
15
21
30
检出次品频率
1
3
1
1
6
3
3
4
1
2
4
1
2
5
3
1
2
6
3
1
6
1
2
1
2
2
5
3
4
5
利润占投入的百分比
10%
5%
频率
50%
40%
10%
利润占投入的百分比
10%
5%
频率
40%
x
y
质量指标值
产品等级
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲的成绩（分）
80
85
71
92
87
乙的成绩（分）
90
76
75
92
82
等级
不合格
合格
得分
[20，40）
[40，60）
[60，80）
[80，100）
频数
12
48
24
10.3 频率与概率（精练）
1．（2022·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．任何事件的概率总是在(0，1)之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
【答案】C
【解析】必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，故A错；
频率是由试验的次数决定的，故B错；概率是频率的稳定值，故C正确，D错．故选：C．
2．（2022·高一单元测试）某人将一枚硬币连抛20次，正面朝上的情况出现了12次.若用A表示事件“正面向上”，则A的（ ）
A．频率为B．概率为C．频率为D．概率接近
【答案】A
【解析】依题意可知，事件的频率为，概率为.所以A选项正确，BCD选项错误.故选：A
3．（2022春·海南省直辖县级单位·高一嘉积中学校考期末）抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，下列说法正确的是（ ）
A．正面向上的概率为0.48B．反面向上的概率是0.48
C．正面向上的频率为0.48D．反面向上的频率是0.48
【答案】C
【解析】对于A，正面向上的概率为0.5，是固定不变的，故错误；
对于B，反面向上的概率也是0.5，是固定不变的，故错误；
对于C，抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，根据频率的定义可知，正面向上的频率为0.48，正确；对于D，抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，反面向上的次数为52次，根据频率的定义可知，反面向上的频率是0.52，故错误.故选：C.
4．（2022·全国·高一专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．随机事件的概率与频率是一样的
B．在试验中，某事件发生的频率的取值范围是
C．必然事件的概率是1
D．不可能事件的概率是0
【答案】A
【解析】对于选项A，概率是唯一的确定的值，而频率是统计出来的，通过一次次的试验得到，因此随机事件的概率与频率是两个不同的概念，故A错误；
对于选项B，频率是指是指每个对象出现的次数与总次数的比值，故取值范围是，故B正确；
对于选项C，D，由必然事件和不可能事件的定义可知，说法正确.
故选：A
5（2022·全国·高一专题练习）以下是表述“频率”与“概率”的语句：
①在大量试验中，事件出现的频率与其概率很接近；
②概率可以作为当实验次数无限增大时频率的极限；
③计算频率通常是为了估计概率．
其中正确的语句为（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【解析】事件的频率是指事件发生的频数与次事件中事件出现的次数比，
随机事件在每次实验中是否会发生是不能预料的，但在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件发生的频率会逐渐稳定在区间中的某个常数上，这个常数就是事件的概率．所以随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率．计算频率通常是为了估计概率．
所以①②③都正确，
故选：D.
6．（2022·全国·高一专题练习）下列叙述随机事件的频率与概率的关系中哪个是正确的（ ）
A．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．概率是随机的，在试验前不能确定
D．频率就是概率
【答案】A
【解析】事件的频率是指事件发生的频数与次事件中事件出现的次数比，
一般来说，随机事件在每次实验中是否会发生是不能预料的，但在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件发生的频率会逐渐稳定在区间，中的某个常数上，这个常数就是事件的概率．
随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率．
故选：A．
7．（2022·高一单元测试）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了40次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A．0.4，0.4B．0.5，0.5C．0.4，0.5D．0.5，0.4
【答案】C
【解析】某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，正面朝上出现了40次，
所以出现正面朝上的频率为，
因为每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是0.5，
所以出现正面朝上的概率是0.5，
故选：C
8．（2023·全国·高一专题练习）一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色的围棋子放入其中，充分捡拌后随机抽出了20颗，数得其中有5颗黑色的围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子的数目约为（ ）
A．200颗B．300颗C．400颗D．500颗
【答案】B
【解析】设白色围棋子的数目为 n，则由已知可得，解得，
即白色围棋子的数目大约有300颗.故选：B.
9．（2023天津）某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，体重变化结果统计如表格．如果另一人服用此药，估计这个人的体重减轻的概率约为（ ）
A．0.1B．0.2C．0.4D．0.6
【答案】D
【解析】由表格可得这个人的体重减轻的概率约为.故选：D．
10．（2022春·湖南岳阳·高一统考期末）天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206．据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，随机数中417，386，196，206表示这三天中恰有两天下雨，故估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为故选：B
11．（2022春·吉林长春·高一长春市第二实验中学校考期中）袋子中装有大小相同2个红球，4个蓝球，搅拌均匀后从中随机摸出3个球，现在用数字0，1表示红球，数字2，3，4，5表示蓝球，通过计算器随机模拟10次该试验，得到如下数据：024 234 213 012 034 125 035 345 134 304三个数为一组，代表摸到三个球的结果，以此估计，摸到三个球都是蓝球的概率为（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
【答案】A
【解析】摸到三个球都是篮球的有234，345，估计摸到三个球都是蓝球的概率为.故选：A
12．（2022春·天津西青·高一天津市第九十五中学益中学校校考阶段练习）某射箭运动员进行射箭训练，射箭次，统计结果如下：
则估计他击中的环数不小于的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】击中的环数不小于的频率为，因此估计相应概率为.故选：B
13．（2022·全国·高一专题练习）长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约有40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为（ ）
A．0.125B．0.25C．0.375D．0.4
【答案】C
【解析】玩手机不超过1小时的学生占，设其近视率为，
则有，，根据近视率可得任意调查其中一名学生，则他近视的概率约为.故选：C
14（2022·高一课时练习）某射击运动员在同一条件下射击的成绩记录如表所示：
根据表中的数据，估计该射击运动员射击一次射中8环以上的概率为（ ）
A．0.78B．0.79C．0.80D．0.82
【答案】C
【解析】大量重复试验，由表格知射击运动员射中8环以上的频率稳定在，
所以这名运动员射击一次射中8环以上的概率为，故选：C.
15．（2023北京）气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说法正确的是（ ）
A．本市明天将有70%的地区降雨B．本市有天将有70%的时间降雨
C．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大D．明天出行不带雨具肯定要淋雨
【答案】C
【解析】气象台预报“本市明天降雨概率是70%”,则本市明天降雨的可能性比较大.与降水地区面积和降水时间无关,所以A,B错误.降水概率是事件发生的可能,不是一定会发生的事情,所以D错误.
