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初中数学1.2.1 有理数测试题
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这是一份初中数学1.2.1 有理数测试题，文件包含七年级数学上册专题111有理数章末题型过关卷人教版原卷版docx、七年级数学上册专题111有理数章末题型过关卷人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
第1章 有理数章末题型过关卷
【人教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022秋•江油市期末）设a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a+b+c等于（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】由a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，可得，a＝1，b＝﹣1，c＝0，则a+b+c＝1+（﹣1）+0＝0．
【解答】解：依题意得：a＝1，b＝﹣1，c＝0，
∴a+b+c＝1+（﹣1）+0＝0．
故选：B．
2．（3分）（2022秋•垦利区期末）在下列说法：①如果a＞b，则有|a|＞|b|；②若干个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数；③一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数；④若m+n＝0，则m、n互为相反数．其中正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据绝对值、有理数的乘法、相反数解决此题．
【解答】解：①如果a＞b，如1＞﹣2，|1|＝1，|﹣2|＝2，但|1|＜|﹣2|，那么|a|＞|b|不一定成立，故①不正确．
②若干个不为0的有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数，故②不正确．
③根据绝对值的定义，当a≥0，则|a|＝a，即0或正数的绝对值等于本身，故③不正确．
④根据等式的性质，m+n＝0，则m＝﹣n，那么m与n互为相反数，故④正确．
综上：正确的有④，共1个．
故选：D．
3．（3分）（2022秋•石家庄期末）已知三个数a+b+c＝0，则这三个数在数轴上表示的位置不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据a+b+c＝0可判断三个数中一定有一个正数和一个负数，讨论：若第三个数为负数，根据绝对值的意义得到两负数表示的点到原点的距离等于正数到原点的距离；若第三个数为正数，则两正数表示的点到原点的距离等于负数到原点的距离，然后利用此特征对各选项进行判断．
【解答】解：已知a+b+c＝0，
A．由数轴可知，a＞0＞b＞c，当|a|＝|b|+|c|时，满足条件．
B．由数轴可知，a＞b＞0＞c，当|c|＝|a|+|b|时，满足条件．
C．由数轴可知，a＞c＞0＞b，当|b|＝|a|+|c|时，满足条件．
D．由数轴可知，a＞0＞b＞c，且|a|＜|b|+|c|时，所以不可能满足条件．
故选：D．
4．（3分）（2022•下城区校级模拟）如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把1到6这6个数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最大值是（ ）
A．9 B．10 C．12 D．13
【分析】三个顶角分别是4，5，6，4与5之间是3，6和5之间是1，4和6之间是2，这样每边的和才能相等．
【解答】解：三边之和是3s，等于1+2+...6+三个顶点的值．
而三个顶点的值最大是4+5+6，
当三个顶点分别是4，5，6时，
可以构成符合题目的三角形．
所以s最大为（1+2+3+4+5+6+4+5+6）÷3＝12．
故选：C．
5．（3分）（2022秋•渝中区校级期末）一台机器有大、小齿轮用同一传送带连接，若大小齿轮的齿数分别为36和12个，大齿轮每分钟2.5×103转，则小齿轮10小时转（ ）
A．1.5×106转 B．5×105转 C．4.5×106转 D．15×106转
【分析】大、小齿轮用同一传送带连接，则大小齿轮转的距离相等，大齿轮每分钟2.5×103，每小时转60×2.5×103转．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：小齿轮10小时转60×2.5×103×10×（36÷12）＝4.5×106转．
故选：C．
6．（3分）（2022秋•衢州期中）等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若△ABC绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2018次后，点B所对应的数是（ ）
A．2017 B．2016.5 C．2015.5 D．2015
【分析】作出草图，不难发现，每3次翻转为一个循环组依次循环，2018除以3余数为2，根据余数可知点B在数轴上，然后进行计算即可得解．
【解答】解：如图，
由题意可得，
每3次翻转为一个循环组依次循环，
∵2018÷3＝672…2，
∴翻转2018次后点B在数轴上，
∴点B对应的数是2018﹣1＝2017．
故选：A．
7．（3分）（2022•台湾）小嘉全班在操场上围坐成一圈．若以班长为第1人，依顺时针方向算人数，小嘉是第17人；若以班长为第1人，依逆时针方向算人数，小嘉是第21人．求小嘉班上共有多少人（ ）
A．36 B．37 C．38 D．39
【分析】若以班长为第1人，依顺时针方向算人数，小嘉是第17人，此时共有17人；若以班长为第1人，依逆时针方向算人数，小嘉是第21人，此时共有21人，但班长和小嘉两次都数了，所以要减去2．
【解答】解：根据题意小嘉和班长两次都数了，
所以17+21﹣2＝36．
故选：A．
8．（3分）（2022春•通州区期末）数轴上某一个点表示的数为a，比a小2的数用b表示，那么|a|+|b|的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】理解绝对值的定义，如|a﹣2|表示数轴上点a到2的距离；|a|＝|a﹣0|表示a到原点的距离；
【解答】解：∵比a小2的数用b表示，
∴b＝a﹣2，
∴|a|+|b|
＝|a﹣0|+|a﹣2|，
那么|a|+|b|的最小值就是在数轴上找一点a到原点和到2的距离最小，
显然这个点就是在0与2之间，
当a在区间0与2之间时，
|a﹣0|+|a﹣2|＝|2﹣0|＝2为最小值，
∴|a|+|b|的最小值为2，
故选：C．
9．（3分）（2022秋•江都区月考）定义一种关于整数n的“F”运算：
