新高考数学考前考点冲刺精练卷49《抛物线》（2份，原卷版+教师版）

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一、选择题
已知A为抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p等于( )
A.2 B.3 C.6 D.9
【答案解析】答案为：C
解析：设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x＋eq \f(p,2)＝12.又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，所以9＋eq \f(p,2)＝12，解得p＝6.
设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y﹣8＝0上，则该抛物线的准线方程为( )
A.x＝﹣4 B.x＝﹣3 C.x＝﹣2 D.x＝﹣1
【答案解析】答案为：A
解析：直线2x＋3y﹣8＝0与x轴的交点为(4，0)，∴抛物线y2＝2px的焦点为(4，0)，∴准线方程为x＝﹣4.
已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，AD⊥l，交l于D.若|AF|＝4，∠DAF＝60°，则抛物线C的方程为( )
A.y2＝8x B.y2＝4x C.y2＝2x D.y2＝x
【答案解析】答案为：B
解析：根据抛物线的定义可得|AD|＝|AF|＝4，又∠DAF＝60°，所以|AD|﹣p＝|AF|cs 60°＝eq \f(1,2)|AF|，所以4﹣p＝2，解得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.
已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点.若|MF|＋|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为( )
A.3 B.eq \f(3,2) C.5 D.eq \f(5,2)
【答案解析】答案为：B
解析：由题意知抛物线的准线方程为x＝﹣1，分别过点M，N作准线的垂线，垂足为M′，N′(图略)，根据抛物线的定义得|MF|＝|MM′|，|NF|＝|NN′|，所以|MF|＋|NF|＝|MM′|＋|NN′|，所以线段MN的中点到准线的距离为eq \f(1,2)(|MF|＋|NF|)＝eq \f(5,2)，所以线段MN的中点到y轴的距离为eq \f(5,2)﹣1＝eq \f(3,2).
设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线( )
A.经过点O B.经过点P C.平行于直线OP D.垂直于直线OP
【答案解析】答案为：B
解析：连接PF(图略)，由题意及抛物线的定义可知|PQ|＝|FP|，则△QPF为等腰三角形，故线段FQ的垂直平分线经过点P.
抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为eq \r(2)，则p等于( )
A.1 B.2 C.2eq \r(2) D.4
【答案解析】答案为：B
解析：抛物线的焦点坐标为(eq \f(p,2)，0)，其到直线x﹣y＋1＝0的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)－0＋1)),\r(1＋1))＝eq \r(2)，解得p＝2(p＝﹣6舍去).
抛物线x2＝eq \f(1,2)y的焦点到准线的距离是( )
A.2 B.1 C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,4)
【答案解析】答案为：D
解析：抛物线标准方程x2＝2py(p＞0)中p的几何意义为抛物线的焦点到准线的距离，由x2＝eq \f(1,2)y得p＝eq \f(1,4).
若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝8，则弦AB的中点到y轴的距离为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
【答案解析】答案为：B
解析：因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点到准线的距离为2，所以p＝2，抛物线方程为y2＝4x.过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义得，焦点弦|AB|＝x1＋x2＋p，所以8＝x1＋x2＋2，则x1＋x2＝6，所以AB的中点到y轴的距离为
d＝eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(6,2)＝3.
中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧.一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2 m时，水面宽8 m.若水面下降1 m，则水面宽度为( )
A.2eq \r(6) m B.4eq \r(6) m C.4eq \r(2) m D.12 m
【答案解析】答案为：B
解析：由题意，以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为x2＝﹣2py(p＞0)，由题意知，抛物线经过点A(﹣4，﹣2)和点B(4，﹣2)，代入抛物线方程解得p＝4，所以抛物线方程为x2＝﹣8y，水面下降1米，即y＝﹣3，解得x1＝2eq \r(6)，x2＝﹣2eq \r(6)，所以此时水面宽度d＝2x1＝4eq \r(6).
