新高考数学考前考点冲刺精练卷22《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》（2份，原卷版+教师版）

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一、选择题
tan 105°等于( )
A.2﹣eq \r(3) B.﹣2﹣eq \r(3) C.eq \r(3)﹣2 D.﹣eq \r(3)
【答案解析】答案为：B
解析：tan 105°＝tan(60°＋45°)＝eq \f(tan 60°＋tan 45°,1－tan 60°·tan 45°)＝eq \f(\r(3)＋1,1－\r(3))＝eq \f(4＋2\r(3),－2)＝﹣2﹣eq \r(3).
已知cs α＋cs(α﹣eq \f(π,3))＝1，则cs(α﹣eq \f(π,6))等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),3)
【答案解析】答案为：D
解析：∵cs α＋cs(α﹣eq \f(π,3))＝1，∴cs α＋eq \f(1,2)cs α＋eq \f(\r(3),2)sin α＝eq \f(3,2)cs α＋eq \f(\r(3),2)sin α
＝eq \r(3)cs(α﹣eq \f(π,6))＝1，∴cs(α﹣eq \f(π,6))＝eq \f(\r(3),3).
已知sin θ＋sin(θ＋eq \f(π,3))＝1，则sin(θ＋eq \f(π,6))等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(2,3) D.eq \f(\r(2),2)
【答案解析】答案为：B
解析：因为sin θ＋sin(θ＋eq \f(π,3))＝sin(θ＋eq \f(π,6)﹣eq \f(π,6))＋sin(θ＋eq \f(π,6)＋eq \f(π,6))
＝sin(θ＋eq \f(π,6))cseq \f(π,6)﹣cs(θ＋eq \f(π,6))sineq \f(π,6)＋sin(θ＋eq \f(π,6))cseq \f(π,6)＋cs(θ＋eq \f(π,6))sineq \f(π,6)
＝2sin(θ＋eq \f(π,6))cseq \f(π,6)＝eq \r(3)sin(θ＋eq \f(π,6))＝1.所以sin(θ＋eq \f(π,6))＝eq \f(\r(3),3).
已知sin α＝eq \f(3,5)，α∈(eq \f(π,2)，π)，tan(π﹣β)＝eq \f(1,2)，则tan(α﹣β)的值为( )
A.﹣eq \f(2,11) B.eq \f(2,11) C.eq \f(11,2) D.﹣eq \f(11,2)
【答案解析】答案为：A
解析：∵α∈(eq \f(π,2)，π)，∴cs α＝﹣eq \f(4,5)，tan α＝﹣eq \f(3,4)，又tan(π﹣β)＝eq \f(1,2)，
∴tan β＝﹣eq \f(1,2)，∴tan(α﹣β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan α·tan β)＝﹣eq \f(2,11).
函数y＝sin(2x＋eq \f(π,4))＋sin(2x﹣eq \f(π,4))的最小值为( )
A.eq \r(2) B.﹣2 C.﹣eq \r(2) D.eq \r(3)
【答案解析】答案为：C
解析：y＝sin(2x＋eq \f(π,4))＋sin(2x﹣eq \f(π,4))
＝sin 2xcseq \f(π,4)＋cs 2xsineq \f(π,4)＋sin 2xcseq \f(π,4)﹣cs 2xsineq \f(π,4)＝eq \r(2)sin 2x.
∴y的最小值为﹣eq \r(2).
在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝eq \f(2\r(3),3)，则tan Atan B的值为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(5,3)
【答案解析】答案为：B
解析：∵C＝120°，∴tan C＝﹣eq \r(3).∵A＋B＝π﹣C，∴tan(A＋B)＝﹣tan C.
∴tan(A＋B)＝eq \r(3)，tan A＋tan B＝eq \r(3)(1﹣tan Atan B)，
又∵tan A＋tan B＝eq \f(2\r(3),3)，∴tan Atan B＝eq \f(1,3).
在△ABC中，C＝120°，tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则C等于( )
A.45° B.135° C.150° D.30°
【答案解析】答案为：A
解析：在△ABC中，因为tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，
所以tan(A＋B)＝eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝﹣1＝﹣tan C，所以tan C＝1，所以C＝45°.
