初中数学人教版（2024）七年级上册1.2.1 有理数同步练习题

这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册1.2.1 有理数同步练习题，共44页。

考卷信息：
本套训练卷共36题，共六大题型，每个题型6题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生有理数中规律和新定义综合应用的六大题型的理解！
【题型1 数列型规律探究】
1．（2023春·山东济宁·六年级统考期末）如图，将大小相同的小圆规律摆放：第1个图形有5个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有11个小圆，…依此规律，第n个图形的小圆个数是（ ）
A．3n−2个B．3n+2个C．5n+1个D．5n−1个
2．（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（ ）
A．253B．255C．257D．259
3．（2023春·河北保定·七年级统考期末）如图所示：下列各三角形中的三个数均有相同的规律，由此规律最后一个三角形中，y的值是（ ）
A．380B．382C．384D．386
4．（2023春·全国·七年级期末）如图，在数轴上，点A表示数1,现将点A沿数轴作如下移动，第一次将点A向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，…，按照这种移动规律进行下去，第2021次移动到点A2021，那么点A2021所表示的数为（ ）
A．−3029B．−3032C．−3035D．−3038
5．（2023春·江西上饶·七年级校考期中）把所有正整数从小到大排列，并按如下规律分组：
（1），(2， 3， 4)，(5，6，7，8，9)，(10， 11，12， 13， 14， 15， 16)，…，现用等式 AM=(i，j)表示正整数 M 是第i 组第 j 个数(从左往右数)，如A8=(3，4)，则A2020=( )
A．(44，81)B．(44，82)C．(45，83)D．(45，84)
6．（2023春·湖南永州·九年级校考期中）观察下列算式发现规律：71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，……，则72020的个位数字是 ．
【题型2 裂差型规律探究】
1．（2023春·浙江杭州·七年级期末）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的矩形，接着把其中一个面积为12的矩形等分成两个面积为14的矩形，再把其中一个面积为14的矩形等分成两个面积为18的矩形，如此进行下去，试利用图形所揭示的规律计算：1+12+14+18+116+132+164+1128+1256= ．
2．（2023春·福建泉州·七年级福建省惠安第一中学校联考期中）观察下列等式：
第1个等式：a1=11×3=12×1−13；第2个等式：a2=13×5=12×13−15；
第3个等式：a3=15×7=12×15−17；第4个等式：a4=17×9=12×17−19；
…
请回答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a5=_________=_________；
（2）用含n的代数式表示第n个等式：an=_________=_________(n为正整数)；
（3）求a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a2018的值．
（4）求15×10+110×15+115×20+120×25+……+12015×2020的值
3．（2023春·北京·七年级景山学校校考期中）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6＋7|＝6＋7；|7－6|＝7－6；|6－7|＝－6＋7；|－6－7|＝6＋7
（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：
①|7＋2|＝ ；
②|－12＋15|＝ ；
（2）用简单的方法计算：|13－12|＋|14－13|＋|15－14|＋……＋|12021－12020|．
4．（2023春·河北保定·七年级校联考期中）观察下列各式：
−1×12=−1+12
−12×13=−12+13
−13×14=−13+14
……
(1)按照上述规律，第4个等式是：________________________________
(2)第n个等式是：________________________
(3)运用你发现的规律计算：−15×16+−16×17
(4)−1×12+−12×13+−13×14+⋯+−12021×12022=________
5．（2023春·河南新乡·七年级校考期中）（1）12×23=________
12×23×34=________
12×23×34×45=________
猜想：12×23×34×45×⋯⋯×nn+1=________
（2）根据上面的规律，解答下列问题：
①计算：1100−1×199−1×198−1×⋯⋯×13−1×12−1
②将2020减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14……，依次类推，最后减去余下的12020，则剩余的结果是多少?
6．（2023春·浙江金华·七年级统考期中）我们知道：1−12=21×2−11×2=11×2；12−13=32×3−22×3=12×3；13−14=43×4−33×4=13×4；…，反过来，可得：11×2=1−12；12×3=12−13；13×4=13−14；…，各式相加，可得：11×2+12×3+13×4=1−12+12−13+13−14=1−14=34．
根据上面的规律，解答下列问题：
(1)11×2+12×3+13×4+14×5+15×6+16×7=___________；
(2)计算：11×5+15×9+19×13+⋅⋅⋅+197×101；
(3)计算：11×4×7+14×7×10+17×10×13+⋅⋅⋅+194×97×100．
【题型3 新定义型规律探究】
1．（2023春·四川成都·七年级校考期中）已知：C32=3×21×2=3，C53=5×4×31×2×3=10，C64=6×5×4×31×2×3×4=15，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算C118= ．
2．（2023春·全国·七年级期末）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）f(1)=0，f(2)=1，f(3)=2，f(4)=3，…；
（2）f(12)=2，f(13)=3，f(14)=4，f(15)=5，…．
利用以上规律计算：f(12008)−f(2008)= ．
3．（2023春·江西宜春·七年级统考期中）对于正数x，规定fx=x1+x，例如：f2=21+2=23，f3=31+3=34，f12=121+12=13，f13=131+13=14……利用以上规律计算：
f12019+f12018+f12017+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+f13+f12 +f1+f2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+f2019的值为： .
4．（2023春·山西临汾·七年级校联考期中）探究规律，完成相关题目．
老师说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”
然后老师写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
(+5)※(+2)=+(|5|+|2|)=+7；
(−3)※(−5)=+(|3|+|5|)=+8；
(−3)※(+4)=−(|3|+|4|)=−7；
(+5)※(−6)=−(|5|+|6|)=−11；
0※(+8)=8；
(−6)※0=6．
小明看了这些算式后说：“我知道老师定义的※（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？
(1)归纳※（加乘）运算的运算法则．
两数进行※（加乘）运算时，运算法则是： ；
特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算运算法则是： ．
(2)计算：
①(−5)※0※(−3)；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）
②(−4)※3※(−10)※(−5)．
5．（2023春·重庆潼南·七年级统考期末）阅读材料，探究规律，完成下列问题．
甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：(+2)∗(+3)=+5；(−1)∗(−9)=+10；(−3)∗(+6)=−9；(+4)∗(−4)=−8；0∗(+1)=1；0∗(−7)=7．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？
(1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子：
(−2)∗(−7)= ；(+4)∗(−3)= ；0∗(−5)= ．
请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则：
两数进行*（加乘）运算时， ．
特别地，0和任何数进行*（加乘）运算， ．
(2)我们知道有理数的加法满足交换律和结合律，这两种运算律在甲同学定义的*（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可）
6．（2023春·北京房山·七年级统考期末）将n个互不相同的整数置于一排，构成一个数组．在这n个数字前任意添加“+”或“-”号，可以得到一个算式．若运算结果可以为0，我们就将这个数组称为“运算平衡”数组．
（1）数组1，2，3，4是否是“运算平衡”数组？若是，请在以下数组中填上相应的符号，并完成运算；
1 2 3 4 =
（2）若数组1，4，6，m是“运算平衡”数组，则m的值可以是多少？
（3）若某“运算平衡”数组中共含有n个整数，则这n个整数需要具备什么样的规律？
【题型4 含n2型规律探究】
1．（2023春·全国·七年级期末）观察下列等式：
（1）13=12
（2）13+23=32