而由降水概率是70%,可知降水概率较大,所以明天出行不带雨具淋雨的可能性很大,所以C正确.故选:C.
16．（2023·全国·高一专题练习）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）
A．42名B．32名C．24名D．18名
【答案】D
【解析】由于“第二天的新订单超过1600份的概率为0.05”，即“第二天的新订单量小于或等于1600份的概率为0.95”，
所以只要第二天能把原有积压500份和第二天新订单（按1600份计算）消化掉，就能满足题意：
第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，第二天新增积压订单数为，两天共积压份，
因为，故至少需要志愿者名.
故选：D
17．（2022·全国·高一专题练习）经过科学的研究论证，人类的四种血型与基因类型的对应为：型的基因类型为，型的基因类型为或，型的基因类型为或，型的基因类型为，其中、是显性基因，是隐性基因.若一对夫妻的血型一个型，基因类型为，一个型，基因类型为.则他们的子女的血型为（ ）
A．型或型B．型或型
C．型或型D．型或型
【答案】D
【解析】因为一对夫妻的血型一个型，基因类型为，一个型，基因类型为，
则他们的子女的基因类型为：、，
所以对应的血型为型或型.
故选：D.
18．（2021·高一课时练习）数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2020石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．222石B．224石
C．230石D．232石
【答案】B
【解析】由题意，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，即夹谷占有的概率为，所以2020石米中夹谷约为2020×≈224(石)．故选：B
19．（2022·高一课前预习）已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A．0.35B．0.25C．0.20D．0.15
【答案】B
【解析】三次投篮共有20种，
恰有两次命中的事件有：191，271，932，812，393，有5种
∴该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为
故选：B
20．（2023河北）在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A．0.45，0.45B．0.5，0.5C．0.5，0.45D．0.45，0.5
【答案】D
【解析】根据由频率和概率的概念,可知出现正面朝上的频率是,
出现正面朝上的概率是0.5.故选:D.
21．（2022·全国·高一专题练习）袋中有2个黑球，3个白球，除颜色外完全相同，从中有放回地取出一球，连取三次，观察球的颜色.用计算机产生0到9的数字进行模拟试验，用0，1，2，3代表黑球，4，5，6，7，8，9代表白球，在下列随机数中表示结果为二白一黑的组数为（ ）
160 288 905 467 589 239 079 146 351
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】由题意可知，288，905，079，146表示二白一黑，所以有4组.故选:B.
22．（2022·全国·高一专题练习）已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281
据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（ ）
A．0.85B．0.8192C．0.8D．0.75
【答案】D
【解析】由于组数，有组是至少命中次的，故概率为.
23．（2022·高一课时练习）（多选）小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了30次，每次朝上的点数都是2，则下列说法正确的是（ ）
A．朝上的点数是2的概率和频率均为1
B．若抛掷30000次，则朝上的点数是2的频率约为0.17
C．抛掷第31次，朝上的点数一定不是2
D．抛掷6 000次，朝上的点数为2的次数大约为1000次
【答案】BD
【解析】由题意知朝上的点数是2的频率为，概率为，故A错误；
当抛掷次数很多时，朝上的点数是2的频率在附近摆动，故B正确；
抛掷第31次，朝上的点数可能是2，也可能不是2，故C错误；
每次抛掷朝上的点数是2的概率为，所以抛掷6000次朝上的点数为2的次数大约为．（理论和实际会有一定的出入）故D正确.
故选：BD
24．（2022春·新疆巴音郭楞·高一校考期末）（多选）下列说法错误的是（ ）
A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率
B．某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票一定能中奖
C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为
D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水
【答案】BCD
【解析】】由频率和概率的关系可知随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率，A正确，
某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票不一定能中奖，B错误，
掷一枚硬币出现反面的概率为，C错误，
某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是明天有70%的可能会降水，D错误，
故选：BCD.
25．（2022·高一单元测试）（多选）小明与小华两人玩游戏，则下列游戏公平的有（ ）
A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜
B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜
C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜
D．小明､小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜
【答案】ACD
【解析】对于A，抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数和向上的点数为偶数是等可能的，所以游戏公平
对于B，恰有一枚正面向上包括正，反反，正两种情况，而两枚都正面向上仅有正，正一种情况，
所以游戏不公平
对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色和扑克牌是黑色是等可能的，所以游戏公平
对于D，小明､小华两人各写一个数字6或8，一共四种情况：（6,6），（6,8），（8,6），（8,8）；两人写的数字相同和两人写的数字不同是等可能的，所以游戏公平．
故选：ACD．
1．（2023·高一单元测试）对一批西装进行了多次检查，并记录结果如下表：
(1)根据表中数据，计算并填写每次检出次品的频率；
(2)从这批西装中任意抽取一件，抽到次品的经验概率是多少？
(3)如果要销售1000件西装，至少要额外准备多少件正品西装以供买到次品的顾客调换？
【答案】(1)0.1，0.07，0.06，0.075，0.07，0.075；(2)0.075；(3)75件.
【解析】（1）利用频率的计算公式可得，
每次次检出次品的频率即为当次检出次品件数除以本次抽取件数，
所以从左到右的6次检测对应的频率分别为：
，，，
，，
所以，对应的频率表格如下：
（2）从这批西装中任意抽取一件，抽到次品的经验概率约为6次检出次品频率的稳定值，
即，
所以抽到次品的经验概率约为；
（3）由（2）可知，销售1000件西装大约有件次品，
所以，应当准备75件正品西装以供买到次品的顾客调换.
2．（2023·全国·高一专题练习）某商场在周年庆举行了一场抽奖活动，抽奖箱中所有乒乓球都是质地均匀，大小与颜色相同的，且每个小球上标有1，2，3，4，5，6这6个数字中的一个，每个号都有若干个乒乓球.抽奖顾客有放回地从抽奖箱中抽取小球，用x表示取出的小球上的数字，当时，该顾客积分为3分，当时，该顾客积分为2分，当时，该顾客积分为1分.以下是用电脑模拟的抽签，得到的30组数据如下：
(1)以此样本数据来估计顾客的抽奖情况，分别估计某顾客抽奖1次，积分为3分和2分的概率：
(2)某顾客抽奖3次，求该顾客至多有1次的积分大于1的概率.
【答案】(1)，
(2)
【解析】（1）由题意可知某顾客抽奖1次，积分为3分的频率是，
则估计某顾客抽奖1次，积分为3分的概率为.
某顾客抽奖1次，积分为2分的频率是，
则估计某顾客抽奖1次，积分为2分的概率为.
