北师大版2024-2025学年九年级数学上册专题1.3正方形的判定与性质【十大题型】专题特训(原卷版+解析)

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专题1.3 正方形的判定与性质【十大题型】【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc13335" 【题型1 利用正方形的性质求角度】  PAGEREF _Toc13335 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc10378" 【题型2 利用正方形的性质求线段长】  PAGEREF _Toc10378 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc27849" 【题型3 利用正方形的性质求面积】  PAGEREF _Toc27849 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc3637" 【题型4 利用正方形的性质求坐标】  PAGEREF _Toc3637 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc9895" 【题型5 利用正方形的性质证明】  PAGEREF _Toc9895 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc20890" 【题型6 添加条件使四边形是正方形】  PAGEREF _Toc20890 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc29848" 【题型7 证明四边形是正方形】  PAGEREF _Toc29848 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc24076" 【题型8 利用正方形的性质与判定求角度】  PAGEREF _Toc24076 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc12444" 【题型9 利用正方形的性质与判定求线段长】  PAGEREF _Toc12444 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc14742" 【题型10 利用正方形的性质与判定求面积】  PAGEREF _Toc14742 \h 13【知识点1 正方形的性质】定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．性质：①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．【题型1 利用正方形的性质求角度】【例1】（2023春·陕西宝鸡·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E、F分别为AC、BD上一点，且OE=OF，连接AF，BE，EF．若∠AFE=25°，则∠CBE的度数为（    ）  A．50° B．55° C．65° D．70°【变式1-1】（2023春·江苏·八年级期末）如图，在正方形ABCD中，CE⊥MN,∠MCE=35°，则∠ANM等于（　　）  A．45° B．55° C．65° D．75°【变式1-2】（2023春·上海虹口·八年级上外附中校考期末）如图，正方形ABCD中，CE∥BD，BE=BD，则∠CDE= ．  【变式1-3】（2023春·广西南宁·八年级南宁三中校考期末）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，边长为4，等腰直角三角形EOF绕点O转动，当E、A、D三点共线时，OE与AB的交点G恰好是OE的中点，则线段EF的长为（　　）  A．12 B．45 C．8 D．210【题型2 利用正方形的性质求线段长】【例2】（2023春·广东广州·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为22，P为对角线BD上动点，过P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，连接EF，则EF的最小值为（    ）  A．2 B．4 C．2 D．1【变式2-1】（2023春·山东泰安·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，AB=6，M是AD边上的一点，AM:MD=1:2．将ΔBMA沿BM对折至ΔBMN，连接DN，则DN的长是 ．  【变式2-2】（2023春·山东济宁·八年级统考期中）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，求BG的长．  【变式2-3】（2023春·广东东莞·八年级校考期中）如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是AB边延长线上一点，BE＝2，F是AB边上一点，将△CEF沿CF翻折，使点E的对应点G落在AD边上，连接EG交折痕CF于点H，则FH的长是（    ）A．43 B．103 C．1 D．53【题型3 利用正方形的性质求面积】【例3】（2023春·广东潮州·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为25，N为AD上一点，连接BN，AM⊥BN于点M，连接CM，且CM=CB，若AM=2，则△BCM的面积为（    ）  A．8 B．6 C．4 D．25【变式3-1】（2023春·重庆永川·八年级统考期末）如图，点E是正方形ABCD内一点，且AE=1，BE=5，若∠AED=135°，则正方形ABCD的面积是 ．  【变式3-2】（2023春·山东临沂·八年级统考期中）将n个边长都为2cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，A3⋅⋅⋅分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为 ．【变式3-3】（2023春·山东日照·八年级校考期中）如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1，把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍后得到正方形A2B2C2D2，如图（2）；以此下去…，则正方形A4B4C4D4的面积为（    ）A．25 B．125 C．625 D．3125【题型4 利用正方形的性质求坐标】【例4】（2023春·湖北黄冈·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为0,2，顶点B在x轴上，对角线AC、BD相交于点M，若OM=32，则点C的坐标为 ．  【变式4-1】（2023春·浙江·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是(4，0)，点P为边AB上一点，∠CPB=60°，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点B'处，则B'点的坐标为（    ）A．(2，2) B．(32，3) C．(2，4−23) D．(32，4−23)【变式4-2】（2023春·江苏泰州·八年级统考期中）如图，正方形AOBC边长为6，对角线AB、OC相交于点D，x轴上有一点E2,0，动直线l绕着点D旋转，与x轴相交于点P，且满足∠DEA−∠PDA=45°，点P坐标为 ．【变式4-3】（2023春·河北石家庄·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，直线y=12x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD，点C的坐标是 ．在y轴上有一个动点M，当△MDC的周长最小的时候，点M的坐标是 ．【题型5 利用正方形的性质证明】【例5】（2023春·北京西城·八年级校考期中）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．(1)求证：GF=GC；(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．【变式5-1】（2023春·天津·八年级校联考期中）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，点F在边BC的延长线上，且AE=CF．求证：(1)DE=DF；(2)∠EDF=90°．【变式5-2】（2023春·广西贺州·八年级统考期末）如图1，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE ，过点B作BF⊥DE于点F，交CD于点G．(1)求证：CG=CE；(2)如图2，连接FC、AC，若BF平分∠DBE，求证：CF平分∠ACE．【变式5-3】（2023春·北京延庆·八年级统考期末）如图，AC是正方形ABCD的对角线，点E为射线AB上一个动点，连接CE，以点E为圆心，CE为半径画弧，与直线CA交于点F，连接EF．若∠BCE=α，且0∘