抛物线y2＝2px(p＞0)准线上的点A与抛物线上的点B关于原点O对称，线段AB的垂直平分线OM与抛物线交于点M，若直线MB经过点N(4，0)，则抛物线的焦点坐标是( )
A.(4，0) B.(2，0) C.(1，0) D.(eq \f(1,2)，0)
【答案解析】答案为：C
解析：设点B(x1，y1)，M(x2，y2)，则点A(﹣x1，﹣y1)，可得﹣x1＝﹣eq \f(p,2)，则x1＝eq \f(p,2)，设直线MB的方程为x＝my＋4，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋4，,y2＝2px，))可得y2﹣2mpy﹣8p＝0，所以y1y2＝﹣8p，由题意可知，eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OM,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝eq \f(y\\al(2,1)y\\al(2,2),4p2)＋y1y2＝eq \f(64p2,4p2)﹣8p＝16﹣8p＝0，解得p＝2.因此，抛物线的焦点为(1，0).
二、多选题
(多选)已知点O为坐标原点，直线y＝x﹣1与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，则( )
A.|AB|＝8
B.OA⊥OB
C.△AOB的面积为2eq \r(2)
D.线段AB的中点到直线x＝0的距离为2
【答案解析】答案为：AC
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线C：y2＝4x，则p＝2，焦点为(1，0)，则直线y＝x﹣1过焦点.联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－1，,y2＝4x，))消去y得x2﹣6x＋1＝0，则x1＋x2＝6，x1x2＝1，y1y2＝(x1﹣1)(x2﹣1)＝x1x2﹣(x1＋x2)＋1＝﹣4，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8 ，故A正确；
由eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝1﹣4＝﹣3≠0，所以OA与OB不垂直，故B错误；
原点到直线y＝x﹣1的距离为d＝eq \f(|1|,\r(2))＝eq \f(1,\r(2)) ，所以△AOB的面积为S＝eq \f(1,2)×d×|AB|＝eq \f(1,2)×eq \f(1,\r(2))×8＝2eq \r(2) ，故C正确；
因为线段AB的中点到直线x＝0的距离为eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(6,2)＝3，故D错误.
(多选)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若M(m，2)是线段AB的中点，则下列结论正确的是( )
A.p＝4
B.抛物线方程为y2＝16x
C.直线l的方程为y＝2x﹣4
D.|AB|＝10
【答案解析】答案为：ACD
解析：由焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p＝4，故A正确；
则抛物线方程为y2＝8x，故B错误；
焦点F(2，0)，则yeq \\al(2,1)＝8x1，yeq \\al(2,2)＝8x2，若M(m，2)是线段AB的中点，则y1＋y2＝4，∴yeq \\al(2,1)﹣yeq \\al(2,2)＝8x1﹣8x2，即eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(8,y1＋y2)＝eq \f(8,4)＝2，∴直线l的方程为y＝2x﹣4，故C正确；
又由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝8x，,y＝2x－4，))可得x2﹣6x＋4＝0，∴x1＋x2＝6，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10，故D正确.
三、填空题
已知点M(20，40)，抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________.
【答案解析】答案为：42或22.
解析：当点M(20，40)位于抛物线内时，如图①，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，
① ②
则|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.当点M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小.
由最小值为41，得20＋eq \f(p,2)＝41，解得p＝42.当点M(20，40)位于抛物线外时，如图②，当点P，M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小.由最小值为41，得eq \r(402＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(20－\f(p,2)))2)＝41，解得p＝22或p＝58.当p＝58时，y2＝116x，点M(20，40)在抛物线内，故舍去.综上，p＝42或p＝22.
已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________.
【答案解析】答案为：x＝﹣eq \f(3,2).
解析：方法一 (解直角三角形法)由题易得|OF|＝eq \f(p,2)，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以eq \f(|OF|,|PF|)＝eq \f(|PF|,|FQ|)，即eq \f(\f(p,2),p)＝eq \f(p,6)，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝﹣eq \f(3,2).
方法二 (应用射影定理法)由题易得|OF|＝eq \f(p,2)，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝eq \f(p,2)×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝﹣eq \f(3,2).
已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|＝6，则M的横坐标是________，作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝________.
【答案解析】答案为：5 4eq \r(5)
解析：因为抛物线的方程为y2＝4x，故p＝2且F(1，0)，因为|MF|＝6，所以xM＋eq \f(p,2)＝6，解得xM＝5，故yM＝±2eq \r(5)，所以S△FMN＝eq \f(1,2)×(5﹣1)×2eq \r(5)＝4eq \r(5).
