第四章 三角函数与解三角形综合测试卷（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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（考试时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（2024·陕西安康·模拟预测）若sinα−20∘=sin20∘tan20∘−3，则sin2α+50∘=（ ）
A．18B．−18C．−78D．78
【解题思路】根据三角函数恒等变换化简已知可得sinα−20∘=−14，再利用诱导公式和二倍角公式求值.
【解答过程】根据题意，sinα−20∘=sin20∘tan20∘−3=sin20°cs20°sin20°−3cs20°
=sin20°cs20°212sin20°−32cs20°=sin20°cs20°2sin−40°=sin20°cs20°−2sin40°=12sin40°−2sin40°=−14，
而sin2α+50∘=sin2α−40∘+90∘=cs2α−20∘
=1−2sin2α−20∘=1−2×−142=78.
故选：D.
2．（5分）（2024·江西宜春·模拟预测）已知α∈π2,3π4，tanπ4+α=12tanπ4−α，则1−sin2α4cs2α=（）
A．6+42B．6−42C．17+122D．17−122
【解题思路】由已知先利用和差角的正切公式进行化简可求tanα，然后结合二倍角公式及同角基本关系对所求式子进行化简，即可求解.
【解答过程】因为α∈π2,3π4，tanπ4+α=12tanπ4−α，
所以1+tanα1−tanα=12×1−tanα1+tanα，tanα<−1，
解得tanα=−3−22或tanα=−3+22（舍)，
则1−sin2α4cs2α=sin2α+cs2α−2sinαcsα4cs2α=14tan2α−2tanα+1
=14tanα−12=14−3−22−12=6+42.
故选：A.
3．（5分）（2024·四川自贡·三模）函数f(x)=Asin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π2）的部分图象如图所示，f(x)的图象与y轴交于M点，与x轴交于C点，点N在f(x)图象上，点M、N关于点C对称，下列说法错误的是（ ）
A．函数f(x)的最小正周期是π
B．函数f(x)的图象关于点5π6,0对称
C．函数f(x)在−π2,−π6单调递增
D．函数f(x)的图象向右平移π6后，得到函数g(x)的图象，则g(x)为奇函数
【解题思路】A选项，根据M、N关于点C对称得到C点横坐标，从而得到最小正周期T=π；B选项，根据f(x)的图象关于点−π6,0对称和最小正周期得到B正确；C选项，求出ω=2πT=2，将π12,A代入解析式求出φ=π3，A>0，从而利用整体法判断出f(x)在−π2,−π6不单调；D选项，求出gx=Asin2x，得到其奇偶性.
【解答过程】A选项，点M、N关于点C对称，故xC=0+2π32=π3，
设fx的最小正周期为T，则12T=π3−−π6=π2，故T=π，A正确；
B选项，可以看出函数f(x)的图象关于点−π6,0对称，
又fx的最小正周期T=π，
故函数f(x)的图象关于点5π6,0对称，B正确；
C选项，又ω>0，故ω=2πT=2，
π3+−π62=π12，故将π12,A代入解析式得Asin2×π12+φ=A，
解得π6+φ=π2+2kπ,k∈Z，
又|φ|<π2，故当且仅当k=0时，满足要求，故φ=π3，
又当x=0时，f(x)=Asinπ3>0，故A>0，
则fx=Asin2x+π3，
当x∈−π2,−π6时，2x+π3∈−2π3,0，
由于y=sinz在z∈−2π3,0上不单调，
故fx=Asin2x+π3在x∈−π2,−π6上不单调，C错误；
D选项，gx=Asin2x+π3−π3=Asin2x，定义域为R，
又g−x=Asin−2x=−Asin2x=−gx，g(x)为奇函数，D正确.
故选：C.
4．（5分）（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数fx=1−2sin2ωx+π6(ω>0)在0,π2上有且仅有两个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．76,136B．76,136C．76,136D．76,136
【解题思路】利用降幂公式降幂，结合余弦函数的图象特征，可得关于ω的不等式，即可求得实数ω得取值范围.
【解答过程】函数fx=1−2sin2ωx+π6=cs2ωx+π3(ω>0)，
由x∈0,π2，得2ωx+π3∈π3,πω+π3，
要使函数fx=1−2sin2ωx+π6(ω>0)在0,π2上有且仅有两个零点，
所以2ωx+π3=π2,3π2，则πω+π3∈(3π2,5π2]，得76<ω≤136，
即ω的取值范围是(76,136].
