第4章 图形的相似 北师大版数学九年级上册单元测试卷(含答案)

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第四章　图形的相似时间:90分钟　 满分:100分一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)　　　　　　 　　　　　　　　　　1.(2022·辽宁沈阳沈河区期末)已知ab=32,那么下列等式中正确的是 (　　)A.a+bb=53 B.a-bb=13C.2a=3b D.a2=b32.(2022·上海青浦区期末)下列图形,一定相似的是 (　　)A.两个直角三角形 B.两个等腰三角形C.两个等边三角形 D.两个菱形3.如图,AB∥CD∥EF,AF,BE相交于点G,下列比例式错误的是 (　　)A.ADDF=BCCE B.AGGD=BGCGC.GCGE=GDGF D.ABEF=AGGE(第3题)　　(第4题)4.(2022·山东青岛期中)如图,把一张矩形纸片对折两次得到四个小矩形,如果每个小矩形都与原矩形相似,那么原矩形纸片的长与宽之比为(　　)A.2∶1 B.2∶1 C.3∶1 D.4∶15.在△ABC与△DEF中,∠A=∠D=60°,ABDF=ACDE.如果∠B=50°,那么∠E= (　　)A.80° B.70° C.60° D.50°6. (2022·吉林长春南关区期末)大约在两千四五百年前,墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验如图(1).并在《墨经》中有这样的精彩记录:“景到,在午有端,与景长,说在端.”在如图(2)所示的小孔成像实验中,若物距为10 cm,像距为15 cm,蜡烛火焰倒立的像的高度是9 cm,则蜡烛火焰的高度是 (　　)　　　　　图(1)　　　　　　　　　图(2)A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm7.如图,△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6,其中∠A与∠B不相等.将△ABC沿下列选项的图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 (　　) A BC D8.(2022·天津和平区期末)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A在第二象限,点B的坐标为(-2,0),点C的坐标为(-1,0),以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C.若点A的对应点A'的坐标为(2,-3),点B的对应点B'的坐标为(1,0),则点A的坐标为(　　)A.(-3,2) B.(-3,32)C.(-52,32) D.(-52,2)9.(2022·河北邢台信都区期中)如图,有一块形状为直角三角形的余料ABC.已知∠A=90°,AB=6 cm,AC=8 cm,要把它加工成一个平行四边形工件DEFG,使GF在边BC上,D,E两点分别在边AB,AC上,且DE=5 cm,则▱DEFG的面积为 (　　)A.24 cm2 B.12 cm2C.9 cm2 D.6 cm2(第9题)　　(第10题)10.(2021·四川绵阳中考)如图,在△ACD中,B是CD上的点,AD=6,BC=5,AC2=AB(AB+BC),且△DAB∽△DCA,若AD=3AP,点Q是线段AB上的动点,则PQ的最小值是 (　　)A.72 B.65 C.55 D.85二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)11.如图,在△ABC中,P为AB上的一点,补充条件,使△APC∽△ACB,这个条件可以是　　　　　.(写出一个即可) 12.如图,点C,D在线段AB上,△PCD是等边三角形.当△ACP∽△PDB时,∠APB=　　　°. (第12题)　　(第13题)13.(2022·上海嘉定区期末)如图,在△ABC中,DE∥BC,DF∥AC,AD=3,BD=2,那么BF∶DE的值是　　　　. 14.(2021·北京五中月考)如图,矩形ABCD由三个全等的矩形拼成,AC与DE,FE,FG,HG,HB分别交于点P,Q,K,M,N,设△EPQ,△GKM,△BNC的面积依次为S1,S2,S3.