已知α，β∈(eq \f(π,3)，eq \f(5π,6))，若sin(α＋eq \f(π,6))＝eq \f(4,5)，cs(β﹣eq \f(5π,6))＝eq \f(5,13)，则sin(α﹣β)的值为( )
A.eq \f(16,65) B.eq \f(33,65) C.eq \f(56,65) D.eq \f(63,65)
【答案解析】答案为：A
解析：由题意可得α＋eq \f(π,6)∈(eq \f(π,2)，π)，β﹣eq \f(5π,6)∈(-eq \f(π,2)，0)，所以cs(α＋eq \f(π,6))＝﹣eq \f(3,5)，sin(β﹣eq \f(5π,6))＝﹣eq \f(12,13)，所以sin(α﹣β)＝﹣sin[(α＋eq \f(π,6))-((β﹣eq \f(5π,6)))]＝﹣eq \f(4,5)×eq \f(5,13)＋(﹣eq \f(3,5))×(﹣eq \f(12,13))＝eq \f(16,65).
计算：eq \f(sin 10°,1－\r(3)tan 10°)等于( )
A.1 B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
【答案解析】答案为：B
解析：eq \f(sin 10°,1－\r(3)tan 10°)＝eq \f(sin 10°cs 10°,cs 10°－\r(3)sin 10°)＝eq \f(sin 20°,4sin30°－10°)＝eq \f(1,4).
已知锐角α，β满足sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs β＝eq \f(3\r(10),10)，则α＋β等于( )
A.eq \f(3π,4) B.eq \f(π,4)或eq \f(3π,4) C.eq \f(π,4) D.2kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)
【答案解析】答案为：C
解析：由sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs β＝eq \f(3\r(10),10)，且α，β为锐角，可知cs α＝eq \f(2\r(5),5)，sin β＝eq \f(\r(10),10)，
故cs(α＋β)＝cs αcs β﹣sin αsin β＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)﹣eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2)，又0＜α＋β＜π，故α＋β＝eq \f(π,4).
设a＝cs 50°cs 127°＋cs 40°cs 37°，b＝eq \f(\r(2),2)(sin 56°﹣cs 56°)，c＝eq \f(1－tan239°,1＋tan239°)，则a，b，c的大小关系是( )
A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.c＞a＞b D.a＞c＞b
【答案解析】答案为：D
解析：由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a＝cs 50°cs 127°＋cs 40°cs 37°＝cs 50°cs 127°＋sin 50°sin 127°＝cs(50°﹣127°)＝cs(﹣77°)＝cs 77°＝sin 13°，b＝eq \f(\r(2),2)(sin 56°﹣cs 56°)＝eq \f(\r(2),2)sin 56°﹣eq \f(\r(2),2)cs 56°＝sin(56°﹣45°)＝sin 11°，c＝eq \f(1－tan239°,1＋tan239°)＝cs239°﹣sin239°＝cs 78°＝sin 12°.
因为函数y＝sin x在x∈[0，eq \f(π,2)]上单调递增，所以sin 13°＞sin 12°＞sin 11°，
所以a＞c＞b.
已知x，y∈(0，eq \f(π,2))，sin(x＋y)＝2sin(x﹣y)，则x﹣y的最大值为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,6) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,8)
【答案解析】答案为：B
解析：由sin(x＋y)＝2sin(x﹣y)得sin xcs y＋cs xsin y＝2sin xcs y﹣2cs xsin y，
则tan x＝3tan y，所以tan(x﹣y)＝eq \f(tan x－tan y,1＋tan xtan y)＝eq \f(2tan y,1＋3tan2y)＝eq \f(2,\f(1,tan y)＋3tan y)≤eq \f(\r(3),3)，
当且仅当tan y＝eq \f(\r(3),3)时等号成立，由于f(x)＝tan x在x∈(0，eq \f(π,2))上单调递增，
又x，y∈(0，eq \f(π,2))，则x﹣y的最大值为eq \f(π,6).
二、填空题
化简：sin x＋eq \r(3)cs x＝ .
