专题4.6 解三角形（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc11443" 【题型1 正、余弦定理求三角形的边与角】 PAGEREF _Tc11443 \h 4
\l "_Tc23714" 【题型2 正、余弦定理判定三角形形状】 PAGEREF _Tc23714 \h 4
\l "_Tc32628" 【题型3 正弦定理判定三角形解的个数】 PAGEREF _Tc32628 \h 5
\l "_Tc28498" 【题型4 证明三角形中的恒等式或不等式】 PAGEREF _Tc28498 \h 6
\l "_Tc1577" 【题型5 和三角形面积有关的问题】 PAGEREF _Tc1577 \h 7
\l "_Tc0" 【题型6 求三角形中的边长或周长的最值或范围】 PAGEREF _Tc0 \h 8
\l "_Tc16977" 【题型7 距离、高度、角度测量问题】 PAGEREF _Tc16977 \h 9
\l "_Tc27404" 【题型8 求解平面几何问题】 PAGEREF _Tc27404 \h 11
\l "_Tc25666" 【题型9 三角函数与解三角形的交汇问题】 PAGEREF _Tc25666 \h 13
1、三角恒等变换
【知识点1 解三角形几类问题的解题策略】
1．正弦定理、余弦定理解三角形的两大作用
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素。
(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.
2．判定三角形形状的途径：
(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；
(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.
3．对三角形解的个数的研究
已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.
已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三
角形不能被唯一确定.
(1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知
a,b和A，解三角形为例加以说明.
由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：
①若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0；
②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1；
③若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2.
显然由0角形内角和等于”等，此时需进行讨论.
4．与三角形面积有关问题的解题策略：
(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；
(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.
【知识点2 测量问题的基本类型和解决思路】
1．测量距离问题的基本类型和解决方案
当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型：
2．测量高度问题的基本类型和解决方案
当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型：
3．测量角度问题的解决方案
测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方
位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.
【知识点3 解三角形的应用的解题策略】
1．平面几何中解三角形问题的求解思路
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.
2．解三角形与三角函数的综合应用
解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面：
(1)利用三角恒等变换化简三角函数式进行解三角形；
(2)解三角形与三角函数图象和性质的综合应用.
【方法技巧与总结】
1．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A+B)=sinC；
(2)cs(A+B)=-csC；
(3)；
(4).
2．三角形中的射影定理
在△ABC中，a=bcsC+ccsB；b=acsC+ccsA；c=bcsA+acsB.
3．在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
.
【题型1 正、余弦定理求三角形的边与角】
【例1】（2024·浙江绍兴·三模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若2bcs(B+C)−acsC=ccsA，则A等于（ ）
A．π6B．π4C．π3D．2π3
【变式1-1】（2024·河南郑州·三模）△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．若b=7,c=6,csB=15，则a=（ ）
A．5B．6C．8D．10
【变式1-2】（2024·江西九江·三模）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知2c−a=2bcsA，则B=（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
【变式1-3】（2024·陕西安康·模拟预测）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acsB+π6=bsinA，若a=3，c=2，则b=（ ）
A．1B．2C．23D．4
【题型2 正、余弦定理判定三角形形状】
【例2】（2024·陕西渭南·三模）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若bcsC+ccsB=b，且a=ccsB，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
【变式2-1】（23-24高一下·广东广州·期中）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c若b2c2=tanBtanC，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
【变式2-2】（2024·山东·二模）在△ABC中，设内角A,B,C的对边分别为a,b,c，设甲：b−c=a(csC−csB)，设乙：△ABC是直角三角形，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【变式2-3】（2023·甘肃酒泉·三模）在△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a2b2=sinAcsBsinBcsA，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
【题型3 正弦定理判定三角形解的个数】
【例3】（2024·福建·模拟预测）在△ABC中，已知A=π6，a=2，若△ABC有两解，则（ ）
A．2≤b<4B．b≥4C．2【变式3-1】（2023·贵州·模拟预测）△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，A=60°，a=3.若这个三角形有两解，则b的取值范围是（ ）
A．3C．1【变式3-2】（2023·浙江·模拟预测）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若B=π3,a=4，且该三角形有两解，则b的范围是（ ）
A．23,+∞B．23,4
C．0,4D．33,4
【变式3-3】（2024·湖北·模拟预测）在△ABC中，已知AB=x，BC=22，C=π4，若存在两个这样的三角形ABC，则x的取值范围是（ ）
A．22,+∞B．0,22C．2,22D．2,2
【题型4 证明三角形中的恒等式或不等式】
【例4】（2024·全国·模拟预测）在△ABC中，点D，E都是边BC上且与B，C不重合的点，且点D在B，E之间，AE⋅AC⋅BD=AD⋅AB⋅CE．
(1)求证：sin∠BAD=sin∠CAE．
(2)若AB⊥AC，求证：AD2BD2+AE2CE2=21−sin∠DAE．
【变式4-1】（2024·北京西城·二模）在△ABC中，23cs2B2+2sinB2csB2=3.
