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人教A版 (2019)必修 第二册第十章 概率10.1 随机事件与概率精品同步练习题
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考法一 事件的类型
【例1-1】（2024浙江）给出下列事件：
①函数在定义域内为增函数；
②小学生和张怡宁打乒乓球，张怡宁胜利；
③一所学校共有名学生，有名学生的生日相同；
④若集合、、满足，，则；
⑤在标准大气压下，河流在时结冰；
⑥从、、中任选两数相加，其和为偶数.
其中属于随机事件的是 ，属于必然事件的是 ，属于不可能事件的是 （填序号）.
【答案】 ②③ ④⑥ ①⑤
【解析】①中函数在定义域为减函数，说法不正确，故为不可能事件；
②中可能张怡宁胜利也可能小学生胜利，故为随机事件；
③中，因为，所以，有可能有名学生的生日相同，也有可能没有名学生的生日相同，故为随机事件；
④中，根据集合的包含关系，④中说法正确，故为必然事件；
⑤中的说法不正确，故为不可能事件；
⑥中任意两奇数和均为偶数，说法正确，故为必然事件.
故答案为：②③；④⑥；①⑤.
【例1-2】（2024四川巴中）如图，由A，B两盏正常的小灯泡组成并联电路，当闭合开关时，下列事件为必然事件的是（ ）
A．A灯亮，B灯不亮B．A灯不亮，B灯亮
C．A，B两盏灯均亮D．A，B两盏灯均不亮
【答案】C
【解析】由A，B两盏正常的小灯泡组成并联电路，当闭合开关时，可知A，B两盏灯均亮.
故选：C.
【一隅三反】
1．（2023陕西咸阳·阶段练习）下列事件中，随机事件的个数为（ ）
①甲，乙两人下棋，甲获胜；
②小明过马路，遇见车的车牌号尾号是奇数；
③某种彩票的中奖率为99%，某人买一张此种彩票中奖；
④用任意平面截球体，所得截面图形是椭圆形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】根据随机事件的知识可知：①②③是随机事件，④是不可能事件，所以随机事件的个数为个.
故选：C
2．（2023湖北咸宁 ）在不透明的布袋中，装有大小、形状完全相同的3个黑球、1个红球，从中摸一个球，摸出1个黑球这一事件是 （ ）
A．必然事件B．随机事件C．确定事件D．不可能事件
【答案】B
【解析】根据题意，从布袋中摸出一个球，有可能是黑球，也有可能是红球，故摸出1个黑球是随机事件.
故选：B.
3．（2023云南）判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？
（1）抛掷一块石子，下落；.
（2）在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化；
（3）某人射击一次，中靶；
（4）如果，那么；
（5）掷两枚硬币，均出现反面；
（6）抛掷两枚骰子，点数之和为15；
（7）从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签；
（8）某电话机在1分钟内收到2次呼叫；
（9）绿叶植物，不会光合作用；
（10）在常温下，焊锡熔化；
（11）若为实数，则；
（12）某人开车通过十个路口，都遇到绿灯；
其中必然事件有 ；不可能事件有 ；随机事件有
【答案】 （1）、（4）、（11） （2）、（6）、（9）、（10） （3）、（5）、（7）、（8）、（12）
【解析】（1）抛掷一块石子，下落，是必然事件；
（2）在标准大气压下且温度低于0℃时，冰不可能融化，是不可能事件；
（3）某人射击一次，可能中靶，也可能不中靶，是随机事件；
（4）如果，那么必然成立，是必然事件；
（5）掷两枚硬币，有四种情况，均出现反面可能发生也可能不发生，是随机事件；
（6）抛掷两枚骰子，点数之和最大为12，所以点数之和为15不可能发生，是不可能事件；
（7）从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，有5种情况，得到4号签是随机事件；
（8）某电话机在1分钟内收到呼叫次数不确定，所以收到2次呼叫是随机事件；
（9）绿叶植物，都会光合作用，所以是不可能事件；
（10）焊锡熔点一般为183度，所以常温不可能熔化，是不可能事件；
（11）若为实数，则必然成立，是必然事件；
（12）某人开车通过十个路口，红绿灯都可能遇到，所以都遇到红灯是随机事件；
故答案为：（1）、（4）、（11）；（2）、（6）、（9）、（10）；（3）、（5）、（7）、（8）、（12）
考法二 样本点与样本空间
【例2-1】（2023高一·全国·随堂练习）写出下列试验的样本空间：
(1)连续抛掷一枚硬币2次，观察正面、反面出现的情况；
(2)甲、乙、丙、丁四位同学参加演讲比赛，通过抽签确定演讲的顺序，记录抽签的结果；
(3)连续抛掷一枚骰子2次，观察2次掷出的点数之和；
(4)设袋中装有4个白球和6个黑球，从中不放回地逐个取出，直至白球全取出，记录取球的次数．
【答案】(1)正面，正面，正面，反面，反面，正面，反面，反面
；
(2)答案见解析；
(3)；
(4)．
【解析】（1）第一次硬币向上面与第二次硬币向上的面构成一个样本点，样本空间为：
正面，正面，正面，反面，反面，正面，反面，反面
（2）四个同学的一个排列构成一个样本点，样本空间为：
甲乙丙丁，甲乙丁丙，甲丙乙丁，甲丙丁乙，甲丁乙丙，甲丁丙乙，乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙丙丁甲，乙丁甲丙，乙丁丙甲，丙乙甲丁，丙乙丁甲，丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙丁乙甲，丙丁甲乙，丁乙丙甲，丁乙甲丙，丁丙乙甲，丁丙甲乙，丁甲乙丙，丁甲丙乙；
（3）第一枚骰子和第二枚骰子的点数和构成一个样本点，样本空间为：
；
（4）白球全部取出，至少取4次，最多取10次，样本空间为：．
【例2-2】（2023北京）在一个袋子中装有分别标注1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的样本点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的样本点为，
所以取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的样本点个数为4.
故选：C
【一隅三反】
1．（2023广东深圳）做投掷2枚均匀骰子的试验，用（x，y）表示结果，其中x表示第一枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数．写出：
(1)试验的样本空间Ω；
(2)事件“出现点数之和大于8”包含的样本点；
(3)事件“出现点数相等”包含的样本点；
(4)事件“出现点数之和等于7”包含的样本点．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)
(4)(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)
【解析】（1）试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，
(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，
(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，
(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}．
（2）“出现点数之和大于8”包含以下10个样本点：
(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).
（3）“出现点数相等”包含以下6个样本点：
(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6).
（4）“出现点数之和等于7”包含以下6个样本点：
(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1).
2．（2023高一·全国·课时练习）从两名男生（记为和）和两名女生（记为和）这四人中依次选取两名学生．
(1)请写出有放回简单随机抽样的样本空间；
(2)请写出不放回简单随机抽样的样本空间．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【解析】（1）有放回简单随机抽样时，样本空间为：
,共16个样本点.
（2）不放回简单随机抽样时，样本空间为：
,共12个样本点.
考法三 互斥与对立事件
【例3-1】（2023安徽）从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球，那么互斥不对立的事件是（ ）
A．恰有一个黄球与恰有一个蓝球B．至少有一个黄球与都是黄球
C．至少有一个黄球与都是蓝球D．至少有一个黄球与至少有一个蓝球
【答案】A
【解析】从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下4种：
①3个球全是黄球；
②2个黄球和1个蓝球；
③1个黄球2个蓝球；
④3个球全是蓝球．
对于A，恰有一个黄球是情况③，恰有一个蓝球是情况②，
∴恰有一个黄球与恰有一个蓝球是互斥不对立的事件，故A正确；
对于B，至少有一个黄球是情况①②③，都是黄球是情况①，
∴至少有一个黄球与都是黄球能同时发生，不是互斥事件，故B错误；
对于C，至少有一个黄球是情况①②③，都是蓝球是情况④，
∴至少有一个黄球与都是蓝球是对立事件，故C错误；
对于D，至少有一个黄球是情况①②③，至少有一个蓝球是情况②③④，
∴至少有一个黄球与至少有一个蓝球能同时发生，不是互斥事件，故D错误．
故选：A．
【例3-2】（2023·新疆）一个人打靶时连续射击3次，则事件“至少有两次中靶”的对立事件为（ ）
A．至多有一次中靶B．至多有两次中靶
C．恰好有一次中靶D．三次都中靶
【答案】A
【解析】由题意，事件“至少有两次中靶”的对立事件为“至多有一次中靶”.故选：A.
【一隅三反】
1．（2023·湖南岳阳 ）从1，2，3，4，5中任取2个数，设事件“2个数都为偶数”，“2个数都为奇数”，“至少1个数为奇数”，“至多1个数为奇数”，则下列结论正确的是（ ）
A．与是互斥事件B．与是互斥但不对立事件
C．与是互斥但不对立事件D．与是对立事件
【答案】A
【解析】根据题意
，
则，所以与是互斥事件，A正确；
，所以与是互斥且对立事件，B错误；
，所以与是互斥且对立事件，C错误；
所以与不是对立事件，D错误.
故选：A.