若S1+S3=40,则S2的值为　　　　. (第14题)　　(第15题)15.如图,矩形ABCD中,AB=3 cm,AD=8 cm.点P在BC上,连接PD,折叠矩形,点B与点C都恰好落在PD上的点F处,折痕是PQ,PR,AB的对应线段EF与AD交于点G,则线段DG的长度是　　　　. 三、解答题(共6小题,共55分)16.(8分)(2021·山东济宁鱼台实验中学月考)方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,△ABC的顶点都在格点上,在方格纸上建立如图所示的平面直角坐标系.(1)以原点O为位似中心,将△ABC缩小,使变换后得到的△A1B1C1与△ABC对应边的比为1∶2.请在网格内画出△A1B1C1.(2)点A1的坐标为　　　　　　　　. 17.(8分)(2022·浙江温州瑞安期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,DE∥BC,BE⊥AB.(1)求证:△DEB∽△BAC;(2)若AB=6,AC=2,求S△DEBS△BAC的值.18.(9分)如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在BC,AB,AC上,∠EDF=∠B.(1)如图(1),求证:DE·CD=DF·BE.(2)若D为BC的中点,如图(2),连接EF.求证:ED平分∠BEF.图(1)图(2)19.(9分)(2022·江苏无锡宜兴树人中学月考)为了测量学校旗杆的高度AB,数学兴趣小组带着标杆和皮尺来到操场进行测量,测量方案如下:如图,首先小红在C处放置一平面镜,她从点C沿BC后退,当退行1.8米到D处时,恰好在镜子中看到旗杆顶点A的像,此时测得小红眼睛到地面的距离ED为1.5米;然后小明在F处竖立了一根高1.6米的标杆FG,发现地面上的点H、标杆顶点G和旗杆顶点A在一条直线上,此时测得FH为2.4米,DF为3.3米.已知AB⊥BH,ED⊥BH,GF⊥BH,点B,C,D,F,H在一条直线上.(1)求ABBC的值;(2)请根据以上所测数据,计算学校旗杆AB的高度.20.(10分)(2021·山东聊城期中)如图,四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形,C,F,G三点在同一直线上,连接BE,AC,AF,并延长AF交CD于点M.(1)求证:△MFC∽△MCA.(2)求证:△ACF∽△ABE.(3)若DM=1,CM=2,求正方形AEFG的边长.21.(11分)(1)问题发现如图(1),在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M.填空:①ACBD的值为　　　　; ②∠AMB的度数为　　　　. (2)类比探究如图(2),在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC,交BD的延长线于点M.请判断ACBD的值及∠AMB的度数,并说明理由.(3)拓展延伸在(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M.若OD=1,OB=7,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.图(1)　　　图(2)备用图第四章　图形的相似1.C　(特殊值法)∵ab=32,∴令a=3,b=2,则a+bb=3+22=52,a-bb=3-22=12,2a=3b,a3=b2.故选C.2.C3.D　由AB∥CD∥EF,得ADDF=BCCE,所以A选项中的比例式正确;由AB∥CD,得△ABG∽△DCG,所以AGGD=BGCG,所以B选项中的比例式正确;由CD∥EF,得△GCD∽△GEF,所以GCGE=GDGF,所以C选项中的比例式正确;由AB∥EF,得△ABG∽△FEG,所以ABEF=AGGF,所以D选项中的比例式错误.故选D.4.B　设原矩形纸片的长为x,宽为y,∴小矩形的长为y,宽为x4.∵小矩形与原矩形相似,∴x4y=yx,∴x∶y=2∶1.5.B　∵∠A=∠D=60°,ABDF=ACDE,∴△ABC∽△DFE,∴∠F=∠B=50°,∴∠E=180°-60°-50°=70°.6.A　设蜡烛火焰的高度是x cm,根据相似三角形对应高的比等于相似比得到1015=x9,解得x=6.