人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念练习题

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第28讲 平面向量的概念及线性运算（达标检测）[A组]—应知应会1．（2020春•河西区期中）如果，是两个单位向量，则与一定（　　）A．相等 B．平行 C．方向相同 D．长度相等【分析】根据，是两个单位向量；只能得到其模长相等，方向不定，即可判断答案．【解答】解：因为，是两个单位向量；只能得到其模长相等，其他没法确定；故选：D．2．（2020春•三台县期中）如图所示，在正△ABC中，D，E，F均为所在边的中点，则以下向量中与相等的是（　　）A． B． C． D．【分析】由题意先证明DE∥CB且DECB，再利用中点找出所有与向量相等的向量【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥CB且DECB，则与向量相等的有，．故选：D．3．（2020•靖远县模拟）已知，下列向量中，与反向的单位向量是（　　）A． B． C． D．【分析】根据题意，设要求向量为，且λ，（λ＜0），可得的坐标为（﹣λ，λ），由单位向量的定义可得（﹣λ）2+（λ）2＝1，解可得λ的值，即可得的坐标，即可得答案．【解答】解：根据题意，设要求向量为，且λ，（λ＜0），则λ（﹣λ，λ），（λ＜0），为单位向量，则（﹣λ）2+（λ）2＝1，解可得：λ＝±，又由λ＜0，则λ，故（，）；故选：B．4．（2020春•平谷区期末）化简向量等于（　　）A． B． C． D．【分析】根据向量加法、减法和数乘的几何意义进行运算即可．【解答】解：．故选：A．5．（2019秋•茂名期末）如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（　　）A． B． C． D．【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．【解答】解：如图所示，∵在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，故．故选：A．6．（2019秋•常德期末）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为BC中点，则（　　）A． B． C． D．【分析】由题意作图辅助，从而利用平面向量的线性运算化简即可．【解答】解：如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为BC中点，∴，故选：C．7．（2020春•九龙坡区校级期中）如图，在△ABC中，，，BE和CD相交于点F，则向量等于（　　）A． B． C． D．【分析】由向量共线和平面向量基本定理可得：，再由三角形法则可求向量．【解答】解：设kk（）＝k（），∵k（）（k﹣1）（1﹣k），．∵∥，∴λ，则（k﹣1）（1﹣k）λ（）．∴，∴k，，∴．故选：B．8．（2020•桥西区校级模拟）如图，圆O是等边三角形ABC的外接圆，点D为劣弧AC的中点，则（　　）A． B． C． D．【分析】根据等边三角形外心的性质得出，再根据三点共线的基本性质，求解即可．【解答】解：由题，圆O是等边三角形ABC的外接圆，∴，点D为劣弧AC的中点，∴，∴，又因为，所以B，O，D三点共线．圆O中，故选：A．9．（2020•毕节市模拟）如图，在△ABC中，2，P是BN上一点，若t，则实数t的值为（　　）A． B． C． D．【分析】根据即可得出，进而可得出，然后根据B，P，N三点共线即可得出t的值．【解答】解：∵，∴，∴，且B，P，N三点共线，∴，解得．故选：C．10．（多选）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是（　　）A． B． C． D．【分析】应用熟悉的几何图形进行有关向量加减运算的问题，这种问题只要代入验证即可，有的答案非常清晰比如A和D答案，B符合平行四边形法则．【解答】解：在平行四边形ABCD中，根据向量的减法法则知，所以结论中错误的是C．ABD均正确．故选：ABD．11．（2020春•红桥区期中）计算：　　       ．【分析】利用向量线性运算性质即可得出．【解答】解：．故答案为：．12．（2019秋•闵行区校级月考）已知点P是直线P1P2上一点，且，若，则实数λ＝　       【分析】本题可根据向量的线性运算及数乘可得出结果．