（1）当n是奇数时，结果为3n+5；
（2）当n是偶数时，结果是n2k（其中k是使n2k是奇数的正整数），并且运算重复进行．
例如：取n＝58，第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F运算是74…；若n＝9，则第2017次运算结果是（ ）
A．1 B．2 C．7 D．8
【分析】根据关于整数n的“F”运算：探究规律后即可解决问题；
【解答】解：由题意n＝9时，第一次经F运算是32，第二次经F运算是1，第三次经F运算是8，第四次经F运算是1…
以后出现1、8循环，奇数次是8，偶数次是1，
∴第2017次运算结果8，
故选：D．
10．（3分）（2022秋•安居区期中）若a，b，c均为正数，则a+b﹣c，b+c﹣a，c+a﹣b这三个数中出现负数的情况是（ ）
A．不可能有负数 B．必有一个负数
C．至多有一个负数 D．可能有两个负数
【分析】本题可采用假设法，当a＝1，b＝1，c＝3时有（1+1）﹣3＜0，1+3﹣1＞0，1+3﹣1＞0，这样有一个负数，排除A，当a＝b＝c＝1时，没有负数，故B错误，再假设有两个负数，则设a+b＜c①，b+c＜a②，得出结果矛盾与已知条件，排除D，采用排除法选出答案．
【解答】解：显然当a＝1，b＝1，c＝3时有（1+1）﹣3＜0，1+3﹣1＞0，1+3﹣1＞0，
所以排除A．
当a＝b＝c＝1时，没有负数，故B错误，
对于D，若假设有两个负数，则不防设：
a+b＜c①，b+c＜a②
由①+②可得：b＜0，矛盾于已知条件，
∴假设错误，不可能有两个负数，
同理a+b﹣c，a+c﹣b，b+c﹣a中不可能有3个负数，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2022秋•饶平县校级期末）一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值，判断墨迹盖住的整数个数是 120 ．
【分析】根据实数在数轴上排列的特点判断出墨迹盖住的最左侧的整数和最右侧的整数，即可得到所有的被盖住的整数．
【解答】解：因为墨迹最左端的实数是﹣109.2，最右端的实数是10.5．根据实数在数轴上的排列特点，可得墨迹遮盖部分最左侧的整数是﹣109，最右侧的整数是10．所以遮盖住的整数共有120个．
故答案是：120．
12．（3分）（2022秋•成都期末）已知，|a|＝﹣a，|b|b=−1，|c|＝c，化简|a+b|﹣|a﹣c|﹣|b﹣c|＝ ﹣2c ．
【分析】根据题意，利用绝对值的代数意义判断出a，b，c的正负，原式利用绝对值的代数意义化简即可得到结果．
【解答】解：∵|a|＝﹣a，|b|b=−1，|c|＝c，
∴a为非正数，b为负数，c为非负数，
∴a+b＜0，a﹣c≤0，b﹣c＜0，
则原式＝﹣a﹣b+a﹣c+b﹣c＝﹣2c，
故答案为：﹣2c
13．（3分）（2022春•嘉兴月考）在长为20米、宽为15米的长方形地面上修筑一条宽度为2米的道路（图中阴影部分），余下部分作为耕地，则耕地面积为 234 平方米．
【分析】利用平移的知识，将图中阴影部分转化为宽2，长（20+15﹣2）的长方形．
【解答】解：根据题意可得，耕地面积为20×15﹣2×（20+15﹣2）＝234平方米．
答：耕地面积为234平方米．
14．（3分）（2022秋•天桥区期末）将数轴上一点P先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，此时它表示的数是4，则原来点P表示的数是 6 ．
【分析】设开始点P表示的数为x，由于在数轴上的点向左移时点表示的数要减小，向右移动时，点表示的数要增大，于是得到x+3﹣5＝4，然后解一次方程即可．
【解答】解：设点P原来表示的数为x，
根据题意，得：x+3﹣5＝4，
解得：x＝6，
即原来点P表示的数是6，
故答案为：6．
15．（3分）（2022秋•梁平区期末）某公交车原坐有22人，经过4个站点时上下车情况如下（上车为正，下车为负）：（+4，﹣8），（﹣5，+6），（﹣3，+2），（+1，﹣7），则车上还有 12 人．
【分析】根据有理数的加法，可得答案．
【解答】解：由题意，得
22+4+（﹣8）+6+（﹣5）+2+（﹣3）+1+（﹣7）＝12（人），
故答案为：12
16．（3分）（2022秋•普陀区校级月考）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数a，我们把小于a的正的因数叫做a的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把一个自然数a的所有真因数的和除以a，所得的商叫做a的“完美指标”．如10的“完美指标”是（1+2+5）÷10=45．一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．如8的“完美指标”是（1+2+4）÷8=78，10的“完美指标”是45，因为78比45更接近1，所以我们说8比10更完美．那么比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数是 16 ．
【分析】根据“完美指标”的意义知道，自然数的真因数越多，此数越完美；因为在11﹣19的数中，11、13、17、19是质数，真因数只有1，所以先排除这4个数，再分别找出12、14、15、16、18的正因数，再分别找出它们的真因数，最后再由“完美指标”的意义，分别求出“完美指标”．
【解答】解：12的正因数有：1、2、3、4、6、12，其中1、2、3、4、6是真因数，
完美指标：（1+2+3+4+6）÷12=43≈1.33，
14的正因数有：1、2、7、14，其中1、2、7是真因数，
完美指标：（1+2+7）÷14=57≈0.71，
15的正因数有：1、3、5、15，其中1、3、5是真因数，
完美指标：（1+3+5）÷15=35=0.6，
16的正因数有：1、2、4、8、16，其中1、2、4、8是真因数，
完美指标：（1+2+4+8）÷16=1516≈0.94，
18的正因数有：1、2、3、6、9、18，其中1、2、3、6、9是真因数，
完美指标：（1+2+3+6+9）÷18=76≈1.17，
由以上所求的完美指标知道，16的完美指标最接近1，
所以，比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数是16．
答：比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数是16．
故答案为：16．
三． 解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2022秋•荣成市期中）把下列各数填在相应的集合中：
15，−12，0.81，﹣3，227，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，π，﹣1.6⋅．
正数集合{ 15，0.81，227，171，3.14，π …}；
负分数集合{ −12，﹣3.1，﹣1.6⋅ …}；