（2）由（1）可知某顾客抽奖1次，积分为1分的概率是，
则某顾客抽奖1次，所得积分是1分和所得积分大于1分是等可能事件.
设某顾客抽奖1次，积分为1分，记为A，积分大于1分，记为a，
则某顾客抽奖3次，每次所得积分的情况为aaa，aaA，aAA，aAa，AAa，AAA，AaA，Aaa，
共8种，其中符合条件的情况有aAA，AAa，AAA，AaA，共4种，
故所求概率.
3．（2022·全国·高一专题练习）某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解全校学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取100名学生进行问卷调查.将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间（单位：时）各分为5组[0，10）、[10，20）、[20，30）、[30，40）、[40，50]，得到频率分布直方图如图所示.
(1)估计全校学生中课外阅读时间在[30，40）小时内的总人数是多少；
(2)从课外阅读时间不足10小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有2个初中生的概率；
(3)国家规定，初中学生平均每人每天课外阅读时间不少于半个小时.若该校初中学生课外阅读时间小于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间，根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加初中学生的课外阅读时间？并说明理由.
【答案】(1)720人
(2)
(3)需要增加，理由见解析
【解析】（1）
由分层抽样知，抽取的初中生有人，高中生有人．
初中生中，课外阅读时间在，小时内的频率为:
，学生人数为人．
高中生中，课外阅读时间在，小时内的频率为:
，学生人数约有人，
全校学生中课外阅读时间在，小时内学生总人数为人．
（2）
记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，至少有2个初中生”为事件，
初中生中，阅读时间不足10个小时的学生人数为人，
高中生中，阅读时间不足10个小时的学生人数为人．
记这3名初中生为，，，这2名高中生为，，
则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，所有可能结果共有10种，
即，，，，，，，，，，
而事件的结果有7种，它们是：，，，，，，，
至少抽到2名初中生的概率为．
（3）
样本中的所有初中生平均每天阅读时间为:
（小时），而（小时），
，该校需要增加初中学生课外阅读时间．
4．（2021·高一课时练习）小张大学毕业后决定选择自主创业，在进行充分的市场调研下得到如下的两张表格：
项目B的表格中的两个数据丢失，现用x，y代替但调研时发现：投资A，B这两个项目的平均利润率相同.以下用频率代替概率，A，B两个项目的利润情况互不影响.
（1）求x，y的值，并分别求投资A，B项目不亏损的概率；
（2）小张在进行市场调研的同时，拿到了100万人民币的风险投资现在小张与投资方决定选择投资其中的一个项目进行投资，请你从统计学的角度给出一个建议，并阐述你的理由.
【答案】（1），，90%，95%；（2）建议投资B项目，理由见解析.
【解析】（1）投资项目A的平均利润率为，
投资项目B的平均利润率为
，
因为投资A，B这两个项目的平均利润率相同，
所以，
解得，，
所以投资A项目不亏损的概率为，
投资B项目不亏损的概率为；
（2）考察角度一：
由（1）得，投资B项目不亏损的概率比较大，故建议投资B项目.
考察角度二：
投资A项目利润率的方差为，，
投资B项目利润率的方差为，，
所以投资A项目利润率的方差大于投资B项目利润率的方差，
即投资B项目的利润比较稳定，为此建议投资B项目.
5．（2023湖南）年是全面建成小康社会目标实现之年，是全面打赢脱贫攻坚战收官之年.为帮助某村巩固扶贫成果，该村的结对帮扶共建企业在该村建立了一座精米加工厂，并对粮食原料进行深加工，研发出一种新产品，已知该产品的质量以某项指标值为衡量标准，质量指标的等级划分如表：
为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，从中随机抽取了件产品，测量了每件产品的指标值，得到如下的产品质量指标值的频率分布直方图；设，当时，满足.
（1）试估计样本质量指标值的中位数；
（2）从样本质量指标值不小于的产品中采用分层抽样的方法抽取件产品，然后从这件产品中任取件产品，求至少有件级品的概率.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）当时，，，频率为；
当时，，，频率为；
当时，，，频率为.
各产品等级的频率如下表所示：
，，
所以，，解得；
（2）所抽取的件产品中，级品的数量为，分别记为、、，
级品的数量为，分别记为、、、，
从这件产品中任取件产品，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共个基本事件，
其中，事件“所抽的件产品中至少有件级品”包含个基本事件，
因此，所求事件的概率为.
6．（2022春·河北衡水·高一校考阶段练习）某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图.
（1）求图中的值；
（2）求这组数据的平均数和中位数；
（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.
【答案】（1）；（2）平均数为，中位数设为；（3）.
【解析】（1）由，解得.
（2）这组数据的平均数为.
中位数设为，则，解得.
（3）满意度评分值在内有人，其中男生3人，女生2人.记为，
记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件，
从5人中抽取2人有：，，，，， ，，，，
所以总基本事件个数为10个，包含的基本事件个数为3个，
所以 .
7．（2022春·广西百色·高一统考期末）某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期两人5次数学考试的成绩，统计结果如下表：
（Ⅰ）已知甲、乙两名学生这5次数学考试成绩的平均分都为83分，若从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，请从统计学的角度考虑，你认为选谁参加数学竞赛较合适？并说明理由；
（Ⅱ）若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰.方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被淘汰.已知学生甲、乙都只会5道备选题中的3道，那么你推荐的选手选择哪种答题方案进入复赛的可能性更大？并说明理由.
【答案】（Ⅰ）乙参加，理由见解析；（Ⅱ）方案二，理由见解析.