故选：B.
5．（5分）（2024·天津北辰·三模）已知函数fx=3sin2xcs2x+cs22x，则下列结论不正确的是（ ）
A．fx的最小正周期为π2
B．fx的图象关于点5π24,12对称
C．若fx+t是偶函数，则t=π12+kπ4，k∈Z
D．fx在区间0,π4上的值域为0,1
【解题思路】A项，化简函数求出ω，即可得出周期；B项，计算出函数为0时自变量的取值范围，即可得出函数的对称点，即可得出结论；C项，利用偶函数即可求出t的取值范围；D项，计算出x∈0,π4时4x+π6的范围，即可得出值域.
【解答过程】由题意，
在fx=3sin2xcs2x+cs22x中，
fx=32sin4x+12cs4x+12=sin4x+π6+12，
A项，ω=4,T=2πω=π2，A正确；
B项，令4x+π6=kπ, 得x=kπ4−π24,
当k=1时,x=5π24,
所以fx的图象关于点 5π24,12 对称,故B正确;
C项，f(x+t)=sin4x+4t+π6+12是偶函数，
∴4t+π6=π2+kπ, k∈Z，
解得：t=π12+kπ4,k∈Z, 故C正确；
D项, 当x∈0,π4 时, 4x+π6∈π6,7π6,
所以sin4x+π6∈−12,1,
所以fx在区间0,π4上的值域为0,32，故D错误.
故选：D.
6．（5分）（2024·江西上饶·模拟预测）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知A=2π3,sinB=5314,b=5，则△ABC的面积为（ ）
A．1534B．152C．1532D．153
【解题思路】根据题意，利用正弦定理，求得a=7，再由sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB，求得sinC，结合三角形的面积公式，即可求解.
【解答过程】在△ABC中，因为A=2π3,sinB=5314,b=5，
可得sinA=32,csA=−12，且csB=1114，
由正弦定理得a=bsinAsinB=5×sin2π35314=7，
又因为A+B+C=π，
可得sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB=32×1114−12×5314=3314，
所以△ABC的面积为S=12absinC=12×7×5×3314=1534.
故选：A.
7．（5分）（2024·青海海南·二模）已知函数f(x)=csωx−π3,ω>0,x∈R，且f(α)=−1,f(β)=0.若|α−β|的最小值为π4，则f(x)的单调递增区间为（ ）
A．−π3+kπ,π6+kπ,k∈ZB．−π3+2kπ,π6+2kπ,k∈Z
C．−π12+kπ,5π12+kπ,k∈ZD．−π12+2kπ,5π12+2kπ,k∈Z
【解题思路】先求出函数f(x)的周期，再求出ω，求出函数f(x)的解析式，再结合余弦函数的性质，即可求解.
【解答过程】函数f(x)=csωx−π3,ω>0,x∈R，且f(α)=−1,f(β)=0，|α−β|的最小值为π4，
则T4=π4，所以T=π，故2πω=π，所以ω=2，所以f(x)=cs2x−π3，
令2kπ−π≤2x−π3≤2kπ,k∈Z得−π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z，
故f(x)的单调递增区间为−π3+kπ,π6+kπ,k∈Z.
故选：A.