非负整数集合{ 15，171，0 …}；
有理数集合{ 15，−12，0.81，﹣3，227，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，﹣1.6⋅ …}．
【分析】根据正数、负分数、有理数的意义直接把数据分类即可．
【解答】解：正数集合{15，0.81，227，171，3.14，π…}；
负分数集合{−12，﹣3.1，﹣1.6⋅⋯}；
非负整数集合{15，171，0…}；
有理数集合{15，−12，0.81，﹣3，227，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，﹣1.6⋅⋯}．
故答案为：15，0.81，227，171，3.14，π；−12，﹣3.1，﹣1.6⋅；15，171，0；15，−12，0.81，﹣3，227，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，﹣1.6⋅．
18．（6分）（2022秋•垦利区期末）计算：
（1）（﹣5）+（﹣4）﹣（+101）﹣（﹣9）；
（2）−12021×[4−(−3)2]+3÷(−34)；
（3）(512−79+23)÷136；
（4）−316×7−316×(−9)+(−196)×(−8)．
【分析】（1）先把减法转化为加法，然后根据有理数的加法法则计算即可；
（2）先算乘方和括号内的式子，然后计算括号外的乘除法、最后算加法即可；
（3）先把除法转化为乘法、然后根据乘法分配律计算即可；
（4）先将带分数化为假分数，然后根据乘法分配律计算即可．
【解答】解：（1）（﹣5）+（﹣4）﹣（+101）﹣（﹣9）
＝（﹣5）+（﹣4）+（﹣101）+9
＝﹣101；
（2）−12021×[4−(−3)2]+3÷(−34)
＝﹣1×（4﹣9）+3×（−43）
＝﹣1×（﹣5）+（﹣4）
＝5+（﹣4）
＝1；
（3）(512−79+23)÷136
＝（512−79+23）×36
=512×36−79×36+23×36
＝15﹣28+24
＝11；
（4）−316×7−316×(−9)+(−196)×(−8)
=−196×7−196×（﹣9）−196×（﹣8）
=−196×[7+（﹣9）+（﹣8）]
=−196×（﹣10）
=953．
19．（8分）（2022秋•井研县期末）某公司6天内货品进出仓库的吨数如下：（“+”表示进库，“﹣”表示出库）+21，﹣32，﹣16，+35，﹣38，﹣20
（1）经过这6天，仓库里的货品是 减少了 （填增多了还是减少了）．
（2）经过这6天，仓库管理员结算发现仓库里还有货品460吨，那么6天前仓库里有货品多少吨？
（3）如果进出的装卸费都是每吨5元，那么这6天要付多少元装卸费？
【分析】（1）将所有数据相加即可作出判断，若为正，则说明增多了，若为负，则说明减少了；
（2）结合（1）的答案即可作出判断；
（3）计算出所有数据的绝对值之和，然后根据进出的装卸费都是每吨5元，可得出这6天要付的装卸费．
【解答】解：（1）21﹣32﹣16+35﹣38﹣20＝﹣50，
即经过这6天，仓库里的货品是减少了；
（2）由（1）得，这6天减少了50吨，
则6天前仓库里有货品460+50＝510（吨）；
（3）21+32+16+35+38+20＝162吨，
则装卸费为：162×5＝810元．
答：这6天要付810元装卸费．
20．（8分）（2022秋•简阳市 期末）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求|a|a+|b|b+|c|c的值．
【解决问题】
解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则|a|a+|b|b+|c|c=aa+bb+cc=1+1+1=3；
②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则|a|a+|b|b+|c|c=aa+−bb+−cc=1+(−1)+(−1)=−1．
综上所述，|a|a+|b|b+|c|c值为3或﹣1．
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求|a|a+|b|b+|c|c的值；
（2）若a，b，c为三个不为0的有理数，且a|a|+b|b|+c|c|=−1，求abc|abc|的值．
【分析】（1）仿照题目给出的思路和方法，解决（1）即可；
（2）根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出a，b，c中负数有2个，正数有1个，判断出abc的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可．
【解答】解：（1）∵abc＜0，
∴a，b，c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，
①当a，b，c都是负数，即a＜0，b＜0，c＜0时，
则：|a|a+|b|b+|c|c=−aa+−bb+−cc=−1﹣1﹣1＝﹣3；
②a，b，c有一个为负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0，
则|a|a+|b|b+|c|c=−aa+bb+cc=−1+1+1＝1．
（2）∵a，b，c为三个不为0的有理数，且a|a|+b|b|+c|c|=−1，
∴a，b，c中负数有2个，正数有1个，
∴abc＞0，
∴abc|abc|=abcabc=1．
21．（8分）（2022秋•渝中区校级期末）阅读理解
把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{3，4}，{﹣3，6，8，18}，我们称之为集合，其中大括号内的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得﹣2a+4也是这个集合的元素，这样的集合我们称为条件集合，例如：集合{3，﹣2}，因为﹣2×3+4＝﹣2，﹣2恰好是这个集合的元素，所以{3，﹣2}是条件集合；例如：集合{﹣2，9，8}，因为﹣2×（﹣2）+4＝8，8恰好是这个集合的元素，所以{﹣2，9，8}是条件集合．
（1）集合{﹣4，12} 是 条件集合；集合{12，−53，223} 是 条件集合（填“是”或“不是”）
（2）若集合{8，10，n}和集合{﹣m}都是条件集合，求m，n的和．
【分析】（1）依据一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得﹣2a+4也是这个集合的元素，这样的集合我们称为条件集合，即可得到结论；
（2）分情况讨论：若n＝﹣2×8+4，则n＝﹣12；若n＝﹣2×10+4，则n＝﹣16；若﹣2n+4＝8，则n＝﹣2；若﹣2n+4＝10，则n＝﹣3；若﹣2n+4＝n，则n=43；若﹣m×（﹣2）+4＝﹣m，则m=−43；据此可得m，n的和．
【解答】解：（1）∵﹣4×（﹣2）+4＝12，
∴集合{﹣4，12}是条件集合；