斜率为eq \r(3)的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________.
【答案解析】答案为：eq \f(16,3).
解析：如图，由题意得，抛物线的焦点为F(1，0)，
设直线AB的方程为y＝eq \r(3)(x﹣1).由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\r(3)x－1，,y2＝4x，))得3x2﹣10x＋3＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(10,3)，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝eq \f(16,3).
直线l过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F(1，0)，且与C交于A，B两点，则p＝______，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝________.
【答案解析】答案为：2 1
解析：由eq \f(p,2)＝1，得p＝2.当直线l的斜率不存在时，l：x＝1与y2＝4x联立解得y＝±2，此时|AF|＝|BF|＝2，所以eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＝1；当直线l的斜率存在时，设l：y＝k(x﹣1)，代入抛物线方程，得k2x2﹣2(k2＋2)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(|AF|＋|BF|,|AF||BF|)＝eq \f(x1＋x2＋2,x1＋1x2＋1)＝eq \f(x1＋x2＋2,x1x2＋x1＋x2＋1)＝eq \f(x1＋x2＋2,1＋x1＋x2＋1)＝1.综上，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝1.
已知P为抛物线C：y＝x2上一动点，直线l：y＝2x﹣4与x轴，y轴交于M，N两点，点A(2，﹣4)，且eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→))＋μeq \(AN,\s\up6(→))，则λ＋μ的最小值为________.
【答案解析】答案为：eq \f(7,4).
解析：由题意得M(2，0)，N(0，﹣4)，设P(x，y)，由eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→))＋μeq \(AN,\s\up6(→))得(x﹣2，y＋4)＝λ(0，4)＋μ(﹣2，0).所以x﹣2＝﹣2μ，y＋4＝4λ.因此λ＋μ＝eq \f(y＋4,4)﹣eq \f(x－2,2)＝eq \f(x2,4)﹣eq \f(x,2)＋2＝(eq \f(x,2)﹣eq \f(1,2))2＋eq \f(7,4)≥eq \f(7,4)，故λ＋μ的最小值为eq \f(7,4).
四、解答题
已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为eq \f(3,2)的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若eq \(AP,\s\up6(→))＝3eq \(PB,\s\up6(→))，求|AB|.
【答案解析】解：设直线l：y＝eq \f(3,2)x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2).
(1)由题设得F(eq \f(3,4)，0)，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋eq \f(3,2).
又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝eq \f(5,2).
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x，))可得9x2＋12(t﹣1)x＋4t2＝0，
则x1＋x2＝﹣eq \f(12t－1,9).从而﹣eq \f(12t－1,9)＝eq \f(5,2)，得t＝﹣eq \f(7,8).
所以l的方程为y＝eq \f(3,2)x﹣eq \f(7,8).
(2)由eq \(AP,\s\up6(→))＝3eq \(PB,\s\up6(→))可得y1＝﹣3y2.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x，))可得y2﹣2y＋2t＝0，
所以y1＋y2＝2，从而﹣3y2＋y2＝2，故y2＝﹣1，y1＝3.
代入C的方程得x1＝3，x2＝eq \f(1,3)，即A(3，3)，B(eq \f(1,3)，-1).
故|AB|＝eq \f(4\r(13),3).
已知F为抛物线T：x2＝4y的焦点，直线l：y＝kx＋2与T相交于A，B两点.
(1)若k＝1，求|FA|＋|FB|的值；
(2)点C(﹣3，﹣2)，若∠CFA＝∠CFB，求直线l的方程.
【答案解析】解：由已知可得F(0，1)，设A(x1，eq \f(x\\al(2,1),4))，B(x2，eq \f(x\\al(2,2),4))，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2，,x2＝4y，))得x2﹣4kx﹣8＝0，所以x1＋x2＝4k，①
x1x2＝﹣8.②
(1)|FA|＋|FB|＝eq \f(x\\al(2,1),4)＋1＋eq \f(x\\al(2,2),4)＋1＝eq \f(x1＋x22－2x1x2,4)＋2.
当k＝1时，由①②得|FA|＋|FB|＝10.