8．（5分）（2024·全国·模拟预测）已知△ABC是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若a2−b2=bc，则ba+c的取值范围是（ ）
A．33,22B．2−3,1C．2−3,2−1D．2+1,3+2
【解题思路】由余弦定理和正弦定理，结合正弦和角公式得到sinB=sin(A−B)，结合△ABC为锐角三角形，得到A=2B，故π6【解答过程】因为a2−b2=bc，得a2=b2+bc．
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA，
所以b2+bc=b2+c2−2bccsA，即b=c−2bcsA．
由正弦定理得sinB=sinC−2sinBcsA，
因为C=π−(A+B)，则sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB，
所以sinB=sinAcsB−csAsinB，即sinB=sin(A−B)．
因为△ABC是锐角三角形，所以0又y=sinx在−π2,π2上单调递增，所以B=A−B，则A=2B．
因为△ABC是锐角三角形，所以0所以π6由正弦定理得ba+c=sinBsinA+sinC=sinBsin2B+sin(π−3B)=sinBsin2B+sin3B
=sinBsin2B+sin2BcsB+cs2BsinB=12csB+2cs2B+2cs2B−1
=14cs2B+2csB−1，
令csB=t，因为π6y=4t2+2t−1=4t+142−54在t∈22,32上单调递增，
当t=22时，y=1+2，当t=32时，y=2+3，
故ba+c=14t2+2t−1∈12+3,11+2=2−3,2−1
故选：C．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）（2024·河南周口·模拟预测）设α∈(0,π2)，β∈(0,π2)，则下列计算正确的是（ ）
A．csα+βB．若sin(α+π4)cs(α+π4)=−16，则tanα=2
C．若tanα+tanβ=1csα，则2β−α=π2
D．若cs2α1+sin2α+1tanβ=0，则α+β=3π4
【解题思路】由两角和差的余弦公式判断A，利用二倍角公式及同角三角函数关系判断B，化弦为切，结合两角和差的正余弦公式求解判断C，利用二倍角公式及三角恒等变换化简求解判断D.
【解答过程】对于A，因为α∈(0,π2)，β∈(0,π2)，则cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ，cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ，故cs(α−β)−cs(α+β)=2sinαsinβ>0，
所以csα+β对于B，因为sin(α+π4)cs(α+π4)=12sin(2α+π2)=12cs2α=−16，所以cs2α=−13，
而cs2α=1−2sin2α，所以sin2α=23，又α∈(0,π2)，所以sinα=63，csα=33，
所以tanα=2，错误；
对于C，由tanα+tanβ=1csα得，sinαcsα+sinβcsβ=1csα，所以sinαcsβ+csαsinβ=csβ，
即sin(α+β)=sinπ2−β，因为α∈(0,π2)，β∈(0,π2)，所以α+β∈(0,π),π2−β∈(0,π2)，
则α+β=π2−β或α+β+π2−β=π，即α+2β=π2或α=π2（不合题意，舍去），错误；
对于D，cs2α1+sin2α+1tanβ=cs2α−sin2α1+2sinαcsα+csβsinβ=cs2α−sin2αsinα+csα2+csβsinβ=csα−sinαsinα+csα+csβsinβ，
因为cs2α1+sin2α+1tanβ=0，所以csα−sinαsinα+csα+csβsinβ=0，
即csαsinβ−sinαsinβ+sinαcsβ+csαcsβ=0，即sin(α+β)+cs(α+β)=0，
所以2sin(α+β+π4)=0，即sin(α+β+π4)=0，
因为α+β∈(0,π)，所以α+β+π4∈(π4,5π4)，
所以α+β+π4=π，所以α+β=3π4，正确.
故选：AD.
10．（6分）（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数g(x)=sin(ωx+φ)(0<ω<4,0<φ<π)为偶函数，将g(x)图象上的所有点向左平移16个单位长度，再把图象上所有点的横坐标变为原来的12，得到函数f(x)的图象，若f(x)的图象过点(0,32)，则（ ）
A．函数f(x)的最小正周期为1
B．函数f(x)图象的一条对称轴为x=112
C．函数f(x)在(1,43)上单调递减
D．函数f(x)在(0,π)上恰有5个零点
【解题思路】由g(x)为偶函数得φ=π2，再由图象变换结合已知求出ω，即得f(x)，然后借助余弦函数的图象性质逐项判断即得.
【解答过程】由函数g(x)为偶函数，得φ=π2+kπ,k∈Z，而0<φ<π，则φ=π2，
因此f(x)=sin(2ωx+ω6+π2)=cs(2ωx+ω6)，f(0)=csω6=32，
由0<ω<4，得0<ω6<23，于是ω6=π6，解得ω=π，则f(x)=sin(2πx+π6)，
对于A，函数f(x)的最小正周期为T=2π2π=1，A正确；
对于B，f(112)=csπ3=12≠±1，函数f(x)图象关于x=112不对称，B错误；
对于C，当1因此函数f(x)在(1,43)上单调递减，C正确；
对于D，由f(x)=0，得2πx+π6=kπ+π2,k∈Z，解得x=k2+16,k∈Z，
由0故选：AC.