∵−53×（﹣2）+4=223，
∴集合{12，−53，223}是条件集合；
故答案为：是，是；
（2）∵集合{8，10，n}和集合{﹣m}都是条件集合，
∴若n＝﹣2×8+4，则n＝﹣12；
若n＝﹣2×10+4，则n＝﹣16；
若﹣2n+4＝8，则n＝﹣2；
若﹣2n+4＝10，则n＝﹣3；
若﹣2n+4＝n，则n=43；
若﹣m×（﹣2）+4＝﹣m，则m=−43；
∴m，n的和为：﹣1313，﹣1713，﹣313，﹣413，0．
22．（8分）（2022秋•万州区期末）一个能被13整除的自然数我们称为“十三数”，“十三数”的特征是：若把这个自然数的末三位与末三位以前
的数字组成的数之差，如果能被13整除，那么这个自然数就一定能被13整除．例如：判断383357能不能被13整除，这个数的末三位数字是357，末三位以前的数字组成的数是383，这两个数的差是383﹣357＝26，26能被13整除，因此383357是“十三数”．
（1）判断3253和254514是否为“十三数”，请说明理由．
（2）若一个四位自然数，千位数字和十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“间同数”．
①求证：任意一个四位“间同数”能被101整除．
②若一个四位自然数既是“十三数”，又是“间同数”，求满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差．
【分析】（1）根据“十三数”的特征，列出算式求解即可；
（2）①设任意一个四位“间同数”为abab（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数），列式abab101计算可得10a+b，从而求解；
②解法一：可以结合①，101（10a+b）是13的倍数，根据a，b是1﹣9的整数，那么当a取得最大时，是9，对应的b是1，最小的话是a＝1，对应的b＝3，计算差可得结论；
解法二：同理设出这个四位“间同数”为abab（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数），可知101b+9a是13的倍数，分别讨论可得结论．
解法三：可借助于第一小问．4位的间同数可表示为101（10a+b），因其能被13整除，而101不能被13整除，所以10a+b是13的倍数，故10a+b最小为13，最大为91．从而可得结论；也可以从101（10a+b）是13的倍数，所以这样的四位数需是13×101的倍数．故最小为1313，最大为9191．
【解答】（1）解：3253不是“十三数”，254514是“十三数”，理由如下：
∵3﹣253＝﹣250，不能被13整除，
∴3253不是“十三数”，
∵254﹣514＝﹣260，﹣260÷13＝﹣20
∴254514是“十三数”；
（2）①证明：设任意一个四位“间同数”为abab（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数），
∵abab101=1000a+100b+10a+b101=1010a+101b101=10a+b，
∵a、b为整数，
∴10a+b是整数，
即任意一个四位“间同数”能被101整除；
②解：解法一：由①可知：这个四位“间同数”表示为101（10a+b），它是13的倍数，
∵1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数，
∴当a＝9，b＝1时，abab最大为9191，
当a＝1，b＝3时，abab最小为1313，
∴9191﹣1313＝7878；
解法二：设任意一个四位“间同数”为abab（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数），
∵bab−a13=101b+9a13，
∵这个四位自然数是“十三数”，
∴101b+9a是13的倍数，
当a＝1，b＝3时，101b+9a＝303+9＝312，312÷13＝24，此时这个四位“间同数”为：1313；
当a＝2，b＝6时，101b+9a＝606+18＝624，624÷13＝48，此时这个四位“间同数”为：2626；
当a＝3，b＝9时，101b+9a＝909+27＝736，936÷13＝72，此时这个四位“间同数”为：3939；
当a＝5，b＝2时，101b+9a＝202+45＝247，247÷13＝19，此时这个四位“间同数”为：5252；
当a＝6，b＝5时，101b+9a＝505+54＝559，559÷13＝43，此时这个四位“间同数”为：6565；
当a＝7，b＝8时，101b+9a＝808+63＝871，871÷13＝67，此时这个四位“间同数”为：7878；
当a＝9，b＝1时，101b+9a＝101+81＝182，182÷13＝14，此时这个四位“间同数”为：9191；
综上可知：这个四位“间同数”最大为9191，最小为1313，
9191﹣1313＝7878，
则满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差为7878；
解法三：由①可设4位的间同数可表示为101（10a+b），因其能被13整除，而101不能被13整除，所以10a+b是13的倍数，故10a+b最小为13，最大为91
∴最大值与最小值之差为：101（91﹣13）＝7878．
23．（8分）（2022秋•通川区期末）已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为6，0，﹣4，动点P从A出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动．
（1）当点P到点A的距离与点P到点B的距离相等时，点P在数轴上表示的数是 1 ；
（2）另一动点R从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，问点P运动多少时间追上点R？
（3）若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长度．
【分析】（1）根据中点坐标公式即可求解；
（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点R，于是得到AC＝6x BC＝4x，AB＝10，根据AC﹣BC＝AB，列方程即可得到结论；
（3）线段MN的长度不发生变化，理由如下分两种情况：①当点P在A、B之间运动时②当点P运动到点B左侧时，求得线段MN的长度不发生变化．
【解答】解：（1）（6﹣4）÷2＝1．
故点P在数轴上表示的数是1；
故答案为：1；
（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点R，
则AC＝6x BC＝4x，AB＝10，
∵AC﹣BC＝AB，
∴6x﹣4x＝10，
解得x＝5，
∴点P运动5秒时，追上点R；
（3）线段MN的长度不发生变化，理由如下分两种情况：
①当点P在A、B之间运动时（如图①）：MN＝MP+NP=12AP+12BP=12（AP+BP）=12AB＝5．