2．（2023陕西 ）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ）
A．甲与丙是互斥事件B．乙与丙是对立事件
C．甲与丁是对立事件D．丙与丁是互斥事件
【答案】D
【解析】对于A，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，
丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则两次取球的情况有，
所以事件甲丙可能同时发生，不是互斥事件，A错误；
对于B，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，
丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，是互斥不对立的事件，B错误；
对于C，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，
丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，
则两次取球的情况有等，所以甲丁可能同时发生，不是互斥事件，C错误；
对于D，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，
丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，两个事件不会同时发生，是互斥事件，D正确；
故选：D．
3．（2024陕西）从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取1张，下列每组事件是否为互斥事件？若是互斥事件，则是否互为对立事件？若不是对立事件，请分别说出事件、事件的对立事件．
(1)表示“抽出的牌是红心”，表示“抽出的牌是方片”；
(2)表示“抽出的牌是红心”，表示“抽出的牌是K”；
(3)表示“抽出的牌是红色牌”，表示“抽出的牌是黑色牌”；
(4)表示“抽出的牌面是2，3，4，6，10之一”，表示“抽出的牌是方片”；
(5)表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”，表示“抽出的牌面是J，Q，K，A之一”；
(6)表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7之一的一张方片”，表示“抽出的牌面是8，9，10，J，Q，K，A之一的一张方片”．
【答案】(1)答案见解析
(2)与不互斥也不对立
(3)与互斥且与对立．
(4)与不互斥也不对立
(5)与互斥且与对立．
(6)答案见解析
【解析】（1）因为表示“抽出的牌是红心”，表示“抽出的牌是方片”，
所以与互斥，但与不对立．
的对立事件是“抽出的牌不是红心”，
的对立事件是“抽出的牌不是方片”．
（2）因为表示“抽出的牌是红心”，表示“抽出的牌是K”；
当出现红心K时，事件、都发生，所以与不互斥也不对立．
（3）因为表示“抽出的牌是红色牌”，表示“抽出的牌是黑色牌”；
所以与互斥且与对立．
（4）因为表示“抽出的牌面是2，3，4，6，10之一”，表示“抽出的牌是方片”；
当出现方片2，3，4，6，10之一，则事件、都发生，所以与不互斥也不对立．
（5）因为表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”，表示“抽出的牌面是J，Q，K，A之一”；
所以与互斥且与对立．
（6）因为表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7之一的一张方片”，
表示“抽出的牌面是8，9，10，J，Q，K，A之一的一张方片”．
所以与互斥，但与不对立．
的对立事件是“抽出的牌面不是方片2，3，4，5，6，7之一”，
的对立事件是“抽出的牌面不是方片8，9，10，J，Q，K，A之一”．
考法四 事件的关系与运算
【例4-1】（2023山东）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】用表示试验的射击情况，其中表示第1次射击的情况，表示第2次射击的情况，以1表示击中，0表示没中，
则样本空间.
由题意得，，，，
则，，且.即ABC都正确；
又，.
.故D不正确.
故选：D.
【一隅三反】
1．（2023·全国·单元测试）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】至少有1名男生包含2名全是男生､1名男生1名女生，故，，
故A，C正确；
事件B与D是互斥事件，故，故B正确，
表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示2名全是女生或名至少有一名男生，
故，D错误，
故选：D.
2（2023甘肃）1.抛掷相同硬币3次，记“至少有一次正面向上”为事件A，“一次正面向上，两次反面向上”为事件B，“两次正面向上，一次反面向上”为事件C，“至少一次反面向上”为事件D，“3次都正面向上”为事件E.
(1)试判断事件A与事件B，C，E的关系；
(2)试求AD，B+C所包含的样本点，并判断AD与B+C的关系.
【答案】(1)B⊆A，C⊆A，E⊆A，A=B+C+E
(2)AD={有正面向上，也有反面向上}，B+C={一次正面向上或两次正面向上}，AD=B+C
【解析】（1）事件A为“至少有一次正面向上”，包含“一次正面向上，两次反面向上”， “两次正面向上，一次反面向上”和“3次都正面向上”三个基本事件，所以B⊆A，C⊆A，E⊆A，A=B+C+E
（2）“至少一次反面向上”为事件D，包含“一次正面向上，两次反面向上”， “两次正面向上，一次反面向上”和“3次都反面向上”三个基本事件，可以看出事件A与事件D有相同的两个基本事件，即“一次正面向上，两次反面向上”， “两次正面向上，一次反面向上”，故AD={一次正面向上或两次正面向上}，B+C={一次正面向上或两次正面向上}，所以AD=B+C
3．（2023湖南）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：=“点数为i”，其中；=“点数不大于2”，=“点数大于2”，=“点数大于4”；E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”.判断下列结论是否正确.
（1）与互斥；（2），为对立事件；（3）；（4）；（5），；
（6）；（7）；（8）E，F为对立事件；（9）；（10）
【答案】（1）正确；（2）错误；（3）正确；（4）正确；（5）正确；（6）正确；（7）正确；（8）正确；（9）正确；（10）正确.
【解析】该试验的样本空间可表示为,
由题意知,,,,,.
（1）,,满足,所以与互斥,故正确；
（2）,,满足但不满足.所以为互斥事件,但不是对立事件,故错误；
根据对应的集合易得,（3）正确；（4）正确；（5）正确；
（6）,所以,故正确；（7）,故正确；
（8）因为, ,所以E,F为对立事件,故正确；
（9）正确；（10）正确.
4．（2024广西）设某随机试验的样本空间，事件，，，求下列事件：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【解析】1）由已知；
（2）由题意；
（3）由已知，，所以
（4）由已知，，所以．
考法五 古典概型
【例5-1】（2024河南洛阳 ）从集合中任取两个元素，则这两个元素的差的绝对值为2的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】从集合中任取两个元素的取法有，共6种，
其中满足两个元素的差的绝对值为2的取法有，共3种.
故这两个元素的差的绝对值为2的概率为.
故选：B.
【例5-2】（2024河南南阳）（多选）下列情境适合用古典概型来描述的是（ ）
A．向一条线段内随机地投射一个点，观察点落在线段上不同位置
B．五个人站一排，观察甲乙两人相邻的情况
C．从一副扑克牌（去掉大、小王共52张）中随机选取1张，这张牌是红色牌
D．某同学随机地向靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环，命中1环和脱靶
【答案】BC
【解析】对于A，实验结果有无数个，显然不是古典概型，故错误，对于B，实验结果有限且等可能，故正确，对于C，实验结果有限且等可能，故正确，对于D，显然实验并非等可能，故错误.
故选：BC
【一隅三反】
1．（2024高一上·山东威海）甲、乙两校各有名教师报名支教，若从报名的名教师中任选名，则选出的名教师来自不同学校的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设甲校报名支教的两名教师为，乙校报名支教的两名教师为，从这报名的名教师中任选名，共有这6种情况，
选出的名教师来自不同学校共有这4种情况，
所以所求概率为.故选：C.
2．（2024湖北咸宁 ）工厂从三名男工人和两名女工人中，选出两人参加技能大赛，则这两名工人恰好都是男工人的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】三名男工人记为，两名女工人记为，
任选两人的试验的样本空间，共10个样本点，
选出两人恰好都是男工人的事件，共3个样本点，
所以这两名工人恰好都是男工人的概率.
故选：C
3．（2024上海）安徽省新高考拟采用“”模式，其中“3”指的是语文、数学、英语三科必选科目，“1”指的是从物理或历史两科中选一科，即“首选科目”，“2”指的是从化学、生物、思想政治、地理四科中选两科，即“再选科目”.已知某工业大学工程类招生选科要求首选科目为物理，再选科目为化学、生物中至少有1科.从所有选科组合中任意选取1个，则选科组合符合该工业大学工程类招生选科要求的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】用，，，，，分别表示“选择物理”“选择历史”“选择化学”“选择生物”“选择思想政治”“选择地理”，则所有选科组合的样本空间，
共有12个样本点，且每个样本点出现的可能性相同.设事件表示“选科组合符合该工业大学工程类招生选科要求”，则，共有5个样本点，∴.故选：C.
4（2024山东）1981年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，每年9月第二个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”，竞赛分为一试（满分120分）和二试（满分180分），在这项竞赛中取得优异成绩的学生有资格参加由中国数学会奥林匹克委员会主办的“中国数学奥林匹克暨全国中学生数学冬令营”，已知2023年某地区有50名学生参加全国高中数学联赛，其取得的一试成绩绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求实数的值并估计这50名学生一试成绩的70%分位数；
(2)若一试成绩在100分及以上的试卷需要主委会抽样进行二次审阅，评审员甲在这50名学生一试成绩中按照分层抽样的原则从和内抽取3份试卷进行审阅，已知同学的成绩是105分，同学的成绩是111分，求这两位同学的试卷同时被抽到的概率．
【答案】(1)，70%分位数为91；
(2).