(1)求B的大小；
(2)若3a+c=2b，证明：a=c.
【变式4-2】（2024·广东·二模）如图，已知△ABC内有一点P，满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=α．
(1)证明：PBsinABC=ABsinα．
(2)若∠ABC=90∘，AB=BC=1，求PC．
【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）在△ABC中，A(1) 求A的大小；
(2) 设AC的中点为D，求证：BC=BD．
【题型5 和三角形面积有关的问题】
【例5】（2024·西藏·模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsinA+π6−2a=c．
(1)求B；
(2)若∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=2，a=3，求△ABC的面积．
【变式5-1】（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面内，四边形ABCD满足B，D点在AC的两侧，AB=1，BC=2，△ACD为正三角形，设∠ABC=α.

(1)当α=π3时，求AC；
(2)当α变化时，求四边形ABCD面积的最大值.
【变式5-2】（2024·四川攀枝花·三模）请在①2a−b=2ccsB，②3accsB=tanC+tanB，③3sinA+B=3−2cs2C2三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并完成解答．
△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知______．
(1)求角C；
(2)若b=4，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，△CDB的面积为233，求边长a的值．
【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）记锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcsA=3−acsB，2asinC=3.
(1)求A.
(2)求△ABC面积的取值范围.
【题型6 求三角形中的边长或周长的最值或范围】
【例6】（2024·江西·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别记为a，b，c，且tanA=csB−sinCcsC+sinB．
(1)若B=π6，求C的大小．
(2)若a=2，求b+c的取值范围．
【变式6-1】（2024·安徽淮北·二模）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知c−b=2csin2A2
(1)试判断△ABC的形状；
(2)若c=1，求△ABC周长的最大值.
【变式6-2】（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2A−2sinAcsBsinC+sin2C=34．
(1)求角B的值．
(2)求a+c2b的取值范围．
【变式6-3】（2023·湖南长沙·一模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知sinA−sinB3a−c=sinCa+b．
(1)求角B的值；
(2)若a=2，求△ABC的周长的取值范围．
【题型7 距离、高度、角度测量问题】
【例7】（2024·湖南·模拟预测）湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C点和一建筑物DE的楼顶E为测量观测点，已知点A为塔底，A,C,D在水平地面上，来雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如图所示）.测得CD=18m,AD=15m，在C点处测得E点的仰角为30°，在E点处测得B点的仰角为60°，则来雁塔AB的高度约为（ ）（3≈1.732，精确到0.1m）
A．35.0mB．36.4mC．38.4mD．39.6m
【变式7-1】（2024·贵州·模拟预测）如图，甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区甲秀路，是该市的标志性建筑之一.甲秀楼始建于明朝，后楼毁重建，改名“凤来阁”，清代甲秀楼多次重修，并恢复原名、现存建筑是宣统元年（1909年）重建.甲秀楼上下三层，白石为栏，层层收进.某研究小组将测量甲秀楼最高点离地面的高度，选取了与该楼底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD=23°，∠CDB=30°，CD=11.2m，在C点测得甲秀楼顶端A的仰角为72.4°，则甲秀楼的高度约为（参考数据：tan72.4°≈3.15，sin53°≈0.8）（ ）
A．20mB．21mC．22mD．23m
【变式7-2】（23-24高一下·浙江温州·期中）如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m到达B处，在B处测得C对于山坡的斜度为45°.若CD=50m，山坡与地平面的夹角为θ，则csθ等于（ ）
A．22B．32C．2−1D．3−1
【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为103−3m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）
A．60mB．303mC．203mD．30m
【题型8 求解平面几何问题】
【例8】（2023·河南·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC,∠ADC=120°,AB=CD=2AD,△ACD的面积为32．

(1)求sin∠CAB；
(2)证明：∠CAB=∠CAD．
【变式8-1】（2023·河南信阳·模拟预测）在△ABC中，∠BAC=60°，△ABC的面积为103，D为BC的中点，DE⊥AC于点E,DF⊥AB于点F.