②当点P运动到点B左侧时（如图②），
MN＝PM﹣PN=12AP−12BP=12（AP﹣BP）=12AB＝5．
综上所述，线段MN的长度不发生变化，其长度为5．
第1章 有理数章末题型过关卷
【人教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022秋•江油市期末）设a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a+b+c等于（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】由a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，可得，a＝1，b＝﹣1，c＝0，则a+b+c＝1+（﹣1）+0＝0．
【解答】解：依题意得：a＝1，b＝﹣1，c＝0，
∴a+b+c＝1+（﹣1）+0＝0．
故选：B．
2．（3分）（2022秋•垦利区期末）在下列说法：①如果a＞b，则有|a|＞|b|；②若干个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数；③一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数；④若m+n＝0，则m、n互为相反数．其中正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据绝对值、有理数的乘法、相反数解决此题．
【解答】解：①如果a＞b，如1＞﹣2，|1|＝1，|﹣2|＝2，但|1|＜|﹣2|，那么|a|＞|b|不一定成立，故①不正确．
②若干个不为0的有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数，故②不正确．
③根据绝对值的定义，当a≥0，则|a|＝a，即0或正数的绝对值等于本身，故③不正确．
④根据等式的性质，m+n＝0，则m＝﹣n，那么m与n互为相反数，故④正确．
综上：正确的有④，共1个．
故选：D．
3．（3分）（2022秋•石家庄期末）已知三个数a+b+c＝0，则这三个数在数轴上表示的位置不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据a+b+c＝0可判断三个数中一定有一个正数和一个负数，讨论：若第三个数为负数，根据绝对值的意义得到两负数表示的点到原点的距离等于正数到原点的距离；若第三个数为正数，则两正数表示的点到原点的距离等于负数到原点的距离，然后利用此特征对各选项进行判断．
【解答】解：已知a+b+c＝0，
A．由数轴可知，a＞0＞b＞c，当|a|＝|b|+|c|时，满足条件．
B．由数轴可知，a＞b＞0＞c，当|c|＝|a|+|b|时，满足条件．
C．由数轴可知，a＞c＞0＞b，当|b|＝|a|+|c|时，满足条件．
D．由数轴可知，a＞0＞b＞c，且|a|＜|b|+|c|时，所以不可能满足条件．
故选：D．
4．（3分）（2022•下城区校级模拟）如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把1到6这6个数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最大值是（ ）
A．9 B．10 C．12 D．13
【分析】三个顶角分别是4，5，6，4与5之间是3，6和5之间是1，4和6之间是2，这样每边的和才能相等．
【解答】解：三边之和是3s，等于1+2+...6+三个顶点的值．
而三个顶点的值最大是4+5+6，
当三个顶点分别是4，5，6时，
可以构成符合题目的三角形．
所以s最大为（1+2+3+4+5+6+4+5+6）÷3＝12．
故选：C．
5．（3分）（2022秋•渝中区校级期末）一台机器有大、小齿轮用同一传送带连接，若大小齿轮的齿数分别为36和12个，大齿轮每分钟2.5×103转，则小齿轮10小时转（ ）
A．1.5×106转 B．5×105转 C．4.5×106转 D．15×106转
【分析】大、小齿轮用同一传送带连接，则大小齿轮转的距离相等，大齿轮每分钟2.5×103，每小时转60×2.5×103转．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：小齿轮10小时转60×2.5×103×10×（36÷12）＝4.5×106转．
故选：C．
6．（3分）（2022秋•衢州期中）等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若△ABC绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2018次后，点B所对应的数是（ ）
A．2017 B．2016.5 C．2015.5 D．2015
【分析】作出草图，不难发现，每3次翻转为一个循环组依次循环，2018除以3余数为2，根据余数可知点B在数轴上，然后进行计算即可得解．
【解答】解：如图，
由题意可得，
每3次翻转为一个循环组依次循环，
∵2018÷3＝672…2，
∴翻转2018次后点B在数轴上，
∴点B对应的数是2018﹣1＝2017．
故选：A．
7．（3分）（2022•台湾）小嘉全班在操场上围坐成一圈．若以班长为第1人，依顺时针方向算人数，小嘉是第17人；若以班长为第1人，依逆时针方向算人数，小嘉是第21人．求小嘉班上共有多少人（ ）
A．36 B．37 C．38 D．39
【分析】若以班长为第1人，依顺时针方向算人数，小嘉是第17人，此时共有17人；若以班长为第1人，依逆时针方向算人数，小嘉是第21人，此时共有21人，但班长和小嘉两次都数了，所以要减去2．
【解答】解：根据题意小嘉和班长两次都数了，
所以17+21﹣2＝36．
故选：A．
8．（3分）（2022春•通州区期末）数轴上某一个点表示的数为a，比a小2的数用b表示，那么|a|+|b|的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】理解绝对值的定义，如|a﹣2|表示数轴上点a到2的距离；|a|＝|a﹣0|表示a到原点的距离；
【解答】解：∵比a小2的数用b表示，
∴b＝a﹣2，
∴|a|+|b|
＝|a﹣0|+|a﹣2|，
那么|a|+|b|的最小值就是在数轴上找一点a到原点和到2的距离最小，
显然这个点就是在0与2之间，
当a在区间0与2之间时，
|a﹣0|+|a﹣2|＝|2﹣0|＝2为最小值，
∴|a|+|b|的最小值为2，
故选：C．
9．（3分）（2022秋•江都区月考）定义一种关于整数n的“F”运算：
（1）当n是奇数时，结果为3n+5；
（2）当n是偶数时，结果是n2k（其中k是使n2k是奇数的正整数），并且运算重复进行．
例如：取n＝58，第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F运算是74…；若n＝9，则第2017次运算结果是（ ）
A．1 B．2 C．7 D．8