【解析】（1）由上表可知，，解得，
设这50名学生一试成绩的70%分位数为，
由于前三个矩形面积，前四个矩形面积，
故得，，解得，
即这50名学生一试成绩的70%分位数约为91．
（2）由图知，成绩在有人，成绩在有人，
根据分层抽样的原则，成绩在抽2份，成绩在抽1份，
设，，，四位同学的成绩在，，两位同学的成绩在，
根据分层抽样的原则有，，，，，，，，，
，，共12个样本，符合条件的，，共3个样本，
所以符合条件的概率为，即，两位同学的试卷都被抽到的概率为．
考法六 概率的基本性质
【例6-1】（2024河南）已知，.（1）如果，那么 ， ， ；（2）如果A，B互斥，那么 ， ， .
【答案】 0.5 0.3 0.2 0.8 0 0.5
【解析】（1）如果，那么，，所以，，.
（2）如果A，B互斥，那么，则，，.
故答案为：0.5；0.3；0.2；0.8；0；0.5
【例6-2】（2023高一上·全国·专题练习）（多选题）设为两个随机事件，以下命题错误的为（ ）
A．若是对立事件，且，则
B．若是对立事件，则
C．若是互斥事件，，，则
D．若是互斥事件，，则
【答案】AC
【解析】对于选项A，若是对立事件，则，故A项错误；
对于选项B，当是对立事件时，，故B项正确；
对于选项C，当是互斥事件，，，则，故C项错误；
对于选项D，若是互斥事件，，则，故D项正确.
故选：AC.
【一隅三反】
1．（23-24高一上·江西吉安·期末）已知事件A，B是互斥事件，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵，，∴，
∵事件A，B是互斥事件，∴．故选：C
2（2023高一上·全国·专题练习）（多选题）设为古典概率模型中的两个随机事件，以下命题正确的为（ ）
A．若，，则当且仅当时，是互斥事件
B．若，，则是必然事件
C．若，是互斥事件，，则；
D．若，是对立事件，则；
【答案】AD
【解析】对于A，因为，所以是互斥事件，所以A正确，
对于B，若事件为“抛骰子点数出现1或2”，则，
若事件为“抛骰子点数出现的是小于等于4”，则，而此时不是必然事件，所以B错误，
C选项，由是互斥事件，则，故C错误；
D选项，由是对立事件，则为必然事件，即，故D正确；故选：AD
3．（2024高三·全国·专题练习）（多选）下列说法中不正确的是（ ）
A．若事件A与事件B是互斥事件，则
B．若事件A与事件B满足条件，则事件A与事件B是对立事件
C．一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件
D．从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，则事件“取到红色牌”与事件“取到梅花”是互斥事件
【答案】ABC
【解析】对于A，事件A与事件B是互斥事件，但不一定是对立事件，故A不正确；
对于B，若是在同一试验下，由，说明事件A与事件B一定是对立事件，但若在不同试验下，虽然有，但事件A与事件B不一定对立，故B不正确；
对于C，一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”有可能同时发生，不是对立事件，故C不正确；对于D，事件“取到红色牌”与事件“取到梅花”是互斥事件，故D正确．
故选：ABC.
单选题
1.（2024河北）袋中有2个黑球、6个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是（ ）
A．取到的球的个数 B．取到红球的个数
C．至少取到1个红球 D．至少取到1个红球的概率
【答案】B
【解析】A的取值不具有随机性，C是一个事件而非随机变量，D中概率值是一个定值而非随机变量，只有B满足要求故选：B
2．（20241·河北）同时掷两枚大小相同的骰子，用（x，y）表示结果，记事件A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【解析】因为事件A＝{（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）}，共包含6个样本点
3（2023河南焦作·期末），，，，，是半径为1的圆的六等分点，从中任选2点连接起来，则所得线段长度小于2的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】任意连接6个点中的2个可得到15条线段，
其中长度为2的线段有，，，共3条，其余线段长度为1或，
所以所得线段长度小于2的概率为.
故选：A
4．（2023四川攀枝花 ）已知随机事件和互斥，且，，则事件的对立事件的概率为（ ）
A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8
【答案】D
【解析】根据题意，因为，事件和互斥，所以，
所以，所以事件的对立事件发生的概率为.故选：D.
5．（22-23高一下·全国·课时练习）给出下列命题，其中说法正确的是（ ）
A．若A，B为两个随机事件，则
B．若事件A，B，C两两互斥，则
C．若A，B为互斥事件，则
D．若，则
【答案】C
【解析】对于A选项：当A，B为两个互斥事件时，才有，所以A选项错误；
对于B选项：当事件A，B，C两两互斥，且时，才有，所以B选项错误；
对于C选项：当A，B为互斥事件时，，所以C选项正确；
对于D选项：由概率的性质可知，若，则，所以D选项错误；
故选：C.
6．（2023湖南）一个射手进行一次射击，事件A:命中环数大于8;事件B:命中环数大于5，则（ ）
A．A与B是互斥事件B．A与B是对立事件
C．A⊆BD．A⊇B
【答案】C
【解析】事件A:命中环数大于8即命中9或10环;事件B:命中环数大于5即命中6或7或8或9或10环，故A⊆B.故选：C
7．（2024·全国·模拟预测）同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，记“点数之和为5”是事件，“点数之和为4的倍数”是事件，则（ ）
A．为不可能事件B．与为互斥事件
C．为必然事件D．与为对立事件
【答案】B
【解析】同时抛掷两颗骰子，有36个结果，
“点数之和为5”是事件有共有4种情况；
“点数之和为4的倍数”是事件有共有9种情况；
对于选项A: 表示“点数之和为5或是4的倍数”， 不是不可能事件.故A错误；
对于选项B：A与B不可能同时发生．故B正确；
对于选项C：表示“点数之和为5且是4的倍数”，是不可能事件，故C错误；
对于选项D：与不能包含全部基本事件，故D错误.
故选:B．
8．（2023甘肃天水 ）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个黑球与都是黑球B．至少有一个黑球与都是红球
C．恰有一个黑球与恰有两个黑球D．至少有一个黑球与至少有一个红球
【答案】C
【解析】根据题意，记2个红球分别为A、B，2个黑球分别为a，b，
则从这4个球中任取2个球的总基本事件为AB，Aa，Ba，Ab，Bb，ab：
A、都是黑球的基本事件为ab，至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab，
两个事件有交事件ab，所以不为互斥事件，故A错误；
B、至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab， 都是红球的基本事件为AB，
两个事件不仅是互斥事件，也是对立事件，故B错误；
C、恰有两个黑球的基本事件为ab，恰有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，
两个事件是互斥事件，但不是对立事件，故C正确；
D、至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab，
至少有一个红球的基本事件为AB，Aa，Ba，Ab，Bb， 两个事件不是互斥事件，故D错误.
故选：C.
多选题
9．（2024陕西汉中 ）在25件同类产品中，有2件次品，从中任取5件产品，其中是随机事件的是（ ）
A．5件都是正品B．至少有1件次品
C．有3件次品D．至少有3件正品
【答案】AB
【解析】在25件同类产品中，有2件次品，从中任取5件产品，“5件都是正品”、“至少有1件次品”，都是随机事件，A、B正确，
在25件同类产品中，有2件次品，所以不可能取出3件次品，
则“有3件次品”不是随机事件，是不可能事件，C错误；
在25件同类产品中，有2件次品，从中取5件，则“至少有3件正品”为必然事件，不是随机事件，D错误.
故选：AB
10．（2024安徽亳州 ）中国四大名楼是一种泛称，特指山西永济鹳雀楼、江西南昌滕王阁、湖北武汉黄鹤楼、湖南岳阳岳阳楼．记事件“只去黄鹤楼”，事件“至少去两个名楼”，事件“只去一个名楼”，事件“一个名楼也不去”，事件“至多去一个名楼”，则下列命题正确的是（ ）
A．E与H是互斥事件B．F与I是互斥事件，且是对立事件
C．D．
【答案】ABC
【解析】对于A，事件E，H不可能同时发生，是互斥事件，故A正确；
对于B，事件F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且为对立事件，故B正确；
事件“至多去一个名楼”刚好包含事件“只去一个名楼”与事件“一个名楼也不去”，所以，，故C正确，D错误
故选：ABC．
11．（2023江苏 ）如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→3→4→5→6→7→8→9就是一条移动路线，（ ）
A．从1移动到9，一共有34条不同的移动路线
B．从1移动到9过程中，恰好漏掉两个数字的移动路线有15条．
C．若每次移动都是随机的，则移动过程中恰好跳过4的概率为
D．若每次移动都是随机的，记为经过的概率，则
【答案】AB
【解析】画出树状图，结合图形
则从1移动到9，一共有34条不同的移动路线，A正确；
从1移动到9过程中，恰好漏掉两个数字的移动路线，
即上图倒数第三行有9的路线，有15条，B正确；
若每次移动都是随机的，则移动过程中恰好跳过4的路线共有10条，
则其概率为，C错误；
若每次移动都是随机的，记为经过的概率，则为最大值，，D错误.
故选：AB
12．（2023云南·期中）设，是一个随机试验中的两个事件，则下列说法正确的是（ ）
A．如果事件与事件互斥，那么
B．如果事件与事件互斥，那么
C．如果事件与事件对立，那么
D．如果事件与事件对立，那么
【答案】ACD
【解析】对于A，事件与事件互斥，则，A正确；
对于B，事件与事件互斥，事件不一定是必然事件，即不一定为1，B错误；
对于C，事件与事件对立，则事件与事件互斥，有，C正确；
对于D，事件与事件对立，事件是必然事件，则，D正确.
