人教A版 (2019)4.1 指数精品课时作业

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一．n次方根，n次根式
1.a的n次方根的定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
2.a的n次方根的表示
3.根式：式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
二.根式的性质
1.负数没有偶次方根.
2.0的任何次方根都是0，记作eq \r(n,0)＝0.
3.(eq \r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1).
4.eq \r(n,an)＝a(n为大于1的奇数).
5.eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a<0))(n为大于1的偶数).
三.分数指数幂
1.规定正数的正分数指数幂的意义是：aeq \s\up6(\f(m,n))＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
2.规定正数的负分数指数幂的意义是：a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
3.0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
四.有理数指数幂的运算性质
1.整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q).
④eq \f(ar,as)＝ar－s(a>0，r，s∈Q).
2.无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
一．eq \r(n,an)与(eq \r(n,a))n的区别
1.eq \r(n,an)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制.其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a.当n为奇数时，eq \r(n,an)＝a；当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a<0.))
2.(eq \r(n,a))n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定.其算法是对a先开方，再乘方(都是n次)，结果恒等于a.
二．根式与分数指数幂互化
1.指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.
(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质.
2.根式化简的步骤
(1)将根式化成分数指数幂的形式.
(2)运用分数指数幂的运算性质求解.
3.利用整体代换法求分数指数幂
(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键.
(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式.
考点一 根式的意义求范围
【例1】（2023·云南曲靖）（多选）若，则下列四个式子中有意义的是（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2023·北京）是实数，则下列式子中可能没有意义的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，求
3．（2023·全国·高一假期作业）若代数式有意义，则 .
考点二 根式的性质化简或求值
【例2-1】（2023·全国·高一假期作业）（多选）下列各式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【例2-2】（2022秋·甘肃庆阳·高一校考期末）（多选）若，化简的结果可能（ ）
A．B．.C．D．
【一隅三反】
1．（2022秋·吉林白山·高一校考阶段练习）（多选）已知xy≠0，且，则以下结论错误的是（ ）
A．xy<0B．xy>0
C．x>0，y>0D．x<0，y<0
2．（2023·全国·高一假期作业）化简的结果是 ．
3．（2023·全国·高一假期作业）化简 .
考点三 根式与指数幂的互化
【例3-1】（2023·全国·高一课堂例题）[多选题]下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
【例3-2】（2023·高一课时练习）已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【例3-3】（2023云南）计算下列各式：
(1)；
(2)；
(3).
【一隅三反】
1．（2023·全国·高一课堂例题）化简（式中各字母均为正数）：
(1)；
(2)；
(3)．
2．（2023春·河北石家庄·高一校考阶段练习）计算下列各式的值.
(1)
；
.
计算：；
(7)（，）.
3．（2023秋·高一课时练习）已知，求下列各式的值．
(1)a＋a－1；
(2)a2＋a－2；
(3)
n的奇偶性
a的n次方根的表示符号
a的取值范围
n为奇数
eq \r(n,a)
R
n为偶数
±eq \r(n,a)
[0，＋∞)