【分析】根据关于整数n的“F”运算：探究规律后即可解决问题；
【解答】解：由题意n＝9时，第一次经F运算是32，第二次经F运算是1，第三次经F运算是8，第四次经F运算是1…
以后出现1、8循环，奇数次是8，偶数次是1，
∴第2017次运算结果8，
故选：D．
10．（3分）（2022秋•安居区期中）若a，b，c均为正数，则a+b﹣c，b+c﹣a，c+a﹣b这三个数中出现负数的情况是（ ）
A．不可能有负数 B．必有一个负数
C．至多有一个负数 D．可能有两个负数
【分析】本题可采用假设法，当a＝1，b＝1，c＝3时有（1+1）﹣3＜0，1+3﹣1＞0，1+3﹣1＞0，这样有一个负数，排除A，当a＝b＝c＝1时，没有负数，故B错误，再假设有两个负数，则设a+b＜c①，b+c＜a②，得出结果矛盾与已知条件，排除D，采用排除法选出答案．
【解答】解：显然当a＝1，b＝1，c＝3时有（1+1）﹣3＜0，1+3﹣1＞0，1+3﹣1＞0，
所以排除A．
当a＝b＝c＝1时，没有负数，故B错误，
对于D，若假设有两个负数，则不防设：
a+b＜c①，b+c＜a②
由①+②可得：b＜0，矛盾于已知条件，
∴假设错误，不可能有两个负数，
同理a+b﹣c，a+c﹣b，b+c﹣a中不可能有3个负数，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2022秋•饶平县校级期末）一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值，判断墨迹盖住的整数个数是 120 ．
【分析】根据实数在数轴上排列的特点判断出墨迹盖住的最左侧的整数和最右侧的整数，即可得到所有的被盖住的整数．
【解答】解：因为墨迹最左端的实数是﹣109.2，最右端的实数是10.5．根据实数在数轴上的排列特点，可得墨迹遮盖部分最左侧的整数是﹣109，最右侧的整数是10．所以遮盖住的整数共有120个．
故答案是：120．
12．（3分）（2022秋•成都期末）已知，|a|＝﹣a，|b|b=−1，|c|＝c，化简|a+b|﹣|a﹣c|﹣|b﹣c|＝ ﹣2c ．
【分析】根据题意，利用绝对值的代数意义判断出a，b，c的正负，原式利用绝对值的代数意义化简即可得到结果．
【解答】解：∵|a|＝﹣a，|b|b=−1，|c|＝c，
∴a为非正数，b为负数，c为非负数，
∴a+b＜0，a﹣c≤0，b﹣c＜0，
则原式＝﹣a﹣b+a﹣c+b﹣c＝﹣2c，
故答案为：﹣2c
13．（3分）（2022春•嘉兴月考）在长为20米、宽为15米的长方形地面上修筑一条宽度为2米的道路（图中阴影部分），余下部分作为耕地，则耕地面积为 234 平方米．
【分析】利用平移的知识，将图中阴影部分转化为宽2，长（20+15﹣2）的长方形．
【解答】解：根据题意可得，耕地面积为20×15﹣2×（20+15﹣2）＝234平方米．
答：耕地面积为234平方米．
14．（3分）（2022秋•天桥区期末）将数轴上一点P先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，此时它表示的数是4，则原来点P表示的数是 6 ．
【分析】设开始点P表示的数为x，由于在数轴上的点向左移时点表示的数要减小，向右移动时，点表示的数要增大，于是得到x+3﹣5＝4，然后解一次方程即可．
【解答】解：设点P原来表示的数为x，
根据题意，得：x+3﹣5＝4，
解得：x＝6，
即原来点P表示的数是6，
故答案为：6．
15．（3分）（2022秋•梁平区期末）某公交车原坐有22人，经过4个站点时上下车情况如下（上车为正，下车为负）：（+4，﹣8），（﹣5，+6），（﹣3，+2），（+1，﹣7），则车上还有 12 人．
【分析】根据有理数的加法，可得答案．
【解答】解：由题意，得
22+4+（﹣8）+6+（﹣5）+2+（﹣3）+1+（﹣7）＝12（人），
故答案为：12
16．（3分）（2022秋•普陀区校级月考）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数a，我们把小于a的正的因数叫做a的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把一个自然数a的所有真因数的和除以a，所得的商叫做a的“完美指标”．如10的“完美指标”是（1+2+5）÷10=45．一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．如8的“完美指标”是（1+2+4）÷8=78，10的“完美指标”是45，因为78比45更接近1，所以我们说8比10更完美．那么比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数是 16 ．
【分析】根据“完美指标”的意义知道，自然数的真因数越多，此数越完美；因为在11﹣19的数中，11、13、17、19是质数，真因数只有1，所以先排除这4个数，再分别找出12、14、15、16、18的正因数，再分别找出它们的真因数，最后再由“完美指标”的意义，分别求出“完美指标”．
【解答】解：12的正因数有：1、2、3、4、6、12，其中1、2、3、4、6是真因数，
完美指标：（1+2+3+4+6）÷12=43≈1.33，
14的正因数有：1、2、7、14，其中1、2、7是真因数，
完美指标：（1+2+7）÷14=57≈0.71，
15的正因数有：1、3、5、15，其中1、3、5是真因数，
完美指标：（1+3+5）÷15=35=0.6，
16的正因数有：1、2、4、8、16，其中1、2、4、8是真因数，
完美指标：（1+2+4+8）÷16=1516≈0.94，
18的正因数有：1、2、3、6、9、18，其中1、2、3、6、9是真因数，
完美指标：（1+2+3+6+9）÷18=76≈1.17，
由以上所求的完美指标知道，16的完美指标最接近1，
所以，比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数是16．
答：比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数是16．
故答案为：16．
三． 解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2022秋•荣成市期中）把下列各数填在相应的集合中：
15，−12，0.81，﹣3，227，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，π，﹣1.6⋅．
正数集合{ 15，0.81，227，171，3.14，π …}；
负分数集合{ −12，﹣3.1，﹣1.6⋅ …}；
非负整数集合{ 15，171，0 …}；
有理数集合{ 15，−12，0.81，﹣3，227，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，﹣1.6⋅ …}．
【分析】根据正数、负分数、有理数的意义直接把数据分类即可．