故选：ACD
填空题
13．（2024高一上·湖南 ）一个不透明口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，现随机取一个小球然后放回，再随机取出一个小球，则第一次取出的小球标号大于第二次取出的小球标号的概率为 ．
【答案】
【解析】画出树状图:
由树状图可知：基本事件的总数共有16种，
其中第一次取出的小球标号大于第二次取出的小球标号有6种，
所以第一次取出的小球标号大于第二次取出的小球标号的概率为.
故答案为：.
14．（2024·广西·开学考试）甲､乙两人下象棋，已知甲获胜的概率是，平局的概率是，则乙获胜的概率是 .
【答案】/0.25
【解析】设事件表示“乙获胜”，则，则.故答案为：.
15．（2024四川凉山·期中）若A，B互为对立事件，，，且，，则的最小值是 .
【答案】8
【解析】因为A，B互为对立事件，则，且，，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是8.
故答案为：8.
16．（2023山西）《易经》是中国传统文化中的精髓，如图，这是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由3根线组成（“”表示1根阳线，“”表示1根阴线），从八卦中任取两卦，则两卦的6根线中恰有4根阳线和2根阴线的概率为 ．
【答案】
【解析】由题意可知，从八卦中任取两卦，
则样本空间{（乾，坤），（乾，震），（乾，巽），（乾，坎），（乾，离），（乾，艮），
（乾，兑），（坤，震），（坤，巽），（坤，坎），（坤，离），（坤，艮），（坤，兑），（震，巽），
（震，坎），（震，离），（震，艮），（震，兑），（巽，坎），（巽，离），（巽，艮），（巽，兑），
（坎，离），（坎，艮），（坎，兑），（离，艮），（离，兑），（艮，兑）}，共包含28个样本点．
八卦中，3根都是阳线的有一卦，
2根阳线、1根阴线的有三卦，
1根阳线、2根阴线的有三卦，
3根都是阴线的有1卦，
记事件“从八卦中任取两卦，这两卦的6根线中恰有4根阳线和2根阴线”为A，
则{（乾，震），（乾，坎），（乾，艮），（巽，离），（巽，兑），（离，兑）}，共包含6个样本点，
故所求概率为
故答案为：.
解答题
17．（2024北京）从学号为1，2，3，4，5，6的六名同学中选出一名同学担任班长，其中1，3，5号同学为男生，2，4，6号同学为女生，记：C1＝{选出1号同学}，C2＝{选出2号同学}，C3＝{选出3号同学}，C4＝{选出4号同学}，C5＝{选出5号同学}，C6＝{选出6号同学}，D1＝{选出的同学学号不大于1}，D2＝{选出的同学学号大于4}，D3＝{选出的同学学号小于6}，E＝{选出的同学学号小于7}，F＝{选出的同学学号大于6}，G＝{选出的同学学号为偶数}，H＝{选出的同学学号为奇数}，等等.据此回答下列问题：
(1)上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件？
(2)如果事件C1发生，则一定有哪些事件发生？在集合中，集合C1与这些集合之间的关系怎样描述？
(3)如果事件H发生，则可能是哪些事件发生？在集合中，集合H与这些集合之间的关系怎样描述？
(4)有没有某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生的情况？应用集合的语言如何表示这种关系？
(5)两个事件的交事件也可能为不可能事件，在上述事件中能找出这样的例子吗？
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
(5)答案见解析
【解析】（1）必然事件有：E；随机事件有：C1，C2，C3，C4，C5，C6，D1，D2，D3，G，H；不可能事件有：F；
（2）如果事件C1发生，则事件D1，D3，E，H一定发生，D1＝C1，D3⊇C1，E⊇C1，H⊇C1；
（3）可能是C1，C5，C3，D3发生，H＝C1∪C5∪C3；
（4）D2和D3同时发生时，即为C5发生了.D2∩D3＝C5；
（5）有，如：C1和C2；C2和C4等等.
18．（2024广州）箱子里有3双不同的手套，从中随机拿出2只，记事件拿出的手套不能配对，事件拿出的都是同一只手上的手套，事件拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对．
(1)写出该试验的样本空间；
(2)用集合的形式表示事件、事件、事件；
(3)说出事件、事件、事件的关系．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)，，
【解析】（1）设3双手套为，，，
其中，，代表左手手套，，，代表右手手套，
样本空间为，，，，，，，，，，，，，，．
（2），，，，，，，，，，，，
，，，，，，
，，，，，．
（3）根据（2）知，，．
19．（2023海南海口）习近平总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社：会营造浪费可耻、节约光荣的氛围．为贯彻总书记指示，某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动．现有高一120人、高二80人，高三40人报名参加志愿活动.根据活动安排，拟按年级采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取12名志愿者，参加为期20天的第一期志愿活动．
(1)第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？
(2)现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取2人粘贴宣传标语，求抽取的两人都是高二学生的概率
【答案】(1)6；4；2
(2)
【解析】（1）根据题意，报名的学生共有人，
则抽取高一人数为；抽取高二人数为；抽取高三的人数为．
（2）（2）记高二抽取的4位学生为a、b、c、d，高三抽取的2位学生为E、F，则从中抽取2人的基本事件有：
，，，，，，，，，，，，，，，共15个基本事件，
其中抽取的两人都是高二学生的有：，，，，，，共6个基本事件，
抽取的两人都是高二学生的概率为．
20．（2023河南焦作·期末）某校组织《反间谍法》知识竞赛，将所有学生的成绩（单位：分）按照，，…，分成七组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求这次竞赛成绩平均数的估计值；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(2)从竞赛成绩不低于85分的学生中用分层随机抽样的方法抽取12人，再从第六组和第七组被抽到的学生中任选2人做主题演讲，求至少有1名第七组的学生做主题演讲的概率.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1），解得，
这次竞赛成绩平均数的估计值为.
（2）不低于85分的三组频率之比为，用分层随机抽样的方法抽取12人，应从第六组和第七组分别抽取4人和2人，
设第六组的4人为，，，，第七组的2人为甲、乙，
于是从这6人中任选2人的所有情况为：甲乙，甲，甲，甲，甲，乙，乙，乙，乙，，，，，，，共15种，
其中甲、乙至少有1人被选中的有9种，
所以至少有1名第七组的学生做主题演讲的概率为.
21．（2023北京延庆）为了了解某校高一学生一次体育健康测试的得分情况，一位老师采用分层抽样的方法选取了20名学生的成绩作为样本，来估计本校高一学生的得分情况，并以，，，，分组，作出了如图所示的频率分布直方图，规定成绩不低于90分为“优秀”.
(1)从该学校高一学生中随机选取一名学生，估计这名学生本次体育健康测试成绩“优秀”的概率；
(2)从样本成绩优秀的，两组学生中任意选取2人，记为， 中的学生为， 中的学生为，求这2人来自同一组的概率；
(3)从成绩在的学生中任取3名学生记为A组，从成绩在的学生它任取3名学生记为B组，这两组学生的得分记录如下：
A组:； B组:.
写出a为何值时，A、B两组学生得分的方差相等（结论不要求证明）.
【答案】(1)0.3
(2)
(3)81或84
【解析】（1）频率分布直方图中，成绩优秀的两组学生，频率为，
所以估计这名学生本次体育健康测试成绩“优秀”的概率为0.3.
（2）样本中，组中有人，组中有人，
从样本成绩优秀的，两组学生中任意选取2人，其样本空间可记为：
共包含15 个样本点,
记事件A：两人来自同一组，
则，共包含7个样本点，
所以这2人来自同一组的概率 .
（3）这两组学生的得分记录：A组:； B组:.
方差反映的是数据的离散程度，要使A、B两组学生得分的方差相等，
对比两组数据，可知：或.
22．（2023陕西咸阳·阶段练习）某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．
(1)根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄和第80百分位数；
(2)现从各年龄分组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者，若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
(3)若第四组的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中35-45岁所有人的年龄的方差．
【答案】(1)（岁），；
(2)；
(3)10.
【解析】（1）这些人的平均年龄为（岁）．
由频率分布直方图知，年龄在的频率为，
在的频率为，则第80百分位数为，
由，解得，
所以这些人的平均年龄为（岁），第80百分位数为.
（2）依题意，第四组应抽取人，记为,甲，第五组抽取人，记为,乙，
对应的样本空间{(a,b),(a,c),(a,甲),(a,乙),(a,d),(b,c),(b,甲),(b,乙),(b,d),(c,甲),(c,乙),(c,d),(甲,乙),(甲,d),(乙,d)}，共15个样本点．
设事件“甲、乙两人至少一人被选上”，
则{(a,甲),(a,乙),(b,甲),(b,乙),(c,甲),(c,乙),(甲,乙),(甲,d),(乙,d)}，共有9个样本点，
所以甲、乙两人至少有一人被选上的概率．
（3）设第四组、第五组的年龄的平均数分别为，方差分别为，
则，由第一组有10人，得第四组有40人，第五组有20人，
设第四组和第五组所有人的年龄平均数为，方差为，
则，
因此第四组和第五组所有人的年龄方差为10，
据此，可估计这人中年龄在岁的所有人的年龄方差约为10.
