高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.1 指数精品学案及答案

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课时4.2.1 指数函数的概念
01考点梳理
1．指数函数的概念
一般地，函数　　　(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中　 是自变量，函数的定义域是 .
2．指数函数的图象和性质
a的范围
a＞1
0＜a＜1
图象


性质
定义域
R
值域
__________
过定点
　　　，即当x＝0时，y＝　
单调性
在R上是　　　
在R上是　　　
奇偶性
非奇非偶函数
对称性
函数y＝ax与y＝a－x的图象关于　　对称
答案：y＝ax x R (0，＋∞) (0,1) 1 增函数 减函数 y轴
02考点解读
题型一 指数函数的图像及应用
1．在同一直角坐标系中，函数与在上的图象可能是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】为幂函数，为指数函数
A. 过定点，可知，，的图象符合，故可能.
B. 过定点，可知，，的图象不符合，故不可能.
C. 过定点，可知，，的图象不符合，故不可能.
D.图象中无幂函数图象，故不可能.
故选：A
题型二 指数函数的定义域与值域
2．函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当时，函数单调递增，因为，则，
所以，，此时，函数的值域为；
当时，函数单调递减，因为，则.
所以，，此时，函数的值域为.
综上所述，函数的值域是.
故选：D.
题型三 指数函数的单调性
3．若函数单调递增,则实数a的取值范围是( )
A． B． C．​ D．
【答案】B
【解析】解：函数单调递增，
解得
所以实数的取值范围是．
故选：．
题型三 指数函数的单调性
4．若函数单调递增,则实数a的取值范围是( )
A． B． C．​ D．
【答案】B
【解析】解：函数单调递增，
解得
所以实数的取值范围是．
故选：．
题型四 指数函数的最值问题
5．若指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（ ）.
A．2 B． C．3 D．
【答案】AB
【解析】设，
当时，指数函数单调递增，所以在区间上的最大值，最小值.所以，求得或者（舍）；
当时，指数函数单调递减，所以在区间上的最大值，最小值，所以，求得（舍）或者.
综上所述：或者.
故选：AB
03题组训练
1．函数与，其中，且，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：对于A，C，由于函数是增函数，图象应该呈上升趋势，所以A，C错误；
对于B，若函数的图象是正确的，则，所以，所以函数是正确的，所以B正确；
对于D，若函数的图象是正确的，则，所以，所以函数是增函数，所以D错误，
故选：B
2．如果指数函数(，且)的图象经过点，那么的值是（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意可知，解得或（舍）
故选：B
3．已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【解析】因为是上的偶函数，所以，
又的图象关于点对称，则，
所以，则，得，
即，所以是周期函数，且周期，
由时，，则，
，，
则，
则
故选：D
4．已知函数的大致图象如下图，则幂函数在第一象限的图象可能是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由的图象可知，，
所以，得，，
所以，所以幂函数在第一象限的图象可能为.
故选：B.
5．已知函数，则___.
【答案】16
【解析】根据题意，函数，则，
则，
故答案为：16.
6．下列函数中指数函数的个数是_____________．
①；②；③；④（为常数，，）；⑤； ⑥；⑦
【答案】③④
【解析】根据指数函数的定义直接判断：形如（且）的函数是指数函数.
可知只有③，④（为常数，，）符合指数函数的定义.
故答案为：③④.
7．已知常数，函数的图象经过点，．若，则______．
【答案】6
【解析】函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．
则：，
整理得：=1，
解得：2p+q=a2pq，
由于：2p+q=36pq，
所以：a2=36，
由于a＞0，
故：a=6．
故答案为6
8．已知点在函数（且）图象上，对于函数定义域中的任意，，有如下结论：
①；
②；
③；
④.
上述结论中正确结论的序号是___________.
【答案】①④
【解析】点在函数（且）图象上，即，，，
∵对于函数定义域中的任意的，
有
∴结论（1）正确；
又，，，
∴结论（2）错误；
又是定义域上的增函数，
∴对任意的，不妨设，则，，，，
∴结论（3）错误；
又，
，
，
∴结论（4）正确；
故答案为：（1），（4）.
9．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用[x]表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数奇偶性是______函数，的值域是__________
【答案】奇函数
【解析】∵，，
∴为奇函数，
化，
∵，∴，则.
∴当时，，；
当时，，；
当时，.
∴函数的值域是.
故答案为：奇函数，.
10．已知（为常数，且）的图像过点.
（1）求的解析式；
（2）若函数 ，试判断的奇偶性并给出证明.
【答案】（1）；（2）奇函数；证明见解析.
【解析】解：（1）∵ 的图像过点
∴，解得，故；
（2）由（1）知 ，
则的定义域为R，关于原点对称，
且
故为奇函数.