【解析】（Ⅰ）选派乙参加数学竞赛较合适．
理由如下：
由题知
，
甲成绩的方差，
乙成绩的方差，
由，，可知甲乙平均分相同，但乙的成绩比甲稳定，
故选派乙参加数学竞赛较合适．
（Ⅱ）5道备选题中学生会的3道分别记为，，，不会的2道分别记为，，
方案一：学生从5道备选题中任意抽出1道的结果有：，，，，，共5 种，
抽中会的备选题的结果有，，，共3种，
此方案学生可参加复赛的概率．
方案二：学生从5道备选题中任意抽出3道的结果有：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共10种，
抽中至少2道会的备选题的结果有：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共7种，
此方案学生可参加复赛的概率．
，推荐的选手选择方案二答题方案进入复赛的可能性更大．
8．（2023辽宁）某市为了了解校园安全教育系列活动的成效，对全市高中生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化，现随机抽取部分高中生的答卷，统计结果如下，对应的频率分布直方图如图所示．
（1）求、的值；
（2）估计该市高中生测试成绩评定等级为“合格”的概率；
（3）在抽取的答卷中，用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的答卷中抽取5份，再从这5份答卷中任取2份，求恰有1份评定等级为“不合格”的概率
【答案】（1），；（2）；（3）．
【解析】（1）由表格可知样本容量为
所以，即
由，即
（2）（或）
由此估计该市高中生测试成绩等级为“合格”的概率是
（3）合格的有72人、不合格的有48人抽样比
故从评定等级为“合格”的答卷中抽取的份数为，记为、、
从评定等级为“不合格”的答卷中抽取的份数为，记为、
则从5份答卷中抽取2份，基本事件
共10个基本事件
记事件：恰有1份评定等级为“不合格”
共6个基本事件
则从这5份答卷中抽取2份，恰有1份评定等级为“不合格”的概率为
体重变化
体重减轻
体重不变
体重增加
人数
600
200
200
环数
击中的次数
射击次数
50
100
200
400
1000
射中8环以上的次数
44
78
158
320
800
抽取件数
50
100
150
200
300
400
检出次品件数
5
7
9
15
21
30
检出次品频率
抽取件数
50
100
150
200
300
400
检出次品件数
5
7
9
15
21
30
检出次品频率
0.1
0.07
0.06
0.075
0.07
0.075
1
3
1
1
6
3
3
4
1
2
4
1
2
5
3
1
2
6
3
1
6
1
2
1
2
2
5
3
4
5
利润占投入的百分比
10%
5%
频率
50%
40%
10%
利润占投入的百分比
10%
5%
频率
40%
x
y
质量指标值
产品等级
质量指标值
产品等级
频率
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲的成绩（分）
80
85
71
92
87
乙的成绩（分）
90
76
75
92
82
等级
不合格
合格
得分
[20，40）
[40，60）
[60，80）
[80，100）
频数
12
48
24
1．（2022·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．任何事件的概率总是在(0，1)之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
2．（2022·高一单元测试）某人将一枚硬币连抛20次，正面朝上的情况出现了12次.若用A表示事件“正面向上”，则A的（ ）
A．频率为B．概率为C．频率为D．概率接近
3．（2022春·海南省直辖县级单位·高一嘉积中学校考期末）抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，下列说法正确的是（ ）
A．正面向上的概率为0.48B．反面向上的概率是0.48
C．正面向上的频率为0.48D．反面向上的频率是0.48
4．（2022·全国·高一专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．随机事件的概率与频率是一样的
B．在试验中，某事件发生的频率的取值范围是
C．必然事件的概率是1
D．不可能事件的概率是0
5（2022·全国·高一专题练习）以下是表述“频率”与“概率”的语句：
①在大量试验中，事件出现的频率与其概率很接近；
②概率可以作为当实验次数无限增大时频率的极限；
③计算频率通常是为了估计概率．
其中正确的语句为（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
6．（2022·全国·高一专题练习）下列叙述随机事件的频率与概率的关系中哪个是正确的（ ）
A．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．概率是随机的，在试验前不能确定
D．频率就是概率
7．（2022·高一单元测试）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了40次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A．0.4，0.4B．0.5，0.5C．0.4，0.5D．0.5，0.4
8．（2023·全国·高一专题练习）一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色的围棋子放入其中，充分捡拌后随机抽出了20颗，数得其中有5颗黑色的围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子的数目约为（ ）
A．200颗B．300颗C．400颗D．500颗
9．（2023天津）某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，体重变化结果统计如表格．如果另一人服用此药，估计这个人的体重减轻的概率约为（ ）
A．0.1B．0.2C．0.4D．0.6
10．（2022春·湖南岳阳·高一统考期末）天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206．据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ）
A．B．C．D．
11．（2022春·吉林长春·高一长春市第二实验中学校考期中）袋子中装有大小相同2个红球，4个蓝球，搅拌均匀后从中随机摸出3个球，现在用数字0，1表示红球，数字2，3，4，5表示蓝球，通过计算器随机模拟10次该试验，得到如下数据：024 234 213 012 034 125 035 345 134 304三个数为一组，代表摸到三个球的结果，以此估计，摸到三个球都是蓝球的概率为（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
12．（2022春·天津西青·高一天津市第九十五中学益中学校校考阶段练习）某射箭运动员进行射箭训练，射箭次，统计结果如下：
则估计他击中的环数不小于的概率为（ ）
A．B．C．D．
13．（2022·全国·高一专题练习）长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约有40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为（ ）
A．0.125B．0.25C．0.375D．0.4
14（2022·高一课时练习）某射击运动员在同一条件下射击的成绩记录如表所示：
根据表中的数据，估计该射击运动员射击一次射中8环以上的概率为（ ）
A．0.78B．0.79C．0.80D．0.82
15．（2023北京）气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说法正确的是（ ）
A．本市明天将有70%的地区降雨B．本市有天将有70%的时间降雨
C．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大D．明天出行不带雨具肯定要淋雨
16．（2023·全国·高一专题练习）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）
A．42名B．32名C．24名D．18名
17．（2022·全国·高一专题练习）经过科学的研究论证，人类的四种血型与基因类型的对应为：型的基因类型为，型的基因类型为或，型的基因类型为或，型的基因类型为，其中、是显性基因，是隐性基因.若一对夫妻的血型一个型，基因类型为，一个型，基因类型为.则他们的子女的血型为（ ）
A．型或型B．型或型
C．型或型D．型或型
18．（2021·高一课时练习）数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2020石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．222石B．224石
C．230石D．232石
19．（2022·高一课前预习）已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A．0.35B．0.25C．0.20D．0.15
20．（2023河北）在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A．0.45，0.45B．0.5，0.5C．0.5，0.45D．0.45，0.5
21．（2022·全国·高一专题练习）袋中有2个黑球，3个白球，除颜色外完全相同，从中有放回地取出一球，连取三次，观察球的颜色.用计算机产生0到9的数字进行模拟试验，用0，1，2，3代表黑球，4，5，6，7，8，9代表白球，在下列随机数中表示结果为二白一黑的组数为（ ）
160 288 905 467 589 239 079 146 351
A．3B．4C．5D．6
22．（2022·全国·高一专题练习）已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281
据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（ ）
A．0.85B．0.8192C．0.8D．0.75
23．（2022·高一课时练习）（多选）小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了30次，每次朝上的点数都是2，则下列说法正确的是（ ）
A．朝上的点数是2的概率和频率均为1
B．若抛掷30000次，则朝上的点数是2的频率约为0.17
C．抛掷第31次，朝上的点数一定不是2
D．抛掷6 000次，朝上的点数为2的次数大约为1000次
24．（2022春·新疆巴音郭楞·高一校考期末）（多选）下列说法错误的是（ ）
A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率
B．某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票一定能中奖
C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为
D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水
25．（2022·高一单元测试）（多选）小明与小华两人玩游戏，则下列游戏公平的有（ ）
A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜
B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜
C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜
D．小明､小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜
1．（2023·高一单元测试）对一批西装进行了多次检查，并记录结果如下表：
(1)根据表中数据，计算并填写每次检出次品的频率；
(2)从这批西装中任意抽取一件，抽到次品的经验概率是多少？
(3)如果要销售1000件西装，至少要额外准备多少件正品西装以供买到次品的顾客调换？
2．（2023·全国·高一专题练习）某商场在周年庆举行了一场抽奖活动，抽奖箱中所有乒乓球都是质地均匀，大小与颜色相同的，且每个小球上标有1，2，3，4，5，6这6个数字中的一个，每个号都有若干个乒乓球.抽奖顾客有放回地从抽奖箱中抽取小球，用x表示取出的小球上的数字，当时，该顾客积分为3分，当时，该顾客积分为2分，当时，该顾客积分为1分.以下是用电脑模拟的抽签，得到的30组数据如下：
(1)以此样本数据来估计顾客的抽奖情况，分别估计某顾客抽奖1次，积分为3分和2分的概率：
(2)某顾客抽奖3次，求该顾客至多有1次的积分大于1的概率.