（3）13+23+33=62
（4）13+23+33+43=102
……
根据此规律，第10个等式的右边应该是a2，则a的值是（ ）
A．45B．54C．55D．65
2．（2023·浙江嘉兴·七年级校联考期中）数列：0，2，4，8，12，18，…是我国的大衍数列，也是世界数学史上第一道数列题．该数列中的奇数项可表示为n2−12，偶数项表示为n22．
如：第一个数为12−12=0，第二个数为222=2，…
现在数轴的原点上有一点P，依次以大衍数列中的数为距离向左右来回跳跃．
第1秒时，点P在原点，记为P1；
第2秒时，点P向左跳2个单位，记为P2，此时点P2所表示的数为-2；
第3秒时，点P向右跳4个单位，记为P3，此时点P3所表示的数为2；
…
按此规律跳跃，点P20表示的数为 ．
3．（2023春·广东珠海·八年级校联考期末）观察下列式子：
0×2+1＝12……①
1×3+1＝22……②
2×4+1＝32……③
3×5+1＝42……④
……
（1）第⑤个式子 ，第⑩个式子 ；
（2）请用含n（n为正整数）的式子表示上述的规律，并证明：
（3）求值：（1+11×3）（1+12×4）（1+13×5）（1+14×6）…（1+12016×2018）．
4．（2023春·四川乐山·七年级统考期中）(1)把左右两边计算结果相等的式子用线连接起来：
(2)观察上面计算结果相等的各式之间的关系，可归纳得出：1﹣1n2＝______
(3)利用上述规律计算下式的值：(1-122)×(1-132)×(1-142)×…×(1-1992)×(1-11002)
5．（2023春·河南郑州·七年级郑州外国语中学校考期中）阅读探究：12=1×2×36；12+22=2×3×56；12+22+32=3×4×76；12+22+32+42=4×5×96；…
(1)根据上述规律，求12+22+32+42+52的值；
(2)你能用一个含有n（n为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不计算）；
(3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：112+122+132+142+152．
6．（2023春·北京·七年级北京四中校考期中）阅读材料．
我们知道，1+2+3+…+n=nn+12，那么12+22+32+…+n2结果等于多少呢？
在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22，…；第n行n个圆圈中数的和为n+n+n+…+n，即n2．这样，该三角形数阵中共有nn+12个圆圈，所有圆圈中数的和为12+22+32+…+n2．
【规律探究】
将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为 ，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3（12+22+32+…+n2）= ，因此，12+22+32+…+n2= ．
【解决问题】
根据以上发现，计算：12+22+32+⋯1021+2+3+⋯+10的结果为 ．
【题型5 定义两个数的运算】
1．（2023春·天津·七年级校考期末）现定义运算“*”，对于任意有理数a，b满足a*b＝2a−b,a≥ba−2b,aA．4B．11C．4或11D．1或11
2．（2023春·重庆万州·七年级统考期末）定义一种新运算“⊗”，规定：a⊗b=2a−3b等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：2⊗(−3)=2×2−3×(−3)=4+9=13，1⊗2=2×1−3×2=2−6=−4．则−1⊗3⊗−2的值是（ ）．
A．−2B．−18C．−28D．−38
3．（2023春·浙江台州·七年级校考期中）定义：对于任意的有理数a，ba≠b，a⊕b=12(|a−b|+a+b)
(1)探究性质：
①例：3⊕2=_________；2⊕3=_________；−3⊕2=_________；−3⊕−2=________；
②可以再举几个例子试试，你有什么发现吗？请用含a，b的式子表示出a⊕b的一般规律；
(2)性质应用：
①运用发现的规律求【−92.5⊕16.33】⊕【−33.8⊕−4】的值；
②将−11，−10，−9，−8……，7，8这20个连续的整数，任意分为10组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，求出a⊕b，10组数代入后可求得10个a⊕b的值，则这10个值的和的最小值是 ．
4．（2023春·江西景德镇·七年级统考期中）材料一：对任意有理数a，b定义运算“⊗”，a⊗b=a+b−20232，如：1⊗2=1+2−20232，1⊗2⊗3=1+2−20232+3−20232=−2017．
材料二：规定a表示不超过a的最大整数，如3.1=3，−2=−2，−1.3=−2．
(1)2⊗6 =______，−ππ=______；
(2)求1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023的值：
(3)若有理数m，n满足m=2n=3n+1，请直接写出m⊗m+n的结果．
5．（2023春·江苏淮安·七年级洪泽外国语中学校考期中）定义新运算“⊙”：对于有理数a，b，都有a⊙b=ab+b．例如：1⊙2=1×2+2=4．
(1)计算(−5)⊙(−1)的结果是______．
(2)有理数m，n满足(m+2)2+n−3∣=0，求(m⊙n)⊙(−1)的值．
6．（2023春·湖南邵阳·七年级校联考期中）定义一种运算符号“★”：a★b=a2−ab，如：−2★3=−22−−2×3=10，那么−3★−2★13的结果是 ．
【题型6 定义多个数的运算】
1．（2023春·陕西西安·七年级校考期中）对一组数(x , y)的一次操作变换记为P1(x , y)，定义其变换法则如下：P1(x , y)=(x+y , x−y)；且规定P0(x , y)=P1(Pn−1(x , y))（n为大于1的整数），如P1(1 , 2)=(3 , −1),P2(1 , 2)=P1(P1(1 , 2))=P1(3 , −1)=(2 , 4)，P3(1 , 2)=P1(p2(1 , 2))=P1(2 , 4)=(6 , −2)，则P2011(1 , −1)=（ ）
A．(0 , 21005)B．(0 , −21005)C．(0 , −21006)D．(0 , 21006)
2．（2023春·全国·七年级期中）对于正整数n，定义Fn=n2,n<10fn,n≥10，其中fn表示n的首位数字、末位数字的平方和．例如：F6=62=36，F123=12+32=10．规定F1n=Fn，Fk+1n=FFn（k为正整数），例如，F1123=F123=10，F2123=FF1123=F10=1．按此定义，则由F14= ，F20194= ．
3．（2023春·山东东营·八年级统考期中）对于正数x规定f(x)=11+x，例如：f(3)=11+3=14，f(15)=11+15=56，，则f (2019)＋f (2018)＋……＋f (2)＋f (1)＋f(12)+f(13)+⋯+f(12018)+f(12019)＝ ．
4．（2023春·甘肃兰州·七年级兰州十一中校考期中）【概念学习】
定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．
比如2÷2÷2，−3÷−3÷−3÷−3等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”写作−3④，读作“−3的圈4次方”
一般地，把a÷a÷a÷⋯÷an个aa≠0记作：an，读作“a的圈n次方”别地，规定：a①=a．
【初步探究】a的圈n次方
(1)直接写出计算结果：2022②=______，−20232022③=______；
(2)若n为任意正整数，下列关于除方说法中，正确的有_____；（横线上填写序号）
A．任意非零数的圈2次方都等于1
B．任意非零数的圈3次方都等于它的倒数
C．圈n次方等于它本身的数是1或−1
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
E．互为相反数的两个数的圈n次方互为相反数
F．互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
(3)请把有理数aa≠0的圈nn≥3次方写成幂的形式：an=________；
(4)比较：−9⑤______−3⑦；（填“>”或“=”）
(5)计算：−142÷−12④×−7⑥−−48÷−17④+−1
5．（2023春·江苏·七年级期末）数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，若规定m=||c−a|−|c−b||，n=|c−a|+|c−b|
（1）当a=−3，b=4，c=2时，则m=______，n=______．
（2）当a=−3，b=4，m=3，n=7时，则c=______．
（3）当a=−3，b=4，且n=2m，求c的值．
（4）若点A、B、C为数轴上任意三点，p=|a−b|，化简：|m−p|−|p−n|+2|m−n|
6．（2023春·福建厦门·七年级大同中学校考期中）利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图条，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，将第一行数字从左到右一次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20，（规定20=1）如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为0×23+1×22+0×21+1×20=5，表示该生为5班的学生．
(1)图3中所来示学生所在班级序号是_____________．
(2)我校两校区七年级共有18个班，班级编号从1至18，问是否能用该系统全部识别？若能，请说明原因，并在图4的第一行表示出班级编号为18的班级．若不能，请你运用数字“1”、“2”，结合“+”、“−”、“×”、“÷”或乘方运算（每个数字和符号使用次数不限）对该系统规则进行改编，并求出改编后的新系统规则可表示的班级编号范围．
专题1.11 有理数中规律和新定义综合应用的六大题型
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共36题，共六大题型，每个题型6题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对有理数中规律和新定义综合应用的六大题型的理解！
