新高考数学考前考点冲刺精练卷42《直线的方程》（2份，原卷版+教师版）

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一、选择题
直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A.[0，eq \f(π,4)] B.[eq \f(3π,4)，π) C.[0，eq \f(π,4)]∪(eq \f(π,2)，π) D.[eq \f(π,4)，eq \f(π,2))∪[eq \f(3π,4)，π)
直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(﹣3，3)，则其斜率的取值范围是( )
A.﹣1＜k＜eq \f(1,5) B.k＞1或k＜eq \f(1,2)
C.k＞1或k＜eq \f(1,5) D.k＞eq \f(1,2)或k＜﹣1
已知点A(1,3)，B(﹣2，﹣1).若直线l：y＝k(x﹣2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是( )
A.k≥eq \f(1,2) B.k≤﹣2 C.k≥eq \f(1,2)或k≤﹣2 D.﹣2≤k≤eq \f(1,2)
过函数f(x)＝eq \f(1,3)x3﹣x2的图象上一个动点作函数图象的切线，则切线倾斜角的取值范围为( )
A.[0，eq \f(3π,4)] B.[0，eq \f(π,2))∪[eq \f(3π,4)，π) C.[eq \f(3π,4)，π) D.[eq \f(π,2)，eq \f(3π,4)]
已知直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，若l过点A(﹣4,3)，则直线l的方程为( )
A.y﹣3＝﹣eq \f(3,2)(x＋4)B.y＋3＝eq \f(3,2)(x﹣4)
C.y﹣3＝eq \f(3,2)(x＋4)D.y＋3＝﹣eq \f(3,2)(x﹣4)
已知A(﹣1,1)，B(3,1)，C(1,3)，则△ABC的边BC上的高所在的直线方程为( )
A.x＋y＝0 B.x﹣y＋2＝0 C.x＋y＋2＝0 D.x﹣y＝0
已知点M是直线l：2x﹣y﹣4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( )
A.x＋y﹣3＝0 B.x﹣3y﹣2＝0
C.3x﹣y＋6＝0 D.3x＋y﹣6＝0
已知直线l过点(﹣2,1)，且倾斜角是eq \f(π,2)，则直线l的方程是( )
A.x＋y＋1＝0 B.y＝﹣eq \f(1,2)x C.x＋2＝0 D.y﹣1＝0
过点(﹣1,0)，且方向向量为a＝(5，﹣3)的直线的方程为( )
A.3x＋5y﹣3＝0 B.3x＋5y＋3＝0
C.3x＋5y﹣1＝0 D.5x﹣3y＋5＝0
倾斜角为120°且在y轴上的截距为﹣2的直线方程为( )
A.y＝﹣eq \r(3)x＋2 B.y＝﹣eq \r(3)x﹣2
C.y＝eq \r(3)x＋2 D.y＝eq \r(3)x﹣2
二、多选题
(多选)已知直线xsin α＋ycs α＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是( )
A.直线的倾斜角是π﹣α
B.无论α如何变化，直线不过原点
C.直线的斜率一定存在
D.当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
(多选)垂直于直线3x﹣4y﹣7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是( )
A.4 B.﹣4 C.3 D.﹣3
三、填空题
若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，______.
若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈[eq \f(π,6)，eq \f(π,4))∪[eq \f(2π,3)，π)，则k的取值范围是________.
过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为______________.
过点M(﹣3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________.
已知点M是直线l：y＝eq \r(3)x＋3与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，则所得到的直线l′的方程为________.
若ab>0，且A(a，0)，B(0，b)，C(﹣2，﹣2)三点共线，则ab的最小值为________.
四、解答题
已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程.
如图所示，为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪，但△EFA内部为文物保护区，不能占用，经测量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？
已知直线l：kx﹣y＋1＋2k＝0(k∈R).
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.
\s 0 答案解析
一、选择题
答案为：B
解析：依题意，直线的斜率k＝﹣eq \f(1,a2＋1)∈[﹣1,0)，因此其倾斜角的取值范围是[eq \f(3π,4)，π).
答案为：D
解析：设直线的斜率为k，则直线方程为y﹣2＝k(x﹣1)，直线在x轴上的截距为1﹣eq \f(2,k)，
令﹣3＜1﹣eq \f(2,k)＜3，解不等式可得k>eq \f(1,2)或k＜﹣1.
答案为：D
解析：直线l：y＝k(x﹣2)＋1经过定点P(2,1)，∵kPA＝eq \f(3－1,1－2)＝﹣2，kPB＝eq \f(－1－1,－2－2)＝eq \f(1,2)，又直线l：y＝k(x﹣2)＋1与线段AB相交，∴﹣2≤k≤eq \f(1,2).
