新高考数学考前考点冲刺精练卷31《复数》（2份，原卷版+教师版）

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一、选择题
设iz＝4＋3i，则z等于( )
A.﹣3﹣4i B.﹣3＋4i C.3﹣4i D.3＋4i
【答案解析】答案为：C
解析：因为iz＝4＋3i，所以z＝eq \f(4＋3i,i)＝3﹣4i.
复数eq \f(2－i,1－3i)在复平面内对应的点所在的象限为( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案解析】答案为：A
解析：eq \f(2－i,1－3i)＝eq \f(1＋i,2)，所以该复数在复平面内对应的点为(eq \f(1,2)，eq \f(1,2))，该点在第一象限.
在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1，2)，则i·z等于( )
A.1＋2i B.﹣2＋i C.1﹣2i D.﹣2﹣i
【答案解析】答案为：B
解析：由题意知，z＝1＋2i，∴i·z＝i(1＋2i)＝﹣2＋i.
已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i(i为虚数单位)，则a等于( )
A.﹣1 B.1 C.﹣3 D.3
【答案解析】答案为：C
解析：方法一 因为(1＋ai)i＝﹣a＋i＝3＋i，所以﹣a＝3，解得a＝﹣3.
方法二 因为(1＋ai)i＝3＋i，所以1＋ai＝eq \f(3＋i,i)＝1﹣3i，所以a＝﹣3.
若z＝1＋i，则|z2﹣2z|等于( )
A.0 B.1 C.eq \r(2) D.2
【答案解析】答案为：D
解析：方法一 z2﹣2z＝(1＋i)2﹣2(1＋i)＝﹣2，|z2﹣2z|＝|﹣2|＝2.
方法二 |z2﹣2z|＝|(1＋i)2﹣2(1＋i)|＝|(1＋i)(﹣1＋i)|＝|1＋i|·|﹣1＋i|＝2.
已知eq \f(x,1＋i)＝1﹣yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x＋yi的共轭复数为( )
A.2＋i B.2﹣i C.1＋2i D.1﹣2i
【答案解析】答案为：B
解析：由eq \f(x,1＋i)＝1﹣yi，得eq \f(x1－i,1＋i1－i)＝1﹣yi，即eq \f(x,2)﹣eq \f(x,2)i＝1﹣yi，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＝1，,\f(x,2)＝y，))解得x＝2，y＝1，∴x＋yi＝2＋i，∴其共轭复数为2﹣i.
已知z＝2﹣i，则z(eq \x\t(z)＋i)等于( )
A.6﹣2i B.4﹣2i C.6＋2i D.4＋2i
【答案解析】答案为：C
解析：因为z＝2﹣i，所以z(eq \x\t(z)＋i)＝(2﹣i)(2＋2i)＝6＋2i.
设复数z满足|z﹣i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A.(x＋1)2＋y2＝1 B.(x﹣1)2＋y2＝1
C.x2＋(y﹣1)2＝1 D.x2＋(y＋1)2＝1
【答案解析】答案为：C
解析：∵z在复平面内对应的点为(x，y)，∴z＝x＋yi(x，y∈R).∵|z﹣i|＝1，∴|x＋(y﹣1)i|＝1，∴x2＋(y﹣1)2＝1.
已知i是虚数单位，则“a＝i”是“a2＝﹣1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案解析】答案为：A
解析：i是虚数单位，则i2＝﹣1，“a＝i”是“a2＝﹣1”的充分条件；由a2＝﹣1，得a＝±i，故“a＝i”是“a2＝﹣1”的不必要条件；故“a＝i”是“a2＝﹣1”的充分不必要条件.
设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝3﹣i，则z1z2等于( )
A.﹣10 B.10 C.﹣8 D.8
【答案解析】答案为：A
解析：∵z1＝3﹣i，z1，z2在复平面内所对应的点关于虚轴对称，∴z2＝﹣3﹣i，∴z1z2＝﹣9﹣1＝﹣10.
若复数z的共轭复数为eq \x\t(z)且满足eq \x\t(z)·(1＋2i)＝1﹣i，则复数z的虚部为( )
A.eq \f(3,5) B.﹣eq \f(3,5)i C.eq \f(3,5)i D.﹣eq \f(3,5)
【答案解析】答案为：A
解析：eq \x\t(z)·(1＋2i)＝1﹣i，∴eq \x\t(z)＝eq \f(1－i,1＋2i)＝eq \f(－1－3i,5)＝﹣eq \f(1,5)﹣eq \f(3,5)i，
∴z＝﹣eq \f(1,5)＋eq \f(3,5)i，∴复数z的虚部为eq \f(3,5).
