数学必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.2 指数函数第1课时课时训练

这是一份数学必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.2 指数函数第1课时课时训练，共9页。试卷主要包含了指数函数的概念，指数函数的图象和性质等内容，欢迎下载使用。


1．指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
2．指数函数的图象和性质
思考1：指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？
提示：指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时，图象具有上升趋势；当0思考2：：指数函数值随自变量有怎样的变化规律？
提示：指数函数值随自变量的变化规律．
1．下列函数一定是指数函数的是( )
A．y＝2x＋1 B．y＝x3
C．y＝3·2x D．y＝3－x
D [由指数函数的定义可知D正确．]
2．函数y＝3－x的图象是( )
A B C D
B [∵y＝3－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x，∴B选项正确．]
3．若指数函数f(x)的图象过点(3,8)，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝2x
C．f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x D．f(x)＝xeq \s\up5(\f(1,3))
B [设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f(3)＝8得
a3＝8，∴a＝2，∴f(x)＝2x，故选B.]
4．函数y＝ax(a>0且a≠1)在R上是增函数，则a的取值范围是________．
(1，＋∞) [结合指数函数的性质可知，若y＝ax(a>0且a≠1)在R上是增函数，则a>1.]
指数函数的概念
【例1】 (1)下列函数中，是指数函数的个数是( )
①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax；
④y＝2·3x.
A．1 B．2
C．3 D．0
(2)已知函数f(x)为指数函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝eq \f(\r(3),9)，则f(－2)＝________.
(1)D (2)eq \f(1,9) [(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；
②中指数不是自变量x，而是x的函数，
所以不是指数函数；
③中底数a，只有规定a>0且a≠1时，才是指数函数；
④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D.
(2)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝eq \f(\r(3),9)得a－eq \f(3,2)＝eq \f(\r(3),9)，所以a＝3，又f(－2)＝a－2，所以f(－2)＝3－2＝eq \f(1,9).]
1．判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住三点：
(1)底数是大于0且不等于1的常数；
(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；
(3)ax的系数必须为1.
2．求指数函数的解析式常用待定系数法．
1．已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞) [由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－1>0，,2a－1≠1，))解得a>eq \f(1,2)，且a≠1，
所以实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞)．]
指数函数的图象的应用
【例2】 (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．0(2)函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．
(1)D (2)(3,4) [(1)由于f(x)的图象单调递减，所以0又00，b<0，故选D.
(2)令x－3＝0得x＝3，此时y＝4.故函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点(3,4)．]
指数函数图象问题的处理技巧
1抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点.
2利用图象变换，如函数图象的平移变换左右平移、上下平移.
3利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势.
2．已知f(x)＝2x的图象，指出下列函数的图象是由y＝f(x)的图象通过怎样的变化得到：
(1)y＝2x＋1；(2)y＝2x－1；(3)y＝2x＋1；
(4)y＝2－x；(5)y＝2|x|.
[解] (1)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向左平移1个单位得到．
(2)y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位得到．
(3)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位得到．
(4)∵y＝2－x与y＝2x的图象关于y轴对称，∴作y＝2x的图象关于y轴的对称图形便可得到y＝2－x的图象．
(5)∵y＝2|x|为偶函数，故其图象关于y轴对称，故先作出当x≥0时，y＝2x的图象，再作关于y轴的对称图形，即可得到y＝2|x|的图象．]
指数函数的定义域、值域问题
[探究问题]
1．函数y＝2x2＋1的定义域与f(x)＝x2＋1的定义域什么关系？
提示：定义域相同．
2．如何求y＝2x2＋1的值域？
提示：可先令t＝x2＋1，则易求得t的取值范围为[1，＋∞)，又y＝2t在[1，＋∞)上是单调递增函数，故2t≥2，所以y＝2x2＋1的值域为[2，＋∞)．
【例3】 求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝eq \r(1－3x)；
(2)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x2－2x－3；
(3)y＝4x＋2x＋1＋2.
[思路点拨] eq \x(函数式有意义)―→eq \x(原函数的定义域)
eq \(――→,\s\up15(指数函数),\s\d15(的值域))eq \x(原函数的值域)
[解] (1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，故函数y＝eq \r(1－3x)的定义域为(－∞，0]．
因为x≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1，
所以eq \r(1－3x)∈[0,1)，即函数y＝eq \r(1－3x)的值域为[0,1)．
(2)定义域为R.
∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x2－2x－3≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－4＝16.
又∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x2－2x－3>0，
∴函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x2－2x－3的值域为(0,16]．
(3)因为对于任意的x∈R，函数y＝4x＋2x＋1＋2都有意义，所以函数y＝4x＋2x＋1＋2的定义域为R.因为2x>0，所以4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1>1＋1＝2，
即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为(2，＋∞)．
1．若本例(1)的函数换为“y＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x－1)”，求其定义域．
[解] 由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x－1≥0得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))0，∴x≤0，即函数的定义域为(－∞，0]．
2．若本例(3)的函数增加条件“0≤x≤2”，再求函数的值域．
[解] ∵0≤x≤2，∴1≤2x≤4，∴y＝4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1.
令2x＝t，则t∈[1,4]，且f(t)＝(t＋1)2＋1，
易知f(t)在[1,4]上单调递增，
∴f(1)≤f(t)≤f(4)，即5≤f(t)≤26，
即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为[5,26]．
1．函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．
2．函数y＝af(x)的值域的求解方法如下：
(1)换元，令t＝f(x)；
(2)求t＝f(x)的定义域x∈D；
(3)求t＝f(x)的值域t∈M；
(4)利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
3．形如y＝f(ax)的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)确定出y＝f(ax)的值域．
1．判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合y＝ax(a>0且a≠1)这一结构形式．
2．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．
3．由于指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的定义域为R，所以函数y＝af(x)(a>0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同，求与指数函数有关的函数的值域时，要考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性．
1．思考辨析
(1)y＝x2是指数函数．( )
(2)函数y＝2－x不是指数函数．( )
(3)指数函数的图象一定在x轴的上方．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．a＜b＜1＜c＜dB．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c
B [作直线x＝1，与四个图象分别交于A，B，C，D四点，则A(1，a)，B(1，b)，C(1，c)，D(1，d)，由图可知b]
3．函数y＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x)的定义域是________．
[0，＋∞) [由1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x≥0得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x≤1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0，∴x≥0，
∴函数y＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x)的定义域为[0，＋∞)．]
4．设f(x)＝3x，g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x.
(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；
(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？
[解] (1)函数f(x)，g(x)的图象如图所示：
(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－1＝3，
f(π)＝3π，g(－π)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－π＝3π，
f(m)＝3m，g(－m)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－m＝3m.
从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点)
2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．(重点)
1.通过学习指数函数的图象，培养直观想象的数学素养．
2．借助指数函数的定义域、值域的求法，培养逻辑推理素养.
a的范围
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
过定点
(0,1)，即当x＝0时，y＝1
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
对称性
函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称