广西专用高考数学一轮复习高考大题专项练二高考中的三角函数与解三角形含解析

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高考大题专项练二　高考中的三角函数与解三角形1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=7,b=8,cos B=-.(1)求角A;(2)求AC边上的高.解:(1)在△ABC中,∵cosB=-,∴B∈,∴sinB=.由正弦定理得,即,∴sinA=.∵B∈,∴A∈,∴A=.(2)在△ABC中,∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=.如图所示,在△ABC中,过点B作BD⊥AC,垂足为点D.设BD=h.∵sinC=,∴h=BC·sinC=7×,∴AC边上的高为.2.(2020山东,17)在①ac=,②csin A=3,③c=b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin A=sin B,C=,　　　　　? 解:方案一:选条件①.由C=和余弦定理,得.由sinA=sinB及正弦定理,得a=b.于是,由此可得b=c.由①ac=,解得a=,b=c=1.因此,选条件①时,问题中的三角形存在,此时c=1.方案二:选条件②.由C=和余弦定理,得.由sinA=sinB及正弦定理,得a=b.于是,由此可得b=c.所以B=C=.由A+B+C=π,得A=π-.由②csinA=3,即csin=3,所以c=b=2,a=6.因此,选条件②时,问题中的三角形存在,此时c=2.方案三:选条件③.由C=和余弦定理,得.由sinA=sinB及正弦定理,得a=b.于是,由此可得b=c.由③c=b,与b=c矛盾.因此,选条件③时,问题中的三角形不存在.3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若△ABC的面积S=,求角A的大小.答案:(1)证明由正弦定理及b+c=2acosB,得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB.于是sinB=sin(A-B).又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以A=2B.(2)解由S=,得absinC=,故有sinBsinC=sin2B=sinBcosB.由sinB≠0,得sinC=cosB.又B,C∈(0,π),所以C=±B.当B+C=时,A=;当C-B=时,A=.综上,A=或A=.4.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.(1)求A;(2)若a+b=2c,求sin C.解:(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cosA=.因为0°<A<180°,所以A=60°.(2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得sinA+sin(120°-C)=2sinC,即cosC+sinC=2sinC,可得cos(C+60°)=-.由于0°<C<120°,所以sin(C+60°)=,故sinC=sin(C+60°-60°)=sin(C+60°)cos60°-cos(C+60°)sin60°=.5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C·(acos B+bcos A)=c.(1)求C;(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.解:(1)由已知及正弦定理,得2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,即2cosCsin(A+B)=sinC.故2sinCcosC=sinC.又sinC≠0,故可得cosC=,又C∈(0,π),所以C=.(2)由已知,absinC=.又C=,所以ab=6.由已知及余弦定理,得a2+b2-2abcosC=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25,即a+b=5.所以△ABC的周长为5+.6.在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB;(2)若DC=2,求BC.解:(1)在△ABD中,由正弦定理得.即,所以sin∠ADB=.由题设知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB=.(2)由题设及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=.在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2=25.所以BC=5.7.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,.(1)求B;(2)若b=3,求2a-c的取值范围.解:(1)由题意及正弦定理,得,即a2-ac=b2-c2.所以a2+c2-b2=ac.由余弦定理,得cosB=,又0<B<π,所以B=.(2)由正弦定理及题设,得=2,所以a=2sinA,c=2sinC,所以2a-c=4sinA-2sinC=2(2sinA-sinC).又A+B+C=π,所以C=-A,A∈,所以2a-c=2=2=6sin.又A∈,所以A-,所以-3<6sin<6,所以2a-c的取值范围为(-3,6).8.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.(1)求cos B的值;(2)求sin的值.解:(1)在△ABC中,由正弦定理,得bsinC=csinB,又由3csinB=4asinC,得3bsinC=4asinC,又sinC≠0,所以3b=4a.又因为b+c=2a,得到b=a,c=a.由余弦定理可得cosB==-.(2)由(1)可得sinB=,从而sin2B=2sinBcosB=-,cos2B=cos2B-sin2B=-,故sin=sin2Bcos+cos2Bsin=-=-.