即蜡烛火焰的高度是6 cm.7.D　A,B选项中,阴影三角形与原三角形的两角分别相等,故两三角形相似;C选项中,两三角形两边成比例且夹角相等,故两三角形相似;D选项中,两三角形夹角相等的两边不成比例,故两三角形不相似.8.C　如图,过点A作AE⊥x轴于点E,过点A'作A'F⊥x轴于点F.∵B(-2,0),C(-1,0),B'(1,0),A'(2,-3)∴OB=2,OC=OB'=1,OF=2,A'F=3,∴BC=1,CB'=2,CF=3.∵△ABC∽△A'B'C,∴AEA'F=BCCB'=12,∴AE=32.∵∠ACE=∠A'CF,∠AEC=∠A'FC=90°,∴△AEC∽△A'FC,∴ECCF=AEA'F=12,∴EC=32,∴OE=EC+OC=52,∴A(-52,32).9.B　如图,过点A作AM⊥BC于点M,交DE于点N.∵∠BAC=90°,AB=6 cm,AC=8 cm,∴BC=62+82=10(cm),∴AM=6×810=4.8(cm).∵四边形DEFG是平行四边形,∴DE∥BC,FG=DE=5 cm,∴△ADE∽△ABC,∴ANAM=DEBC=510,∴AN=MN=2.4 cm,∴S▱DEFG=5×2.4=12(cm2).10.A　∵△DAB∽△DCA,AD=6,BC=5,∴ADDC=BDAD,∴65+BD=BD6,解得BD=4(负值已舍去),∴CD=5+4=9.∵△DAB∽△DCA,∴ACAB=CDAD=96=32,∴AC=32AB.∵AC2=AB(AB+BC),∴(32AB)2=AB(AB+5),解得AB=4或AB=0(舍去),∴AB=BD=4.如图,过点B作BH⊥AD于点H,则AH=12AD=3，∴BH=AB2-AH2=42-32=7.∵AD=3AP,∴AP=2.当PQ⊥AB时,PQ的值最小.∵∠AQP=∠AHB=90°,∠PAQ=∠BAH,∴△APQ∽△ABH,∴APAB=PQBH,∴24=PQ7,∴PQ=72.11.∠ACP=∠B(或∠APC=∠ACB,APAC=ACAB,答案不唯一)12.120　∵△ACP∽△PDB,∴∠A=∠BPD.∵△PCD是等边三角形,∴∠PCD=∠CPD=60°,∴∠A+∠APC=60°,∴∠APC+∠BPD=60°,∴∠APB=∠APC+∠CPD+∠BPD=120°.13.2∶3　∵DE∥BC,∴∠B=∠ADE.∵DF∥AC,∴∠BDF=∠A,∴△DBF∽△ADE,∴BFDE=BDAD.∵BD=2,AD=3,∴BFDE=23,∴BF∶DE的值是2∶3 .14.16　∵矩形ABCD是由三个全等的矩形拼成,∴∠DEF=∠FGH=∠HBC.∵FE∥HG∥CB,∴∠AQE=∠AMG=∠ACB,∴△EPQ∽△GKM∽△BNC.∵QE∥MG,∴△AEQ∽△AGM,∴QEMG=AEAG=12,∴S1S2=(QEMG)2=14.∴S1=14S2.同理可得S3=94S2.∵S1+S3=40,∴14S2+94S2=40,∴S2=16.15.54 cm　∵矩形ABCD中,AB=3 cm,AD=8 cm,∴CD=3 cm,BC=8 cm.由折叠可得,BP=FP=CP=4 cm.在Rt△PCD中,PD=PC2+DC2=42+32=5(cm),∴DF=PD-PF=5-4=1(cm).∵AD∥BC,∴∠ADP=∠DPC.∵∠DFG=∠RFP=∠C=90°,∴△DFG∽△PCD,∴DGPD=DFPC,即DG5=14,∴DG=54 cm.16.【参考答案】(1)如图,△A1B1C1即为所作. (6分)(2)(1,1)或(-1,-1) (8分)17.【解题思路】(1)由DE∥BC得,∠EDB=∠ABC,根据垂直说明∠EBD=∠C=90°,即可得出结论.(2)先由勾股定理求出BC的长,再由相似三角形的面积比等于相似比的平方,即可求得结论.【参考答案】(1)证明:∵∠C=90°,BE⊥AB,∴∠EBD=∠C=90°. (2分)∵DE∥BC,∴∠EDB=∠ABC,∴△DEB∽△BAC. (4分)(2)由勾股定理得BC=AB2-AC2=62-22=4 2.(6分)∵D是AB的中点,AB=6,∴DB=3,∵△DEB∽△BAC,∴S△DEBS△BAC=(DBBC)2=(342)2=932. (8分)18.