第04讲 三角函数与解三角形（2022-2024高考真题）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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一、单项选择题
1．（2024·全国·高考真题）在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若B=π3，b2=94ac，则sinA+sinC=（ ）
A．23913B．3913C．72D．31313
【解题思路】利用正弦定理得sinAsinC=13，再利用余弦定理有a2+c2=134ac，由正弦定理得到sin2A+sin2C的值，最后代入计算即可.
【解答过程】因为B=π3,b2=94ac，则由正弦定理得sinAsinC=49sin2B=13.
由余弦定理可得:b2=a2+c2−ac=94ac，
即:a2+c2=134ac，根据正弦定理得sin2A+sin2C=134sinAsinC=1312，
所以(sinA+sinC)2=sin2A+sin2C+2sinAsinC=74，
因为A,C为三角形内角，则sinA+sinC>0，则sinA+sinC=72.
故选：C.
2．（2023·北京·高考真题）在△ABC中，(a+c)(sinA−sinC)=b(sinA−sinB)，则∠C=（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
【解题思路】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.
【解答过程】因为(a+c)(sinA−sinC)=b(sinA−sinB)，
所以由正弦定理得(a+c)(a−c)=b(a−b)，即a2−c2=ab−b2，
则a2+b2−c2=ab，故csC=a2+b2−c22ab=ab2ab=12，
又00，利用余弦定理表示出AC2AB2后，结合基本不等式即可得解.
【解答过程】[方法一]：余弦定理
设CD=2BD=2m>0，
则在△ABD中，AB2=BD2+AD2−2BD⋅ADcs∠ADB=m2+4+2m，
在△ACD中，AC2=CD2+AD2−2CD⋅ADcs∠ADC=4m2+4−4m，
所以AC2AB2=4m2+4−4mm2+4+2m=4(m2+4+2m)−12(1+m)m2+4+2m=4−12(m+1)+3m+1
≥4−122(m+1)⋅3m+1=4−23，
当且仅当m+1=3m+1即m=3−1时，等号成立，
所以当ACAB取最小值时，m=3−1.
故答案为：3−1.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.
则C（2t,0），A（1，3），B（-t,0），
∴AC2AB2=(2t−1)2+3(t+1)2+3=4t2−4t+4t2+2t+4=4−12(t+1)+3t+1≥4−23，
当且仅当t+1=3,即BD=3−1时等号成立；
[方法三]：余弦定理
设BD=x,CD=2x.由余弦定理得
{c2=x2+4+2xb2=4+4x2−4x，∴2c2+b2=12+6x2，
{c2=x2+4+2xb2=4+4x2−4x，∴2c2+b2=12+6x2，
令ACAB=t，则2c2+t2c2=12+6x2，
∴t2+2=12+6x2c2=12+6x2x2+2x+4=6(1−2(x+1)+3x+1)≥6−23，
∴t2≥4−23，
当且仅当x+1=3x+1，即x=3+1时等号成立.
[方法四]：判别式法
设BD=x，则CD=2x
在△ABD中，AB2=BD2+AD2−2BD⋅ADcs∠ADB=x2+4+2x，
在△ACD中，AC2=CD2+AD2−2CD⋅ADcs∠ADC=4x2+4−4x，
所以AC2AB2=4x2+4−4xx2+4+2x，记t=4x2+4−4xx2+4+2x，
则(4−t)x2−(4+2t)x+(4−4t)=0
由方程有解得：Δ=(4+2t)2−4(4−t)(4−4t)≥0
即t2−8t+4≤0，解得：4−23≤t≤4+23
所以tmin=4−23，此时x=2+t4−t=3−1
所以当ACAB取最小值时，x=3−1，即BD=3−1.
故答案为：3−1.
9．（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，BC=CD,存在点A满足∠BAC=16.5°,∠DAC=37°，则∠BCA= 7.8° .(精确到0.1度)
【解题思路】设∠BCA=θ，在△DCA和△BCA中分别利用正弦定理得到CAsinD=CDsin∠CAD，CAsinθ+16.5∘=CBsin16.5∘，两式相除即可得到答案.
【解答过程】设∠BCA=θ,∠ACD=90∘−θ，
在△DCA中，由正弦定理得CAsinD=CDsin∠CAD，
即CAsin180∘−90∘−θ+37.0∘=CDsin37.0∘’
即CAsin90∘−θ+37.0∘=CDsin37.0∘①
在△BCA中，由正弦定理得CAsinB=CBsin∠CAB，
即CAsin180∘−θ+16.5∘=CBsin16.5∘，即CAsinθ+16.5∘=CBsin16.5∘，②
因为CD=CB，②①得sin90∘−θ+37.0∘sinθ+16.5∘=sin37.0∘sin16.5∘，
利用计算器即可得θ≈7.8∘，
故答案为：7.8∘.
10．（2023·全国·高考真题）已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA= 2 ．
【解题思路】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解.
【解答过程】如图，将三棱锥S−ABC转化为正三棱柱SMN−ABC，
设△ABC的外接圆圆心为O1，半径为r，
则2r=ABsin∠ACB=332=23，可得r=3，
设三棱锥S−ABC的外接球球心为O，连接OA,OO1，则OA=2,OO1=12SA，
因为OA2=OO12+O1A2，即4=3+14SA2，解得SA=2.
故答案为：2.
三、解答题
11．（2024·天津·高考真题）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知csB=916，b=5，ac=23．
(1)求a；
(2)求sinA；
(3)求csB−2A的值．
【解题思路】（1）a=2t,c=3t，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；
（2）法一：求出sinB，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出csA，则得到sinA；
（3）法一：根据大边对大角确定A为锐角，则得到csA，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.
【解答过程】（1）设a=2t,c=3t，t>0，则根据余弦定理得b2=a2+c2−2accsB，
即25=4t2+9t2−2×2t×3t×916，解得t=2（负舍）；
则a=4,c=6.
（2）法一：因为B为三角形内角，所以sinB=1−cs2B=1−9162=5716，
再根据正弦定理得asinA=bsinB，即4sinA=55716，解得sinA=74，
法二：由余弦定理得csA=b2+c2−a22bc=52+62−422×5×6=34，
因为A∈0,π，则sinA=1−342=74
（3）法一：因为csB=916>0，且B∈0,π，所以B∈0,π2，
由（2）法一知sinB=5716，
因为a