数学必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式一课一练

这是一份数学必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式一课一练，共23页。试卷主要包含了求解所列出的不等式，结合题目的实际意义确定答案，已知关于的不等式，，已知关于的不等式，解下列不等式等内容，欢迎下载使用。

知识点一 一元二次不等式的概念
知识点二 二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
知识点三 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
知识点四 一元二次不等式恒成立问题
1．转化为一元二次不等式解集为R的情况，即
ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ<0；))
ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ<0.))
2．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题．
知识点五 利用不等式解决实际问题的一般步骤
1．选取合适的字母表示题目中的未知数．
2．由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)．
3．求解所列出的不等式(组)．
4．结合题目的实际意义确定答案．
一元二次不等式的解法
(1)将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)．
(2)求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根．
(3)画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中．
(4)观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集．
求下列不等式的解集：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
解下列不等式．
（1）；
（2）．
解下列不等式：
（1）；
（2）．
解下列一元二次不等式：
（1）；
（2）．
含参数的一元二次不等式的解法
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0).
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：.
对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．
解关于的不等式．
解关于的不等式．
已知不等式的解集为．
（1）求，的值；
（2）解不等式．
解关于的不等式．
二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用
已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循
(1)根据解集来判断二次项系数的符号．
(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式．
(3)约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解．
二次不等式的解集为，则的值为
A．B．5C．D．6
关于的不等式，解集为，则不等式的解集为
A．B．C．D．
如果关于的不等式的解集是，那么等于
A．B．81C．D．64
关于实数的不等式的解集是或，则关于的不等式的解集是
A．B．
C．D．
不等式的恒成立问题
一元二次不等式恒成立问题的解法
(1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题，考虑两个方面：x2的系数和对应方程的判别式的符号．
(2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值．
不等式的解集为，则实数的取值范围是
A．，B．，C．D．，
若关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是 ．
已知关于的不等式．
（1）若不等式的解集为，或，求的值；
（2）若不等式的解集是，求的取值范围．
已知不等式的解集是．
（1）求常数的值；
（2）若关于的不等式的解集为，求的取值范围．
1．不等式的解集是
A．或B．或C．或D．
2．不等式的解集为
A．B．，，
C．，D．，，
3．不等式的解集是
A．或B．或
C．D．
4．设，则关于的不等式的解集是
A．B．
C．D．
5．已知关于的不等式，．
（Ⅰ）若不等式的解集为，，求的值．
（Ⅱ）若不等式的解集为，求的取值范围．
6．已知关于的不等式．
（1）若的解集为，求实数，的值；
（2）当时，求关于的不等式的解集．
7．解下列不等式：
（1）；
（2）．
8．已知关于的不等式．
（1）当时，求此不等式的解集；
（2）若此不等式的解集为，求实数，的值．
9．已知关于的不等式．
（1）若不等式的解集为，则实数的值；
（2）若，求不等式的解集．
定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式
一般形式
ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|xx2}
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(b,2a)))))
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1∅
∅
专题2.3二次函数与一元二次方程、不等式
知识点一 一元二次不等式的概念
知识点二 二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
知识点三 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
知识点四 一元二次不等式恒成立问题
1．转化为一元二次不等式解集为R的情况，即
ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ<0；))
ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ<0.))
2．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题．
知识点五 利用不等式解决实际问题的一般步骤
1．选取合适的字母表示题目中的未知数．
2．由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)．
3．求解所列出的不等式(组)．
4．结合题目的实际意义确定答案．
一元二次不等式的解法
(1)将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)．
(2)求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根．
(3)画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中．
(4)观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集．
求下列不等式的解集：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【解答】解：（1）不等式化为，
解得或，
不等式的解集为，，．
（2）不等式化为，
△，
无解，解集为．
（3）不等式化为，
，
不等式的解集为，，．
（4）不等式化为，即，
解得，
不等式的解集为，．
解下列不等式．
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）根据题意，，
又由，则不等式的解集为；
（2）根据题意，，
解可得：，即不等式的解集为，．
解下列不等式：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）因为方程的解为或，
所以解不等式可得：或，
所以不等式的解集为，，；
（2）由不等式可得：
，解得或，
则不等式的解集为，，．
解下列一元二次不等式：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原方程可化为，
所以，
即，所以，即原不等式的解集为：．
（2）原方程可化为，
即，故，所以，即原不等式的解集为：．
含参数的一元二次不等式的解法
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0).
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：.