【题型1 数列型规律探究】
1．（2023春·山东济宁·六年级统考期末）如图，将大小相同的小圆规律摆放：第1个图形有5个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有11个小圆，…依此规律，第n个图形的小圆个数是（ ）
A．3n−2个B．3n+2个C．5n+1个D．5n−1个
【答案】B
【分析】观察图形的变化先计算出前几个图形的小圆的个数，进而可得第n个图形的小圆个数．
【详解】解：观察图形的变化可知：第1个图形有5个小圆，即5=2×1+3，
第2个图形有8个小圆，即8=2×2+3+1，
第3个图形有11个小圆，即11=2×3+3+2，
⋯
依此规律，第n个图形的小圆个数是：2n+3+n−1=3n+2 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了图形的变化规律，解题的关键是先计算出前几个图形的小圆的个数，找到规律．
2．（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（ ）
A．253B．255C．257D．259
【答案】C
【分析】从特殊出发，归纳得到一般规律即可完成．
【详解】解：根据题意，1小时后分裂成4个并死去1个，剩3个，3＝2+1；
2小时后分裂成6个并死去1个，剩5个，5＝22+1；
3小时后分裂成10个并死去一个，剩9个，9＝23+1；
……
n个小时后细胞存活的个数是2n+1，
当n＝8时，存活个数是28+1＝257．
故选：C．
【点睛】本题考查了乘方的应用，根据前几个的情况得出一般规律是解决问题的关键．
3．（2023春·河北保定·七年级统考期末）如图所示：下列各三角形中的三个数均有相同的规律，由此规律最后一个三角形中，y的值是（ ）
A．380B．382C．384D．386
【答案】B
【分析】根据已知图形得出下面的数字是左边数字与左边数加1的乘积与2的和，据此可得答案．
【详解】解：由4＝1×2+2，
8＝2×3+2，
14＝3×4+2，
22＝4×5+2，
得到规律：下面的数字是左边数字与左边数加1的乘积与2的和，
y＝19×20+2＝382，
故选：B．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出右边数字是左边数字与1的和，下面数字是上面两个数字乘积与2的和．
4．（2023春·全国·七年级期末）如图，在数轴上，点A表示数1,现将点A沿数轴作如下移动，第一次将点A向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，…，按照这种移动规律进行下去，第2021次移动到点A2021，那么点A2021所表示的数为（ ）
A．−3029B．−3032C．−3035D．−3038
【答案】B
【分析】从A的序号为奇数的情形中，寻找解题规律求解即可.
【详解】∵A表示的数为1，
∴A1=1+（-3）×1=-2，
∴A2=-2+（-3）×（-2）=4，
∴A3=4+（-3）×3=-5= -2+（-3），
∴A4=-5+（-3）×（-4）=7，
∴A5=7+（-3）×（-5）=-8= -2+（-3）×2，
∴A2021= −2+2021−12×(−3)=−3032，
故选B.
【点睛】本题考查了数轴上动点运动规律，抓住序号为奇数时数的表示规律是解题的关键.
5．（2023春·江西上饶·七年级校考期中）把所有正整数从小到大排列，并按如下规律分组：
（1），(2， 3， 4)，(5，6，7，8，9)，(10， 11，12， 13， 14， 15， 16)，…，现用等式 AM=(i，j)表示正整数 M 是第i 组第 j 个数(从左往右数)，如A8=(3，4)，则A2020=( )
A．(44，81)B．(44，82)C．(45，83)D．(45，84)
【答案】D
【分析】根据排列规律，先判断2020在第几组，再判断是这一组的第几个数即可求解；
【详解】设2020在第n组，组与组之间的数字个数规律可以表示为：2n-1
则1+3+5+7+⋅⋅⋅+(2n-1)=12×2n×n=n2，
当n=44时，n2=1936 ，
当n=45时，n2=2025，
∴ 2020在第45组，且2020-1936=84，即2020为第45组的第84个数；
故选：D．
【点睛】本题考查数字类的规律探究、有理数的加法运算，善用联想探究数字规律是解决此类问题的常用方法；
6．（2023春·湖南永州·九年级校考期中）观察下列算式发现规律：71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，……，则72020的个位数字是 ．
【答案】1
【分析】根据7的指数从1到5，末位数字从7，9，3，1，7进行循环，再用2020除以4得出余数，再写出72020个位数字．
【详解】解：∵71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，上述的几个式子，易知1次方为末位数字是7，2次方末位数字是为9，3次方末位数字是为3，4次方末位数字是为1，5次方末位数字是为7，
∴个位数字的变化是以7，9，3，1为周期，即周期为4，
∵2020÷4=505，
∴72020的个位数字为1，
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了尾数特征，观察出结果个位数字的特点是解本题的关键．
【题型2 裂差型规律探究】
1．（2023春·浙江杭州·七年级期末）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的矩形，接着把其中一个面积为12的矩形等分成两个面积为14的矩形，再把其中一个面积为14的矩形等分成两个面积为18的矩形，如此进行下去，试利用图形所揭示的规律计算：1+12+14+18+116+132+164+1128+1256= ．
【答案】511256
【分析】根据题意及图形可得12=1-12，12+14=1-14，12+14+18=1-18，….依此规律可进行求解．
【详解】解：由图及题意可得：
12=1-12，12+14=1-14，12+14+18=1-18，…；
依此规律可得：1+12+14+18+116+132+164+1128+1256= 511256；
故答案为：511256．
【点睛】本题主要考查有理数的加减，关键是根据题意及图形得到规律，然后进行求解即可．
2．（2023春·福建泉州·七年级福建省惠安第一中学校联考期中）观察下列等式：
第1个等式：a1=11×3=12×1−13；第2个等式：a2=13×5=12×13−15；
第3个等式：a3=15×7=12×15−17；第4个等式：a4=17×9=12×17−19；
…
请回答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a5=_________=_________；
（2）用含n的代数式表示第n个等式：an=_________=_________(n为正整数)；
（3）求a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a2018的值．
（4）求15×10+110×15+115×20+120×25+……+12015×2020的值
【答案】（1）19×11=12×19−111；（2）12n−12n+1=1212n−1−12n+1；（3）20184037；（4）40310100
【分析】（1）根据前面4个等式找到规律即可得出第5个等式；
（2）由题意可知：分子为1，分母是两个连续奇数的乘积，可以拆成分子是1，分母是以这两个奇数为分母差的一半，由此得出答案即可；
（3）依照上述规律，相加后，采用拆项相消法即可得出结果；
（4）模仿上述规律，相加后，采用拆项相消法即可得出结果．
【详解】解：(1)19×11=12×(19−111)；
(2)1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)；
(3)a1+a2+a3+a4+…+a2018，
=12×(1−13+13−15+⋯+14035−14037)，
=12×(1−14037)，
=20184037；
(4)15×10+110×15+115×20+120×25+……+12015×2020，
=15×(15−110+110−115+115−120+120−125+⋯+12015−12020)，
=15×(15−12020)，
=15×4032020，
=40310100．
【点睛】本题考查的是有理数运算中的规律探究，掌握“从具体到一般的探究方法，并运用运算规律解决问题”是解题的关键．
3．（2023春·北京·七年级景山学校校考期中）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6＋7|＝6＋7；|7－6|＝7－6；|6－7|＝－6＋7；|－6－7|＝6＋7
（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：
①|7＋2|＝ ；
②|－12＋15|＝ ；
（2）用简单的方法计算：|13－12|＋|14－13|＋|15－14|＋……＋|12021－12020|．
【答案】（1）①7+2；②12−15；（2）20194042
【分析】（1）①②根据正数的绝对值等于本身，负数的绝对值是其相反数可得答案；
（2）根据绝对值的性质化简，再相互抵消可得答案．
【详解】解：（1）①∵7+2>0 ，
∴|7＋2|＝7+2；
②∵−12+15<0 ，
∴|－12＋15|＝12−15；
（2）原式＝12−13+13−14+14−15+...+12020−12021 ，
=12−12021 ，
＝20194042．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练地掌握运算法则和绝对值的性质是解题关键．
4．（2023春·河北保定·七年级校联考期中）观察下列各式：
−1×12=−1+12
−12×13=−12+13
−13×14=−13+14
……
(1)按照上述规律，第4个等式是：________________________________
(2)第n个等式是：________________________
(3)运用你发现的规律计算：−15×16+−16×17
(4)−1×12+−12×13+−13×14+⋯+−12021×12022=________
【答案】(1)−14×15=−14+15
(2)−1n⋅1n+1=−1n+1n+1
(3)−235
(4)−20212022
【分析】（1）按照上面计算方法计算即可得出答案；