3．（2022·全国·高一专题练习）某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解全校学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取100名学生进行问卷调查.将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间（单位：时）各分为5组[0，10）、[10，20）、[20，30）、[30，40）、[40，50]，得到频率分布直方图如图所示.
(1)估计全校学生中课外阅读时间在[30，40）小时内的总人数是多少；
(2)从课外阅读时间不足10小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有2个初中生的概率；
(3)国家规定，初中学生平均每人每天课外阅读时间不少于半个小时.若该校初中学生课外阅读时间小于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间，根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加初中学生的课外阅读时间？并说明理由.
4．（2021·高一课时练习）小张大学毕业后决定选择自主创业，在进行充分的市场调研下得到如下的两张表格：
项目B的表格中的两个数据丢失，现用x，y代替但调研时发现：投资A，B这两个项目的平均利润率相同.以下用频率代替概率，A，B两个项目的利润情况互不影响.
（1）求x，y的值，并分别求投资A，B项目不亏损的概率；
（2）小张在进行市场调研的同时，拿到了100万人民币的风险投资现在小张与投资方决定选择投资其中的一个项目进行投资，请你从统计学的角度给出一个建议，并阐述你的理由.
5．（2023湖南）年是全面建成小康社会目标实现之年，是全面打赢脱贫攻坚战收官之年.为帮助某村巩固扶贫成果，该村的结对帮扶共建企业在该村建立了一座精米加工厂，并对粮食原料进行深加工，研发出一种新产品，已知该产品的质量以某项指标值为衡量标准，质量指标的等级划分如表：
为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，从中随机抽取了件产品，测量了每件产品的指标值，得到如下的产品质量指标值的频率分布直方图；设，当时，满足.
（1）试估计样本质量指标值的中位数；
（2）从样本质量指标值不小于的产品中采用分层抽样的方法抽取件产品，然后从这件产品中任取件产品，求至少有件级品的概率.
6．（2022春·河北衡水·高一校考阶段练习）某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图.
（1）求图中的值；
（2）求这组数据的平均数和中位数；
（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.
7．（2022春·广西百色·高一统考期末）某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期两人5次数学考试的成绩，统计结果如下表：
（Ⅰ）已知甲、乙两名学生这5次数学考试成绩的平均分都为83分，若从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，请从统计学的角度考虑，你认为选谁参加数学竞赛较合适？并说明理由；
（Ⅱ）若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰.方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被淘汰.已知学生甲、乙都只会5道备选题中的3道，那么你推荐的选手选择哪种答题方案进入复赛的可能性更大？并说明理由.
8．（2023辽宁）某市为了了解校园安全教育系列活动的成效，对全市高中生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化，现随机抽取部分高中生的答卷，统计结果如下，对应的频率分布直方图如图所示．
（1）求、的值；
（2）估计该市高中生测试成绩评定等级为“合格”的概率；
（3）在抽取的答卷中，用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的答卷中抽取5份，再从这5份答卷中任取2份，求恰有1份评定等级为“不合格”的概率体重变化
体重减轻
体重不变
体重增加
人数
600
200
200
环数
击中的次数
射击次数
50
100
200
400
1000
射中8环以上的次数
44
78
158
320
800
抽取件数
50
100
150
200
300
400
检出次品件数
5
7
9
15
21
30
检出次品频率
1
3
1
1
6
3
3
4
1
2
4
1
2
5
3
1
2
6
3
1
6
1
2
1
2
2
5
3
4
5
利润占投入的百分比
10%
5%
频率
50%
40%
10%
利润占投入的百分比
10%
5%
频率
40%
x
y
质量指标值
产品等级
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲的成绩（分）
80
85
71
92
87
乙的成绩（分）
90
76
75
92
82
等级
不合格
合格
得分
[20，40）
[40，60）
[60，80）
[80，100）
频数
12
48
24
10.3 频率与概率（精练）
1．（2022·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．任何事件的概率总是在(0，1)之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
【答案】C
【解析】必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，故A错；
频率是由试验的次数决定的，故B错；概率是频率的稳定值，故C正确，D错．故选：C．
2．（2022·高一单元测试）某人将一枚硬币连抛20次，正面朝上的情况出现了12次.若用A表示事件“正面向上”，则A的（ ）
A．频率为B．概率为C．频率为D．概率接近
【答案】A
【解析】依题意可知，事件的频率为，概率为.所以A选项正确，BCD选项错误.故选：A
3．（2022春·海南省直辖县级单位·高一嘉积中学校考期末）抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，下列说法正确的是（ ）
A．正面向上的概率为0.48B．反面向上的概率是0.48
C．正面向上的频率为0.48D．反面向上的频率是0.48
【答案】C
【解析】对于A，正面向上的概率为0.5，是固定不变的，故错误；
对于B，反面向上的概率也是0.5，是固定不变的，故错误；
对于C，抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，根据频率的定义可知，正面向上的频率为0.48，正确；对于D，抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，反面向上的次数为52次，根据频率的定义可知，反面向上的频率是0.52，故错误.故选：C.