【答案解析】答案为：2sin(x＋eq \f(π,3))
解析：sin x＋eq \r(3)cs x＝2sin(x＋eq \f(π,3)).
化简：eq \f(\r(2),4)sin(eq \f(π,4)﹣x)＋eq \f(\r(6),4)cs(eq \f(π,4)﹣x)＝ .
【答案解析】答案为：eq \f(\r(2),2)sin(eq \f(7π,12)﹣x).
解析：原式＝eq \f(\r(2),2)sin(eq \f(π,4)﹣x＋eq \f(π,3))＝eq \f(\r(2),2)sin(eq \f(7π,12)﹣x).
若α＋β＝﹣eq \f(3π,4)，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝ .
【答案解析】答案为：2
解析：tan(﹣eq \f(3π,4))＝tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝1，
所以1﹣tan αtan β＝tan α＋tan β，
所以1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.
计算：(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝ .
【答案解析】答案为：4
解析：(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1＋tan(20°＋25°)(1﹣tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝2，同理可得(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，所以原式＝4.
已知sin α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α﹣β)＝﹣eq \f(\r(10),10)，α，β均为锐角，则β＝ .
【答案解析】答案为：eq \f(π,4).
解析：因为α，β均为锐角，所以﹣eq \f(π,2)＜α﹣β＜eq \f(π,2).又sin(α﹣β)＝﹣eq \f(\r(10),10)，所以cs(α﹣β)＝eq \f(3\r(10),10).又sin α＝eq \f(\r(5),5)，所以cs α＝eq \f(2\r(5),5)，所以sin β＝sin[α﹣(α﹣β)]＝sin αcs(α﹣β)﹣cs αsin(α﹣β)＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)﹣eq \f(2\r(5),5)×(﹣eq \f(\r(10),10))＝eq \f(\r(2),2).所以β＝eq \f(π,4).
已知0＜α＜eq \f(π,2)＜β＜π，tan α＝eq \f(4,3)，cs(β﹣α)＝eq \f(\r(2),10)，则sin α＝ ，cs β＝ .
【答案解析】答案为：eq \f(4,5) ﹣eq \f(\r(2),2)
解析：因为0＜α＜eq \f(π,2)，且tan α＝eq \f(4,3)，所以sin α＝eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(3,5)，由0＜α＜eq \f(π,2)＜β＜π，
则0＜β﹣α＜π，又因为cs(β﹣α)＝eq \f(\r(2),10)，则sin(β﹣α)＝eq \f(7\r(2),10)，所以cs β＝cs[(β﹣α)＋α]＝cs(β﹣α)cs α﹣sin(β﹣α)sin α＝eq \f(\r(2),10)×eq \f(3,5)﹣eq \f(7\r(2),10)×eq \f(4,5)＝﹣eq \f(\r(2),2).
三、解答题
已知α，β为锐角，tan α＝eq \f(4,3)，cs(α＋β)＝﹣eq \f(\r(5),5).
(1)求cs 2α的值；
(2)求tan(α﹣β)的值.
【答案解析】解：(1)因为tan α＝eq \f(4,3)，tan α＝eq \f(sin α,cs α)，所以sin α＝eq \f(4,3)cs α.
因为sin2α＋cs2α＝1，所以cs2α＝eq \f(9,25)，
因此，cs 2α＝2cs2α﹣1＝﹣eq \f(7,25).
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).
又因为cs(α＋β)＝﹣eq \f(\r(5),5)，
所以sin(α＋β)＝eq \r(1－cs2α＋β)＝eq \f(2\r(5),5)，因此tan(α＋β)＝﹣2
因为tan α＝eq \f(4,3)，所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝﹣eq \f(24,7)，
因此，tan(α﹣β)＝tan[2α﹣(α＋β)]＝eq \f(tan 2α－tanα＋β,1＋tan 2αtanα＋β)＝﹣eq \f(2,11).
已知α，β均为锐角，且sin α＝eq \f(3,5)，tan(α﹣β)＝﹣eq \f(1,3).
(1)求sin(α﹣β)的值；
(2)求cs β的值.