已知i是虚数单位，则复数z＝i2 023＋i(i﹣1)在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案解析】答案为：C
解析：因为z＝i2 023＋i(i﹣1)＝﹣i﹣1﹣i＝﹣1﹣2i，所以复数z在复平面内对应的点是(﹣1，﹣2)，位于第三象限.
在复数范围内，已知p，q为实数，1﹣i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，则p＋q等于( )
A.2 B.1 C.0 D.﹣1
【答案解析】答案为：C
解析：因为1﹣i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，则1＋i是方程x2＋px＋q＝0的另一根，由根与系数的关系可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋i＋1－i＝－p，,1＋i1－i＝q，))解得p＝﹣2，q＝2，所以p＋q＝0.
复数z＝cs eq \f(π,15)＋isin eq \f(π,15)是方程x5﹣α＝0的一个根，那么α的值等于( )
A.eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)i B.eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i C.eq \f(\r(3),2)﹣eq \f(1,2)i D.﹣eq \f(1,2)﹣eq \f(\r(3),2)i
【答案解析】答案为：B
解析：由题意得，α＝(cs eq \f(π,15)＋isin eq \f(π,15))5＝cs eq \f(π,3)＋isin eq \f(π,3)＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i.
设复数z满足条件|z|＝1，那么|z＋2eq \r(2)＋i|的最大值是( )
A.3 B.2eq \r(3) C.1＋2eq \r(2) D.4
【答案解析】答案为：D
解析：|z|＝1表示单位圆上的点，那么|z＋2eq \r(2)＋i|表示单位圆上的点到点(﹣2eq \r(2)，﹣1)的距离，求最大值转化为点(﹣2eq \r(2)，﹣1)到原点的距离加上圆的半径.因为点(﹣2eq \r(2)，﹣1)到原点的距离为3，所以所求最大值为4.
已知复数z满足|z﹣1﹣i|≤1，则|z|的最小值为( )
A.1 B.eq \r(2)﹣1 C.eq \r(2) D.eq \r(2)＋1
【答案解析】答案为：B
解析：令z＝x＋yi(x，y∈R)，则由题意有(x﹣1)2＋(y﹣1)2≤1，∴|z|的最小值即为圆(x﹣1)2＋(y﹣1)2＝1上的动点到原点的最小距离，∴|z|的最小值为eq \r(2)﹣1.
二、多选题
(多选)设z1，z2，z3为复数，z1≠0.下列命题中正确的是( )
A.若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3
B.若z1z2＝z1z3，则z2＝z3
C.若eq \x\t(z)2＝z3，则|z1z2|＝|z1z3|
D.若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2
【答案解析】答案为：BC
解析：由|i|＝|1|，知A错误；z1z2＝z1z3，则z1(z2﹣z3)＝0，又z1≠0，所以z2＝z3，故B正确；|z1z2|＝|z1||z2|，|z1z3|＝|z1||z3|，又eq \x\t(z)2＝z3，所以|z2|＝|eq \x\t(z)2|＝|z3|，故C正确，
令z1＝i，z2＝﹣i，满足z1z2＝|z1|2，不满足z1＝z2，故D错误.
(多选)已知i为虚数单位，z1＝eq \r(2)(cs 60°＋isin 60°)，z2＝2eq \r(2)(sin 30°﹣ics 30°)，则z1·z2的三角形式不为下列选项的有( )
A.4(cs 90°＋isin 90°) B.4(cs 30°＋isin 30°)
C.4(cs 30°﹣isin 30°) D.4(cs 0°＋isin 0°)
【答案解析】答案为：ABC
解析：∵z2＝2eq \r(2)(sin 30°﹣ics 30°)＝2eq \r(2)(cs 300°＋isin 300°)，∴z1·z2＝eq \r(2)(cs 60°＋isin 60°)·2eq \r(2)(cs 300°＋isin 300°)＝4(cs 360°＋isin 360°).
