高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数精品课后测评

第1讲：指数与指数函数(重点题型方法与技巧)

目录

类型一：条件求值

类型二：指数函数的图象及应用

角度1：指数型函数图象过定点问题

角度2：指数函数图象的识别

角度3：画指数函数的图象

类型三：指数函数的单调性

角度1：利用指数函数的单调性比较大小

角度2：利用指数函数的单调性解不等式

角度3：指数型复合函数的单调性

类型四：与指数函数（指数型复合函数）有关的定义域

类型五：与指数函数（指数型复合函数）有关的值域

类型六：可化为一元二次函数型

类型七：与指数函数的相关的综合问题

类型一：条件求值

典型例题

例题1．（2022·湖南·高一课时练习）已知，且，求下列各式的值：

(1)；(2)；(3)．

【答案】(1)(2)(3)

(1)解：因为，且，

所以；

(2)解：因为，所以，

则，

因为，所以舍去）；

(3)解：.

例题2．（2022·湖南·高一课时练习）若，求的值．

【答案】23.

【详解】因为，则有，

所以的值23.

同类题型演练

1．（2022·四川·雅安中学高一阶段练习）已知，求的值．

【答案】.

【详解】因为，两边平方得即．

所以即．

又，

所以．

2．（2022·辽宁·大连二十四中高一期末）（1）已知，求的值；

【答案】（1）；

【详解】（1）

∵

∴，

∴，

∴；

类型二：指数函数的图象及应用

角度1：指数型函数图象过定点问题

典型例题

例题1．（2022·广西北海·高一期末）若且，则函数的图象一定过点（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】解：令.

当时，，

所以函数的图象过点.

故选：C.

例题2．（2022·福建省龙岩第一中学高一阶段练习）已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（   ）.

A． B．9 C．5 D．

【答案】A

【详解】定点为,

，

当且仅当时等号成立，

即时取得最小值.

故选A

同类题型演练

1．（2022·全国·高一课时练习）对任意实数且关于x的函数图象必过定点(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】∵且，∴1－a＞0且1－a≠1，故函数是指数函数，过定点(0，1)，则过定点(0，5).

故选：C.

2．（2022·全国·高一课时练习）已知函数(且)的图象恒过定点A，则点A的坐标为（    ）

A．(0，1) B．(2，3) C．(3，2) D．(2，2)

【答案】B

【详解】任意且，当，即时，恒有，即，

所以函数的图象恒过定点A(2，3)，即A的坐标为(2，3).

故选：B

3．（2022·江苏·常州市平陵高级中学高三开学考试）已知函数（且）的图象过定点，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】当时，，故，所以不等式为，解得，所以不等式的解集为.

故选：D

角度2：指数函数图象的识别

典型例题

例题1．（2022·全国·高一课时练习）函数①；②；③；④的图象如图所示，，，，分别是下列四个数：，，，中的一个，则，，，的值分别是（    ）

A．，，， B．，，，

C．，，，， D．，，，，

【答案】C

【详解】由题图，直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而.

故选：C．

例题2．（2022·全国·高一专题练习）函数(是自然底数)的大致图像是（    ）

A．           B．

C．           D．

【答案】C

【详解】解析 ，

函数为偶函数，且过，，

函数在上递增，在上递减，故C符合.

故选：C.

例题3．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，函数的图像是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】，

时，时，.

故选：B.

同类题型演练

1．（2022·上海市复兴高级中学高一阶段练习）函数的大致图像是（    ）

A． B． 

C．                   D．

【答案】C

【详解】解：由函数，

得，所以函数为偶函数，故排除AB，

当时，，

所以函数在上是减函数，故排除D.

故选：C.

2．（2022·江西·南城县第二中学高二阶段练习（文））函数的图象的大致形状是（    ）

A．                   B．

C． D．

【答案】C

【详解】∵，又，

∴根据指数函数图像即可判断选项C符合.

故选：C.

角度3：画指数函数的图象

典型例题

例题1．（2021·全国·高一课前预习）已知函数|.

(1)作出图象；

【答案】(1)图像见解析

(1)解：先作函数的图象，再作函数图象.

作法：将函数图象在y轴左侧去掉，保留右侧，再把右侧沿y轴翻折到左侧得到函数图象（下图中虚线），再将函数图象向左平移1个单位得到函数图象，函数图象如下图所示：

例题2．（2021·全国·高一课时练习）根据函数的图像，画出下列函数的图像．

（1）；  （2）；  （3）．

【答案】见解析

【详解】（1）函数的图像与的图像关于轴对称

（2）函数的图像与的图像关于直线对称

（3）将的图像位于轴左侧的图像去掉，

再将轴右侧的图像对称过来，

同类题型演练

1．（2021·全国·高一专题练习）已知的图象，指出下列函数的图象是由的图象通过怎样的变化得到：

(1)；(2)；(3)；(4)；(5).

【答案】(1)向左平移1个单位；

(2)向右平移1个单位；

(3)向上平移1个单位；

(4)关于轴对称；

(5)保留时，的图象，再作关于轴对称.