（2）根据题目规律可发现，−1n⋅1n+1=−1n+1n+1；
（3）按（2）的公式运算即可得出答案；
（4）由规律式子变形，中间部分互相抵消，只剩首项和尾项，即可算出答案．
【详解】（1）−14×15=−14+15；
（2）−1n⋅1n+1=−1n+1n+1；
（3）−15×16+−16×17=−15+16−16+17=−15+17=−235；
（4）原式=−1+12−12+13−···−12021+12022=−20212022．
【点睛】本题考查找规律，抽象概括出规律并能计算是解题的关键．
5．（2023春·河南新乡·七年级校考期中）（1）12×23=________
12×23×34=________
12×23×34×45=________
猜想：12×23×34×45×⋯⋯×nn+1=________
（2）根据上面的规律，解答下列问题：
①计算：1100−1×199−1×198−1×⋯⋯×13−1×12−1
②将2020减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14……，依次类推，最后减去余下的12020，则剩余的结果是多少?
【答案】（1）13；14；15；1n+1；（2）①−1100，②1
【分析】（1）约分计算即可求解；
（2）①先算括号里面的减法，再约分计算即可求解；②根据题意列出算式2020×(1−12)×(1−13)×…×(1−12020)，再先算括号里面的减法，再约分计算即可求解．
【详解】解：（1）12×23=13，
12×23×34=14，
12×23×34×45=15
12×23×34×45×⋯⋯×nn+1=1n+1，
故答案为：13；14；15；1n+1；
（2）①(1100−1)×(199−1)×(198−1)×…×(14−1)×(13−1)×(12−1)
=−99100×9899×9798×…×34×23×12
=−1100；
②依题意有：
2020×(1−12)×(1−13)×…×(1−12020)
=2020×12×23×…×20192020
=1．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，第（2）问根据题意列出算式是解本题的关键．
6．（2023春·浙江金华·七年级统考期中）我们知道：1−12=21×2−11×2=11×2；12−13=32×3−22×3=12×3；13−14=43×4−33×4=13×4；…，反过来，可得：11×2=1−12；12×3=12−13；13×4=13−14；…，各式相加，可得：11×2+12×3+13×4=1−12+12−13+13−14=1−14=34．
根据上面的规律，解答下列问题：
(1)11×2+12×3+13×4+14×5+15×6+16×7=___________；
(2)计算：11×5+15×9+19×13+⋅⋅⋅+197×101；
(3)计算：11×4×7+14×7×10+17×10×13+⋅⋅⋅+194×97×100．
【答案】(1)67
(2)25101
(3)1012425
【分析】（1）根据规律，裂项相减即可求解；
（2）每项提出14，然后根据规律，裂项相减即可求解；
（3）每项提出16，然后根据规律，裂项相减即可求解．
【详解】（1）解：11×2+12×3+13×4+14×5+15×6+16×7
=1−12+12−13+14−14+15−15+16−16+17−17
=1−17
=67
（2）解：原式=14×1−15+15−19+19−113+⋅⋅⋅+197−1101
=14×1−1101
=14×100101=25101．
（3）解：原式=16×11×4−14×7+14×7−17×10+17×10−110×13+⋅⋅⋅+194×97−197×100
=16×14−19700=1012425．
【点睛】本题考查了有理数的加减运算，有理数的乘法运算，根据题意，找到规律是解题的关键．
【题型3 新定义型规律探究】
1．（2023春·四川成都·七年级校考期中）已知：C32=3×21×2=3，C53=5×4×31×2×3=10，C64=6×5×4×31×2×3×4=15，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算C118= ．
【答案】165
【分析】对于Cab(b【详解】解：∵C 32=3×21×2=3，C 53=5×4×31×2×3=10，C 64=6×5×4×31×2×3×4=15，…，
∴C118=11×10×9×8×7×6×5×41×2×3×4×5×6×7×8=165，
故答案为：165．
【点睛】此题考查了数字的变化规律，利用已知得出分子与分母之间的规律是解题关键．
2．（2023春·全国·七年级期末）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）f(1)=0，f(2)=1，f(3)=2，f(4)=3，…；
（2）f(12)=2，f(13)=3，f(14)=4，f(15)=5，…．
利用以上规律计算：f(12008)−f(2008)= ．
【答案】1
【分析】直接利用运算公式化简，即可得出答案．
【详解】解：f(12008)−f(2008)
=2008-2007
=1，
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，数字变化规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
3．（2023春·江西宜春·七年级统考期中）对于正数x，规定fx=x1+x，例如：f2=21+2=23，f3=31+3=34，f12=121+12=13，f13=131+13=14……利用以上规律计算：
f12019+f12018+f12017+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+f13+f12 +f1+f2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+f2019的值为： .
【答案】201812
【分析】按照定义式f(x)=x1+x，发现规律，首尾两两组合相加，剩下中间的12，最后再求和即可．
【详解】f(12019)+f(12018)+f(12017)+……+f(13)+f(12)+f(1)+f(2)+……+f(2019)
=12020+12019+12018+…+14+13+12+23+…+20172018+20182019+20192020
=(12020+20192020)+(12019+20182019)+(12018+20172018)+…+(14+34)+(13+23)+12
=2018+12
=201812
故答案为：201812
【点睛】本题考查了定义新运算在有理数的混合运算中的应用，读懂定义，发现规律，是解题的关键．
4．（2023春·山西临汾·七年级校联考期中）探究规律，完成相关题目．
老师说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”
然后老师写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
(+5)※(+2)=+(|5|+|2|)=+7；
(−3)※(−5)=+(|3|+|5|)=+8；
(−3)※(+4)=−(|3|+|4|)=−7；
(+5)※(−6)=−(|5|+|6|)=−11；
0※(+8)=8；
(−6)※0=6．
小明看了这些算式后说：“我知道老师定义的※（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？
(1)归纳※（加乘）运算的运算法则．
两数进行※（加乘）运算时，运算法则是： ；
特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算运算法则是： ．
(2)计算：
①(−5)※0※(−3)；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）
②(−4)※3※(−10)※(−5)．
【答案】(1)两数进行※（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加；0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）都等于这个数的绝对值
(2)①−8；②−22
【分析】（1）归纳总结得到加乘法则，写出即可；
（2）各式利用得出的法则计算即可求出值．
【详解】（1）两数进行※（加乘）运算时，运算法则是：两数进行※（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加；
特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算运算法则是：0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）都等于这个数的绝对值；
（2）①根据题中的新定义得：
(−5)※0※(−3)
=(−5)※3
=−(5+3)
=−8；
②根据题中的新定义得：
(−4)※3※(−10)※(−5)
=−7※15
=−(7+15)
=−22．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
5．（2023春·重庆潼南·七年级统考期末）阅读材料，探究规律，完成下列问题．
甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：(+2)∗(+3)=+5；(−1)∗(−9)=+10；(−3)∗(+6)=−9；(+4)∗(−4)=−8；0∗(+1)=1；0∗(−7)=7．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？
(1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子：
(−2)∗(−7)= ；(+4)∗(−3)= ；0∗(−5)= ．
请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则：
两数进行*（加乘）运算时， ．
特别地，0和任何数进行*（加乘）运算， ．
(2)我们知道有理数的加法满足交换律和结合律，这两种运算律在甲同学定义的*（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可）
【答案】(1) +9 −7 5 同号得正，异号得负，并把绝对值相加 等于这个数的绝对值
(2)加乘运算满足交换律，不满足结合律，举例见解析.