(2)由题意可知，eq \(FA,\s\up6(→))＝(x1，eq \f(x\\al(2,1),4)﹣1)，eq \(FB,\s\up6(→))＝(x2，eq \f(x\\al(2,2),4)﹣1)，eq \(FC,\s\up6(→))＝(﹣3，﹣3).
由∠CFA＝∠CFB，得cs〈eq \(FA,\s\up6(→))，eq \(FC,\s\up6(→))〉＝cs〈eq \(FB,\s\up6(→))，eq \(FC,\s\up6(→))〉，即eq \f(\(FA,\s\up6(→))·\(FC,\s\up6(→)),|\(FA,\s\up6(→))||\(FC,\s\up6(→))|)＝eq \f(\(FB,\s\up6(→))·\(FC,\s\up6(→)),|\(FB,\s\up6(→))||\(FC,\s\up6(→))|)，
又|FA|＝eq \f(x\\al(2,1),4)＋1，|FB|＝eq \f(x\\al(2,2),4)＋1，所以由eq \f(\(FA,\s\up6(→))·\(FC,\s\up6(→)),|\(FA,\s\up6(→))||\(FC,\s\up6(→))|)＝eq \f(\(FB,\s\up6(→))·\(FC,\s\up6(→)),|\(FB,\s\up6(→))||\(FC,\s\up6(→))|)，
可得4＋2(x1＋x2)﹣x1x2＝0，即4＋8k＋8＝0.解得k＝﹣eq \f(3,2)，
所以所求直线l的方程为3x＋2y﹣4＝0.
过抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若抛物线C上存在点M(﹣2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程.
【答案解析】解：(1)抛物线C：x2＝2py(p＞0)的准线方程为y＝﹣eq \f(p,2)，焦点为F(0，eq \f(p,2)).
∵当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2，
∴1＋eq \f(p,2)＝2，解得p＝2，
∴抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)∵点M(﹣2，y0)在抛物线C上，∴y0＝1.
又F(0，1)，∴设直线l的方程为y＝kx＋1.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,x2＝4y，))得x2﹣4kx﹣4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝﹣4，
eq \(MA,\s\up6(→))＝(x1＋2，y1﹣1)，eq \(MB,\s\up6(→))＝(x2＋2，y2﹣1).
∵MA⊥MB，
∴eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝0，
∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1﹣1)(y2﹣1)＝0，
∴﹣4＋8k＋4﹣4k2＝0，解得k＝2或k＝0.
当k＝0时，l过点M(舍去)，∴k＝2，
∴直线l的方程为y＝2x＋1.
已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)，其焦点到准线的距离为2，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，且l1与l2交于点M.
(1)求p的值；
(2)若l1⊥l2，求△MAB面积的最小值.
【答案解析】解：(1)由题意知，抛物线焦点为(0，eq \f(p,2))，准线方程为y＝﹣eq \f(p,2)，
焦点到准线的距离为2，即p＝2.
(2)由(1)知抛物线的方程为x2＝4y，即y＝eq \f(1,4)x2，所以y′＝eq \f(1,2)x，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
l1：y﹣eq \f(x\\al(2,1),4)＝eq \f(x1,2)(x﹣x1)，l2：y﹣eq \f(x\\al(2,2),4)＝eq \f(x2,2)(x﹣x2)，
由于l1⊥l2，所以eq \f(x1,2)·eq \f(x2,2)＝﹣1，即x1x2＝﹣4.
设直线l的方程为y＝kx＋m，与抛物线方程联立，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,x2＝4y，))所以x2﹣4kx﹣4m＝0，Δ＝16k2＋16m＞0，
x1＋x2＝4k，x1x2＝﹣4m＝﹣4，所以m＝1，即l：y＝kx＋1.
联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(x1,2)x－\f(x\\al(2,1),4)，,y＝\f(x2,2)x－\f(x\\al(2,2),4)，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2k，,y＝－1，))即M(2k，﹣1).
M点到直线l的距离d＝eq \f(|k·2k＋1＋1|,\r(1＋k2))＝eq \f(2|k2＋1|,\r(1＋k2))，
|AB|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝4(1＋k2)，
所以S＝eq \f(1,2)×4(1＋k2)×eq \f(2|k2＋1|,\r(1＋k2)).
当k＝0时，△MAB的面积取得最小值4.