【解答】解：正数集合{15，0.81，227，171，3.14，π…}；
负分数集合{−12，﹣3.1，﹣1.6⋅⋯}；
非负整数集合{15，171，0…}；
有理数集合{15，−12，0.81，﹣3，227，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，﹣1.6⋅⋯}．
故答案为：15，0.81，227，171，3.14，π；−12，﹣3.1，﹣1.6⋅；15，171，0；15，−12，0.81，﹣3，227，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，﹣1.6⋅．
18．（6分）（2022秋•垦利区期末）计算：
（1）（﹣5）+（﹣4）﹣（+101）﹣（﹣9）；
（2）−12021×[4−(−3)2]+3÷(−34)；
（3）(512−79+23)÷136；
（4）−316×7−316×(−9)+(−196)×(−8)．
【分析】（1）先把减法转化为加法，然后根据有理数的加法法则计算即可；
（2）先算乘方和括号内的式子，然后计算括号外的乘除法、最后算加法即可；
（3）先把除法转化为乘法、然后根据乘法分配律计算即可；
（4）先将带分数化为假分数，然后根据乘法分配律计算即可．
【解答】解：（1）（﹣5）+（﹣4）﹣（+101）﹣（﹣9）
＝（﹣5）+（﹣4）+（﹣101）+9
＝﹣101；
（2）−12021×[4−(−3)2]+3÷(−34)
＝﹣1×（4﹣9）+3×（−43）
＝﹣1×（﹣5）+（﹣4）
＝5+（﹣4）
＝1；
（3）(512−79+23)÷136
＝（512−79+23）×36
=512×36−79×36+23×36
＝15﹣28+24
＝11；
（4）−316×7−316×(−9)+(−196)×(−8)
=−196×7−196×（﹣9）−196×（﹣8）
=−196×[7+（﹣9）+（﹣8）]
=−196×（﹣10）
=953．
19．（8分）（2022秋•井研县期末）某公司6天内货品进出仓库的吨数如下：（“+”表示进库，“﹣”表示出库）+21，﹣32，﹣16，+35，﹣38，﹣20
（1）经过这6天，仓库里的货品是 减少了 （填增多了还是减少了）．
（2）经过这6天，仓库管理员结算发现仓库里还有货品460吨，那么6天前仓库里有货品多少吨？
（3）如果进出的装卸费都是每吨5元，那么这6天要付多少元装卸费？
【分析】（1）将所有数据相加即可作出判断，若为正，则说明增多了，若为负，则说明减少了；
（2）结合（1）的答案即可作出判断；
（3）计算出所有数据的绝对值之和，然后根据进出的装卸费都是每吨5元，可得出这6天要付的装卸费．
【解答】解：（1）21﹣32﹣16+35﹣38﹣20＝﹣50，
即经过这6天，仓库里的货品是减少了；
（2）由（1）得，这6天减少了50吨，
则6天前仓库里有货品460+50＝510（吨）；
（3）21+32+16+35+38+20＝162吨，
则装卸费为：162×5＝810元．
答：这6天要付810元装卸费．
20．（8分）（2022秋•简阳市 期末）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求|a|a+|b|b+|c|c的值．
【解决问题】
解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则|a|a+|b|b+|c|c=aa+bb+cc=1+1+1=3；
②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则|a|a+|b|b+|c|c=aa+−bb+−cc=1+(−1)+(−1)=−1．
综上所述，|a|a+|b|b+|c|c值为3或﹣1．
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求|a|a+|b|b+|c|c的值；
（2）若a，b，c为三个不为0的有理数，且a|a|+b|b|+c|c|=−1，求abc|abc|的值．
【分析】（1）仿照题目给出的思路和方法，解决（1）即可；
（2）根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出a，b，c中负数有2个，正数有1个，判断出abc的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可．
【解答】解：（1）∵abc＜0，
∴a，b，c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，
①当a，b，c都是负数，即a＜0，b＜0，c＜0时，
则：|a|a+|b|b+|c|c=−aa+−bb+−cc=−1﹣1﹣1＝﹣3；
②a，b，c有一个为负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0，
则|a|a+|b|b+|c|c=−aa+bb+cc=−1+1+1＝1．
（2）∵a，b，c为三个不为0的有理数，且a|a|+b|b|+c|c|=−1，
∴a，b，c中负数有2个，正数有1个，
∴abc＞0，
∴abc|abc|=abcabc=1．
21．（8分）（2022秋•渝中区校级期末）阅读理解
把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{3，4}，{﹣3，6，8，18}，我们称之为集合，其中大括号内的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得﹣2a+4也是这个集合的元素，这样的集合我们称为条件集合，例如：集合{3，﹣2}，因为﹣2×3+4＝﹣2，﹣2恰好是这个集合的元素，所以{3，﹣2}是条件集合；例如：集合{﹣2，9，8}，因为﹣2×（﹣2）+4＝8，8恰好是这个集合的元素，所以{﹣2，9，8}是条件集合．
（1）集合{﹣4，12} 是 条件集合；集合{12，−53，223} 是 条件集合（填“是”或“不是”）
（2）若集合{8，10，n}和集合{﹣m}都是条件集合，求m，n的和．
【分析】（1）依据一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得﹣2a+4也是这个集合的元素，这样的集合我们称为条件集合，即可得到结论；
（2）分情况讨论：若n＝﹣2×8+4，则n＝﹣12；若n＝﹣2×10+4，则n＝﹣16；若﹣2n+4＝8，则n＝﹣2；若﹣2n+4＝10，则n＝﹣3；若﹣2n+4＝n，则n=43；若﹣m×（﹣2）+4＝﹣m，则m=−43；据此可得m，n的和．
【解答】解：（1）∵﹣4×（﹣2）+4＝12，
∴集合{﹣4，12}是条件集合；
∵−53×（﹣2）+4=223，
∴集合{12，−53，223}是条件集合；
故答案为：是，是；
（2）∵集合{8，10，n}和集合{﹣m}都是条件集合，
∴若n＝﹣2×8+4，则n＝﹣12；
若n＝﹣2×10+4，则n＝﹣16；
若﹣2n+4＝8，则n＝﹣2；
若﹣2n+4＝10，则n＝﹣3；
若﹣2n+4＝n，则n=43；