【分析】（1）根据题干提供的运算特例的运算特点分别进行计算，再归纳可得：加乘运算的运算法则；
（2）对于加乘运算的交换律， 可举例(−3)∗(−5), (−5)∗(−3),进行运算后再判断，对于加乘运算的结合律，可举例[0∗(−3)]∗(−5), 0∗[(−3)∗(−5)], 进行运算后再判断即可.
【详解】（1）解：根据加乘运算的运算法则可得：
(−2)∗(−7)=+9；(+4)∗(−3)=−7；0∗(−5)=5．
归纳可得：
两数进行*（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加．
特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，等于这个数的绝对值．
（2）解：加法的交换律仍然适用，
例如：(−3)∗(−5)=8, (−5)∗(−3)=8,
所以(−3)∗(−5)=(−5)∗(−3),
故加法的交换律仍然适用．
加法的结合律不适用，
例如：[0∗(−3)]∗(−5)=3∗(−5)=−8,
0∗[(−3)∗(−5)]=0∗(+8)=8,
所以[0∗(−3)]∗(−5)≠0∗[(−3)∗(−5)],
故加法的结合律不适用．
【点睛】本题考查的是新定义运算，同时考查的是有理数的加法运算，绝对值的含义，理解新定义，归纳总结运算法则是解本题的关键.
6．（2023春·北京房山·七年级统考期末）将n个互不相同的整数置于一排，构成一个数组．在这n个数字前任意添加“+”或“-”号，可以得到一个算式．若运算结果可以为0，我们就将这个数组称为“运算平衡”数组．
（1）数组1，2，3，4是否是“运算平衡”数组？若是，请在以下数组中填上相应的符号，并完成运算；
1 2 3 4 =
（2）若数组1，4，6，m是“运算平衡”数组，则m的值可以是多少？
（3）若某“运算平衡”数组中共含有n个整数，则这n个整数需要具备什么样的规律？
【答案】（1）是，+1-2-3+4=0；（2）m=±1，±3，±9，±11；（3）这n个整数互不相同，在这n个数字前任意添加“+”或“-”号后运算结果为0．
【分析】（1）根据“运算平衡”数组的定义即可求解；
（2）根据“运算平衡”数组的定义得到关于m的方程，解方程即可；
（3）根据“运算平衡”数组的定义可以得到n个数的规律．
【详解】解：（1）数组1，2，3，4是“运算平衡”数组，+1-2-3+4=0；
（2）要使数组1，4，6，m是“运算平衡”数组，有以下情况：
1+4+6+m=0；-1+4+6+m=0；1-4+6+m=0；1+4-6+m=0；1+4+6-m=0；-1-4+6+m=0；-1+4-6+m=0；-1+4+6-m=0；1-4-6+m=0；1-4+6-m=0；1+4-6-m=0；-1-4-6+m=0；-1-4+6-m=0，-1+4-6-m=0，1-4-6-m=0；-1-4-6-m=0；共16中情况，
经计算得m=±1，±3，±9，±11；
（3）这n个整数互不相同，在这n个数字前任意添加“+”或“-”号后运算结果为0．
【点睛】本题考查了新定义问题，理解“运算平衡”数组的定义是解题关键．
【题型4 含n2型规律探究】
1．（2023春·全国·七年级期末）观察下列等式：
（1）13=12
（2）13+23=32
（3）13+23+33=62
（4）13+23+33+43=102
……
根据此规律，第10个等式的右边应该是a2，则a的值是（ ）
A．45B．54C．55D．65
【答案】C
【分析】根据所给的算式，探索其底数之间的关系，根据规律解答即可.
【详解】其底数之间的关系为：
（1）1=1
（2）1+2=3
（3）1+2+3=6
（4）1+2+3+4=10
……
（10）1+2+3+…+10=55
故选：C
【点睛】本题考查的是探索数字之间的规律，关键是要善于观察，抓住其底数之间的关系.
2．（2023·浙江嘉兴·七年级校联考期中）数列：0，2，4，8，12，18，…是我国的大衍数列，也是世界数学史上第一道数列题．该数列中的奇数项可表示为n2−12，偶数项表示为n22．
如：第一个数为12−12=0，第二个数为222=2，…
现在数轴的原点上有一点P，依次以大衍数列中的数为距离向左右来回跳跃．
第1秒时，点P在原点，记为P1；
第2秒时，点P向左跳2个单位，记为P2，此时点P2所表示的数为-2；
第3秒时，点P向右跳4个单位，记为P3，此时点P3所表示的数为2；
…
按此规律跳跃，点P20表示的数为 ．
【答案】-110
【分析】通过总结规律和数轴上表示即可求解.
【详解】第1秒时，点P在原点，记为P1；
第2秒时，点P向左跳2个单位，记为P2，此时点P2所表示的数为-2；
第3秒时，点P向右跳4个单位，记为P3，此时点P3所表示的数为2；
第4秒时，点P向左跳8个单位，记为P4，此时点P3所表示的数为-6；
第5秒时，点P向右跳12个单位，记为P5，此时点P4所表示的数为6；
第6秒时，点P向左跳18个单位，记为P6，此时点P5所表示的数为-12；
第7秒时，点P向右跳24个单位，记为P7，此时点P6所表示的数为12；
通过规律得出以0为轴左右两边的绝对值相等，符号相反，只要求出一边即可得出结论，通过秒数为奇数 1对应0，3对应2，5对应6，7对应12，以此推类得出奇数所对应的数值为n2−12，将P21代入得110，所以P20为-110.
答案为-110.
【点睛】本题主要考查了规律和数轴，正确找出规律是关键.
3．（2023春·广东珠海·八年级校联考期末）观察下列式子：
0×2+1＝12……①
1×3+1＝22……②
2×4+1＝32……③
3×5+1＝42……④
……
（1）第⑤个式子 ，第⑩个式子 ；
（2）请用含n（n为正整数）的式子表示上述的规律，并证明：
（3）求值：（1+11×3）（1+12×4）（1+13×5）（1+14×6）…（1+12016×2018）．
【答案】（1）4×6+1＝52，9×11+1＝102；（2）（n﹣1）（n+1）+1＝n2；（3）20171009.
【分析】(1)观察发现一个正整数乘以比这个正整数大2的数再加1就等于这个正整数加1的平方；
（2）根据（1）中发现的规律解答即可；
（3）先通分，然后根据（2）中结论解答即可.