11．（6分）（2024·山东烟台·三模）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=2asinB，则（ ）
A．AB边上的高为c2
B．1tanA+1tanB为定值
C．sinCcsAcsB的最小值为2
D．若tanC=3，则a2+b2=4105ab
【解题思路】对A，根据AB边上的高为asinB求解即可；对B，由正弦定理结合三角恒等变换化简即可；对C，由正弦定理结合三角恒等变换化简，结合B中1tanA+1tanB=2，再根据基本不等式求解即可；对D，根据三角形内角关系，结合两角和差的正切公式与正弦定理判断即可.
【解答过程】对A，AB边上的高为asinB，由题意asinB=c2，故A正确；
对B，由正弦定理c=2asinB即sinC=sinA+B=2sinAsinB，
故sinAcsB+csAsinB=2sinAsinB，
又锐角△ABC，故csBsinB+csAsinA=2，即1tanA+1tanB=2，故B正确；
对C，sinCcsAcsB=sinA+BcsAcsB=sinAcsB+csAsinBcsAcsB=tanA+tanB，
又1tanA+1tanB=2，故tanA+tanB=12tanA+tanB1tanA+1tanB
=122+tanBtanA+tanAtanB≥122+2tanBtanA×tanAtanB=2，当且仅当tanBtanA=tanAtanB，
即tanA=tanB=1时取等号，此时A=B=π4，C=π2，与锐角△ABC矛盾，故C错误；
对D，tanC=tanπ−A+B=−tanA+B=3，
即tanA+tanB1−tanAtanB=−3，又1tanA+1tanB=2，即tanA+tanB=2tanAtanB，
故2tanAtanB1−tanAtanB=−3，解得tanAtanB=3，故tanA+tanB=6.
则tanA6−tanA=3，即tan2A−6tanA+3=0，解得tanA=3±6.
故tanA=3+6，tanB=3−6，或tanA=3−6，tanB=3+6.
不妨设tanA=3+6，tanB=3−6，
则sinA=3+63+62+1，sinB=3−63−62+1，
故sin2A=15+6616+66，sin2B=15−6616−66，sinAsinB=3+63+62+1×3−63−62+1=31020，
故sin2A+sin2B=4105sinAsinB，由正弦定理a2+b2=4105ab，故D正确.
故选：ABD.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）（2024·陕西铜川·模拟预测）已知α−β=π3，tanα−tanβ=33，则cs(α+β)的值为 −16 ．
【解题思路】对tanα−tanβ=33利用同角三角函数的关系化为正余弦的关系，化简整理可得csαcsβ=16，再结合cs(α−β)=12可求出sinαsinβ，然后利用两角和的余弦公式可求得结果.
【解答过程】由于tanα−tanβ=33，且α−β=π3，
则sinαcsα−sinβcsβ=sinαcsβ−csαsinβcsαcsβ=sin(α−β)csαcsβ=32csαcsβ=33，
整理得csαcsβ=16，则cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ=12，
整理得sinαsinβ=12−16=13，
所以cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ=16−13=−16．
故答案为：−16.
13．（5分）（2024·安徽合肥·三模）已知函数fx=3sinωxcsωx+cs2ωx+12(ω>0)在区间0,π上只有一个零点和两个最大值点，则ω的取值范围是 (76,53] ．
【解题思路】先将fx化简为sin2ωx+π6+1，再根据fx在区间0,π上只有一个零点和两个最大值点，结合正弦型三角函数的处理办法求出ω的取值范围.
【解答过程】fx=3sinωxcsωx+cs2ωx+12
=32sin2ωx+12cs2ωx+1 =sin2ωx+π6+1，
由x∈0,π，ω>0，得2ωx+π6∈π6,2πω+π6，
fx=0时，sin2ωx+π6=−1，fx最大时，sin2ωx+π6也最大，
若fx在区间0,π上只有一个零点和两个最大值点，
则只需5π2<2πω+π6≤7π2，解得76<ω≤53．
故答案为：(76,53].
14．（5分）（2024·上海金山·二模）某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段BC、CD是救生栈道的一部分，其中BC=300m，CD=800m，B在A的北偏东30°方向，C在A的正北方向，D在A的北偏西80°方向，且∠B=90°．若救生艇在A处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道B−C−D，则最短距离为 475 m．(结果精确到1 m)
【解题思路】先在△ABC中求出AC，再利用正弦定理，在△ADC中求出sinD，进而转化到△ACE中求解即可.