考法一 事件的类型
【例1-1】（2024浙江）给出下列事件：
①函数在定义域内为增函数；
②小学生和张怡宁打乒乓球，张怡宁胜利；
③一所学校共有名学生，有名学生的生日相同；
④若集合、、满足，，则；
⑤在标准大气压下，河流在时结冰；
⑥从、、中任选两数相加，其和为偶数.
其中属于随机事件的是 ，属于必然事件的是 ，属于不可能事件的是 （填序号）.
【答案】 ②③ ④⑥ ①⑤
【解析】①中函数在定义域为减函数，说法不正确，故为不可能事件；
②中可能张怡宁胜利也可能小学生胜利，故为随机事件；
③中，因为，所以，有可能有名学生的生日相同，也有可能没有名学生的生日相同，故为随机事件；
④中，根据集合的包含关系，④中说法正确，故为必然事件；
⑤中的说法不正确，故为不可能事件；
⑥中任意两奇数和均为偶数，说法正确，故为必然事件.
故答案为：②③；④⑥；①⑤.
【例1-2】（2024四川巴中）如图，由A，B两盏正常的小灯泡组成并联电路，当闭合开关时，下列事件为必然事件的是（ ）
A．A灯亮，B灯不亮B．A灯不亮，B灯亮
C．A，B两盏灯均亮D．A，B两盏灯均不亮
【答案】C
【解析】由A，B两盏正常的小灯泡组成并联电路，当闭合开关时，可知A，B两盏灯均亮.
故选：C.
【一隅三反】
1．（2023陕西咸阳·阶段练习）下列事件中，随机事件的个数为（ ）
①甲，乙两人下棋，甲获胜；
②小明过马路，遇见车的车牌号尾号是奇数；
③某种彩票的中奖率为99%，某人买一张此种彩票中奖；
④用任意平面截球体，所得截面图形是椭圆形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】根据随机事件的知识可知：①②③是随机事件，④是不可能事件，所以随机事件的个数为个.
故选：C
2．（2023湖北咸宁 ）在不透明的布袋中，装有大小、形状完全相同的3个黑球、1个红球，从中摸一个球，摸出1个黑球这一事件是 （ ）
A．必然事件B．随机事件C．确定事件D．不可能事件
【答案】B
【解析】根据题意，从布袋中摸出一个球，有可能是黑球，也有可能是红球，故摸出1个黑球是随机事件.
故选：B.
3．（2023云南）判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？
（1）抛掷一块石子，下落；.
（2）在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化；
（3）某人射击一次，中靶；
（4）如果，那么；
（5）掷两枚硬币，均出现反面；
（6）抛掷两枚骰子，点数之和为15；
（7）从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签；
（8）某电话机在1分钟内收到2次呼叫；
（9）绿叶植物，不会光合作用；
（10）在常温下，焊锡熔化；
（11）若为实数，则；
（12）某人开车通过十个路口，都遇到绿灯；
其中必然事件有 ；不可能事件有 ；随机事件有
【答案】 （1）、（4）、（11） （2）、（6）、（9）、（10） （3）、（5）、（7）、（8）、（12）
【解析】（1）抛掷一块石子，下落，是必然事件；
（2）在标准大气压下且温度低于0℃时，冰不可能融化，是不可能事件；
（3）某人射击一次，可能中靶，也可能不中靶，是随机事件；
（4）如果，那么必然成立，是必然事件；
（5）掷两枚硬币，有四种情况，均出现反面可能发生也可能不发生，是随机事件；
（6）抛掷两枚骰子，点数之和最大为12，所以点数之和为15不可能发生，是不可能事件；
（7）从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，有5种情况，得到4号签是随机事件；
（8）某电话机在1分钟内收到呼叫次数不确定，所以收到2次呼叫是随机事件；
（9）绿叶植物，都会光合作用，所以是不可能事件；
（10）焊锡熔点一般为183度，所以常温不可能熔化，是不可能事件；
（11）若为实数，则必然成立，是必然事件；
（12）某人开车通过十个路口，红绿灯都可能遇到，所以都遇到红灯是随机事件；
故答案为：（1）、（4）、（11）；（2）、（6）、（9）、（10）；（3）、（5）、（7）、（8）、（12）
考法二 样本点与样本空间
【例2-1】（2023高一·全国·随堂练习）写出下列试验的样本空间：
(1)连续抛掷一枚硬币2次，观察正面、反面出现的情况；
(2)甲、乙、丙、丁四位同学参加演讲比赛，通过抽签确定演讲的顺序，记录抽签的结果；
(3)连续抛掷一枚骰子2次，观察2次掷出的点数之和；
(4)设袋中装有4个白球和6个黑球，从中不放回地逐个取出，直至白球全取出，记录取球的次数．
【答案】(1)正面，正面，正面，反面，反面，正面，反面，反面
；
(2)答案见解析；
(3)；
(4)．
【解析】（1）第一次硬币向上面与第二次硬币向上的面构成一个样本点，样本空间为：
正面，正面，正面，反面，反面，正面，反面，反面
（2）四个同学的一个排列构成一个样本点，样本空间为：
甲乙丙丁，甲乙丁丙，甲丙乙丁，甲丙丁乙，甲丁乙丙，甲丁丙乙，乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙丙丁甲，乙丁甲丙，乙丁丙甲，丙乙甲丁，丙乙丁甲，丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙丁乙甲，丙丁甲乙，丁乙丙甲，丁乙甲丙，丁丙乙甲，丁丙甲乙，丁甲乙丙，丁甲丙乙；
（3）第一枚骰子和第二枚骰子的点数和构成一个样本点，样本空间为：
；
（4）白球全部取出，至少取4次，最多取10次，样本空间为：．
【例2-2】（2023北京）在一个袋子中装有分别标注1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的样本点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的样本点为，
所以取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的样本点个数为4.
故选：C
【一隅三反】
1．（2023广东深圳）做投掷2枚均匀骰子的试验，用（x，y）表示结果，其中x表示第一枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数．写出：
(1)试验的样本空间Ω；
(2)事件“出现点数之和大于8”包含的样本点；
(3)事件“出现点数相等”包含的样本点；
(4)事件“出现点数之和等于7”包含的样本点．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)
(4)(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)
【解析】（1）试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，
(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，
(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，
(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}．
（2）“出现点数之和大于8”包含以下10个样本点：
(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).
（3）“出现点数相等”包含以下6个样本点：
(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6).
（4）“出现点数之和等于7”包含以下6个样本点：
(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1).
2．（2023高一·全国·课时练习）从两名男生（记为和）和两名女生（记为和）这四人中依次选取两名学生．
(1)请写出有放回简单随机抽样的样本空间；
(2)请写出不放回简单随机抽样的样本空间．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【解析】（1）有放回简单随机抽样时，样本空间为：
,共16个样本点.
（2）不放回简单随机抽样时，样本空间为：
,共12个样本点.
考法三 互斥与对立事件
【例3-1】（2023安徽）从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球，那么互斥不对立的事件是（ ）
A．恰有一个黄球与恰有一个蓝球B．至少有一个黄球与都是黄球
C．至少有一个黄球与都是蓝球D．至少有一个黄球与至少有一个蓝球
【答案】A
【解析】从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下4种：
①3个球全是黄球；
②2个黄球和1个蓝球；
③1个黄球2个蓝球；
④3个球全是蓝球．
对于A，恰有一个黄球是情况③，恰有一个蓝球是情况②，
∴恰有一个黄球与恰有一个蓝球是互斥不对立的事件，故A正确；
对于B，至少有一个黄球是情况①②③，都是黄球是情况①，
∴至少有一个黄球与都是黄球能同时发生，不是互斥事件，故B错误；
对于C，至少有一个黄球是情况①②③，都是蓝球是情况④，
∴至少有一个黄球与都是蓝球是对立事件，故C错误；
对于D，至少有一个黄球是情况①②③，至少有一个蓝球是情况②③④，
∴至少有一个黄球与至少有一个蓝球能同时发生，不是互斥事件，故D错误．
故选：A．
【例3-2】（2023·新疆）一个人打靶时连续射击3次，则事件“至少有两次中靶”的对立事件为（ ）
A．至多有一次中靶B．至多有两次中靶
C．恰好有一次中靶D．三次都中靶
【答案】A
【解析】由题意，事件“至少有两次中靶”的对立事件为“至多有一次中靶”.故选：A.
【一隅三反】
1．（2023·湖南岳阳 ）从1，2，3，4，5中任取2个数，设事件“2个数都为偶数”，“2个数都为奇数”，“至少1个数为奇数”，“至多1个数为奇数”，则下列结论正确的是（ ）
A．与是互斥事件B．与是互斥但不对立事件
C．与是互斥但不对立事件D．与是对立事件
【答案】A
【解析】根据题意
，
则，所以与是互斥事件，A正确；
，所以与是互斥且对立事件，B错误；
，所以与是互斥且对立事件，C错误；
所以与不是对立事件，D错误.
故选：A.