(1)求△DEF的面积；
(2)若AD=1292，求sin∠ABC+sin∠ACB的值.
【变式8-2】（2024·陕西西安·一模）已知平面四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，其中DC=13AB,sin∠BAD⋅tan∠ABD=sin∠ABD⋅sin∠ADB．
(1)探究：△ABD是否为直角三角形；若是．请说明哪个角为直角，若不是，请给出相关理由；
(2)记平面四边形ABCD的面积为S，若DC=2，且恒有S<λ，求实数λ的取值范围．
【变式8-3】（2023·山西吕梁·二模）如图，在平面四边形ABCD中，∠A=135°，AB=2，∠ABD的平分线交AD于点E，且BE=22．

(1)求∠ABE及BD；
(2)若∠BCD=60°，求△BCD周长的最大值．
【题型9 三角函数与解三角形的交汇问题】
【例9】（2023·湖南·模拟预测）已知函数f(x)=23sinxcsx−2cs2x.
(1)求函数y=lg2f(x)的定义域和值域；
(2)已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若fA2=0，求b+ca的最大值.
【变式9-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=sin2x2−3sinx2csx2+1.
(1)求函数y=fx的单调递减区间；
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2−b2=accsB−12bc，求fB的取值范围.
【变式9-2】（23-24高一下·四川巴中·期末）已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,−π2<φ<π2的部分图象如图所示．

（1）求函数f(x)的解析式；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)=3，b=2，且△ABC的面积为332，求a．
【变式9-3】（2024·北京·三模）已知函数f(x)=23sinωxcsωx+2cs2ωx,(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为f(x)在0,π2上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求a−b的取值范围.条件①：acsB+bcsA=2ccsC；条件②：2asinAcsB+bsin2A=3a；条件③：△ABC的面积为S，且S=3a2+b2−c24.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.
一、单选题
1．（2024·江西赣州·二模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=1，a2−1=cc−1，则A＝（ ）
A．π3B．2π3C．π6D．5π6
2．（2024·贵州六盘水·三模）在△ABC中，AB=2，AC=3， ∠A=π3，则△ABC外接圆的半径为（ ）
A．73B．213C．273D．2213
3．（2024·北京海淀·二模）在△ABC中，AB=4,AC=5,csC=34，则BC的长为（ ）
A．6或32B．6C．3+32D．3
4．（2024·宁夏银川·三模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=4，sinC=14，若△ABC有两解，则c的取值可能为（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．（2024·重庆·模拟预测）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若B=23π,b=6,a2+c2=3ac，则△ABC的面积为（ ）
A．934B．94C．932D．92
6．（2024·陕西西安·模拟预测）在100m高的楼顶A处，测得正西方向地面上B、C两点B、C与楼底在同一水平面上）的俯角分别是75∘和15∘，则B、C两点之间的距离为（ ）．
A．2002B．2402C．1803D．2003
7．（2024·四川成都·模拟预测）设锐角△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且c=2,B=2C，则a+b的取值范围为 （ ）
A．2,10B．2+22,10C．2+22,4+23D．4+23,10
8．（2024·山东聊城·二模）如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=2,∠B=2∠D=120°，记△ABC与△ACD的面积分别为S1,S2，则S2−S1的值为（ ）
A．2B．3C．1D．32
二、多选题
9．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且已知a=2，则（ ）
A．若A=45∘，且△ABC有两解，则b的取值范围是(2,22)
B．若A=45∘，且b=4，则△ABC恰有一解.