对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．
解关于的不等式．
【解答】解：原不等式等价为．
（1）当时，原不等式为，解得．即原不等式的解集为．
（2）若，则原不等式可化为，，即成立，
对应方程的根为或．
当，即时，不等式的解为．
当时，不等式的解集为空集．
当，即时，不等式的解为．
（3）若，则原不等式可化为，，
即成立，对应方程的根为或．
所以，所以不等式的解为或．
综上：（1）当时，不等式的解集为．
（2）时，不等式的解集为．
当时，不等式的解集为空集．
当时，不等式的解集为．
当时，不等式的解集为，
解关于的不等式．
【解答】解：．
，
当时，即或时，解得，
当时，即或时，解得，
当时，即时，不等式的解集为空集．
已知不等式的解集为．
（1）求，的值；
（2）解不等式．
【解答】解：（1）的解集为，和是的两个根，
根据根与系数的关系得：，解得，．
（2）由（1）可知，即，，
①当即时，，此时解集为且；
②当即时，，此时解集为或；
③当即时，，此时解集为或；
综上：当时，解集为且；
当时，解集为或；
当时，解集为或．
解关于的不等式．
【解答】解：不等式可变形为，
①当时，不等式的解集为；
②当时，方程的两个根为和，
当时，不等式的解集为或；
当时，
若，即时，不等式的解集为；
若，即时，不等式的解集为；
若，即时，不等式的解集为．
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用
已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循
(1)根据解集来判断二次项系数的符号．
(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式．
(3)约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解．
二次不等式的解集为，则的值为
A．B．5C．D．6
【解答】解：不等式的解集为，
，
原不等式等价于，
由韦达定理知，，
，，
．
故选：．
关于的不等式，解集为，则不等式的解集为
A．B．C．D．
【解答】解：由题意知，，是方程的两根，可得，解得；
所以不等式为，即，
解得，
所以不等式的解集为，．
故选：．
如果关于的不等式的解集是，那么等于
A．B．81C．D．64
【解答】解：不等式可化为
，
其解集是，
那么，由根与系数的关系得，
解得，；
所以．
故选：．
关于实数的不等式的解集是或，则关于的不等式的解集是
A．B．
C．D．
【解答】解：关于实数的不等式的解集是或，
和是方程的两根，则，，．
不等式即为，解得或．
不等式的解集是，
故选：．
不等式的恒成立问题
一元二次不等式恒成立问题的解法
(1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题，考虑两个方面：x2的系数和对应方程的判别式的符号．
(2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值．
不等式的解集为，则实数的取值范围是
A．，B．，C．D．，
【解答】解：当时，原不等式为满足解集为；
当时，根据题意得，解得．
综上，的取值范围为，．
故选：．
若关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是 ．
【解答】解：对一切实数恒成立，
△，
解得：，
故答案为：．
已知关于的不等式．
（1）若不等式的解集为，或，求的值；
（2）若不等式的解集是，求的取值范围．
【解答】解：（1）关于的不等式．
不等式的解集为，或，
当时，不等式化为，解集为，不合题意，舍去；
当时，
一元二次不等式的解集为，或，
，是相应方程的两根，且．
，解得：．
综上可知：．
（2）不等式的解集是，
当时，不等式化为在上恒成立，符合题意；
若，则由关于的一元二次不等式的解集为得：
，解得．
综上，的取值范围是．
已知不等式的解集是．
（1）求常数的值；
（2）若关于的不等式的解集为，求的取值范围．
【解答】解：（1）不等式的解集是，
和3是方程的解，，解得，；
（2）由不等式化为，不等式的解集为，
则△，，
的取值范围是，．
1．不等式的解集是
A．或B．或C．或D．
【解答】解：不等式化为，
解得，
所以不等式的解集是．
故选：．
2．不等式的解集为
A．B．，，
C．，D．，，
【解答】解：不等式可化为
，
即，
解得，
所以原不等式的解集为，．
故选：．
3．不等式的解集是
A．或B．或C．D．
【解答】解：，
，
解得：，
故选：．
4．设，则关于的不等式的解集是
A．B．
C．D．
【解答】解：时，，且，
则关于的不等式可化为，
解得或，
所以不等式的解集为，，．
故选：．
5．已知关于的不等式，．
（Ⅰ）若不等式的解集为，，求的值．
（Ⅱ）若不等式的解集为，求的取值范围．
【解答】解：由题意可得，和1是 方程的两个根，
由方程的根与系数关系可得，，
解可得，，
由题意可得，恒成立，
则，
，
故的范围为．
6．已知关于的不等式．
（1）若的解集为，求实数，的值；
（2）当时，求关于的不等式的解集．
【解答】解：（1）的解集为，
，是方程的解，
故，
解得，；
（2），
，
①当时，
不等式的解集为或，
②当时，
不等式的解集为，
③当时，
不等式的解集为或．
7．解下列不等式：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）将原不等式因式分解得，，所以，，解得或，因此，原不等式的解集为或；
（2）由，得，化简得，等价于，解得或，
因此，原不等式的解集为或．
8．已知关于的不等式．
（1）当时，求此不等式的解集；
（2）若此不等式的解集为，求实数，的值．
【解答】解：（1）当时，不等式化为，
即，
解得；
所以不等式的解集为；
（2）由不等式的解集为，
所以，为方程的两根，
由根与系数的关系知，
且，
解得，．
9．已知关于的不等式．
（1）若不等式的解集为，则实数的值；
（2）若，求不等式的解集．
【解答】解：（1）关于的不等式，
，
该不等式的解集为，
，是方程的两个根，且，
，
解得的值是．
（2）由（1）知，
，
当时，解得，
当时，不等式化为，解得或，
当时，不等式化为，
当时，有，解得，
当时，，不等式无解，
当时，有，解得，
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为，，；
当时，原不等式解集为，；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为．
定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式
一般形式
ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|xx2}
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(b,2a)))))
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1∅
∅