4．（2022·全国·高一专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．随机事件的概率与频率是一样的
B．在试验中，某事件发生的频率的取值范围是
C．必然事件的概率是1
D．不可能事件的概率是0
【答案】A
【解析】对于选项A，概率是唯一的确定的值，而频率是统计出来的，通过一次次的试验得到，因此随机事件的概率与频率是两个不同的概念，故A错误；
对于选项B，频率是指是指每个对象出现的次数与总次数的比值，故取值范围是，故B正确；
对于选项C，D，由必然事件和不可能事件的定义可知，说法正确.
故选：A
5（2022·全国·高一专题练习）以下是表述“频率”与“概率”的语句：
①在大量试验中，事件出现的频率与其概率很接近；
②概率可以作为当实验次数无限增大时频率的极限；
③计算频率通常是为了估计概率．
其中正确的语句为（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【解析】事件的频率是指事件发生的频数与次事件中事件出现的次数比，
随机事件在每次实验中是否会发生是不能预料的，但在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件发生的频率会逐渐稳定在区间中的某个常数上，这个常数就是事件的概率．所以随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率．计算频率通常是为了估计概率．
所以①②③都正确，
故选：D.
6．（2022·全国·高一专题练习）下列叙述随机事件的频率与概率的关系中哪个是正确的（ ）
A．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．概率是随机的，在试验前不能确定
D．频率就是概率
【答案】A
【解析】事件的频率是指事件发生的频数与次事件中事件出现的次数比，
一般来说，随机事件在每次实验中是否会发生是不能预料的，但在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件发生的频率会逐渐稳定在区间，中的某个常数上，这个常数就是事件的概率．
随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率．
故选：A．
7．（2022·高一单元测试）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了40次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A．0.4，0.4B．0.5，0.5C．0.4，0.5D．0.5，0.4
【答案】C
【解析】某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，正面朝上出现了40次，
所以出现正面朝上的频率为，
因为每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是0.5，
所以出现正面朝上的概率是0.5，
故选：C
8．（2023·全国·高一专题练习）一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色的围棋子放入其中，充分捡拌后随机抽出了20颗，数得其中有5颗黑色的围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子的数目约为（ ）
A．200颗B．300颗C．400颗D．500颗
【答案】B
【解析】设白色围棋子的数目为 n，则由已知可得，解得，
即白色围棋子的数目大约有300颗.故选：B.
9．（2023天津）某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，体重变化结果统计如表格．如果另一人服用此药，估计这个人的体重减轻的概率约为（ ）
A．0.1B．0.2C．0.4D．0.6
【答案】D
【解析】由表格可得这个人的体重减轻的概率约为.故选：D．
10．（2022春·湖南岳阳·高一统考期末）天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206．据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，随机数中417，386，196，206表示这三天中恰有两天下雨，故估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为故选：B
11．（2022春·吉林长春·高一长春市第二实验中学校考期中）袋子中装有大小相同2个红球，4个蓝球，搅拌均匀后从中随机摸出3个球，现在用数字0，1表示红球，数字2，3，4，5表示蓝球，通过计算器随机模拟10次该试验，得到如下数据：024 234 213 012 034 125 035 345 134 304三个数为一组，代表摸到三个球的结果，以此估计，摸到三个球都是蓝球的概率为（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
【答案】A
【解析】摸到三个球都是篮球的有234，345，估计摸到三个球都是蓝球的概率为.故选：A
12．（2022春·天津西青·高一天津市第九十五中学益中学校校考阶段练习）某射箭运动员进行射箭训练，射箭次，统计结果如下：
则估计他击中的环数不小于的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】击中的环数不小于的频率为，因此估计相应概率为.故选：B
13．（2022·全国·高一专题练习）长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约有40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为（ ）
A．0.125B．0.25C．0.375D．0.4
【答案】C
【解析】玩手机不超过1小时的学生占，设其近视率为，
则有，，根据近视率可得任意调查其中一名学生，则他近视的概率约为.故选：C
14（2022·高一课时练习）某射击运动员在同一条件下射击的成绩记录如表所示：
根据表中的数据，估计该射击运动员射击一次射中8环以上的概率为（ ）
A．0.78B．0.79C．0.80D．0.82
【答案】C
【解析】大量重复试验，由表格知射击运动员射中8环以上的频率稳定在，
所以这名运动员射击一次射中8环以上的概率为，故选：C.
15．（2023北京）气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说法正确的是（ ）
A．本市明天将有70%的地区降雨B．本市有天将有70%的时间降雨
C．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大D．明天出行不带雨具肯定要淋雨
【答案】C
【解析】气象台预报“本市明天降雨概率是70%”,则本市明天降雨的可能性比较大.与降水地区面积和降水时间无关,所以A,B错误.降水概率是事件发生的可能,不是一定会发生的事情,所以D错误.
而由降水概率是70%,可知降水概率较大,所以明天出行不带雨具淋雨的可能性很大,所以C正确.故选:C.
16．（2023·全国·高一专题练习）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）
A．42名B．32名C．24名D．18名
【答案】D
【解析】由于“第二天的新订单超过1600份的概率为0.05”，即“第二天的新订单量小于或等于1600份的概率为0.95”，
所以只要第二天能把原有积压500份和第二天新订单（按1600份计算）消化掉，就能满足题意：
第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，第二天新增积压订单数为，两天共积压份，
因为，故至少需要志愿者名.
故选：D
17．（2022·全国·高一专题练习）经过科学的研究论证，人类的四种血型与基因类型的对应为：型的基因类型为，型的基因类型为或，型的基因类型为或，型的基因类型为，其中、是显性基因，是隐性基因.若一对夫妻的血型一个型，基因类型为，一个型，基因类型为.则他们的子女的血型为（ ）
A．型或型B．型或型
C．型或型D．型或型
【答案】D
【解析】因为一对夫妻的血型一个型，基因类型为，一个型，基因类型为，
则他们的子女的基因类型为：、，
所以对应的血型为型或型.
故选：D.
18．（2021·高一课时练习）数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2020石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．222石B．224石
C．230石D．232石
【答案】B
【解析】由题意，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，即夹谷占有的概率为，所以2020石米中夹谷约为2020×≈224(石)．故选：B
19．（2022·高一课前预习）已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A．0.35B．0.25C．0.20D．0.15
【答案】B
【解析】三次投篮共有20种，
恰有两次命中的事件有：191，271，932，812，393，有5种
∴该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为
故选：B
20．（2023河北）在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A．0.45，0.45B．0.5，0.5C．0.5，0.45D．0.45，0.5
【答案】D
【解析】根据由频率和概率的概念,可知出现正面朝上的频率是,
出现正面朝上的概率是0.5.故选:D.