【解答过程】解：作AE⊥CD交于E，由题意可得如图：
∠B=90∘,∠CAB=30∘,BC=300m，
所以AB=BCtan30∘=30033=3003m，
AC=BCsin∠CAB=600m，
在△ADC中，由正弦定理可得：
CDsin∠ACD=ACsinD⇒sinD=3sin80∘4，
所以cs∠EAD=3sin80∘4≈0.735，
所以sin∠EAD≈0.68，
cs∠CAE=cs(80∘−∠EAD)≈0.17×0.735+0.98×0.68=0.79135，
在直角△ACE中，AE=AC⋅cs∠CAE⇒AE=600×0.79135≈475，
故答案为：475.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）（2023·河南·模拟预测）已知函数fx=2csxsinx+3csx−3.
(1)若fα+π4=1013，求f2α−π12的值；
(2)设gx=fx+π12+fx−π6−12fx+π12fx−π6，求函数gx的最小值.
【解题思路】（1）先把函数化成fx=Asinωx+φ的形式，在结合诱导公式和两角和与差的三角函数公式求值；
（2）先化简gx得表达式，用换元法把问题转化成二次函数在给定区间上的值域问题求解.
【解答过程】（1）因为fx=2sinxcsx+32cs2x−1 =sin2x+3cs2x =2sin2x+π3.
fα+π4=1013 ⇒ 2sin2α+π2+π3=1013 ⇒ cs2α+π3=513.
f2α−π12=2sin22α−π12+π3 =2sin4α+π6 =2sin22α+π3−π2 =−2cs22α+π3 =−22cs22α+π3−1 =−22×5132−1=238169.
（2）因为：fx+π12=2sin2x+π6+π3=2cs2x，fx−π6=2sin2x−π3+π3=2sin2x.
所以：gx=2sin2x+2cs2x−2sin2x·cs2x.
设sin2x+cs2x=t，则t=2sin2x+π4∈−2,2，且2sin2x·cs2x=t2−1，
所以：y=−t2+2t+1=−t−12+2，
当t=−2时，ymin=−22−1.
所以gx的最小值为−22−1.
16．（15分）（2023·安徽·模拟预测）已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示.

(1)求函数fx的解析式；
(2)将函数fx的图象向右平移π4个单位，再横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数gx的图象，求函数gx在区间0,π上的值域.
【解题思路】（1）根据图象，依次求得A,φ,ω的值，从而求得fx的解析式.
（2）根据三角函数图象变换求得gx，根据三角函数值域的求法求得函数gx在区间0,π上的值域.
【解答过程】（1）根据图象可知：A=2，函数fx过点0,1，
∴2sinφ=1⇒sinφ=12，且0<φ<π2⇒φ=π6，
又∵函数fx过点11π12,0，
∴由图象可知11π12ω+π6=2π，得ω=2，
∴fx=2sin2x+π6.
（2）根据题意可得：
函数fx图象向右平移π4个单位得到y=sin2x−π4+π6=2sin2x−π3的图象，
再横坐标伸长为原来的2倍得到y=2sinx−π3的图象，
最后向上平移1个单位得到函数gx=2sinx−π3+1的图象，
x∈0,π，x−π3∈−π3,2π3,sinx−π3∈−32,1，
∴函数gx在区间0,π上的值域为−3+1,3.
17．（15分）（2024·广西来宾·模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD为∠BAC平分线，btanA=(2c−b)tanB
(1)求A；
(2)若c:AD:b=3:2:23，AD上存在点M，使得∠ABM=π12，求S△ABMS△ACD．
【解题思路】（1）利用正弦定理将边转化为角的正弦，结合三角恒等变换求解即可；
（2）令c=3k，k>0，在△BAD中，利用余弦定理可求BD=k，在△ABM中，利用正弦定理可求AM=3(3−1)k2，再由S△ABMS△ABD=AMAD，S△ABDS△ACD=BDCD=ABAC，即可求解.
