高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数优秀练习

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考点一 指数对数的运算
【例1】（2023·广东潮州）化简计算求值
（1）计算：；
（2）设化简．
(3);
(4);
(5)
(6)
【答案】（1）；（2）(3)(4)0(5)(6)
【解析】（1）原式；
（2）原式 ．
（3）；
（4）
.
（5）原式.
（6）原式
．
【一隅三反】
（2023·辽宁大连）化简计算
（1）计算：；
（2）计算：.
（3）化简：；
（4）计算；.
（5）计算：；
（6）已知，，试以表示．
(7)；
(8).
(9)；
(10)．
(11)
(12).
【答案】（1）；（2）8（3）；（4）（5）；（6）(7)(8)(9)(10)3(11)16(12)
【解析】（1）
；
（2）
.
（3）原式；
（4）原式.
（5）；
（6）由得：，
.
（7）原式=；
（8）.
（9）由题意可得：
.
（10）由题意可得：
.
（11）
，
（12）
考点二 指数对数函数的三要素
【例2-1】（1）（2023·辽宁大连）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
（2）（2023·陕西榆林）函数的定义域为 .
（3）（2023云南）已知函数的定义域为，则函数的定义域为
【答案】（1）A（2）（3）
【解析】（1）要使函数有意义，需满足，
即，得，解得，
则函数的定义域为.故选：A.
（2）因为，所以，所以，所以定义域为，故答案为：.
（3）由条件可知，函数的定义域需满足，解得：，
所以函数的定义域是.故答案为：
【例2-2】（1）（2022秋·河北唐山·高一滦南县第一中学校考期中）函数的值域是 .
（2）（2023秋·辽宁）函数的值域为 ．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由题意可得，即，所以函数的定义域为(－3， 3)．
因为，所以，故函数的值域为．
故答案为：.
（2）设，则且，根据反比例函数性质，
从而，所以．故答案为：.
【例2-3】（2022秋·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期中）已知函数（）的最小值为2，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】，当时，单调递增，
所以当时，恒成立，
注意到，
所以由得在区间上恒成立，
令，
当时，，
当时，任取，
，
其中，，
，
所以，
所以在上递增，，
所以在区间上，
所以，即的取值范围是.
故答案为：
【一隅三反】
1．（2023·辽宁大连）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由函数可知，令，得到，即该函数定义域为.
故选：B
2（2023春·宁夏银川）函数值域是 .
【答案】
【解析】令，得,即函数定义域为，
函数是由和复合而成，
因为，所以，所以，
又函数在上单调递减，所以，
所以，即函数的值域为.
故答案为：.
3．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为 ．
【答案】．
【解析】设，则，
换元得，
显然当时，函数取到最小值，
所以函数的值域为．
故答案为：.
4．（2023·安徽芜湖）已知函数（），若函数在的最小值为，则实数的值为 .
【答案】
【解析】令，则当时，，，对称轴为；当，即时，在上单调递增，，
解得：（舍）；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，解得：（舍）或；当，即时，在上单调递减，，解得：（舍）；综上所述：.
故答案为：.
5．（2023秋·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知函数的值域为，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为函数的值域为，
所以，是函数的值域的子集，
所以，当时，的值域为，满足题意；
当时，要使是函数的值域的子集，则需满足，解得，综上，的取值范围是故答案为：
6．（2023秋·山东聊城·高一校联考期末）已知函数的值域是R，则实数的最大值是 ．
【答案】
【解析】当时，．
因为的值域为，则当时，．
当时，，故在上单调递增，
，即，解得，即的最大值为．故答案为：．
考点三 指数对数函数的单调性
【例3-1】（2023秋·江苏苏州）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由函数，
令，即，解得，即函数的定义域为，
令，
根据二次函数的性质，可得在单调递增，在上单调递减，
结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数在上单调递减，
即的递减区间为.
故选：C.
【例3-2】（2024秋·四川广安·高三四川省广安友谊中学校考阶段练习）函数在区间上单调递减的必要不充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设．
∵在上单调递减，
∴由复合函数的单调性法则可知，在上单调递减，且在上恒成立．
（注意对数的真数在上大于0）
又在上单调递减，（若函数在上单调递减，则）
∴解得．
则可得函数在区间上单调递减的充要条件是．
而所求的是函数在区间上单调递减的必要不充分条件，
故只需看是哪一个的真子集，
故选：C
【一隅三反】
1．（2024秋·北京房山 ）下列函数中，在定义域上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对选项A，，定义域为，
令，则在为减函数，为增函数，
所以在为减函数，故A错误；
对选项B，在R上为减函数，故B错误.
对选项C，，定义域为，
令，则在为增函数，为增函数，
所以在为增函数，故C正确；
对选项D，定义域为R，对称轴为，
在为减函数，在为增函数，故D错误.
故选：C
2．（2023秋·高一课时练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由条件可得得.
设，易知其图象的对称轴为.
∵函数为减函数，∴要求函数的单调递增区间，
即求函数在上的单调递减区间，
由二次函数性质可得：函数在上的单调递减区间为，
故选：D.
3（2023春·江苏盐城·高一盐城市大丰区新丰中学校考开学考试）已知函数是上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为函数是上的单调递增函数，
所以，解得，所以实数a的取值范围是.故选：D.
考点四 指数对数函数单调性的应用
【例4-1】（2023秋·广东惠州）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数为单调递增函数，所以，即；
因为为单调递增函数，所以，即；
因为单调递减，所以，即，
故，故选：A.
【例4-2】（2023秋·四川成都）已知，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】对于，函数在上单调递增，所以.
在上单调递减，所以，
由于，所以，
所以，
综上所述，.
故选：A
【例4-3】（2023春·安徽滁州·高一校联考阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，单调递减，，
当时，单调递减，，
显然函数单调递减，
所以由，
故选：D
【一隅三反】
1．（2023·辽宁大连）已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵，，，
∴.
故选：A.
2．（2023·辽宁大连）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，则，
所以，，，故，
故选：C.
3．（2023秋·陕西汉中）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题设，，，
由为增函数，且，故；
由在上为增函数，且，故；
综上，.
故选：B
4．（2023春·云南保山）已知，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，
故选:D.
5．（2023·全国·高一课堂例题）设定义在上的偶函数在区间上的解析式为，若，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为，所以．
与都在区间内，由复合函数可知在上单调递减，
所以，两边同时平方得，，
解得，即的取值范围为．
故答案为：
考点五 指对数函数的奇偶性
【例5-1】（2023·陕西榆林）下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】对于A，易知函数的定义域为，且满足，显然是偶函数，
由二次函数性质可知，其开口向上，且在上单调递增，所以A正确；
对于B，易知函数的定义域为，所以是非奇非偶函数，B错误；
对于C，函数的定义域为，由指数函数单调性可知其在上单调递增，
但，即不是偶函数，即C错误；
对于D，函数的定义域为，且在上单调递增，
满足，所以是奇函数，所以D错误.
故选：A
【例5-2】（2023秋·江苏·高三宿迁中学校联考开学考试）若为奇函数，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由为奇函数，得，解得，
于是，而是减函数，是增函数，函数是R上的减函数，
不等式，因此，
所以不等式的解集为.
故选：D
【一隅三反】
1（2023秋·广东惠州 ）已知函数，且满足时，实数的取值范围（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】D
【解析】该函数的定义域为全体实数，
因为
，
所以函数是奇函数，
又因为，
函数是实数集上的增函数，且，
所以函数是实数集上的减函数，
所以函数是实数集上的减函数，
而函数也是实数集上的减函数，
所以由函数单调性的性质可知函数是实数集上的减函数，
由
，
故选：D
2．（2022秋·福建莆田·高三莆田第五中学校考期中）已知函数是偶函数，则实数
【答案】1
【解析】因为是偶函数，
所以由得，，即，故，
因为，所以不恒为0，故.
故答案为：1.
3．（2023·辽宁模）下列函数中，是偶函数，且在区间单调递增的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】为奇函数，，为偶函数，
但在单调递增，所以在单调递减，
而为偶函数且在单调递增.
故选：A
考点六 零点
【例6-1】（2023·湖南衡阳）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数为增函数，
，，，，
所以函数的零点所在的区间为.
故选：B
【例6-2】（2023秋·高一单元测试）若函数有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意得，令，
则，解得或，
故选：D.
【一隅三反】
1．（2023秋·天津北辰 ）函数的零点落在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，，，，，，
所以函数的零点落在区间上.
故选：B.
2．（2023秋·湖南长沙 ）已知函数，若存在3个零点，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】函数存在3个零点，等价于与有3个交点．
画出函数和的图象，如下图．