21．（2022·全国·高一专题练习）袋中有2个黑球，3个白球，除颜色外完全相同，从中有放回地取出一球，连取三次，观察球的颜色.用计算机产生0到9的数字进行模拟试验，用0，1，2，3代表黑球，4，5，6，7，8，9代表白球，在下列随机数中表示结果为二白一黑的组数为（ ）
160 288 905 467 589 239 079 146 351
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】由题意可知，288，905，079，146表示二白一黑，所以有4组.故选:B.
22．（2022·全国·高一专题练习）已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281
据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（ ）
A．0.85B．0.8192C．0.8D．0.75
【答案】D
【解析】由于组数，有组是至少命中次的，故概率为.
23．（2022·高一课时练习）（多选）小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了30次，每次朝上的点数都是2，则下列说法正确的是（ ）
A．朝上的点数是2的概率和频率均为1
B．若抛掷30000次，则朝上的点数是2的频率约为0.17
C．抛掷第31次，朝上的点数一定不是2
D．抛掷6 000次，朝上的点数为2的次数大约为1000次
【答案】BD
【解析】由题意知朝上的点数是2的频率为，概率为，故A错误；
当抛掷次数很多时，朝上的点数是2的频率在附近摆动，故B正确；
抛掷第31次，朝上的点数可能是2，也可能不是2，故C错误；
每次抛掷朝上的点数是2的概率为，所以抛掷6000次朝上的点数为2的次数大约为．（理论和实际会有一定的出入）故D正确.
故选：BD
24．（2022春·新疆巴音郭楞·高一校考期末）（多选）下列说法错误的是（ ）
A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率
B．某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票一定能中奖
C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为
D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水
【答案】BCD
【解析】】由频率和概率的关系可知随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率，A正确，
某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票不一定能中奖，B错误，
掷一枚硬币出现反面的概率为，C错误，
某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是明天有70%的可能会降水，D错误，
故选：BCD.
25．（2022·高一单元测试）（多选）小明与小华两人玩游戏，则下列游戏公平的有（ ）
A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜
B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜
C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜
D．小明､小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜
【答案】ACD
【解析】对于A，抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数和向上的点数为偶数是等可能的，所以游戏公平
对于B，恰有一枚正面向上包括正，反反，正两种情况，而两枚都正面向上仅有正，正一种情况，
所以游戏不公平
对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色和扑克牌是黑色是等可能的，所以游戏公平
对于D，小明､小华两人各写一个数字6或8，一共四种情况：（6,6），（6,8），（8,6），（8,8）；两人写的数字相同和两人写的数字不同是等可能的，所以游戏公平．
故选：ACD．
1．（2023·高一单元测试）对一批西装进行了多次检查，并记录结果如下表：
(1)根据表中数据，计算并填写每次检出次品的频率；
(2)从这批西装中任意抽取一件，抽到次品的经验概率是多少？
(3)如果要销售1000件西装，至少要额外准备多少件正品西装以供买到次品的顾客调换？
【答案】(1)0.1，0.07，0.06，0.075，0.07，0.075；(2)0.075；(3)75件.
【解析】（1）利用频率的计算公式可得，
每次次检出次品的频率即为当次检出次品件数除以本次抽取件数，
所以从左到右的6次检测对应的频率分别为：
，，，
，，
所以，对应的频率表格如下：
（2）从这批西装中任意抽取一件，抽到次品的经验概率约为6次检出次品频率的稳定值，
即，
所以抽到次品的经验概率约为；
（3）由（2）可知，销售1000件西装大约有件次品，
所以，应当准备75件正品西装以供买到次品的顾客调换.
2．（2023·全国·高一专题练习）某商场在周年庆举行了一场抽奖活动，抽奖箱中所有乒乓球都是质地均匀，大小与颜色相同的，且每个小球上标有1，2，3，4，5，6这6个数字中的一个，每个号都有若干个乒乓球.抽奖顾客有放回地从抽奖箱中抽取小球，用x表示取出的小球上的数字，当时，该顾客积分为3分，当时，该顾客积分为2分，当时，该顾客积分为1分.以下是用电脑模拟的抽签，得到的30组数据如下：
(1)以此样本数据来估计顾客的抽奖情况，分别估计某顾客抽奖1次，积分为3分和2分的概率：
(2)某顾客抽奖3次，求该顾客至多有1次的积分大于1的概率.
【答案】(1)，
(2)
【解析】（1）由题意可知某顾客抽奖1次，积分为3分的频率是，
则估计某顾客抽奖1次，积分为3分的概率为.
某顾客抽奖1次，积分为2分的频率是，
则估计某顾客抽奖1次，积分为2分的概率为.
（2）由（1）可知某顾客抽奖1次，积分为1分的概率是，
则某顾客抽奖1次，所得积分是1分和所得积分大于1分是等可能事件.
设某顾客抽奖1次，积分为1分，记为A，积分大于1分，记为a，
则某顾客抽奖3次，每次所得积分的情况为aaa，aaA，aAA，aAa，AAa，AAA，AaA，Aaa，
共8种，其中符合条件的情况有aAA，AAa，AAA，AaA，共4种，
故所求概率.
3．（2022·全国·高一专题练习）某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解全校学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取100名学生进行问卷调查.将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间（单位：时）各分为5组[0，10）、[10，20）、[20，30）、[30，40）、[40，50]，得到频率分布直方图如图所示.
(1)估计全校学生中课外阅读时间在[30，40）小时内的总人数是多少；
(2)从课外阅读时间不足10小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有2个初中生的概率；
(3)国家规定，初中学生平均每人每天课外阅读时间不少于半个小时.若该校初中学生课外阅读时间小于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间，根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加初中学生的课外阅读时间？并说明理由.
【答案】(1)720人
(2)
(3)需要增加，理由见解析
【解析】（1）
由分层抽样知，抽取的初中生有人，高中生有人．
初中生中，课外阅读时间在，小时内的频率为:
，学生人数为人．
高中生中，课外阅读时间在，小时内的频率为:
，学生人数约有人，
全校学生中课外阅读时间在，小时内学生总人数为人．
（2）
记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，至少有2个初中生”为事件，
初中生中，阅读时间不足10个小时的学生人数为人，
高中生中，阅读时间不足10个小时的学生人数为人．
记这3名初中生为，，，这2名高中生为，，
则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，所有可能结果共有10种，
即，，，，，，，，，，
而事件的结果有7种，它们是：，，，，，，，
至少抽到2名初中生的概率为．
（3）
样本中的所有初中生平均每天阅读时间为:
（小时），而（小时），
，该校需要增加初中学生课外阅读时间．
4．（2021·高一课时练习）小张大学毕业后决定选择自主创业，在进行充分的市场调研下得到如下的两张表格：
项目B的表格中的两个数据丢失，现用x，y代替但调研时发现：投资A，B这两个项目的平均利润率相同.以下用频率代替概率，A，B两个项目的利润情况互不影响.