【解答过程】（1）由btanA=(2c−b)tanB，结合正弦定理得，sinBsinAcsA=(2sinC−sinB)sinBcsB，
因为sinB>0，所以sinAcsB+sinBcsA=2sinCcsA，
即sin(A+B)=2sinCcsA，
又sin(A+B)=sin(π−C)=sinC，所以sinC=2sinCcsA，
因为sinC>0，所以csA=12，
又0（2）由（1）知：∠BAD=π6，
令c=3k，k>0，则AD=2k，b=23k，
在△BAD中，BD2=3k2+4k2−2⋅3k⋅2k⋅csπ6=k2，
所以BD=k，则BD2+AB2=AD2，
故得：∠ABC=π2，∠C=π6，
BC=AC2−AB2=3k，DC=2k，
因为∠ABM=π12，
在△ABM中，∠AMB=π−∠BAM−∠ABM=3π4，
所以AMsinπ12=ABsin3π4，可得AM=3k⋅sinπ12sin3π4=3(3−1)k2，
因为AD=2k，则AMAD=3−34，
所以S△ABMS△ABD=AMAD=3−34，
又S△ABDS△ACD=BDCD=ABAC=3k23k=12，
所以S△ABMS△ACD=3−38.
18．（17分）（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数fx=23sinxcsx−2cs2x+1．
(1)若x∈−π12,2π3，求fx的值域；
(2)若关于x的方程fx−a=0有三个连续的实数根x1，x2，x3，且x1【解题思路】（1）将2x−π6看成整体角z，由x∈−π12,2π3求得−π3≤z≤7π6，判断y=sinz的单调性，求得函数y=sinz的值域，继而得fx的值域；
（2）结合函数fx=2sin2x−π6的图象，得x3=x1+π和x1+x22=kπ2+π3，k∈Z，求得x1=kπ2+π6，k∈Z，由方程a=2sinkπ+π6即可求得a值.
【解答过程】（1）fx=23sinxcsx−2cs2x+1=3sin2x−cs2x=2sin2x−π6
因x∈−π12,2π3，令z=2x−π6，则−π3≤z≤7π6，
因y=sinz在[−π3,π2]上单调递增，在[π2,7π6]上单调递减，
而sin(−π3)=−32,sin7π6=−12，故−32≤sin2x−π6≤1．
则−3≤fx≤2，∴fx的值域为−3,2．
（2）如图，因fx=2sin2x−π6的最小正周期为π，
当a=±2时，易得x2=x1+π,x3=x1+2π，不满足x3+2x1=3x2，故舍去，
当−2由2x−π6=kπ+π2，k∈Z，可得x=kπ2+π3，k∈Z．
由x1+x22=kπ2+π3，k∈Z，代入x2=x1+π3，解得x1=kπ2+π6，k∈Z．
∴a=2sin2kπ2+π6−π6=2sinkπ+π6，k∈Z，
当k=2n,n∈Z时，2sinkπ+π6=2sin2nπ+π6=1，n∈Z；
当k=2n+1,n∈Z时，2sinkπ+π6=2sin2nπ+7π6=−1，n∈Z，

故a的值为±1．
19．（17分）（2024·江西·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别记为a，b，c，且tanA=csB−sinCcsC+sinB．
(1)若B=π6，求C的大小．
(2)若a=2，求b+c的取值范围．
【解题思路】（1）由tanA=csB−sinCcsC+sinB，得sinAcsC+sinAsinB=csAcsB−csAsinC，再利用两角和差的正余弦公式化简，进而可求得A,B的关系，即可得解；
（2）利用正弦定理求出b,c，再根据A,B的关系结合三角函数的性质即可得解.
【解答过程】（1）因为tanA=csB−sinCcsC+sinB，所以sinAcsA=csB−sinCcsC+sinB，
即sinAcsC+sinAsinB=csAcsB−csAsinC，
即sinAcsC+csAsinC=csAcsB−sinAsinB，
所以sinA+C=csA+B，即sinB=csA+B，
而A,B∈(0,π)，所以B+A+B=π2或B−A+B=π2，
所以A+2B=π2或A=−π2（舍去），
又因为B=π6，所以A=π6，
所以C=2π3；
（2）由（1）得A+2B=π2，
因为asinA=bsinB=csinC，
所以b=asinBsinA=2sinBsinA=2sinBsinπ2−2B=2sinBcs2B，
c=asinCsinA=2sinCsinA=2sinπ2+Bsinπ2−2B=2csBcs2B，
则b+c=2sinB+csBcs2B=2sinB+csBcs2B−sin2B=2csB−sinB=2csB+π4，
又由0所以π4所以b+c∈2,+∞.