2．（2023陕西 ）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ）
A．甲与丙是互斥事件B．乙与丙是对立事件
C．甲与丁是对立事件D．丙与丁是互斥事件
【答案】D
【解析】对于A，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，
丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则两次取球的情况有，
所以事件甲丙可能同时发生，不是互斥事件，A错误；
对于B，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，
丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，是互斥不对立的事件，B错误；
对于C，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，
丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，
则两次取球的情况有等，所以甲丁可能同时发生，不是互斥事件，C错误；
对于D，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，
丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，两个事件不会同时发生，是互斥事件，D正确；
故选：D．
3．（2024陕西）从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取1张，下列每组事件是否为互斥事件？若是互斥事件，则是否互为对立事件？若不是对立事件，请分别说出事件、事件的对立事件．
(1)表示“抽出的牌是红心”，表示“抽出的牌是方片”；
(2)表示“抽出的牌是红心”，表示“抽出的牌是K”；
(3)表示“抽出的牌是红色牌”，表示“抽出的牌是黑色牌”；
(4)表示“抽出的牌面是2，3，4，6，10之一”，表示“抽出的牌是方片”；
(5)表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”，表示“抽出的牌面是J，Q，K，A之一”；
(6)表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7之一的一张方片”，表示“抽出的牌面是8，9，10，J，Q，K，A之一的一张方片”．
【答案】(1)答案见解析
(2)与不互斥也不对立
(3)与互斥且与对立．
(4)与不互斥也不对立
(5)与互斥且与对立．
(6)答案见解析
【解析】（1）因为表示“抽出的牌是红心”，表示“抽出的牌是方片”，
所以与互斥，但与不对立．
的对立事件是“抽出的牌不是红心”，
的对立事件是“抽出的牌不是方片”．
（2）因为表示“抽出的牌是红心”，表示“抽出的牌是K”；
当出现红心K时，事件、都发生，所以与不互斥也不对立．
（3）因为表示“抽出的牌是红色牌”，表示“抽出的牌是黑色牌”；
所以与互斥且与对立．
（4）因为表示“抽出的牌面是2，3，4，6，10之一”，表示“抽出的牌是方片”；
当出现方片2，3，4，6，10之一，则事件、都发生，所以与不互斥也不对立．
（5）因为表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”，表示“抽出的牌面是J，Q，K，A之一”；
所以与互斥且与对立．
（6）因为表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7之一的一张方片”，
表示“抽出的牌面是8，9，10，J，Q，K，A之一的一张方片”．
所以与互斥，但与不对立．
的对立事件是“抽出的牌面不是方片2，3，4，5，6，7之一”，
的对立事件是“抽出的牌面不是方片8，9，10，J，Q，K，A之一”．
考法四 事件的关系与运算
【例4-1】（2023山东）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】用表示试验的射击情况，其中表示第1次射击的情况，表示第2次射击的情况，以1表示击中，0表示没中，
则样本空间.
由题意得，，，，
则，，且.即ABC都正确；
又，.
.故D不正确.
故选：D.
【一隅三反】
1．（2023·全国·单元测试）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】至少有1名男生包含2名全是男生､1名男生1名女生，故，，
故A，C正确；
事件B与D是互斥事件，故，故B正确，
表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示2名全是女生或名至少有一名男生，
故，D错误，
故选：D.
2（2023甘肃）1.抛掷相同硬币3次，记“至少有一次正面向上”为事件A，“一次正面向上，两次反面向上”为事件B，“两次正面向上，一次反面向上”为事件C，“至少一次反面向上”为事件D，“3次都正面向上”为事件E.
(1)试判断事件A与事件B，C，E的关系；
(2)试求AD，B+C所包含的样本点，并判断AD与B+C的关系.
【答案】(1)B⊆A，C⊆A，E⊆A，A=B+C+E
(2)AD={有正面向上，也有反面向上}，B+C={一次正面向上或两次正面向上}，AD=B+C
【解析】（1）事件A为“至少有一次正面向上”，包含“一次正面向上，两次反面向上”， “两次正面向上，一次反面向上”和“3次都正面向上”三个基本事件，所以B⊆A，C⊆A，E⊆A，A=B+C+E
（2）“至少一次反面向上”为事件D，包含“一次正面向上，两次反面向上”， “两次正面向上，一次反面向上”和“3次都反面向上”三个基本事件，可以看出事件A与事件D有相同的两个基本事件，即“一次正面向上，两次反面向上”， “两次正面向上，一次反面向上”，故AD={一次正面向上或两次正面向上}，B+C={一次正面向上或两次正面向上}，所以AD=B+C
3．（2023湖南）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：=“点数为i”，其中；=“点数不大于2”，=“点数大于2”，=“点数大于4”；E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”.判断下列结论是否正确.
（1）与互斥；（2），为对立事件；（3）；（4）；（5），；
（6）；（7）；（8）E，F为对立事件；（9）；（10）
【答案】（1）正确；（2）错误；（3）正确；（4）正确；（5）正确；（6）正确；（7）正确；（8）正确；（9）正确；（10）正确.
【解析】该试验的样本空间可表示为,
由题意知,,,,,.
（1）,,满足,所以与互斥,故正确；
（2）,,满足但不满足.所以为互斥事件,但不是对立事件,故错误；
根据对应的集合易得,（3）正确；（4）正确；（5）正确；
（6）,所以,故正确；（7）,故正确；
（8）因为, ,所以E,F为对立事件,故正确；
（9）正确；（10）正确.
4．（2024广西）设某随机试验的样本空间，事件，，，求下列事件：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【解析】1）由已知；
（2）由题意；
（3）由已知，，所以
（4）由已知，，所以．
考法五 古典概型
【例5-1】（2024河南洛阳 ）从集合中任取两个元素，则这两个元素的差的绝对值为2的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】从集合中任取两个元素的取法有，共6种，
其中满足两个元素的差的绝对值为2的取法有，共3种.
故这两个元素的差的绝对值为2的概率为.
故选：B.
【例5-2】（2024河南南阳）（多选）下列情境适合用古典概型来描述的是（ ）
A．向一条线段内随机地投射一个点，观察点落在线段上不同位置
B．五个人站一排，观察甲乙两人相邻的情况
C．从一副扑克牌（去掉大、小王共52张）中随机选取1张，这张牌是红色牌
D．某同学随机地向靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环，命中1环和脱靶
【答案】BC
【解析】对于A，实验结果有无数个，显然不是古典概型，故错误，对于B，实验结果有限且等可能，故正确，对于C，实验结果有限且等可能，故正确，对于D，显然实验并非等可能，故错误.
故选：BC
【一隅三反】
1．（2024高一上·山东威海）甲、乙两校各有名教师报名支教，若从报名的名教师中任选名，则选出的名教师来自不同学校的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设甲校报名支教的两名教师为，乙校报名支教的两名教师为，从这报名的名教师中任选名，共有这6种情况，
选出的名教师来自不同学校共有这4种情况，
所以所求概率为.故选：C.
2．（2024湖北咸宁 ）工厂从三名男工人和两名女工人中，选出两人参加技能大赛，则这两名工人恰好都是男工人的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】三名男工人记为，两名女工人记为，
任选两人的试验的样本空间，共10个样本点，
选出两人恰好都是男工人的事件，共3个样本点，
所以这两名工人恰好都是男工人的概率.
故选：C
3．（2024上海）安徽省新高考拟采用“”模式，其中“3”指的是语文、数学、英语三科必选科目，“1”指的是从物理或历史两科中选一科，即“首选科目”，“2”指的是从化学、生物、思想政治、地理四科中选两科，即“再选科目”.已知某工业大学工程类招生选科要求首选科目为物理，再选科目为化学、生物中至少有1科.从所有选科组合中任意选取1个，则选科组合符合该工业大学工程类招生选科要求的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】用，，，，，分别表示“选择物理”“选择历史”“选择化学”“选择生物”“选择思想政治”“选择地理”，则所有选科组合的样本空间，
共有12个样本点，且每个样本点出现的可能性相同.设事件表示“选科组合符合该工业大学工程类招生选科要求”，则，共有5个样本点，∴.故选：C.
4（2024山东）1981年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，每年9月第二个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”，竞赛分为一试（满分120分）和二试（满分180分），在这项竞赛中取得优异成绩的学生有资格参加由中国数学会奥林匹克委员会主办的“中国数学奥林匹克暨全国中学生数学冬令营”，已知2023年某地区有50名学生参加全国高中数学联赛，其取得的一试成绩绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求实数的值并估计这50名学生一试成绩的70%分位数；
(2)若一试成绩在100分及以上的试卷需要主委会抽样进行二次审阅，评审员甲在这50名学生一试成绩中按照分层抽样的原则从和内抽取3份试卷进行审阅，已知同学的成绩是105分，同学的成绩是111分，求这两位同学的试卷同时被抽到的概率．
【答案】(1)，70%分位数为91；
(2).
【解析】（1）由上表可知，，解得，
设这50名学生一试成绩的70%分位数为，
由于前三个矩形面积，前四个矩形面积，
故得，，解得，
即这50名学生一试成绩的70%分位数约为91．
（2）由图知，成绩在有人，成绩在有人，
根据分层抽样的原则，成绩在抽2份，成绩在抽1份，
设，，，四位同学的成绩在，，两位同学的成绩在，
根据分层抽样的原则有，，，，，，，，，
，，共12个样本，符合条件的，，共3个样本，
所以符合条件的概率为，即，两位同学的试卷都被抽到的概率为．
考法六 概率的基本性质
【例6-1】（2024河南）已知，.（1）如果，那么 ， ， ；（2）如果A，B互斥，那么 ， ， .