若﹣m×（﹣2）+4＝﹣m，则m=−43；
∴m，n的和为：﹣1313，﹣1713，﹣313，﹣413，0．
22．（8分）（2022秋•万州区期末）一个能被13整除的自然数我们称为“十三数”，“十三数”的特征是：若把这个自然数的末三位与末三位以前
的数字组成的数之差，如果能被13整除，那么这个自然数就一定能被13整除．例如：判断383357能不能被13整除，这个数的末三位数字是357，末三位以前的数字组成的数是383，这两个数的差是383﹣357＝26，26能被13整除，因此383357是“十三数”．
（1）判断3253和254514是否为“十三数”，请说明理由．
（2）若一个四位自然数，千位数字和十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“间同数”．
①求证：任意一个四位“间同数”能被101整除．
②若一个四位自然数既是“十三数”，又是“间同数”，求满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差．
【分析】（1）根据“十三数”的特征，列出算式求解即可；
（2）①设任意一个四位“间同数”为abab（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数），列式abab101计算可得10a+b，从而求解；
②解法一：可以结合①，101（10a+b）是13的倍数，根据a，b是1﹣9的整数，那么当a取得最大时，是9，对应的b是1，最小的话是a＝1，对应的b＝3，计算差可得结论；
解法二：同理设出这个四位“间同数”为abab（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数），可知101b+9a是13的倍数，分别讨论可得结论．
解法三：可借助于第一小问．4位的间同数可表示为101（10a+b），因其能被13整除，而101不能被13整除，所以10a+b是13的倍数，故10a+b最小为13，最大为91．从而可得结论；也可以从101（10a+b）是13的倍数，所以这样的四位数需是13×101的倍数．故最小为1313，最大为9191．
【解答】（1）解：3253不是“十三数”，254514是“十三数”，理由如下：
∵3﹣253＝﹣250，不能被13整除，
∴3253不是“十三数”，
∵254﹣514＝﹣260，﹣260÷13＝﹣20
∴254514是“十三数”；
（2）①证明：设任意一个四位“间同数”为abab（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数），
∵abab101=1000a+100b+10a+b101=1010a+101b101=10a+b，
∵a、b为整数，
∴10a+b是整数，
即任意一个四位“间同数”能被101整除；
②解：解法一：由①可知：这个四位“间同数”表示为101（10a+b），它是13的倍数，
∵1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数，
∴当a＝9，b＝1时，abab最大为9191，
当a＝1，b＝3时，abab最小为1313，
∴9191﹣1313＝7878；
解法二：设任意一个四位“间同数”为abab（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数），
∵bab−a13=101b+9a13，
∵这个四位自然数是“十三数”，
∴101b+9a是13的倍数，
当a＝1，b＝3时，101b+9a＝303+9＝312，312÷13＝24，此时这个四位“间同数”为：1313；
当a＝2，b＝6时，101b+9a＝606+18＝624，624÷13＝48，此时这个四位“间同数”为：2626；
当a＝3，b＝9时，101b+9a＝909+27＝736，936÷13＝72，此时这个四位“间同数”为：3939；
当a＝5，b＝2时，101b+9a＝202+45＝247，247÷13＝19，此时这个四位“间同数”为：5252；
当a＝6，b＝5时，101b+9a＝505+54＝559，559÷13＝43，此时这个四位“间同数”为：6565；
当a＝7，b＝8时，101b+9a＝808+63＝871，871÷13＝67，此时这个四位“间同数”为：7878；
当a＝9，b＝1时，101b+9a＝101+81＝182，182÷13＝14，此时这个四位“间同数”为：9191；
综上可知：这个四位“间同数”最大为9191，最小为1313，
9191﹣1313＝7878，
则满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差为7878；
解法三：由①可设4位的间同数可表示为101（10a+b），因其能被13整除，而101不能被13整除，所以10a+b是13的倍数，故10a+b最小为13，最大为91
∴最大值与最小值之差为：101（91﹣13）＝7878．
23．（8分）（2022秋•通川区期末）已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为6，0，﹣4，动点P从A出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动．
（1）当点P到点A的距离与点P到点B的距离相等时，点P在数轴上表示的数是 1 ；
（2）另一动点R从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，问点P运动多少时间追上点R？
（3）若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长度．
【分析】（1）根据中点坐标公式即可求解；
（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点R，于是得到AC＝6x BC＝4x，AB＝10，根据AC﹣BC＝AB，列方程即可得到结论；
（3）线段MN的长度不发生变化，理由如下分两种情况：①当点P在A、B之间运动时②当点P运动到点B左侧时，求得线段MN的长度不发生变化．
【解答】解：（1）（6﹣4）÷2＝1．
故点P在数轴上表示的数是1；
故答案为：1；
（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点R，
则AC＝6x BC＝4x，AB＝10，
∵AC﹣BC＝AB，
∴6x﹣4x＝10，
解得x＝5，
∴点P运动5秒时，追上点R；
（3）线段MN的长度不发生变化，理由如下分两种情况：
①当点P在A、B之间运动时（如图①）：MN＝MP+NP=12AP+12BP=12（AP+BP）=12AB＝5．
②当点P运动到点B左侧时（如图②），
MN＝PM﹣PN=12AP−12BP=12（AP﹣BP）=12AB＝5．
综上所述，线段MN的长度不发生变化，其长度为5．
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