新高考数学考前考点冲刺精练卷40《空间向量的概念与运算》（2份，原卷版+教师版）

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一、选择题
已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))(x，y，z∈R)，则“x＝2，y＝﹣3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案解析】答案为：B
解析：由x＋y＋z＝1，得P，A，B，C四点共面，当P，A，B，C四点共面时，x＋y＋z＝1，显然不止2，﹣3，2.故“x＝2，y＝﹣3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件.
已知a＝(2，1，﹣3)，b＝(0，﹣3，2)，c＝(﹣2，1，2)，则a·(b＋c)等于( )
A.18 B.﹣18 C.3eq \r(2) D.﹣3eq \r(2)
【答案解析】答案为：B
解析：因为b＋c＝(﹣2，﹣2，4)，所以a·(b＋c)＝﹣4﹣2﹣12＝﹣18.
直线l的一个方向向量为(2，1，1)，平面α的一个法向量为(4，2，2)，则( )
A.l∥α
B.l⊥α
C.l∥α或l⊂α
D.l与α的位置关系不能判断
【答案解析】答案为：B
解析：直线l的一个方向向量为(2，1，1)，平面α的一个法向量为(4，2，2)，显然它们共线，所以l⊥α.
已知空间向量a＝(1，0，1)，b＝(1，1，n)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
【答案解析】答案为：A
解析：由题意，a·b＝1＋0＋n＝3，解得n＝2，又|a|＝eq \r(1＋0＋1)＝eq \r(2)，|b|＝eq \r(1＋1＋4)＝eq \r(6)，所以cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(3,\r(2)×\r(6))＝eq \f(\r(3),2)，又〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角为eq \f(π,6).
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若eq \(AF,\s\up6(→))＝xeq \(AD,\s\up6(→))＋yeq \(AB,\s\up6(→))＋zeq \(AA1,\s\up6(—→))，则x﹣y＋z等于( )
A.eq \f(1,2) B.1 C.eq \f(3,2) D.2
【答案解析】答案为：B
解析：eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(DD1,\s\up6(—→))＋eq \(D1C1,\s\up6(—→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \(A1B1,\s\up6(—→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AA1,\s\up6(—→))，则x＝1，y＝eq \f(1,2)，z＝eq \f(1,2)，则x﹣y＋z＝1.
如图，在三棱锥O﹣ABC中，点P，Q分别是OA，BC的中点，点D为线段PQ上一点，且eq \(PD,\s\up6(→))＝2eq \(DQ,\s\up6(→))，若记eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，则eq \(OD,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,6)a＋eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)c B.eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)c
C.eq \f(1,3)a＋eq \f(1,6)b＋eq \f(1,3)c D.eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b＋eq \f(1,6)c
【答案解析】答案为：A
解析：eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(PD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(OQ,\s\up6(→))﹣eq \(OP,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OQ,\s\up6(→))﹣eq \f(2,3)eq \(OP,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))﹣eq \f(2,3)×eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)a＋eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)c.
如图，在三棱锥O﹣ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))表示eq \(OG,\s\up6(→))，则下列表示正确的是( )
A.eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→)) B.eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(→))
C.﹣eq \f(1,6)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→)) D.eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))
【答案解析】答案为：D
解析：eq \(MG,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(ON,\s\up6(→))﹣eq \(OA,\s\up6(→)))＝﹣eq \f(1,6)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→)).
eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(MG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))﹣eq \f(1,6)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→)).
如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(—→))＝c，则下列向量中与eq \(BM,\s\up6(→))相等的向量是( )
A.﹣eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c B.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c
C.﹣eq \f(1,2)a﹣eq \f(1,2)b＋c D.eq \f(1,2)a﹣eq \f(1,2)b＋c
【答案解析】答案为：A
解析：由题意，根据向量运算的几何运算法则，
eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(BB1,\s\up6(—→))＋eq \(B1M,\s\up6(—→))＝eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \f(1,2)(eq \(AD,\s\up6(→))﹣eq \(AB,\s\up6(→)))＝c＋eq \f(1,2)(b﹣a)＝﹣eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c.