（1）求x，y的值，并分别求投资A，B项目不亏损的概率；
（2）小张在进行市场调研的同时，拿到了100万人民币的风险投资现在小张与投资方决定选择投资其中的一个项目进行投资，请你从统计学的角度给出一个建议，并阐述你的理由.
【答案】（1），，90%，95%；（2）建议投资B项目，理由见解析.
【解析】（1）投资项目A的平均利润率为，
投资项目B的平均利润率为
，
因为投资A，B这两个项目的平均利润率相同，
所以，
解得，，
所以投资A项目不亏损的概率为，
投资B项目不亏损的概率为；
（2）考察角度一：
由（1）得，投资B项目不亏损的概率比较大，故建议投资B项目.
考察角度二：
投资A项目利润率的方差为，，
投资B项目利润率的方差为，，
所以投资A项目利润率的方差大于投资B项目利润率的方差，
即投资B项目的利润比较稳定，为此建议投资B项目.
5．（2023湖南）年是全面建成小康社会目标实现之年，是全面打赢脱贫攻坚战收官之年.为帮助某村巩固扶贫成果，该村的结对帮扶共建企业在该村建立了一座精米加工厂，并对粮食原料进行深加工，研发出一种新产品，已知该产品的质量以某项指标值为衡量标准，质量指标的等级划分如表：
为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，从中随机抽取了件产品，测量了每件产品的指标值，得到如下的产品质量指标值的频率分布直方图；设，当时，满足.
（1）试估计样本质量指标值的中位数；
（2）从样本质量指标值不小于的产品中采用分层抽样的方法抽取件产品，然后从这件产品中任取件产品，求至少有件级品的概率.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）当时，，，频率为；
当时，，，频率为；
当时，，，频率为.
各产品等级的频率如下表所示：
，，
所以，，解得；
（2）所抽取的件产品中，级品的数量为，分别记为、、，
级品的数量为，分别记为、、、，
从这件产品中任取件产品，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共个基本事件，
其中，事件“所抽的件产品中至少有件级品”包含个基本事件，
因此，所求事件的概率为.
6．（2022春·河北衡水·高一校考阶段练习）某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图.
（1）求图中的值；
（2）求这组数据的平均数和中位数；
（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.
【答案】（1）；（2）平均数为，中位数设为；（3）.
【解析】（1）由，解得.
（2）这组数据的平均数为.
中位数设为，则，解得.
（3）满意度评分值在内有人，其中男生3人，女生2人.记为，
记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件，
从5人中抽取2人有：，，，，， ，，，，
所以总基本事件个数为10个，包含的基本事件个数为3个，
所以 .
7．（2022春·广西百色·高一统考期末）某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期两人5次数学考试的成绩，统计结果如下表：
（Ⅰ）已知甲、乙两名学生这5次数学考试成绩的平均分都为83分，若从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，请从统计学的角度考虑，你认为选谁参加数学竞赛较合适？并说明理由；
（Ⅱ）若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰.方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被淘汰.已知学生甲、乙都只会5道备选题中的3道，那么你推荐的选手选择哪种答题方案进入复赛的可能性更大？并说明理由.
【答案】（Ⅰ）乙参加，理由见解析；（Ⅱ）方案二，理由见解析.
【解析】（Ⅰ）选派乙参加数学竞赛较合适．
理由如下：
由题知
，
甲成绩的方差，
乙成绩的方差，
由，，可知甲乙平均分相同，但乙的成绩比甲稳定，
故选派乙参加数学竞赛较合适．
（Ⅱ）5道备选题中学生会的3道分别记为，，，不会的2道分别记为，，
方案一：学生从5道备选题中任意抽出1道的结果有：，，，，，共5 种，
抽中会的备选题的结果有，，，共3种，
此方案学生可参加复赛的概率．
方案二：学生从5道备选题中任意抽出3道的结果有：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共10种，
抽中至少2道会的备选题的结果有：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共7种，
此方案学生可参加复赛的概率．
，推荐的选手选择方案二答题方案进入复赛的可能性更大．
8．（2023辽宁）某市为了了解校园安全教育系列活动的成效，对全市高中生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化，现随机抽取部分高中生的答卷，统计结果如下，对应的频率分布直方图如图所示．
（1）求、的值；
（2）估计该市高中生测试成绩评定等级为“合格”的概率；
（3）在抽取的答卷中，用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的答卷中抽取5份，再从这5份答卷中任取2份，求恰有1份评定等级为“不合格”的概率
【答案】（1），；（2）；（3）．
【解析】（1）由表格可知样本容量为
所以，即
由，即
（2）（或）
由此估计该市高中生测试成绩等级为“合格”的概率是
（3）合格的有72人、不合格的有48人抽样比
故从评定等级为“合格”的答卷中抽取的份数为，记为、、
从评定等级为“不合格”的答卷中抽取的份数为，记为、
则从5份答卷中抽取2份，基本事件
共10个基本事件
记事件：恰有1份评定等级为“不合格”
共6个基本事件
则从这5份答卷中抽取2份，恰有1份评定等级为“不合格”的概率为
体重变化
体重减轻
体重不变
体重增加
人数
600
200
200
环数
击中的次数
射击次数
50
100
200
400
1000
射中8环以上的次数
44
78
158
320
800
抽取件数
50
100
150
200
300
400
检出次品件数
5
7
9
15
21
30
检出次品频率
抽取件数
50
100
150
200
300
400
检出次品件数
5
7
9
15
21
30
检出次品频率
0.1
0.07
0.06
0.075
0.07
0.075
1
3
1
1
6
3
3
4
1
2
4
1
2
5
3
1
2
6
3
1
6
1
2
1
2
2
5
3
4
5
利润占投入的百分比
10%
5%
频率
50%
40%
10%
利润占投入的百分比
10%
5%
频率
40%
x
y
质量指标值
产品等级
质量指标值
产品等级
频率
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲的成绩（分）
80
85
71
92
87
乙的成绩（分）
90
76
75
92
82
等级
不合格
合格
得分
[20，40）
[40，60）
[60，80）
[80，100）
频数
12
48
24
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