（1）解：的图象是由的图象向左平移1个单位得到.

（2）解：的图象是由的图象向右平移1个单位得到．

（3）解：的图象是由的图象向上平移1个单位得到．

（4）解：∵与的图象关于轴对称，

∴作的图象关于轴的对称图形便可得到的图象．

（5）解：∵为偶函数，故其图象关于轴对称，

故先作出当时，的图象，再作关于轴的对称图形，即可得到的图象．

类型三：指数函数的单调性

角度1：利用指数函数的单调性比较大小

典型例题

例题1．（2022·湖南省衡南县衡云中学高一开学考试）已知，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】∵是减函数，，所以，

又，

∴．

故选：C．

同类题型演练

1．（2022·全国·高一专题练习）已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】解：是增函数，故，

而，故.

故选：A.

2．（2022·浙江·高三学业考试）已知，，，则（     ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】，

又函数单调递增，

故，即，

故选：D. 

角度2：利用指数函数的单调性解不等式

典型例题

例题1．（2022·陕西·咸阳市高新一中高三阶段练习（理））不等式的解集为__________.

【答案】

【详解】由，得，

所以，即，

得，解得或，

所以不等式的解集为，

故答案为：

例题2．（2022·全国·高一专题练习）不等式恒成立，则的取值范围是_________．

【答案】

【详解】解：因为 在R上递增，

所以不等式恒成立，

即，恒成立，

亦即恒成立，

则，

解得，

故的取值范围是．

故答案为：

同类题型演练

1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一六二中学校高一期末）不等式的解集为_____________.

【答案】

【详解】不等式为，

即，

解得，

所以不等式的解集为，

故答案为：

2．（2022·广西南宁·高一期末）（1）已知若，求x的取值范围．（结果用区间表示）

【答案】(1)   

【详解】（1）因为，

所以，解得，

即 x的取值范围为.

角度3：指数型复合函数的单调性

典型例题

例题1．（2020·河南·登封市第一高级中学高一阶段练习）函数的单调递减区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】设，在单调递增，在单调递减，在单调递增，根据“同增异减”可得，函数的单调递减区间是.

故选：A.

例题2．（2022·北京市第二十二中学高三开学考试）已知函数，则（    ）

A．是偶函数，且在是单调递增 B．是奇函数，且在是单调递增

C．是偶函数，且在是单调递减 D．是奇函数，且在是单调递减

【答案】B

【详解】解：定义域为，且，

所以为奇函数，

又与在定义域上单调递增，所以在上单调递增；

故选：B

例题3．（2020·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校高一期中）若函数在单调递减，则的取值范围（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】依题意函数在单调递减，

在上递减，

的开口向上，对称轴为，

根据复合函数单调性同增异减可知，.

故选：C

同类题型演练

1．（2021·贵州·黔西南州金成实验学校高一期中）函数y＝的单调递减区间为（    ）

A．（－∞，0] B．[0，＋∞）

C．（－∞，] D．[，＋∞）

【答案】B

【详解】解:函数y＝u在R上为减函数，

欲求函数y＝的单调递减区间，只需求函数u＝x2－2的单调递增区间，

而函数u＝x2－2的单调递增区间为[0，＋∞），

故所求单调递减区间为[0，＋∞）.

故选:B

2．（2021·全国·高一专题练习）函数的单调递增区间为（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】因为函数的单调递增区间为，

所以根据复合函数单调性可知，的单调递增区间为

故选：A

类型四：与指数函数（指数型复合函数）有关的定义域

典型例题

例题1．（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由题意得，即，解得．

故选：C.

例题2．（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域为______．

【答案】

【详解】因为，所以，则，

即，解得，

故函数的定义域为．

故答案为：.

同类题型演练

1．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】解：由题意得：，

故，故，

解得：，

故函数的定义域是，

故选：B．

2．（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域为______________．

【答案】

【详解】换元，得出，解得（舍去）或，即，解得.因此，函数的定义域为，故答案为.

类型五：与指数函数（指数型复合函数）有关的值域

典型例题

例题1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数．当时，的值域为______；若的最大值为16，则的值为______．

【答案】     ##     -2

【详解】当时，，

设，则，因为在R上是增函数，所以，即，所以函数的值域是 ；

要使函数的最大值为16，则的最大值为4，故，解得．

故答案为：；

例题2．（2022·全国·高一课时练习）已知函数（，且），求函数在上的值域．

【答案】答案见解析．

【详解】令，则可化为．

当，时，，又在上单调递增，

∴，即；

当，时，，又在上单调递增，

∴，即．

综上，当时，函数在上的值域是；

当时，函数在上的值域是．

例题3．（2022·全国·高一专题练习）已知且，函数，

(1)求的单调区间和值域；

(2)若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围；

(3)若对于任意，任意，都有恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)函数的递增区间为，递减区间为，

(2)(3)

(1)