二、多选题
(多选)已知空间三点A(1，0，3)，B(﹣1，1，4)，C(2，﹣1，3)，若eq \(AP,\s\up6(→))∥eq \(BC,\s\up6(→))，且|eq \(AP,\s\up6(→))|＝eq \r(14)，则点P的坐标为( )
A.(4，﹣2，2) B.(﹣2，2，4) C.(﹣4，2，﹣2) D.(2，﹣2，4)
【答案解析】答案为：AB
解析：因为B(﹣1，1，4)，C(2，﹣1，3)，所以eq \(BC,\s\up6(→))＝(3，﹣2，﹣1)，因为eq \(AP,\s\up6(→))∥eq \(BC,\s\up6(→))，所以可设eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))＝(3λ，﹣2λ，﹣λ)，因为|eq \(AP,\s\up6(→))|＝eq \r(3λ2＋－2λ2＋－λ2)＝eq \r(14)，解得λ＝±1，所以eq \(AP,\s\up6(→))＝(3，﹣2，﹣1)或eq \(AP,\s\up6(→))＝(﹣3，2，1)，设点P(x，y，z)，则eq \(AP,\s\up6(→))＝(x﹣1，y，z﹣3)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＝3，,y＝－2，,z－3＝－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＝－3，,y＝2，,z－3＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝－2，,z＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝2，,z＝4.))所以点P的坐标为(4，﹣2，2)或(﹣2，2，4).
(多选)下面四个结论正确的是( )
A.向量a，b(a≠0，b≠0)，若a⊥b，则a·b＝0
B.若空间四个点P，A，B，C，eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(PB,\s\up6(→))，则A，B，C三点共线
C.已知向量a＝(1，1，x)，b＝(﹣3，x，9)，若x＜eq \f(3,10)，则〈a，b〉为钝角
D.任意向量a，b，c满足(a·b)·c＝a·(b·c)
【答案解析】答案为：AB
解析：由向量垂直的充要条件可得A正确；
∵eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(PB,\s\up6(→))，∴eq \f(1,4)eq \(PC,\s\up6(→))﹣eq \f(1,4)eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(PB,\s\up6(→))﹣eq \f(3,4)eq \(PC,\s\up6(→))，即eq \(AC,\s\up6(→))＝3eq \(CB,\s\up6(→))，∴A，B，C三点共线，故B正确；
当x＝﹣3时，两个向量共线，夹角为π，故C错误；
由于向量的数量积运算不满足结合律，故D错误.
(多选)给出下列命题，其中为假命题的是( )
A.已知n为平面α的一个法向量，m为直线l的一个方向向量，若n⊥m，则l∥α
B.已知n为平面α的一个法向量，m为直线l的一个方向向量，若〈n，m〉＝eq \f(2π,3)，则l与α所成角为eq \f(π,6)
C.若两个不同的平面α，β的法向量分别为u，v，且u＝(1，2，﹣2)，v＝(﹣2，﹣4，4)，则α∥β
D.已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc
【答案解析】答案为：AD
解析：对于A，由题意可得l∥α或l⊂α，故A错误；对于B，由图象可得，∠CAD＝eq \f(2π,3)，
则∠DAB＝eq \f(π,3)，所以∠ADB＝eq \f(π,6)，根据线面角的定义可得，l与α所成角为eq \f(π,6)，故B正确；
对于C，因为u＝﹣eq \f(1,2)v＝﹣eq \f(1,2)(﹣2，﹣4，4)＝(1，2，﹣2)，所以u∥v，故α∥β，故C正确；
对于D，当空间的三个向量a，b，c不共面时，对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc，故D错误.
(多选)下列说法中正确的是( )
A.|a|﹣|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B.若eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))共线，则AB∥CD
C.A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OC,\s\up6(→))，则P，A，B，C四点共面
D.若P，A，B，C为空间四点，且有eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→))＋μeq \(PC,\s\up6(→))(eq \(PB,\s\up6(→))，eq \(PC,\s\up6(→))不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件
【答案解析】答案为：CD
解析：由|a|﹣|b|＝|a＋b|，可得向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|﹣|b|＝|a＋b|，所以A不正确；
若eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确；
由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OC,\s\up6(→))，
因为eq \f(3,4)＋eq \f(1,8)＋eq \f(1,8)＝1，可得P，A，B，C四点共面，故C正确；
若P，A，B，C为空间四点，且有eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→))＋μeq \(PC,\s\up6(→))(eq \(PB,\s\up6(→))，eq \(PC,\s\up6(→))不共线)，
当λ＋μ＝1时，即μ＝1﹣λ，可得eq \(PA,\s\up6(→))﹣eq \(PC,\s\up6(→))＝λ(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(CP,\s\up6(→)))，即eq \(CA,\s\up6(→))＝λeq \(CB,\s\up6(→))，
所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确.
