第05讲 平面向量与复数（2022-2024高考真题）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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一、单项选择题
1．（2024·北京·高考真题）设 a，b是向量，则“a+b·a−b=0”是“a=−b或a=b”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据向量数量积分析可知a+b⋅a−b=0等价于a=b，结合充分、必要条件分析判断.
【解答过程】因为a+b⋅a−b=a2−b2=0，可得a2=b2，即a=b，
可知a+b⋅a−b=0等价于a=b，
若a=b或a=−b，可得a=b，即a+b⋅a−b=0，可知必要性成立；
若a+b⋅a−b=0，即a=b，无法得出a=b或a=−b，
例如a=1,0,b=0,1，满足a=b，但a≠b且a≠−b，可知充分性不成立；
综上所述，“a+b⋅a−b=0”是“a≠b且a≠−b”的必要不充分条件.
故选：B.
2．（2024·全国·高考真题）设向量a=x+1,x,b=x,2，则（ ）
A．“x=−3”是“a⊥b”的必要条件B．“x=−3”是“a//b”的必要条件
C．“x=0”是“a⊥b”的充分条件D．“x=−1+3”是“a//b”的充分条件
【解题思路】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【解答过程】对A，当a⊥b时，则a⋅b=0，
所以x⋅(x+1)+2x=0，解得x=0或−3，即必要性不成立，故A错误；
对C，当x=0时，a=1,0,b=0,2，故a⋅b=0，
所以a⊥b，即充分性成立，故C正确；
对B，当a//b时，则2(x+1)=x2，解得x=1±3，即必要性不成立，故B错误；
对D，当x=−1+3时，不满足2(x+1)=x2，所以a//b不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
3．（2024·全国·高考真题）已知向量a,b满足a=1,a+2b=2，且b−2a⊥b，则b=（ ）
A．12B．22C．32D．1
【解题思路】由b−2a⊥b得b2=2a⋅b，结合a=1,a+2b=2，得1+4a⋅b+4b2=1+6b2=4，由此即可得解.
【解答过程】因为b−2a⊥b，所以b−2a⋅b=0，即b2=2a⋅b，
又因为a=1,a+2b=2，
所以1+4a⋅b+4b2=1+6b2=4，
从而b=22.
故选：B.
4．（2024·全国·高考真题）已知向量a=(0,1),b=(2,x)，若b⊥(b−4a)，则x=（ ）
A．−2B．−1C．1D．2
【解题思路】根据向量垂直的坐标运算可求x的值.
【解答过程】因为b⊥b−4a，所以b⋅b−4a=0，
所以b2−4a⋅b=0即4+x2−4x=0，故x=2，
故选：D.
5．（2023·北京·高考真题）已知向量a，b满足a+b=(2,3),a−b=(−2,1)，则|a|2−|b|2=（ ）
A．−2B．−1C．0D．1
【解题思路】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【解答过程】向量a,b满足a+b=(2,3),a−b=(−2,1)，
所以|a|2−|b|2=(a+b)⋅(a−b)=2×(−2)+3×1=−1.
故选：B.
6．（2024·北京·高考真题）已知zi=−1−i，则z=（ ）
A．−1−iB．−1+iC．1−iD．1+i
【解题思路】直接根据复数乘法即可得到答案.
【解答过程】由题意得z=i−1−i=1−i.
故选：C.
7．（2024·全国·高考真题）设z=2i，则z⋅z=（ ）
A．−2B．2C．−2D．2
【解题思路】先根据共轭复数的定义写出z，然后根据复数的乘法计算.
【解答过程】依题意得，z=−2i，故zz=−2i2=2.
故选：D.
8．（2024·全国·高考真题）若z=5+i，则iz+z=（ ）
A．10iB．2iC．10D．2
【解题思路】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.
【解答过程】由z=5+i⇒z=5−i,z+z=10，则iz+z=10i.
故选：A.
9．（2024·全国·高考真题）已知z=−1−i，则z=（ ）
A．0B．1C．2D．2
【解题思路】由复数模的计算公式直接计算即可.
【解答过程】若z=−1−i，则z=−12+−12=2.
故选：C.
10．（2024·全国·高考真题）若zz−1=1+i，则z=（ ）
A．−1−iB．−1+iC．1−iD．1+i
【解题思路】由复数四则运算法则直接运算即可求解.
【解答过程】因为zz−1=z−1+1z−1=1+1z−1=1+i，所以z=1+1i=1−i.
故选：C.
11．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(−1,3)，则z的共轭复数z=（ ）
A．1+3iB．1−3i
C．−1+3iD．−1−3i
【解题思路】根据复数的几何意义先求出复数z，然后利用共轭复数的定义计算.
【解答过程】z在复平面对应的点是(−1,3)，根据复数的几何意义，z=−1+3i，
由共轭复数的定义可知，z=−1−3i.
故选：D.
12．（2023·全国·高考真题）已知向量a=3,1,b=2,2，则csa+b,a−b=（ ）
A．117B．1717C．55D．255
【解题思路】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得a+b,a−b,a+b⋅a−b，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.
【解答过程】因为a=(3,1),b=(2,2)，所以a+b=5,3,a−b=1,−1，
则a+b=52+32=34,a−b=1+1=2，a+b⋅a−b=5×1+3×−1=2，
所以csa+b,a−b=a+b⋅a−ba+ba−b=234×2=1717.
故选：B.
13．（2023·全国·高考真题）已知向量a,b,c满足a=b=1,c=2，且a+b+c=0，则cs〈a−c,b−c〉=（ ）
A．−45B．−25C．25D．45
【解题思路】作出图形,根据几何意义求解.
【解答过程】因为a+b+c=0,所以a+b=−c,
即a2+b2+2a⋅b=c2,即1+1+2a⋅b=2,所以a⋅b=0.
如图,设OA=a,OB=b,OC=c,
由题知,OA=OB=1,OC=2,△OAB是等腰直角三角形,
AB边上的高OD=22,AD=22,
所以CD=CO+OD=2+22=322,
tan∠ACD=ADCD=13,cs∠ACD=310,
cs〈a−c,b−c〉=cs∠ACB=cs2∠ACD=2cs2∠ACD−1
=2×3102−1=45.
故选:D.
14．（2023·全国·高考真题）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若PO=2，则PA⋅PD的最大值为（ ）
A．1+22B．1+222
C．1+2D．2+2
【解题思路】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得PA⋅PD =12−22sin2α−π4，或PA⋅PD =12+22sin2α+π4然后结合三角函数的性质即可确定PA⋅PD的最大值.
【解答过程】如图所示，OA=1,OP=2，则由题意可知:∠APO=π4，
由勾股定理可得PA=OP2−OA2=1

当点A,D位于直线PO异侧时或PB为直径时，设∠OPC=α,0≤α