则，为偶函数

设，则函数等价为

若，当时，单调递增，且，此时函数在上单调递增，根据复合函数的单调性可知此时单调递增．

若，当时，单调递减，且，此时函数在上单调递减，根据复合函数的单调性可知此时单调递增．

综上当时，函数单调递增

函数是偶函数，当时，函数单调递减．

故函数的递增区间为，递减区间为．

函数的值域为]．

(2)且，

的对称轴为，

函数在时，函数单调递减．

，．

即，

若对于任意，总存在，使得成立，

即且，

则，即，

此时，

且，，

即的取值范围是；

(3)若对于任意，任意，都有恒成立

即

则，

，解得

且

即的取值范围

同类题型演练

1．（2022·河南·模拟预测（文））函数在的值域为______．

【答案】

【详解】解：，

设，

当时，，所以，

所以在的值域为．

故答案为：．

类型六：可化为一元二次函数型

典型例题

例题1．（2022·全国·高一专题练习）函数的值域为____.

【答案】

【详解】解：令，

函数化为

，即函数的值域为．

故答案为：

例题2．（2022·北京·高三专题练习）已知（其中且为常数）有两个零点，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【详解】设，

由有两个零点，

即方程有两个正解，

所以，解得，

即，

故答案为：.

同类题型演练

1．（2022·黑龙江·嫩江市高级中学高三开学考试）给定函数，若对于定义域中的任意x，都有恒成立，则称函数为“爬坡函数”.

(1)证明：函数是“爬坡函数”；

(2)若函数是“爬坡函数”，求实数m的取值范围；

【答案】(1)证明见解析；

(2).

（1）恒成立，则是“爬坡函数”.

（2）依题意，恒成立，

令，即在恒成立，

当，即，则只需满足，

当，即，则只需满足，

综上所述，实数m的取值范围为

2．（2022·江西省丰城中学高一开学考试）函数且，函数.

(1)求的解析式；

(2)若关于的方程在区间上有实数根，求实数的取值范围.

【答案】(1)；(2).

(1)由，可得：，解得：，

∴；

(2)由，可得，

令，则，

则原问题等价于y＝m与y＝h(t)＝在上有交点，

数形结合可知m∈[h()，h(4)]＝.

故实数的取值范围为：.

类型七：与指数函数的相关的综合问题

典型例题

例题1．（2022·山东日照·高二开学考试）已知函数.

(1)用函数单调性的定义证明在区间上单调递增；

(2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)证明见详解；(2).

（1）任取，且，则，

，

，

所以，所以在区间上单调递增.

（2）不等式在上恒成立，等价于在上恒成立，

令，因为，所以，则有在恒成立，

令，则，

所以，所以，所以实数的取值范围为.

例题2．（2022·四川省绵阳南山中学高三开学考试（理））已知定义域为的函数为奇函数．

(1)求的值；

(2)，恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)1(2)

（1）因为是定义在上的奇函数，

所以，则（经检验，时为奇函数，满足题意）．

（2）因为是奇函数，所以不等式等价于，

又由（1）知，易知是上的减函数，

所以，即对任意的有恒成立，

从而对应方程的根的判别式，解得．

所以的取值范围为．

例题3．（2022·河南商丘·高二期末（文））已知函数.

(1)求与，与的值；

(2)由（1）中求得的结果，猜想与的关系并证明你的猜想；

(3)求的值.

【答案】(1)），，，

(2)，证明见解析

(3)

(1)解：因为，故，，，.

(2)解：猜想：，

证明：∵对于任意的，都有

∴.

故.

(3)解：由（2）得，

故，，，

所以

.

同类题型演练

1．（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）已知函数.

(1)判断函数的奇偶性并加以证明；

(2)，不等式成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)为奇函数，证明见解析

(2)

（1）解：函数为奇函数，证明如下：

函数的定义域，

因为，

所以为上的奇函数；

（2）解：因为，因为在定义域上单调递增，且，又在上单调递增，

所以在上单调递增，

则不等式恒成立，即恒成立，

即恒成立，

所以恒成立，即恒成立，

所以，解得，

所以的范围为．

2．（2022·四川省德阳市第三中学高三开学考试）已知函数．

(1)判断并证明在其定义域上的单调性；

(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)在上单调递增；证明见解析

(2)

（1）在上单调递增，证明如下：

设，

；

，，又，，，

在上单调递增.

（2），为上的奇函数，

由得：，

由（1）知：在上单调递增，在上恒成立；

当时，，在上恒成立；

令，

在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递增，，，

即实数的取值范围为.

3．（2022·全国·高一课时练习）已知定义域为R的函数是奇函数．

(1)求的解析式；

(2)用定义证明的单调性．

【答案】(1)

(2)在R上单调递减，证明见解析

（1）因为是R上的奇函数，所以，

即，解得，则．

又，则，解得，

经检验当，时，是奇函数，

所以．

（2）证明：由（1）知，

对任意的，R，且，

有，

因为，所以，所以，

∴在R上单调递减．