三、填空题
设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(﹣2，2，1)，b＝(3，﹣2，m)，若l1⊥l2，则m＝________.
【答案解析】答案为：10
解析：∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝﹣6﹣4＋m＝0，∴m＝10.
已知a＝(x，1，1)，b＝(﹣2，2，y)，a·b＝0，则2x﹣y＝________.
【答案解析】答案为：2
解析：因为a＝(x，1，1)，b＝(﹣2，2，y)，a·b＝0，所以﹣2x＋2＋y＝0，2x﹣y＝2.
已知点A(﹣1，1，0)，B(1，2，0)，C(﹣2，﹣1，0)，D(3，4，0)，则eq \(AB,\s\up6(→))在eq \(CD,\s\up6(→))上的投影向量为________.
【答案解析】答案为：(eq \f(3,2)，eq \f(3,2)，0).
解析：由已知得eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，1，0)，eq \(CD,\s\up6(→))＝(5，5，0)，∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝2×5＋1×5＋0＝15，又|eq \(CD,\s\up6(→))|＝5eq \r(2)，∴eq \(AB,\s\up6(→))在eq \(CD,\s\up6(→))上的投影向量为eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(CD,\s\up6(→)),|\(CD,\s\up6(→))|)·eq \f(\(CD,\s\up6(→)),|\(CD,\s\up6(→))|)＝eq \f(15,5\r(2))×eq \f(\(CD,\s\up6(→)),5\r(2))＝eq \f(3,10)eq \(CD,\s\up6(→))＝(eq \f(3,2)，eq \f(3,2)，0).
在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，BB1的中点，则cs∠EAF＝________；EF＝________.
【答案解析】答案为：eq \f(2,5) eq \f(\r(6),2).
解析：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
∵正方体棱长为1，则E(0，eq \f(1,2)，1)，F(1，0，eq \f(1,2))，
∴eq \(AE,\s\up6(→))＝(0，eq \f(1,2)，1)，eq \(AF,\s\up6(→))＝(1，0，eq \f(1,2))，eq \(EF,\s\up6(→))＝(1，﹣eq \f(1,2)，﹣eq \f(1,2))，
cs〈eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AE,\s\up6(→))·\(AF,\s\up6(→)),|\(AE,\s\up6(→))||\(AF,\s\up6(→))|)＝eq \f(\f(1,2),\f(\r(5),2)×\f(\r(5),2))＝eq \f(2,5)，∴cs∠EAF＝eq \f(2,5)，
EF＝|eq \(EF,\s\up6(→))|＝eq \r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(6),2).
如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝eq \r(2)，则平面PAB与平面PBC的夹角的余弦值为________.
【答案解析】答案为：eq \f(\r(3),3).
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(eq \r(2)，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，eq \(AP,\s\up7(―→))＝(0,0,1)，eq \(AB,\s\up7(―→))＝(eq \r(2)，1,0)，eq \(CB,\s\up7(―→))＝(eq \r(2)，0,0)，eq \(CP,\s\up7(―→))＝(0，﹣1，1).
设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m⊥eq \(AP,\s\up7(―→))，,m⊥eq \(AB,\s\up7(―→))，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·eq \(AP,\s\up7(―→))＝0，,m·eq \(AB,\s\up7(―→))＝0，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－\r(2)x，,z＝0.))令x＝1，得m＝(1，﹣eq \r(2)，0)，
设平面PBC的法向量为n＝(x′，y′，z′)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n⊥eq \(CB,\s\up7(―→))，,n⊥eq \(CP,\s\up7(―→))，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·eq \(CB,\s\up7(―→))＝0，,n·eq \(CP,\s\up7(―→))＝0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝0，,y′＝z′.))