【参考答案】(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠B+∠BDE+∠DEB=180°,∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°,∠EDF=∠B,∴∠DEB=∠FDC,∴△BDE∽△CFD,∴DEDF=BECD,即DE·CD=DF·BE. (5分)(2)由(1),可知BECD=DEDF.∵D为BC的中点,∴BD=CD,∴BEBD=DEDF,∴BEDE=BDDF. (7分)又∠B=∠EDF,∴△BDE∽△DFE,∴∠BED=∠DEF,∴ED平分∠BEF. (9分)19.【解题思路】(1)根据已知条件推出△ACB∽△ECD,根据相似三角形的性质得到ABBC=DECD,代入数据计算即可;(2)根据已知条件说明△HFG∽△HBA,根据对应边成比例列式计算即可.【参考答案】(1)根据题意可得,∠ABC=∠CDE=90°,∠ACB=∠DCE,∴△ACB∽△ECD,∴ABBC=DECD. (3分)∵DE=1.5米,CD=1.8米,∴ABBC=1.51.8=56. (5分)(2)∵FG⊥BH,AB⊥BH,∴AB∥FG,∴△HFG∽△HBA,∴FGAB=FHBH,∴1.6AB=2.42.4+3.3+1.8+65AB,∴AB=25,∴学校旗杆AB的高度为25米. (9分)20.【思路导图】【参考答案】(1)证明:∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形,∴∠ACD=∠AFG=45°.∵∠CFM=∠AFG,∴∠CFM=∠ACM=45°.∵∠CMF=∠AMC,∴△MFC∽△MCA. (3分)(2)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=90°,∠BAC=45°,∴AC=2AB.同理可得AF=2AE,∴AFAE=ACAB=2.∵∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE=45°,∴∠CAF=∠BAE,∴△ACF∽△ABE. (6分)(3)∵DM=1,CM=2,∴AD=CD=1+2=3,∴AM=AD2+DM2=32+12=10.∵△MFC∽△MCA,∴CMAM=FMCM,即210=FM2,∴FM=2105,∴AF=AM-FM=3105,∴AG=22AF=355,即正方形AEFG的边长为355. (10分)21.【参考答案】(1)①1 (1分)②40° (2分)解法提示:①∵∠AOB=∠COD,∴∠BOD=∠AOC,∵OC=OD,OA=OB,∴△AOC≌△BOD,∴AC=BD,∠OBD=∠OAC,∴ACBD=1.②设BD,OA交于点N,∵∠MNA=∠ONB,∠OBD=∠OAC,∴∠AMB=∠AOB=40°.(2)ACBD=3,∠AMB=90°. (4分)理由如下:∵∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,∴CODO=AOBO=3,∠COD+∠AOD=∠AOB+∠AOD,即∠AOC=∠BOD,∴△AOC∽△BOD,∴ACBD=CODO=3,∠CAO=∠DBO. (6分)设AO,BM交于点N,∵∠ANM=∠BNO,∴∠AMB=∠AOB=90°. (8分)(3)AC的长为23或33. (11分)解法提示:由(2)可知,∠AMB=90°,ACBD=3,设BD=x,则AC=3x.分两种情况讨论.如图(1),当点M,C在OA上侧重合时,在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2,∴(27)2=(3x)2+(x+2)2,解得x1=2,x2=-3(不合题意,舍去), ∴AC=3x=23.图(1)如图(2),当点M,C在OA下侧重合时,在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2,∴(27)2=(3x)2+(x-2)2,解得x1=-2(不合题意,舍去),x2=3, ∴AC=3x=33.综上所述,AC的长为23或33.图(2)12345678910CCDBBADCBA11.∠ACP=∠B(或∠APC=∠ACB,APAC=ACAB,答案不唯一)12.12013.2∶314.1615.54 cm