C．若c=3，且△ABC为钝角三角形，则b的取值范围是(13,5)
D．若c=3，且△ABC为锐角三角形，则b的取值范围是(5,13)
10．（2024·福建泉州·模拟预测）△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=2，△ABC的面积S=32AB⋅AC，则以下说法正确的是（ ）
A．A=30°
B．△ABC的周长的最大值为6
C．若bc=4，则△ABC为正三角形
D．若AB边上的中线长等于233，则S=3
11．（2024·河北邯郸·三模）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为34a2+c2−b2，则下列说法正确的是（ ）
A．csAcsC的取值范围是−12,14
B．若D为边AC的中点，且BD=1，则△ABC的面积的最大值为33
C．若△ABC是锐角三角形，则ac的取值范围是12,2
D．若角B的平分线BE与边AC相交于点E，且BE=3，则a+4c的最小值为10
三、填空题
12．（2024·新疆·三模）在△ABC中，3sinA=2sinC，csB=13.则sinA= .
13．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）海宝塔位于银川市兴庆区，始建于北朝晚期，是一座方形楼阁式砖塔，内有木梯可盘旋登至顶层，极目远眺，巍巍贺兰山，绵绵黄河水，塞上江南景色尽收眼底.如图所示，为了测量海宝塔的高度，某同学（身高173cm）在点A处测得塔顶D的仰角为45°，然后沿点A向塔的正前方走了38m到达点B处，此时测得塔顶D的仰角为75°，据此可估计海宝塔的高度约为 m.（计算结果精确到0.1）

14．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，平面四边形ABCD中，AB=3,AC=2BC,AD=DC,∠ADC=90∘，则四边形ABCD面积的最大值为 .
四、解答题
15．（2024·云南·模拟预测）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csA23sinA2−csA2=12.
(1)求角A；
(2)D为边BC上一点，DA⊥BA，且BD=4DC，求csC.
16．（2024·陕西安康·模拟预测）在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,tanC=(a−1)tanB．
(1)求证：bcsC=1；
(2)若a=2，△ABC面积为1，求边c的长．
17．（2024·安徽合肥·三模）如图，某人开车在山脚下水平公路上自A向B行驶，在A处测得山顶P处的仰角∠PAO=30°，该车以45km/h的速度匀速行驶4分钟后，到达B处，此时测得仰角∠PBO=45°，且cs∠AOB=−33.
(1)求此山的高OP的值；
(2)求该车从A到B行驶过程中观测P点的仰角正切值的最大值．
18．（2024·辽宁·模拟预测）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c−3bsinC=a−bsinA+sinB．
(1)求A；
(2)若△ABC为锐角三角形，且b=6，求△ABC的周长l的取值范围．
19．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）某公园计划改造一块四边形区域ABCD铺设草坪，其中AB=2百米，BC=1百米，AD=CD，AD⊥CD，草坪内需要规划4条人行道DM、DN、EM、EN以及两条排水沟AC、BD，其中M、N、E分别为边BC、AB、AC的中点．
(1)若∠ABC=π2，求排水沟BD的长；
(2)若∠ABC=α，试用α表示4条人行道的总长度．
考点要求
真题统计
考情分析
(1)掌握正弦定理、余弦定理及其变形
(2)理解三角形的面积公式并能应用
(3)能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题
(4)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题
2022年新高考全国I卷、Ⅱ卷：第18题，12分
2023年新课标I卷、Ⅱ卷：第17题，10分
2024年新课标I卷、Ⅱ卷：第15题，13分
2024年全国甲卷（文数）：第12题，5分
2024年全国甲卷（理数）：第11题，5分
解三角形是高考的重点、热点内容，是每年高考必考内容之一.从近几年的高考情况来看，正弦定理、余弦定理解三角形在选择题、填空题中考查较多，也会出现在解答题中，在高考试题中出现有关解三角形的试题大多数为较易题、中档题.对于解答题，一是考查正弦定理、余弦定理的简单应用；二是考查正、余弦定理与三角形面积公式的综合应用，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合命题，需要学生灵活求解.
类型
简图
计算方法
A,B间不可达也不可视
测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得
B, C与点A可视但不可达
测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+ C)，由正弦定理得
C,D与点A,B均可视不可达
测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB.
类型
简图
计算方法
底部
可达
测得BC=a，C的大小，AB=a·tan C.
底部不可达
点B与C,D共线
测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数.
先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值.
点B与C , D不共线
测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数.
在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值.