令y′＝1，∴n＝(0,1,1).∴cs〈m，n〉＝eq \f(m·n,|m||n|)＝﹣eq \f(\r(3),3).
由图知所求二面角为锐角，∴平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为eq \f(\r(3),3).
如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA＝BC＝2，AB＝4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为__________.
【答案解析】答案为：eq \f(\r(30),10).
解析：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥BC.过点A作AE∥CB，又CB⊥AB，则AP，AB，AE两两垂直.如图，以A为坐标原点，分别以AB，AE，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A­xyz，
则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(4,0,0)，C(4，﹣2,0).
因为D为PB的中点，所以D(2,0,1).故eq \(CP,\s\up7(―→))＝(﹣4,2,2)，eq \(AD,\s\up7(―→))＝(2,0,1).
所以cseq \(AD,\s\up7(―→))，eq \(CP,\s\up7(―→))＝eq \f(eq \(AD,\s\up7(―→))·eq \(CP,\s\up7(―→)),|eq \(AD,\s\up7(―→))|·|eq \(CP,\s\up7(―→))|)＝eq \f(－6,\r(5)×2\r(6))＝﹣eq \f(\r(30),10).
设异面直线PC，AD所成的角为θ，则cs θ＝|cs〈eq \(AD,\s\up7(―→))，eq \(CP,\s\up7(―→))〉|＝eq \f(\r(30),10).
四、解答题
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝eq \f(\r(2),2)AD，设E，F分别为PC，BD的中点.
求证：(1)EF∥平面PAD；
(2)平面PAB⊥平面PDC.
【答案解析】证明：(1)如图，取AD的中点O，连接OP，OF.
因为PA＝PD，所以PO⊥AD.
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD.
又O，F分别为AD，BD的中点，
所以OF∥AB.
又四边形ABCD是正方形，
所以OF⊥AD.
因为PA＝PD＝eq \f(\r(2),2)AD，
所以PA⊥PD，OP＝OA＝eq \f(a,2).
如图，以O为坐标原点，OA，OF，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则A(eq \f(a,2)，0，0)，F(0，eq \f(a,2)，0)，D(﹣eq \f(a,2)，0，0)，P(0，0，eq \f(a,2))，B(eq \f(a,2)，0，0)，C(eq \f(a,2)，0，0)(﹣eq \f(a,2)，a，0).
因为E为PC的中点，所以E(﹣eq \f(1,4)a，eq \f(a,2)，eq \f(1,4)a).易知平面PAD的一个法向量为eq \(OF,\s\up6(→))＝(0，eq \f(a,2)，0)，
因为eq \(EF,\s\up6(→))＝(eq \f(1,4)a，0，﹣eq \f(1,4)a)，eq \(OF,\s\up6(→))·eq \(EF,\s\up6(→))＝(0，eq \f(a,2)，0)·(eq \f(1,4)a，0，﹣eq \f(1,4)a)＝0.
且EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.
(2)因为eq \(PA,\s\up6(→))＝(eq \f(a,2)，0，﹣eq \f(a,2))，eq \(CD,\s\up6(→))＝(0，﹣a，0)，
所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝(eq \f(a,2)，0，﹣eq \f(a,2))·(0，﹣a，0)＝0，
所以eq \(PA,\s\up6(→))⊥eq \(CD,\s\up6(→))，
所以PA⊥CD.
又PA⊥PD，PD∩CD＝D，PD，CD⊂平面PDC，
所以PA⊥平面PDC.又PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PDC.
如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点.
(1)求eq \(BN,\s\up6(→))的长；
(2)求cs〈eq \(BA1,\s\up6(—→))，eq \(CB1,\s\up6(—→))〉的值；
(3)求证：A1B⊥C1M.
【答案解析】 (1)解：以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图.
B(0，1，0)，N(1，0，1)，∴eq \(BN,\s\up6(→))＝(1，﹣1，1)，∴|eq \(BN,\s\up6(→))|＝eq \r(12＋－12＋12)＝eq \r(3).