答案为：B
解析：设切线的倾斜角为α，则α∈[0，π)，∵f′(x)＝x2﹣2x＝(x﹣1)2﹣1≥﹣1，∴切线的斜率k＝tan α≥﹣1，则α∈[0，eq \f(π,2))∪[eq \f(3π,4)，π).
答案为：C
解析：方法一 因为直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，所以直线l的斜率k＝eq \f(3,2)，故直线l的方程为y﹣3＝eq \f(3,2)(x＋4).
方法二 设P(x，y)是直线l上的任意一点(不同于A)，则eq \(AP,\s\up6(→))＝(x＋4，y﹣3)，因为直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，所以3(x＋4)﹣2(y﹣3)＝0，即直线l的方程为y﹣3＝eq \f(3,2)(x＋4).
答案为：B
解析：因为B(3,1)，C(1,3)，所以kBC＝eq \f(3－1,1－3)＝﹣1，故BC边上的高所在直线的斜率k＝1，又高线经过点A(﹣1,1)，所以其所在的直线方程为x﹣y＋2＝0.
答案为：D
解析：设直线l的倾斜角为α，则tan α＝k＝2，直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k′＝tan(α＋eq \f(π,4))＝eq \f(2＋1,1－2×1)＝﹣3，又点M(2,0)，所以y＝﹣3(x﹣2)，即3x＋y﹣6＝0.
答案为：C
解析：由于直线l过点(﹣2,1)，且倾斜角是eq \f(π,2)，则直线l的方程为x＝﹣2，即x＋2＝0.
答案为：B
解析：方法一 设直线上任意一点P(x，y)，则向量(x＋1，y)与a＝(5，﹣3)平行，
则﹣3(x＋1)﹣5y＝0，即3x＋5y＋3＝0.
方法二 因为直线的方向向量为a＝(5，﹣3)，所以所求直线的斜率k＝﹣eq \f(3,5)，
故所求直线的方程为y＝﹣eq \f(3,5)(x＋1)，即3x＋5y＋3＝0.
答案为：B
解析：斜率为tan 120°＝﹣eq \r(3)，利用斜截式直接写出方程，即y＝﹣eq \r(3)x﹣2.
二、多选题
答案为：BD.
解析：根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π﹣α∈R，所以A不正确；当x＝y＝0时，xsin α＋ycs α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；当α＝eq \f(π,2)时，直线斜率不存在，C不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,－sin α)))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,－cs α)))＝eq \f(1,|sin 2α|)≥1，所以D正确.
答案为：CD
解析：设直线方程是4x＋3y＋d＝0，分别令x＝0和y＝0，得直线在两坐标轴上的截距分别是﹣eq \f(d,3)，﹣eq \f(d,4)，所以6＝eq \f(1,2)×|﹣eq \f(d,3)|×|﹣eq \f(d,4)|＝eq \f(d2,24).所以d＝±12，则直线在x轴上的截距为3或﹣3.
三、填空题
答案为：eq \f(1,3) ﹣3.
解析：如图，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系.设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tan θ＝2，由正方形的性质可知，直线OA的倾斜角为θ﹣45°，直线OC的倾斜角为θ＋45°，
故kOA＝tan(θ﹣45°)＝eq \f(tan θ－tan 45°,1＋tan θtan 45°)＝eq \f(2－1,1＋2)＝eq \f(1,3)，
kOC＝tan(θ＋45°)＝eq \f(tan θ＋tan 45°,1－tan θtan 45°)＝eq \f(2＋1,1－2)＝﹣3.
答案为：[﹣eq \r(3)，0)∪[eq \f(\r(3),3)，1).
解析：当α∈[eq \f(π,6)，eq \f(π,4))时，k＝tan α∈[eq \f(\r(3),3)，1)；当α∈[eq \f(2π,3)，π)时，k＝tan α∈[﹣eq \r(3)，0).综上得k∈[﹣eq \r(3)，0)∪[eq \f(\r(3),3)，1).
答案为：x＋y﹣3＝0或x＋2y﹣4＝0.
解析：由题意可设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1.则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝6，,\f(2,a)＋\f(1,b)＝1，))解得a＝b＝3或a＝4，b＝2.故所求直线方程为x＋y﹣3＝0或x＋2y﹣4＝0.
答案为：5x＋3y＝0或x﹣y＋8＝0.