由图知，要使函数和有3个交点，则，即．
故答案为：
3．（2023秋·陕西安康 ）已知函数若方程有四个不同的解，且，则a的最小值是 .
【答案】1
【解析】画出的图象如图所示.

因为方程有四个不同的解，
故的图象与有四个不同的交点，又由图，，，
故的取值范围是，故a的最小值是1.
故答案为：1
4．（2023秋·宁夏银川 ）设，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】作出函数 的图象，如图所示，
因为由三个不同的实数根，
即函数与的图象有三个不同的交点，
结合图象，可得，即实数的取值范围为.
故答案为：.

考点七 函数模型的应用
【例7】．（2023秋·河北承德 ）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为吨.
(1)求年产量为多少吨时，总成本最低，并求最低成本
(2)若每吨产品平均出厂价为万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润最大利润是多少
【答案】(1)当年产量为吨时，其生产的总成本最低，最低成本为万元
(2)当年产量为吨时，可获得最大利润万元
【解析】（1）因为，
所以当年产量为吨时，其生产的总成本最低，最低成本为万元.
（2）设该工厂年获得总利润为万元，
则.
因为在上是增函数，
所以当时，有最大值为.
故当年产量为吨时，可获得最大利润万元.
【一隅三反】
1．（2023秋·河北 ）垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．垃圾分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，减少垃圾处理量和处理设备的使用，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等方面的效益．已知某种垃圾的分解率与时间（月）满足函数关系式（其中a，b为非零常数）．若经过12个月，这种垃圾的分解率为20%，经过24个月，这种垃圾的分解率为40%，那么这种垃圾完全分解（分解率为100%）至少需要经过（ ）（参考数据）
A．64个月B．40个月C．52个月D．48个月
【答案】B
【解析】依题意，，
两式相除得，则，
由两边取以为底的对数得，
由，得，
两边取以为底的对数得个月.
故选：B
2．（2023秋·江苏盐城）某服装厂生产一批羽绒服，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x（万件）之间满足关系：（其中m为小于12的正整数）.已知每生产1万件合格的羽绒服可以盈利3万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量（注：次品率＝次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）.
(1)试将生产这批羽绒服每天的盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数；
(2)当日产量为多少时，可获得最大利润？
【答案】(1)
(2)答案见详解.
【解析】（1）由题意可知，又因为，
因此当时，，
当时，，
所以盈利额y（万元）与日产量x（万件）之间的函数关系式为：.
（2）当时，每天的盈利额为0；
因此当时,设，则，且，
则，分以下两种情形讨论：
情形一：当，即时，，
当且仅当，即时，取最大值16，此时.
情形二：当，即时，在上单调递减，
所以当，即时，取最大值.
综上所述，当时，日产量（万件）时，可获最大利润；当时，日产量（万件）时，可获最大利润.