【答案】 0.5 0.3 0.2 0.8 0 0.5
【解析】（1）如果，那么，，所以，，.
（2）如果A，B互斥，那么，则，，.
故答案为：0.5；0.3；0.2；0.8；0；0.5
【例6-2】（2023高一上·全国·专题练习）（多选题）设为两个随机事件，以下命题错误的为（ ）
A．若是对立事件，且，则
B．若是对立事件，则
C．若是互斥事件，，，则
D．若是互斥事件，，则
【答案】AC
【解析】对于选项A，若是对立事件，则，故A项错误；
对于选项B，当是对立事件时，，故B项正确；
对于选项C，当是互斥事件，，，则，故C项错误；
对于选项D，若是互斥事件，，则，故D项正确.
故选：AC.
【一隅三反】
1．（23-24高一上·江西吉安·期末）已知事件A，B是互斥事件，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵，，∴，
∵事件A，B是互斥事件，∴．故选：C
2（2023高一上·全国·专题练习）（多选题）设为古典概率模型中的两个随机事件，以下命题正确的为（ ）
A．若，，则当且仅当时，是互斥事件
B．若，，则是必然事件
C．若，是互斥事件，，则；
D．若，是对立事件，则；
【答案】AD
【解析】对于A，因为，所以是互斥事件，所以A正确，
对于B，若事件为“抛骰子点数出现1或2”，则，
若事件为“抛骰子点数出现的是小于等于4”，则，而此时不是必然事件，所以B错误，
C选项，由是互斥事件，则，故C错误；
D选项，由是对立事件，则为必然事件，即，故D正确；故选：AD
3．（2024高三·全国·专题练习）（多选）下列说法中不正确的是（ ）
A．若事件A与事件B是互斥事件，则
B．若事件A与事件B满足条件，则事件A与事件B是对立事件
C．一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件
D．从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，则事件“取到红色牌”与事件“取到梅花”是互斥事件
【答案】ABC
【解析】对于A，事件A与事件B是互斥事件，但不一定是对立事件，故A不正确；
对于B，若是在同一试验下，由，说明事件A与事件B一定是对立事件，但若在不同试验下，虽然有，但事件A与事件B不一定对立，故B不正确；
对于C，一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”有可能同时发生，不是对立事件，故C不正确；对于D，事件“取到红色牌”与事件“取到梅花”是互斥事件，故D正确．
故选：ABC.
单选题
1.（2024河北）袋中有2个黑球、6个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是（ ）
A．取到的球的个数 B．取到红球的个数
C．至少取到1个红球 D．至少取到1个红球的概率
【答案】B
【解析】A的取值不具有随机性，C是一个事件而非随机变量，D中概率值是一个定值而非随机变量，只有B满足要求故选：B
2．（20241·河北）同时掷两枚大小相同的骰子，用（x，y）表示结果，记事件A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【解析】因为事件A＝{（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）}，共包含6个样本点
3（2023河南焦作·期末），，，，，是半径为1的圆的六等分点，从中任选2点连接起来，则所得线段长度小于2的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】任意连接6个点中的2个可得到15条线段，
其中长度为2的线段有，，，共3条，其余线段长度为1或，
所以所得线段长度小于2的概率为.
故选：A
4．（2023四川攀枝花 ）已知随机事件和互斥，且，，则事件的对立事件的概率为（ ）
A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8
【答案】D
【解析】根据题意，因为，事件和互斥，所以，
所以，所以事件的对立事件发生的概率为.故选：D.
5．（22-23高一下·全国·课时练习）给出下列命题，其中说法正确的是（ ）
A．若A，B为两个随机事件，则
B．若事件A，B，C两两互斥，则
C．若A，B为互斥事件，则
D．若，则
【答案】C
【解析】对于A选项：当A，B为两个互斥事件时，才有，所以A选项错误；
对于B选项：当事件A，B，C两两互斥，且时，才有，所以B选项错误；
对于C选项：当A，B为互斥事件时，，所以C选项正确；
对于D选项：由概率的性质可知，若，则，所以D选项错误；
故选：C.
6．（2023湖南）一个射手进行一次射击，事件A:命中环数大于8;事件B:命中环数大于5，则（ ）
A．A与B是互斥事件B．A与B是对立事件
C．A⊆BD．A⊇B
【答案】C
【解析】事件A:命中环数大于8即命中9或10环;事件B:命中环数大于5即命中6或7或8或9或10环，故A⊆B.故选：C
7．（2024·全国·模拟预测）同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，记“点数之和为5”是事件，“点数之和为4的倍数”是事件，则（ ）
A．为不可能事件B．与为互斥事件
C．为必然事件D．与为对立事件
【答案】B
【解析】同时抛掷两颗骰子，有36个结果，
“点数之和为5”是事件有共有4种情况；
“点数之和为4的倍数”是事件有共有9种情况；
对于选项A: 表示“点数之和为5或是4的倍数”， 不是不可能事件.故A错误；
对于选项B：A与B不可能同时发生．故B正确；
对于选项C：表示“点数之和为5且是4的倍数”，是不可能事件，故C错误；
对于选项D：与不能包含全部基本事件，故D错误.
故选:B．
8．（2023甘肃天水 ）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个黑球与都是黑球B．至少有一个黑球与都是红球
C．恰有一个黑球与恰有两个黑球D．至少有一个黑球与至少有一个红球
【答案】C
【解析】根据题意，记2个红球分别为A、B，2个黑球分别为a，b，
则从这4个球中任取2个球的总基本事件为AB，Aa，Ba，Ab，Bb，ab：
A、都是黑球的基本事件为ab，至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab，
两个事件有交事件ab，所以不为互斥事件，故A错误；
B、至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab， 都是红球的基本事件为AB，
两个事件不仅是互斥事件，也是对立事件，故B错误；
C、恰有两个黑球的基本事件为ab，恰有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，
两个事件是互斥事件，但不是对立事件，故C正确；
D、至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab，
至少有一个红球的基本事件为AB，Aa，Ba，Ab，Bb， 两个事件不是互斥事件，故D错误.
故选：C.
多选题
9．（2024陕西汉中 ）在25件同类产品中，有2件次品，从中任取5件产品，其中是随机事件的是（ ）
A．5件都是正品B．至少有1件次品
C．有3件次品D．至少有3件正品
【答案】AB
【解析】在25件同类产品中，有2件次品，从中任取5件产品，“5件都是正品”、“至少有1件次品”，都是随机事件，A、B正确，
在25件同类产品中，有2件次品，所以不可能取出3件次品，
则“有3件次品”不是随机事件，是不可能事件，C错误；
在25件同类产品中，有2件次品，从中取5件，则“至少有3件正品”为必然事件，不是随机事件，D错误.
故选：AB
10．（2024安徽亳州 ）中国四大名楼是一种泛称，特指山西永济鹳雀楼、江西南昌滕王阁、湖北武汉黄鹤楼、湖南岳阳岳阳楼．记事件“只去黄鹤楼”，事件“至少去两个名楼”，事件“只去一个名楼”，事件“一个名楼也不去”，事件“至多去一个名楼”，则下列命题正确的是（ ）
A．E与H是互斥事件B．F与I是互斥事件，且是对立事件
C．D．
【答案】ABC
【解析】对于A，事件E，H不可能同时发生，是互斥事件，故A正确；
对于B，事件F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且为对立事件，故B正确；
事件“至多去一个名楼”刚好包含事件“只去一个名楼”与事件“一个名楼也不去”，所以，，故C正确，D错误
故选：ABC．
11．（2023江苏 ）如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→3→4→5→6→7→8→9就是一条移动路线，（ ）
A．从1移动到9，一共有34条不同的移动路线
B．从1移动到9过程中，恰好漏掉两个数字的移动路线有15条．
C．若每次移动都是随机的，则移动过程中恰好跳过4的概率为
D．若每次移动都是随机的，记为经过的概率，则
【答案】AB
【解析】画出树状图，结合图形
则从1移动到9，一共有34条不同的移动路线，A正确；
从1移动到9过程中，恰好漏掉两个数字的移动路线，
即上图倒数第三行有9的路线，有15条，B正确；
若每次移动都是随机的，则移动过程中恰好跳过4的路线共有10条，
则其概率为，C错误；
若每次移动都是随机的，记为经过的概率，则为最大值，，D错误.
故选：AB
12．（2023云南·期中）设，是一个随机试验中的两个事件，则下列说法正确的是（ ）
A．如果事件与事件互斥，那么
B．如果事件与事件互斥，那么
C．如果事件与事件对立，那么
D．如果事件与事件对立，那么
【答案】ACD
【解析】对于A，事件与事件互斥，则，A正确；
对于B，事件与事件互斥，事件不一定是必然事件，即不一定为1，B错误；
对于C，事件与事件对立，则事件与事件互斥，有，C正确；
对于D，事件与事件对立，事件是必然事件，则，D正确.