【详解】解：（1）第⑤个式子为4×6+1＝52，第⑩个式子9×11+1＝102，
故答案为4×6+1＝52，9×11+1＝102；
（2）第n个式子为（n﹣1）（n+1）+1＝n2，
证明：左边＝n2﹣1+1＝n2，
右边＝n2，
∴左边＝右边，
即（n﹣1）（n+1）+1＝n2．
（3）原式＝1×3+11×3×2×4+12×4×3×5+13×5×…×2016×2018+12016×2018
=221×3×322×4×423×5×524×6×...×201722016×2018
＝2×20172018
＝20171009．
【点睛】本题考查了规律型--数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
4．（2023春·四川乐山·七年级统考期中）(1)把左右两边计算结果相等的式子用线连接起来：
(2)观察上面计算结果相等的各式之间的关系，可归纳得出：1﹣1n2＝______
(3)利用上述规律计算下式的值：(1-122)×(1-132)×(1-142)×…×(1-1992)×(1-11002)
【答案】(1)见解析；(2)(1+1n)(1−1n)；(3)101200.
【分析】（1）根据有理数的乘法和乘方运算分别计算结果可得；
（2）根据以上表格中的计算结果可得；
（3）根据以上规律，将原式裂项、约分即可得．
【详解】(1)把左右两边计算结果相等的式子用线连接起来：
(2)观察上面计算结果相等的各式之间的关系，可归纳得出：1−1n2＝(1+1n)(1−1n)，
故答案为(1+1n)(1−1n)
(3)原式=(1+12)(1-12)×(1+13)(1-13)×(1+14)(1-14)×…×(1+199)(1-199)×(1+1100)×(1-1100)
=12×32×23×43×34×54×…×99100×101100
=12×101100
=101200.
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的乘法和乘方运算法则及数字的变化规律．
5．（2023春·河南郑州·七年级郑州外国语中学校考期中）阅读探究：12=1×2×36；12+22=2×3×56；12+22+32=3×4×76；12+22+32+42=4×5×96；…
(1)根据上述规律，求12+22+32+42+52的值；
(2)你能用一个含有n（n为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不计算）；
(3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：112+122+132+142+152．
【答案】(1)55
(2)12+22+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+n2=nn+12n+16
(3)780
【分析】（1）仿照阅读材料中的方法计算即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）原式利用得出的规律计算即可求出值．
【详解】（1）12+22+32+42+52 =5×6×116 =55；
（2）12+22+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+n2=nn+12n+16；
（3）112+122+132+142+152 =12+22+⋅⋅⋅⋅⋅⋅152−12+⋅⋅⋅⋅⋅⋅102 =1240−460 =780．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算及算式规律，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．（2023春·北京·七年级北京四中校考期中）阅读材料．
我们知道，1+2+3+…+n=nn+12，那么12+22+32+…+n2结果等于多少呢？
在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22，…；第n行n个圆圈中数的和为n+n+n+…+n，即n2．这样，该三角形数阵中共有nn+12个圆圈，所有圆圈中数的和为12+22+32+…+n2．
【规律探究】
将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为 ，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3（12+22+32+…+n2）= ，因此，12+22+32+…+n2= ．
【解决问题】
根据以上发现，计算：12+22+32+⋯1021+2+3+⋯+10的结果为 ．
【答案】2n+1，nn+12n+12，nn+12n+16；7.
【分析】根据图1和图2，归纳总结得到一般性规律，利用此规律确定出所求即可．
【详解】解：【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均2n+1；由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3（12+22+32+…+n2）=nn+12n+12；因此，12+22+32+…+n2=nn+12n+16；
【解决问题】根据以上发现，计算：：12+22+32+⋯1021+2+3+⋯+10的结果为7．
故答案为2n+1；nn+12n+12；nn+12n+16.
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，以及规律型：数字的变化类，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【题型5 定义两个数的运算】
1．（2023春·天津·七年级校考期末）现定义运算“*”，对于任意有理数a，b满足a*b＝2a−b,a≥ba−2b,aA．4B．11C．4或11D．1或11
【答案】A
【分析】对x的取值分为两种情况，当x≥3和x＜3分类求解，得出符合题意得答案即可.
【详解】当x≥3，则x*3＝2x﹣3＝5，x＝4；
当x＜3，则x*3＝x﹣2×3＝5，x＝11，但11＞3，这与x＜3矛盾，所以此种情况舍去．
∴若x*3＝5，则有理数x的值为4，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解题目中运算规则是解题的关键．
2．（2023春·重庆万州·七年级统考期末）定义一种新运算“⊗”，规定：a⊗b=2a−3b等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：2⊗(−3)=2×2−3×(−3)=4+9=13，1⊗2=2×1−3×2=2−6=−4．则−1⊗3⊗−2的值是（ ）．
A．−2B．−18C．−28D．−38
【答案】D
【分析】根据新运算的运算法则，先计算3⊗−2，再计算−1⊗3⊗−2即可得解．
【详解】解：由题意，得：3⊗−2=2×3−3×−2=12，
∴−1⊗3⊗−2=−1⊗12=2×−1−3×12=−38；
故选D．
【点睛】本题考查定义新运算．理解并掌握新运算的运算法则，是解题的关键．
3．（2023春·浙江台州·七年级校考期中）定义：对于任意的有理数a，ba≠b，a⊕b=12(|a−b|+a+b)
(1)探究性质：
①例：3⊕2=_________；2⊕3=_________；−3⊕2=_________；−3⊕−2=________；
②可以再举几个例子试试，你有什么发现吗？请用含a，b的式子表示出a⊕b的一般规律；
(2)性质应用：
①运用发现的规律求【−92.5⊕16.33】⊕【−33.8⊕−4】的值；
②将−11，−10，−9，−8……，7，8这20个连续的整数，任意分为10组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，求出a⊕b，10组数代入后可求得10个a⊕b的值，则这10个值的和的最小值是 ．
【答案】(1)①3，3，2，−2；②见解析，一般规律为a⊕b=a,a>bb,b>a
(2)①16.33；②−10
【分析】（1）①根据定义a⊕b=12(|a−b|+a+b),a≠b即可求解；②举例3⊕−2,−2⊕−3，通过与以上几个比较，可以发现该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值；
（2）①直接利用规律进行求解；②不妨设a>b，则代数式中绝对值符号可直接去掉，代数式等于a，由此即可解决问题．
【详解】（1）解：①∵a⊕b=12(|a−b|+a+b),a≠b，
∴3⊕2=123−2+3+2=3，
2⊕3=122−3+2+3=3，
−3⊕2=12−3−2−3+2=2，
−3⊕−2=12−3+2−3−2=−2，
故答案为：3，3，2，−2；
②例如：3⊕−2=123+2+3−2=3，
−2⊕−3=12−2+3−2−3=−2，
通过以上例子发现，该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值，
用a，b的式子表示出一般规律为a⊕b=a,a>bb,b>a；
（2）解：①【−92.5⊕16.33】⊕【−33.8⊕−4】
=16.33⊕−4
=16.33；
②不妨设a>b，则代数式中绝对值符号可直接去掉，
∴代数式等于a，
a为偶数，b=a−1
最小值=−10+−8+−6+−4+−2+0+2+4+6+8=−10，
故答案为：−10．
【点睛】本题考查了绝对值、有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握新定义，把所给代数式化简，找到新定义的运算规律，利用规律进行求解．
4．（2023春·江西景德镇·七年级统考期中）材料一：对任意有理数a，b定义运算“⊗”，a⊗b=a+b−20232，如：1⊗2=1+2−20232，1⊗2⊗3=1+2−20232+3−20232=−2017．
材料二：规定a表示不超过a的最大整数，如3.1=3，−2=−2，−1.3=−2．
(1)2⊗6 =______，−ππ=______；
(2)求1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023的值：
(3)若有理数m，n满足m=2n=3n+1，请直接写出m⊗m+n的结果．
【答案】(1)−20072，−64
(2)2023
(3)−20532
【分析】（1）根据材料1新定义的运算“⊗”的概念即可求出2⊗6的值，根据材料2中的定义即可求出−ππ的值；
（2）根据新定义函数把1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023变形为加减运算，再根据运算顺序即可求出1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023的值；
（3）根据m=2n=3n+1求出m的值和n的范围，再求出m+n的值，即可得出m⊗m+n的值．
【详解】（1）解：∵a⊗b=a+b−20232，
∴2⊗6=2+6−20232=−20072，
∵−π=−4，π=3，
∴−ππ =−43=−64，
故答案为：−20072，−64；
（2）依题意，1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023
=1+2+3+……+2023+2022×−20232
=1+20232×2023−2022×20232
=2023；
（3）∵n+1=n+1，2n=3n+1，
∴2n=3n+3，
∴n=−3，
∴m=2×−3 =−6，
∴m+n =−6+n=−9，
∴m⊗m+n =−9⊗−6=−9−6−20232=−20532．
【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键．
5．（2023春·江苏淮安·七年级洪泽外国语中学校考期中）定义新运算“⊙”：对于有理数a，b，都有a⊙b=ab+b．例如：1⊙2=1×2+2=4．
(1)计算(−5)⊙(−1)的结果是______．
(2)有理数m，n满足(m+2)2+n−3∣=0，求(m⊙n)⊙(−1)的值．
【答案】(1)4
(2)2
【分析】（1）直接利用新定义进而计算得出答案；
（2）直接利用非负数的性质结合新定义计算得出答案.