【解答】解：由题意，（）＝﹣（）．∴λ．故答案为：．13．（2020春•忻府区校级期中）对下列命题：（1）若向量与同向，且||＞||，则；（2）若向量||＝||，则与的长度相等且方向相同或相反；（3）对于任意向量||＝||，若与的方向相同，则；（4）由于方向不确定，故不与任意向量平行；（5）向量与平行，则向量与方向相同或相反．其中正确的命题的个数为　  　【分析】直接根据向量的基本性质以及的特殊性即可判断．【解答】解：（1）向量不能比较大小，故不正确；（2）向量||＝||，只能说长度相等，方向不定；故错误；（3）由相等向量的定义可得其正确；（4）错误，与任意向量平行；（5）若其中一个是，其错误；故真命题只有（3）即1个；故答案为：1．14．（2019秋•百色期末）已知向量，是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数m的值为　      　．【分析】根据平面向量的共线定理，列方程求得m的值．【解答】解：因为向量与共线，所以，解得m＝﹣1或m＝3．故答案为：﹣1或3．15．（2020•肇庆一模）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若2，，则λ＝　　．【分析】根据题意，画出图形，结合图形，得出①，②；由①、②得出，从而求出λ的值．【解答】解：△ABC中，D是AB边上一点，2，，如图所示，∴2①，，∴22222②；①+②得，32，∴；∴λ．故答案为：．16．（2019春•赣州期中）已知，不共线，若k∥，试确定k的值．【分析】据条件可知，，而根据可知，存在实数λ，使得，从而得出，解出k即可．【解答】解：∵不共线；∴；又；∴存在实数λ，使；即；解得k＝±1．17．（2020春•石嘴山校级期中）（1）化简：；（2）设两个非零向量与不共线．如果，，，求证：A、B、D三点共线．【分析】（1）进行向量的数乘运算即可；（2）根据，进行向量的数乘运算即可得出，从而得出共线，进而得出A，B，D三点共线．【解答】解：（1）原式；（2）证明：∵，∴，又有公共点B，∴A，B，D三点共线．18．（2020春•温州期中）如图，已知△OCB中，B、C关于点A对称，D是将OB分成2：1的一个内分点，DC和OA交于点E，设．（1）用表示向量，．（2）若，求实数λ的值．【分析】（1）根据平行四边形的法则结合向量的基本定理即可用表示向量，．（2）根据向量关系的条件建立方程关系，求实数λ的值．【解答】解：（1）由题意知A是BC的中点，且，由平行四边形法则得2，则22，则22．（2）由图知∥，∵2λ（2﹣λ），，∴，解得．19．（2019秋•厦门期末）如图，平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠BAD＝60°，点E、F分别为AD、DC边的中点，BE与AF相交于点O．记，．（1）用、表示，并求||；（2）若，求实数λ的值．【分析】（1）由向量的线性运算得：，||；（2）设，，由向量的线性运算得：在△ABO中有，所以，所以λ（）μ（），又，不共线，则，解得：得解【解答】解：（1），||；（2）设，，在△ABO中有，所以，所以λ（）μ（），又，不共线，则，解得：故实数λ的值为． [B组]—强基必备1．（2019春•建平县期末）过△ABC的重心任作一直线分别交边AB，AC于点D、E．若x，y，xy≠0，则4x+y的最小值为（　　）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】本题主要考查向量的线性运算和基本不等式的运用．【解答】解：设△ABC的重心为M，由题意可知D、E、M三点共线∴存在λ使得∵且∴，化简得：∴ 故选：B．2．（2020•香坊区校级三模）在△ABC中，，且，（其中x，y∈（0，1）），且x+4y＝1，若M，N分别为线段EF，AB中点，则线段MN的最小值为　　．【分析】根据平面向量的数量积运算求得•的值，再利用中线的性质表示出、，由此求得，计算||的最小值即可．【解答】解：连接CM、CN，如图所示；∵等腰三角形ABC中，AC＝BC＝1，AB，∴∠ACB＝120°，∴•||•||cos120°；又CM是△CEF的中线，∴（）（xy）同理，可得（），由此可得（1﹣x）（1﹣y），∴（1﹣x）2（1﹣x）（1﹣y）×（）（1﹣y）2；又x+4y＝1，∴1﹣x＝4y，代入上式得4y2﹣y（1﹣y）（1﹣y）2y2y；又x，y∈（0，1），∴当y时，取得最小值为，此时||的最小值为．故答案为：．