(多选)若复数z满足(1＋i)·z＝5＋3i(其中i是虚数单位)，则( )
A.z的虚部为﹣i
B.z的模为eq \r(17)
C.z的共轭复数为4﹣i
D.z在复平面内对应的点位于第四象限
【答案解析】答案为：BD
解析：由(1＋i)·z＝5＋3i得z＝eq \f(5＋3i,1＋i)＝eq \f(8－2i,2)＝4﹣i，所以z的虚部为﹣1，A错误；z的模为eq \r(17)，B正确；z的共轭复数为4＋i，C错误；z在复平面内对应的点为(4，﹣1)，位于第四象限，D正确.
(多选)下列说法正确的是( )
A.若|z|＝2，则z·eq \x\t(z)＝4
B.若复数z1，z2满足|z1＋z2|＝|z1﹣z2|，则z1z2＝0
C.若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虚部相等
D.“a≠1”是“复数z＝(a﹣1)＋(a2﹣1)i(a∈R)是虚数”的必要不充分条件
【答案解析】答案为：AD
解析：若|z|＝2，则z·eq \x\t(z)＝|z|2＝4，故A正确；
设z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)，
由|z1＋z2|＝|z1﹣z2|，可得|z1＋z2|2＝(a1＋a2)2＋(b1＋b2)2＝|z1﹣z2|2＝(a1﹣a2)2＋(b1﹣b2)2
则a1a2＋b1b2＝0，
而z1z2＝(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝a1a2﹣b1b2＋a1b2i＋b1a2i
＝2a1a2＋a1b2i＋b1a2i不一定为0，故B错误；
当z＝1﹣i时，z2＝﹣2i为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C错误；
若复数z＝(a﹣1)＋(a2﹣1)i(a∈R)是虚数，则a2﹣1≠0，即a≠±1，
所以“a≠1”是“复数z＝(a﹣1)＋(a2﹣1)i(a∈R)是虚数”的必要不充分条件，故D正确.
三、填空题
设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝eq \r(3)＋i，则|z1﹣z2|＝________.
【答案解析】答案为：2eq \r(3).
解析：设z1﹣z2＝a＋bi，a，b∈R，因为z1＋z2＝eq \r(3)＋i，所以2z1＝(eq \r(3)＋a)＋(1＋b)i，2z2＝(eq \r(3)﹣a)＋(1﹣b)i.因为|z1|＝|z2|＝2，所以|2z1|＝|2z2|＝4，所以eq \r(\r(3)＋a2＋1＋b2)＝4，① eq \r(\r(3)－a2＋1－b2)＝4，②，①2＋②2，得a2＋b2＝12.所以|z1﹣z2|＝eq \r(a2＋b2)＝2eq \r(3).
若z＝(a﹣eq \r(2))＋ai为纯虚数，其中a∈R，则eq \f(a＋i7,1＋ai)＝________.
【答案解析】答案为：﹣i.
解析：∵z为纯虚数，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－\r(2)＝0，,a≠0，))∴a＝eq \r(2)，
∴eq \f(a＋i7,1＋ai)＝eq \f(\r(2)－i,1＋\r(2)i)＝eq \f(\r(2)－i1－\r(2)i,1＋\r(2)i1－\r(2)i)＝eq \f(－3i,3)＝﹣i.
已知复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，且eq \f(\x\t(z),1－i)＝3＋2i，则a＝_____，b＝______.
【答案解析】答案为：5 1.
解析：由z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则eq \x\t(z)＝a﹣bi，所以eq \f(\x\t(z),1－i)＝eq \f(1＋i,2)(a﹣bi)＝eq \f(a＋b,2)＋eq \f(a－b,2)i＝3＋2i，故eq \f(a＋b,2)＝3，eq \f(a－b,2)＝2，所以a＝5，b＝1.
已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且满足|z﹣2|＝1，则eq \f(y,x)的取值范围是________.
【答案解析】答案为：[﹣eq \f(\r(3),3)，eq \f(\r(3),3)].
解析：复数z＝x＋yi，且|z﹣2|＝1，所以(x﹣2)2＋y2＝1，它表示圆心为(2,0)，半径为1的圆，则eq \f(y,x)表示圆上的点与原点连线的斜率，
由题意设过点O且与圆相切的直线方程为y＝kx，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－22＋y2＝1，,y＝kx，))消去y，整理得(k2＋1)x2﹣4x＋3＝0，由Δ＝16﹣12(k2＋1)＝0，
解得k＝﹣eq \f(\r(3),3)或k＝eq \f(\r(3),3)，由题意得eq \f(y,x)的取值范围是[﹣eq \f(\r(3),3)，eq \f(\r(3),3)].