【详解】（1）解：原式=(−5)⊙(−1)
=(−5)×(−1)+(−1)
=4；
（2）解：∵(m+2)2+n−3∣=0，
∴m=−2，n=3，
原式=(m⊙n)⊙(−1)
=(−2)⊙3⊙(−1)
=(−2)×3+3⊙(−1)
=(−3)⊙(−1)
=(−3)×(−1)+(−1)
=2.
【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.
6．（2023春·湖南邵阳·七年级校联考期中）定义一种运算符号“★”：a★b=a2−ab，如：−2★3=−22−−2×3=10，那么−3★−2★13的结果是 ．
【答案】8
【分析】根据运算律a★b=a2−ab，先算括号内，再算括号外即可
【详解】解：−3★−2★13
=−32−−3×−2★13
=3★13
=8
故答案为8
【点睛】此题考查了有理数的混合运算、新定义，解决本题的关键是会用新定义解答问题
【题型6 定义多个数的运算】
1．（2023春·陕西西安·七年级校考期中）对一组数(x , y)的一次操作变换记为P1(x , y)，定义其变换法则如下：P1(x , y)=(x+y , x−y)；且规定P0(x , y)=P1(Pn−1(x , y))（n为大于1的整数），如P1(1 , 2)=(3 , −1),P2(1 , 2)=P1(P1(1 , 2))=P1(3 , −1)=(2 , 4)，P3(1 , 2)=P1(p2(1 , 2))=P1(2 , 4)=(6 , −2)，则P2011(1 , −1)=（ ）
A．(0 , 21005)B．(0 , −21005)C．(0 , −21006)D．(0 , 21006)
【答案】D
【详解】试题分析：根据变换的计算法则可得：P1(1，-1)=(0，2)，P2(1，-1)= (2，-2)，P3(1，-1)= (0，4)，P4(1，-1)= (4，-4)，P5(1，-1)= (0，8)，P6(1，-1)= (8，-8)，根据规律我们可以得出P20111 , −1=(0 , 21006).
点睛：本题主要考查的就是新的运算的应用以及规律的发现和推测问题，解决这个问题理解新定义的计算法则和找出答案的规律是解题的关键.在解决这种问题的时候我们一般都是根据所给出的新定义求出前面几个的答案，然后根据答案找出一般性的规律，最后根据一般性的规律得出答案.
2．（2023春·全国·七年级期中）对于正整数n，定义Fn=n2,n<10fn,n≥10，其中fn表示n的首位数字、末位数字的平方和．例如：F6=62=36，F123=12+32=10．规定F1n=Fn，Fk+1n=FFn（k为正整数），例如，F1123=F123=10，F2123=FF1123=F10=1．按此定义，则由F14= ，F20194= ．
【答案】 16 58
【分析】根据题意分别求出F1（4）到F8（4），通过计算发现，F1（4）＝F8（4），只需确定F20194=F34即可求解．
【详解】F1（4）＝16，F2（4）＝F（16）＝12+62=37，
F3（4）＝F（37）＝32+72=58，F4（4）＝F（58）＝52+82=89，
F5（4）＝F（89）＝82+92=145，F6（4）＝F（145）＝12+52=26，
F7（4）＝F（26）＝22+62=40，F8（4）＝F（40）＝42+0=16，…
通过计算发现，F1（4）＝F8（4），
∵2019÷7＝288…3，
∴F2019（4）＝F3（4）＝58；
故答案为16，58．
【点睛】本题考查有理数的乘方；能准确理解定义，多计算一些数字，进而确定循环规律是解题关键．
3．（2023春·山东东营·八年级统考期中）对于正数x规定f(x)=11+x，例如：f(3)=11+3=14，f(15)=11+15=56，，则f (2019)＋f (2018)＋……＋f (2)＋f (1)＋f(12)+f(13)+⋯+f(12018)+f(12019)＝ ．
【答案】201812
【分析】根据所给f(x)=11+x计算每一个值，再把所有的数值相加即可.
【详解】解：f(2019)＋f(2018)＋…＋f(2)＋f(1)＋f(12)+f(13)+⋯+f(12018)+f(12019)
=12020+12019+…13+12+23+34…20182019+20192020
=(12020+20192020)+(12019+20182019)+…+12
=2018×1+12
=201812.
故答案为201812.
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是注意利用f(x)=11+x计算，并能找出f(n)和f(1n)之间的关系.