(2)解 ∵A1(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，
∴eq \(BA1,\s\up6(—→))＝(1，﹣1，2)，eq \(CB1,\s\up6(—→))＝(0，1，2)，
∴eq \(BA1,\s\up6(—→))·eq \(CB1,\s\up6(—→))＝3，|eq \(BA1,\s\up6(—→))|＝eq \r(6)，|eq \(CB1,\s\up6(—→))|＝eq \r(5).
∴cs〈eq \(BA1,\s\up6(—→))，eq \(CB1,\s\up6(—→))〉＝eq \f(\(BA1,\s\up6(—→))·\(CB1,\s\up6(—→)),|\(BA1,\s\up6(—→))||\(CB1,\s\up6(—→))|)＝eq \f(\r(30),10).
(3)证明 ∵C1(0，0，2)，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，2))，
∴eq \(A1B,\s\up6(—→))＝(﹣1，1，﹣2)，eq \(C1M,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，
∴eq \(A1B,\s\up6(—→))·eq \(C1M,\s\up6(—→))＝﹣eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＋0＝0.
∴eq \(A1B,\s\up6(—→))⊥eq \(C1M,\s\up6(—→))，
∴A1B⊥C1M.
如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2eq \r(5)，AA1＝eq \r(7)，BB1＝2eq \r(7)，点E和F分别为BC和A1C的中点.
(1)求证：EF∥平面A1B1BA；
(2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1.
【答案解析】证明：因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.
因为AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1，
所以以过E作平行于BB1的垂线为z轴，EC，EA所在直线分别为x轴、y轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.
因为AB＝3，BE＝eq \r(5)，
所以AE＝2，
所以E(0，0，0)，C(eq \r(5)，0，0)，A(0，2，0)，B(﹣eq \r(5)，0，0)，B1(﹣eq \r(5)，0，2eq \r(7)).
A1(0，2，eq \r(7))，则Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)，1，\f(\r(7),2))).
(1)eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)，1，\f(\r(7),2)))，eq \(AB,\s\up6(→))＝(﹣eq \r(5)，﹣2，0)，eq \(AA1,\s\up6(→))＝(0，0，eq \r(7)).
设平面AA1B1B的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up6(→))＝0，,n·\(AA1,\s\up6(—→))＝0，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\r(5)x－2y＝0，,\r(7)z＝0，))取eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝\r(5)，,z＝0，))
所以n＝(﹣2，eq \r(5)，0).
因为eq \(EF,\s\up6(→))·n＝eq \f(\r(5),2)×(﹣2)＋1×eq \r(5)＋eq \f(\r(7),2)×0＝0，
所以eq \(EF,\s\up6(→))⊥n.
又EF⊄平面A1B1BA，
所以EF∥平面A1B1BA.
(2)因为EC⊥平面AEA1，
所以eq \(EC,\s\up6(→))＝(eq \r(5)，0，0)为平面AEA1的一个法向量.
又EA⊥平面BCB1，
所以eq \(EA,\s\up6(→))＝(0，2，0)为平面BCB1的一个法向量.
因为eq \(EC,\s\up6(→))·eq \(EA,\s\up6(→))＝0，所以eq \(EC,\s\up6(→))⊥eq \(EA,\s\up6(→))，
故平面AEA1⊥平面BCB1.
如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：
(1)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→)).
(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值.
【答案解析】解：设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AD,\s\up6(→))＝c.则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
(1)eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)c﹣eq \f(1,2)a，
eq \(BA,\s\up6(→))＝﹣a，eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝(eq \f(1,2)c﹣eq \f(1,2)a)·(﹣a)＝eq \f(1,2)a2﹣eq \f(1,2)a·c＝eq \f(1,4).
(2)eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c，eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝﹣b＋eq \f(1,2)a，
cs〈eq \(AG,\s\up6(→))，eq \(CE,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AG,\s\up6(→))·\(CE,\s\up6(→)),|\(AG,\s\up6(→))||\(CE,\s\up6(→))|)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)b＋\f(1,2)c))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－b＋\f(1,2)a)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)b＋\f(1,2)c))2)·\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a－b))2))＝eq \f(－\f(1,2),\f(\r(3),2)×\f(\r(3),2))＝﹣eq \f(2,3)，
由于异面直线所成角的范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为eq \f(2,3).