【答案解析】解：(1)∵α，β∈(0，eq \f(π,2))，∴﹣eq \f(π,2)＜α﹣β＜eq \f(π,2).
又∵tan(α﹣β)＝﹣eq \f(1,3)＜0，∴﹣eq \f(π,2)＜α﹣β＜0.
∴sin(α﹣β)＝﹣eq \f(\r(10),10).
(2)由(1)可得，cs(α﹣β)＝eq \f(3\r(10),10).
∵α为锐角，且sin α＝eq \f(3,5)，∴cs α＝eq \f(4,5).
∴cs β＝cs [α﹣(α﹣β)]＝cs αcs(α﹣β)＋sin αsin(α﹣β)
＝eq \f(4,5)×eq \f(3\r(10),10)＋eq \f(3,5)×(﹣eq \f(\r(10),10))＝eq \f(9\r(10),50).
已知0＜β＜eq \f(π,2)＜α＜π，且cs(α﹣eq \f(β,2))＝﹣eq \f(1,9)，sin(eq \f(α,2)﹣β)＝eq \f(2,3)，求cs(α＋β)的值.
【答案解析】解：∵0＜β＜eq \f(π,2)＜α＜π，∴﹣eq \f(π,4)＜eq \f(α,2)﹣β＜eq \f(π,2)，eq \f(π,4)＜α﹣eq \f(β,2)＜π，
∴cs(eq \f(α,2)﹣β)＝eq \f(\r(5),3)，sin(α﹣eq \f(β,2))＝eq \f(4\r(5),9)，
∴cseq \f(α＋β,2)＝cs[(α﹣eq \f(β,2))-(eq \f(α,2)﹣β)]
＝cs(α﹣eq \f(β,2))cs(eq \f(α,2)﹣β)＋sin(α﹣eq \f(β,2))sin(eq \f(α,2)﹣β)＝(﹣eq \f(1,9))×eq \f(\r(5),3)＋eq \f(4\r(5),9)×eq \f(2,3)＝eq \f(7\r(5),27)，
∴cs(α＋β)＝2cs2eq \f(α＋β,2)﹣1＝2×eq \f(49×5,729)﹣1＝﹣eq \f(239,729).
如图，在平面直角坐标系Oxy中，顶点在坐标原点，以x轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知S△OAM＝eq \f(\r(5),5)，点B的纵坐标是eq \f(\r(2),10).
(1)求cs(α﹣β)的值；
(2)求2α﹣β的值.
【答案解析】解：(1)由题意知，|OA|＝|OM|＝1，因为S△OAM＝eq \f(1,2)|OA|·|OM|sin α＝eq \f(\r(5),5)，
所以sin α＝eq \f(2\r(5),5)，又α为锐角，所以cs α＝eq \f(\r(5),5).
因为点B是钝角β的终边与单位圆O的交点，且点B的纵坐标是eq \f(\r(2),10)，
所以sin β＝eq \f(\r(2),10)，cs β＝﹣eq \f(7\r(2),10)，
所以cs(α﹣β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝eq \f(\r(5),5)×(﹣eq \f(7\r(2),10))＋eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(2),10)＝﹣eq \f(\r(10),10).
(2)因为sin α＝eq \f(2\r(5),5)，cs α＝eq \f(\r(5),5)，cs(α﹣β)＝﹣eq \f(\r(10),10)，
sin(α﹣β)＝sin αcs β﹣cs αsin β＝eq \f(2\r(5),5)×(﹣eq \f(7\r(2),10))﹣eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(2),10)＝﹣eq \f(3\r(10),10)，
所以sin(2α﹣β)＝sin[α＋(α﹣β)]
＝sin αcs(α﹣β)＋cs αsin(α﹣β)＝﹣eq \f(\r(2),2)，
因为α为锐角，sin α＝eq \f(2\r(5),5)＞eq \f(\r(2),2)，所以α∈(eq \f(π,4)，eq \f(π,2))，所以2α∈(eq \f(π,2)，π)，
又β∈(eq \f(π,2)，π)，所以2α﹣β∈(﹣eq \f(π,2)，eq \f(π,2))，所以2α﹣β＝﹣eq \f(π,4).