解析：①当直线过原点时，直线方程为y＝﹣eq \f(5,3)x，即5x＋3y＝0；②当直线不过原点时，设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1，即x﹣y＝a，代入点(﹣3,5)，得a＝﹣8，即直线方程为x﹣y＋8＝0.综上，直线方程为5x＋3y＝0或x﹣y＋8＝0.
答案为：x＝﹣eq \r(3)或y＝eq \f(\r(3),3)(x＋eq \r(3)).
解析：在y＝eq \r(3)x＋3中，令y＝0，得x＝﹣eq \r(3)，即M(﹣eq \r(3)，0).因为直线l的斜率为eq \r(3)，所以其倾斜角为60°.若直线l绕点M逆时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为90°，此时直线l′的斜率不存在，故其方程为x＝﹣eq \r(3)；若直线l绕点M顺时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为30°，此时直线l′的斜率为tan 30°＝eq \f(\r(3),3)，故其方程为y＝eq \f(\r(3),3)(x＋eq \r(3)).
答案为：16.
解析：根据A(a，0)，B(0，b)确定直线的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，又因为C(﹣2，﹣2)在该直线上，故eq \f(－2,a)＋eq \f(－2,b)＝1，所以﹣2(a＋b)＝ab.又因为ab>0，故a＜0，b＜0.根据基本不等式ab＝﹣2(a＋b)≥4eq \r(ab)，从而eq \r(ab)≤0(舍去)或eq \r(ab)≥4，故ab≥16，当且仅当a＝b＝﹣4时取等号，即ab的最小值为16.
四、解答题
解：方法一 设直线l的方程为y﹣1＝k(x﹣2)(k＜0)，则A(2﹣eq \f(1,k)，0)，B(0,1﹣2k)，
S△AOB＝eq \f(1,2)(1﹣2k)·(2﹣eq \f(1,k))＝eq \f(1,2)[4＋(-4k)＋(﹣eq \f(1,k))]≥eq \f(1,2)×(4＋4)＝4，
当且仅当﹣4k＝﹣eq \f(1,k)，即k＝﹣eq \f(1,2)时，等号成立.
故直线l的方程为y﹣1＝﹣eq \f(1,2)(x﹣2)，即x＋2y﹣4＝0.
方法二 设直线l：eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，且a>0，b>0，
因为直线l过点M(2,1)，所以eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝1，则1＝eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)≥2eq \r(\f(2,ab))，故ab≥8，
故S△AOB的最小值为eq \f(1,2)×ab＝eq \f(1,2)×8＝4，当且仅当eq \f(2,a)＝eq \f(1,b)＝eq \f(1,2)时取等号，
此时a＝4，b＝2，故直线l的方程为eq \f(x,4)＋eq \f(y,2)＝1，即x＋2y﹣4＝0.
解：如图所示，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，
则E(30,0)，F(0,20)，∴直线EF的方程为eq \f(x,30)＋eq \f(y,20)＝1.
易知当矩形草坪的两邻边在BC，CD上，且一个顶点在线段EF上时，可使草坪面积最大，在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，
则S＝|PQ|·|PR|＝(100﹣m)(80﹣n)，
又eq \f(m,30)＋eq \f(n,20)＝1(0≤m≤30)，∴n＝20﹣eq \f(2,3)m，
∴S＝(100﹣m)(80-20﹣eq \f(2,3)m)＝﹣eq \f(2,3)(m﹣5)2＋eq \f(18 050,3)(0≤m≤30)，
∴当m＝5时，S有最大值，此时eq \f(|EP|,|PF|)＝5，
∴当矩形草坪的两邻边在BC，CD上，一个顶点P在线段EF上，且|EP|＝5|PF|时，草坪面积最大.
(1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1﹣y)＝0，
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2＝0，,1－y＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝1.))
∴无论k取何值，直线l总经过定点(﹣2,1).
(2)解 由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为﹣eq \f(1＋2k,k)，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)1，))解得k>0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞).
(3)解 由题意可知k≠0，再由l的方程，得A(﹣eq \f(1＋2k,k)，0)，B(0,1＋2k).
依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)0，))解得k>0.
∵S＝eq \f(1,2)·|OA|·|OB|＝eq \f(1,2)·|eq \f(1＋2k,k)|·|1＋2k|
＝eq \f(1,2)·(eq \f(1＋2k,k))2＝eq \f(1,2)(4k＋eq \f(1,k)＋4)≥eq \f(1,2)×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k>0且4k＝eq \f(1,k)，即k＝eq \f(1,2)，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x﹣2y＋4＝0.