4．（2023春·甘肃兰州·七年级兰州十一中校考期中）【概念学习】
定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．
比如2÷2÷2，−3÷−3÷−3÷−3等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”写作−3④，读作“−3的圈4次方”
一般地，把a÷a÷a÷⋯÷an个aa≠0记作：an，读作“a的圈n次方”别地，规定：a①=a．
【初步探究】a的圈n次方
(1)直接写出计算结果：2022②=______，−20232022③=______；
(2)若n为任意正整数，下列关于除方说法中，正确的有_____；（横线上填写序号）
A．任意非零数的圈2次方都等于1
B．任意非零数的圈3次方都等于它的倒数
C．圈n次方等于它本身的数是1或−1
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
E．互为相反数的两个数的圈n次方互为相反数
F．互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
(3)请把有理数aa≠0的圈nn≥3次方写成幂的形式：an=________；
(4)比较：−9⑤______−3⑦；（填“>”或“=”）
(5)计算：−142÷−12④×−7⑥−−48÷−17④+−1
【答案】(1)１；−20222023
(2)ABCDF
(3)1an−2
(4)>
(5)−5149
【分析】（1）利用a的圈n次方的意义，进行计算即可．
（2）利用a的圈n次方的意义，进行判断．
（3）利用圈n次方的意义，进行计算即可．
（4）利用（3）的结论，进行计算即可．
（5）先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答．
【详解】（1）2022②= 2022÷2022=1 ；−20232022③= −20232022÷−20232022÷−20232022=−20222023
（2）A、因为a②=a÷a=1a≠0 任意非零数的圈2次方都等于1，符合题意；
B、a③a÷a÷a=1aa≠ , 任意非零数的圈3次方都等于它的倒数,符合题意；
C、圈n次方等于它本身的数是1或−1，符合题意；
D、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，符合题意
E．（−2）②=1 ，2②=1 ，不符合题意
F．互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数2③=12，12③ =2 ，符合题意．
（3）an =a÷a÷a÷a÷⋯÷a=a·1a·1a·1a·⋯·1a=1an−2
（4）−9⑤ =−193=−1729 ，−3⑦ =−135=−1243 ，
∵−1729>−1243
∴ −9⑤>−3⑦．
（5）原式=−1−196÷−22×−174−−48÷−72+−1
=−1−149+4849−1
=−5149 ．
5．（2023春·江苏·七年级期末）数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，若规定m=||c−a|−|c−b||，n=|c−a|+|c−b|
（1）当a=−3，b=4，c=2时，则m=______，n=______．
（2）当a=−3，b=4，m=3，n=7时，则c=______．
（3）当a=−3，b=4，且n=2m，求c的值．
（4）若点A、B、C为数轴上任意三点，p=|a−b|，化简：|m−p|−|p−n|+2|m−n|
【答案】（1）3；7；（2）2或-1；（3）152或94或−132或−54；（4）2c−2b或6b−6c或6c−6a或2a−2c或2c−2a或2b−2c或6a−6c或6c−6b
【分析】（1）根据a,b,c的值计算出c−a=5,c−b=−2，然后代入即可计算出m,n的值；
（2）分c≥4 ，c≤−3， −3（3）同样分c≥4 ，c≤−3， −3（4）分a>b>c,a>c>b,b>a>c,b>c>a,c>a>b,c>b>a 六种情况进行讨论，即可得出答案．
【详解】（1）∵a=−3，b=4，c=2
∴c−a=5,c−b=−2
∴m=5−−2=5−2=3
n=5+−2=5+2=7
（2）∵a=−3，b=4，
若c≥4，则m=c−a−(c−b)=b−a=7
若c≤−3，则m=a−c+(c−b)=a−b=7
若−3∴2c−1=3 或2c−1=−3
∴c=2 或c=−1
（3）若c≥4，则m=c−a−(c−b)=b−a=7，n=c−a+c−b=2c−a−b=2c−1
∵n=2m
∴n=2c−1=14
∴c=152
若c≤−3，则m=a−c+(c−b)=a−b=7，n=a−c+b−c=a+b−2c=−1−2c
∵n=2m
∴n=−2c−1=14
∴c=−132
若−3∵n=2m
∴m=2c−1=72
∴2c−1=72 或2c−1=−72
∴c=94 或c=−54
综上所述，c的值为152或−132或94或−54
（4）①若a>b>c
则p=a−b
m=a−c−(b−c)=a−b
n=a−c+b−c=a+b−2c
∴m−p=0
p−n=a−b−(a+b−2c)=2b−2c
m−n=a−b−(a+b−2c)=2b−2c
∴原式=0−(2b−2c)+2(2b−2c)=2b−2c
②若a>c>b
则p=a−b
m=a−c−(c−b)=a+b−2c
n=a−c+c−b=a−b
当a+b−2c≥0时，m=a+b−2c
∴m−p=a+b−2c−(a−b)=2c−2b
p−n=0
m−n=(a+b−2c)−(a−b)=2c−2b
∴原式=(2c−2b)−0+2(2c−2b)=6c−6b
当a+b−2c<0时，m=−(a+b−2c)
∴m−p=−(a+b−2c)−(a−b)=2a−2c
p−n=0
m−n=−(a+b−2c)−(a−b)=2a−2c
∴原式=(2a−2c)−0+2(2a−2c)=6a−6c
③若b>a>c
则p=b−a
m=a−c−(b−c)=b−a
n=a−c+b−c=a+b−2c
∴m−p=0
p−n=b−a−(a+b−2c)=2a−2c
m−n=b−a−(a+b−2c)=2a−2c
∴原式=0−(2a−2c)+2(2a−2c)=2a−2c
④若b>c>a
则p=b−a
m=c−a−(b−c)=2c−a−b
n=c−a+b−c=b−a
当2c−a−b≥0时，m=2c−a−b
∴m−p=2c−a−b−(b−a)=2b−2c
p−n=0
m−n=(2c−a−b)−(b−a)=2b−2c
∴原式=(2b−2c)−0+2(2b−2c)=6b−6c
当2c−a−b<0时，m=a+b−2c
∴m−p=a+b−2c−(b−a)=2c−2a
p−n=0
m−n=(a+b−2c)−(b−a)=2c−2a
∴原式=(2c−2a)−0+2(2c−2a)=6c−6a
⑤
若c>a>b
则p=a−b
m=c−a−(c−b)=a−b
n=c−a+c−b=2c−a−b
∴m−p=0
p−n=a−b−(2c−a−b)=2c−2a
m−n=a−b−(2c−a−b)=2c−2a
∴原式=0−(2c−2a)+2(2c−2a)=2c−2a
⑥若c>b>a
则p=b−a
m=c−a−(c−b)=b−a
n=c−a+c−b=2c−a−b
∴m−p=0
p−n=b−a−(2c−a−b)=2c−2b
m−n=b−a−(2c−a−b)=2c−2b
∴原式=0−(2c−2b)+2(2c−2b)=2c−2b
【点睛】本题主要考查绝对值与合并同类项，掌握绝对值的性质是解题的关键．
6．（2023春·福建厦门·七年级大同中学校考期中）利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图条，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，将第一行数字从左到右一次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20，（规定20=1）如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为0×23+1×22+0×21+1×20=5，表示该生为5班的学生．
(1)图3中所来示学生所在班级序号是_____________．
(2)我校两校区七年级共有18个班，班级编号从1至18，问是否能用该系统全部识别？若能，请说明原因，并在图4的第一行表示出班级编号为18的班级．若不能，请你运用数字“1”、“2”，结合“+”、“−”、“×”、“÷”或乘方运算（每个数字和符号使用次数不限）对该系统规则进行改编，并求出改编后的新系统规则可表示的班级编号范围．
【答案】(1)9
(2)不能，理由见解析，改编规则见解析，范围为1至31
【分析】（1）根据规定了运算法则进行计算即可求解；
（2）根据有理数的混合运算进行计算，得出最大的班级变号为15，则不能被全部被识别，改编为：改编为：规定，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，加入第二行第一个小正方形，根据有理数的混合运算进行计算可得知新系统规则可表示的班级编号范围．
【详解】（1）解：图3中，第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，则序号为1×23+0×22+0×21+1×20=9，
故答案为：9；
（2）不能，∵1×23+1×22+1×21+1×20=8+4+2+1=15 <18，
∴不能用该系统全部识别；
∵最多只能表示15+1个数字，要表示大于15的数字，则需加一位，
改编为：规定，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，加入第二行第一个小正方形，
规则不变，序号改为：a×24+a×23+b×22+c×21+d×20，
如图2，第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，第二行第1个数字为1，
序号为1×24+0×23+1×22+0×21+1×20=16+5=21，
第一行数字从左到右依次为0，0，1，0，第二行第1个数字为1，
序号为1×24+0×23+0×22+1×21+0×20=16+2=18，
当第一行数字从左到右依次为1，1，1，1，第二行第1个数字为1，
序号最大，为1×24+1×23+1×22+1×21+1×20=16+8+4+2+1=31，
∴改编后的新系统规则可表示的班级编号范围为1至31．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，掌握有理数的运算法则是解题的关键．1﹣122
(1+13)(1−13)
1﹣132
(1+15)(1−15)
1﹣142
(1+14)(1−14)
1﹣152
(1+12)(1−12)
1﹣122
(1+13)(1−13)
1﹣132
(1+15)(1−15)
1﹣142
(1+14)(1−14)
1﹣152
(1+12)(1−12)
1﹣122
(1+12)(1−12)
1﹣132
(1+13)(1−13)
1﹣142
(1+14)(1−14)
1﹣152
(1+15)(1−15)