故选：ACD
填空题
13．（2024高一上·湖南 ）一个不透明口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，现随机取一个小球然后放回，再随机取出一个小球，则第一次取出的小球标号大于第二次取出的小球标号的概率为 ．
【答案】
【解析】画出树状图:
由树状图可知：基本事件的总数共有16种，
其中第一次取出的小球标号大于第二次取出的小球标号有6种，
所以第一次取出的小球标号大于第二次取出的小球标号的概率为.
故答案为：.
14．（2024·广西·开学考试）甲､乙两人下象棋，已知甲获胜的概率是，平局的概率是，则乙获胜的概率是 .
【答案】/0.25
【解析】设事件表示“乙获胜”，则，则.故答案为：.
15．（2024四川凉山·期中）若A，B互为对立事件，，，且，，则的最小值是 .
【答案】8
【解析】因为A，B互为对立事件，则，且，，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是8.
故答案为：8.
16．（2023山西）《易经》是中国传统文化中的精髓，如图，这是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由3根线组成（“”表示1根阳线，“”表示1根阴线），从八卦中任取两卦，则两卦的6根线中恰有4根阳线和2根阴线的概率为 ．
【答案】
【解析】由题意可知，从八卦中任取两卦，
则样本空间{（乾，坤），（乾，震），（乾，巽），（乾，坎），（乾，离），（乾，艮），
（乾，兑），（坤，震），（坤，巽），（坤，坎），（坤，离），（坤，艮），（坤，兑），（震，巽），
（震，坎），（震，离），（震，艮），（震，兑），（巽，坎），（巽，离），（巽，艮），（巽，兑），
（坎，离），（坎，艮），（坎，兑），（离，艮），（离，兑），（艮，兑）}，共包含28个样本点．
八卦中，3根都是阳线的有一卦，
2根阳线、1根阴线的有三卦，
1根阳线、2根阴线的有三卦，
3根都是阴线的有1卦，
记事件“从八卦中任取两卦，这两卦的6根线中恰有4根阳线和2根阴线”为A，
则{（乾，震），（乾，坎），（乾，艮），（巽，离），（巽，兑），（离，兑）}，共包含6个样本点，
故所求概率为
故答案为：.
解答题
17．（2024北京）从学号为1，2，3，4，5，6的六名同学中选出一名同学担任班长，其中1，3，5号同学为男生，2，4，6号同学为女生，记：C1＝{选出1号同学}，C2＝{选出2号同学}，C3＝{选出3号同学}，C4＝{选出4号同学}，C5＝{选出5号同学}，C6＝{选出6号同学}，D1＝{选出的同学学号不大于1}，D2＝{选出的同学学号大于4}，D3＝{选出的同学学号小于6}，E＝{选出的同学学号小于7}，F＝{选出的同学学号大于6}，G＝{选出的同学学号为偶数}，H＝{选出的同学学号为奇数}，等等.据此回答下列问题：
(1)上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件？
(2)如果事件C1发生，则一定有哪些事件发生？在集合中，集合C1与这些集合之间的关系怎样描述？
(3)如果事件H发生，则可能是哪些事件发生？在集合中，集合H与这些集合之间的关系怎样描述？
(4)有没有某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生的情况？应用集合的语言如何表示这种关系？
(5)两个事件的交事件也可能为不可能事件，在上述事件中能找出这样的例子吗？
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
(5)答案见解析
【解析】（1）必然事件有：E；随机事件有：C1，C2，C3，C4，C5，C6，D1，D2，D3，G，H；不可能事件有：F；
（2）如果事件C1发生，则事件D1，D3，E，H一定发生，D1＝C1，D3⊇C1，E⊇C1，H⊇C1；
（3）可能是C1，C5，C3，D3发生，H＝C1∪C5∪C3；
（4）D2和D3同时发生时，即为C5发生了.D2∩D3＝C5；
（5）有，如：C1和C2；C2和C4等等.
18．（2024广州）箱子里有3双不同的手套，从中随机拿出2只，记事件拿出的手套不能配对，事件拿出的都是同一只手上的手套，事件拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对．
(1)写出该试验的样本空间；
(2)用集合的形式表示事件、事件、事件；
(3)说出事件、事件、事件的关系．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)，，
【解析】（1）设3双手套为，，，
其中，，代表左手手套，，，代表右手手套，
样本空间为，，，，，，，，，，，，，，．
（2），，，，，，，，，，，，
，，，，，，
，，，，，．
（3）根据（2）知，，．
19．（2023海南海口）习近平总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社：会营造浪费可耻、节约光荣的氛围．为贯彻总书记指示，某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动．现有高一120人、高二80人，高三40人报名参加志愿活动.根据活动安排，拟按年级采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取12名志愿者，参加为期20天的第一期志愿活动．
(1)第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？
(2)现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取2人粘贴宣传标语，求抽取的两人都是高二学生的概率
【答案】(1)6；4；2
(2)
【解析】（1）根据题意，报名的学生共有人，
则抽取高一人数为；抽取高二人数为；抽取高三的人数为．
（2）（2）记高二抽取的4位学生为a、b、c、d，高三抽取的2位学生为E、F，则从中抽取2人的基本事件有：
，，，，，，，，，，，，，，，共15个基本事件，
其中抽取的两人都是高二学生的有：，，，，，，共6个基本事件，
抽取的两人都是高二学生的概率为．
20．（2023河南焦作·期末）某校组织《反间谍法》知识竞赛，将所有学生的成绩（单位：分）按照，，…，分成七组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求这次竞赛成绩平均数的估计值；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(2)从竞赛成绩不低于85分的学生中用分层随机抽样的方法抽取12人，再从第六组和第七组被抽到的学生中任选2人做主题演讲，求至少有1名第七组的学生做主题演讲的概率.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1），解得，
这次竞赛成绩平均数的估计值为.
（2）不低于85分的三组频率之比为，用分层随机抽样的方法抽取12人，应从第六组和第七组分别抽取4人和2人，
设第六组的4人为，，，，第七组的2人为甲、乙，
于是从这6人中任选2人的所有情况为：甲乙，甲，甲，甲，甲，乙，乙，乙，乙，，，，，，，共15种，
其中甲、乙至少有1人被选中的有9种，
所以至少有1名第七组的学生做主题演讲的概率为.
21．（2023北京延庆）为了了解某校高一学生一次体育健康测试的得分情况，一位老师采用分层抽样的方法选取了20名学生的成绩作为样本，来估计本校高一学生的得分情况，并以，，，，分组，作出了如图所示的频率分布直方图，规定成绩不低于90分为“优秀”.
(1)从该学校高一学生中随机选取一名学生，估计这名学生本次体育健康测试成绩“优秀”的概率；
(2)从样本成绩优秀的，两组学生中任意选取2人，记为， 中的学生为， 中的学生为，求这2人来自同一组的概率；
(3)从成绩在的学生中任取3名学生记为A组，从成绩在的学生它任取3名学生记为B组，这两组学生的得分记录如下：
A组:； B组:.
写出a为何值时，A、B两组学生得分的方差相等（结论不要求证明）.
【答案】(1)0.3
(2)
(3)81或84
【解析】（1）频率分布直方图中，成绩优秀的两组学生，频率为，
所以估计这名学生本次体育健康测试成绩“优秀”的概率为0.3.
（2）样本中，组中有人，组中有人，
从样本成绩优秀的，两组学生中任意选取2人，其样本空间可记为：
共包含15 个样本点,
记事件A：两人来自同一组，
则，共包含7个样本点，
所以这2人来自同一组的概率 .
（3）这两组学生的得分记录：A组:； B组:.
方差反映的是数据的离散程度，要使A、B两组学生得分的方差相等，
对比两组数据，可知：或.
22．（2023陕西咸阳·阶段练习）某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．
(1)根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄和第80百分位数；
(2)现从各年龄分组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者，若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
(3)若第四组的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中35-45岁所有人的年龄的方差．
【答案】(1)（岁），；
(2)；
(3)10.
【解析】（1）这些人的平均年龄为（岁）．
由频率分布直方图知，年龄在的频率为，
在的频率为，则第80百分位数为，
由，解得，
所以这些人的平均年龄为（岁），第80百分位数为.
（2）依题意，第四组应抽取人，记为,甲，第五组抽取人，记为,乙，
对应的样本空间{(a,b),(a,c),(a,甲),(a,乙),(a,d),(b,c),(b,甲),(b,乙),(b,d),(c,甲),(c,乙),(c,d),(甲,乙),(甲,d),(乙,d)}，共15个样本点．
设事件“甲、乙两人至少一人被选上”，
则{(a,甲),(a,乙),(b,甲),(b,乙),(c,甲),(c,乙),(甲,乙),(甲,d),(乙,d)}，共有9个样本点，
所以甲、乙两人至少有一人被选上的概率．
（3）设第四组、第五组的年龄的平均数分别为，方差分别为，
则，由第一组有10人，得第四组有40人，第五组有20人，
设第四组和第五组所有人的年龄平均数为，方差为，
则，
因此第四组和第五组所有人的年龄方差为10，
据此，可估计这人中年龄在岁的所有人的年龄方差约为10.
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