人教版八年级数学上册举一反三15.1分式【十二大题型】(举一反三)(学生版+解析)

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专题15.1 分式【十二大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc12816" 【题型1 分式的判断】  PAGEREF _Toc12816 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc11819" 【题型2 分式有意义的条件】  PAGEREF _Toc11819 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc16112" 【题型3 分式值为零的条件】  PAGEREF _Toc16112 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc2450" 【题型4 分式的求值】  PAGEREF _Toc2450 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc20045" 【题型5 分式的规律性问题】  PAGEREF _Toc20045 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc32748" 【题型6 由分式的值为正（负）求字母的取值范围】  PAGEREF _Toc32748 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc25228" 【题型7 求使分式的值为整数时字母的的整数值】  PAGEREF _Toc25228 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc12131" 【题型8 利用分式的基本性质判断分式值的变化】  PAGEREF _Toc12131 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc6437" 【题型9 最简公分母】  PAGEREF _Toc6437 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc8128" 【题型10 最简分式】  PAGEREF _Toc8128 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc25152" 【题型11 约分、通分】  PAGEREF _Toc25152 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc29181" 【题型12 运用分式的基本性质求值】  PAGEREF _Toc29181 \h 6【知识点1 分式的定义】 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式。注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。【题型1 分式的判断】【例1】（2023上·内蒙古赤峰·八年级统考期末）下列各式中，分式有（    ）个  x3，1n，1a+5，a+b15，zx2y，2aba+b2A．4 B．3 C．2 D．1【变式1-1】（2023下·全国·八年级统考期末）下列各式中，是分式的是(　　)A．3x2＋2x－13 B．x2+x−2π2−1 C．2x−3x−1 D．2x−1313−π【变式1-2】（2023下·八年级课时练习）把下列各式填入相应的括号内:  －2a，1a−b，x+y3，2sπ，1x，3x，x−2y9整式集合：{                       …}；分式集合：{                       …}【变式1-3】（2023下·江苏扬州·八年级校联考期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：83=6+23=2+23=223．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． x−1x+1,x2x−1，这样的分式就是假分式；再如：3x+1,2xx2+1这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：x−1x+1=x+1−2x+1=1−2x+1；解决下列问题：(1)分式 13x2是________________（填“真分式”或“假分式”）；(2)将假分式4a+12a−1化为整式与真分式的和的形式：4a+12a−1 =____________；(3)若假分式4a+12a−1的值为正整数，则整数a的值为________________；(4)将假分式x2−2x−1x−1化为带分式（写出完整过程）．【题型2 分式有意义的条件】【例2】（2023上·山东烟台·八年级统考期中）无论a取何值，下列分式中，总有意义的是（　　）A．1a3−1 B．a−2a C．a2−1a−1 D．a2a2+1【变式2-1】（2023下·浙江温州·八年级统考期末）当x=3时，分式x−bx+2b没有意义，则b的值为（    ）A．−3 B．−32 C．32 D．3【变式2-2】（2023·内蒙古呼和浩特·八年级校考期中）要使分式x−11+11+x有意义，则x的取值范围为 ．【变式2-3】（2023上·河北邢台·八年级统考期末）若x=−1使某个分式无意义，则这个分式可以是（    ）A．x−12x+1 B．2x+1x+1 C．2x−1x−1 D．x+12x+1【题型3 分式值为零的条件】【例3】（2023上·河南周口·八年级校联考期末）若分式x−1xx−2的值为0，则x的取值是（    ）A．x=1 B．x=0 C．x=2 D．x=−1【变式3-1】（2023下·江苏泰州·八年级统考期中）若分式x−12x+2的值为零，则x的值等于（    ）A．﹣1 B．0 C．2 D．1【变式3-2】（2023上·湖北荆门·八年级校联考期末）若分式b2−1b2−2b+1的值为0，则b的值（    ）A．2 B．1 C．−1 D．±1【变式3-3】（2023上·山东菏泽·八年级统考期末）若分式|x−2|−1x2−6x+9的值为0，则x的值为 ．【题型4 分式的求值】【例4】（2023下·贵州毕节·八年级期末）已知 m2−3m−2=0，则2m2−3m+4m2值为（　　）A．10 B．11 C．15 D．16【变式4-1】（2023·全国·八年级假期作业）若xy=32，则x+yy的值为（    ）A．13 B．−13 C．12 D．52【变式4-2】（2023上·云南昆明·八年级统考期末）若a3+3a2+a=0，则2023a2a4−2030a2+1= ．【变式4-3】（2023·浙江杭州·八年级期末）设非零实数a、b、c满足a+2b+3c=02a+3b+4c=0则ab+bc+caa2+b2+c2的值为（    ）A．−12 B．0 C．12 D．1【题型5 分式的规律性问题】【例5】（2023上·贵州铜仁·八年级统考期末）已知一列分式，x2y，−x5y3，x10y6，−x17y10,x26y15,−x37y21…，观察其规律，则第n个分式是 ．【变式5-1】（2023下·贵州铜仁·八年级统考期末）小苗探究了一道有关分式的规律题，1x+3，3x+5，4x+7，7x+9，11x+11， ，29x+15，…请按照此规律在横线上补写出第6个分式．【变式5-2】（2023下·安徽安庆·八年级安庆市第四中学校考期末）已知y1＝1x−1，y2＝11−y1，y3＝11−y2，y4＝11−y3，…，yn＝11−yn−1，请计算y2020＝ （请用含x的代数式表示）．【变式5-3】（2023上·江苏徐州·八年级校联考期末）观察分析下列方程：①x+2x＝3；②x+6x＝5；③x+12x＝7，请利用他们所蕴含的规律，写出这一组方程中的第n个方程是 ．【题型6 由分式的值为正（负）求字母的取值范围】【例6】（2023下·江苏·八年级期中）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：当x取何值时，分式1−x2x−1的值为正？解：依题意，得1−x2x−1>0则有(1)2x−1>01−x>0或(2)2x−1<01−x<0解不等式组(1)得：120且a≠1 B．a≤0 C．a≠0且a≠1 D．a<0【变式8-2】（2023下·江苏盐城·八年级统考期中）系数化成整数且结果化为最简分式：0.25a−0.2b0.1a+0.3b= ．【变式8-3】（2023·全国·八年级专题练习）若把x，y的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（　　）A．xyx+y B．(x+y)2x2 C．y+2x+2 D．2xy2−x2【题型9 最简公分母】【例9】（2023上·八年级课时练习）分式1x2−x，1x2+x的最简公分母是（   ）A．(x+1)(x−1) B．x(x+1)(x−1) C．x2(x+1)(x−1) D．x(x−1)2【变式9-1】（2023上·湖北恩施·八年级校联考阶段练习）下列三个分式12x2、5x−14m−n、3x的最简公分母是（    ）A．4m−nx B．4m−nx2 C．14m−nx2 D．4m−nx2【变式9-2】（2023上·河南三门峡·八年级统考期末）1a+1−1a2−2a+1+11−a的最简公分母是(     )A．a+1a−1 B．a+1a2−2a+1a−1 C．a−1a2−2a+1 D．a+1a−12【变式9-3】（2023下·江苏扬州·八年级校考阶段练习）已知分式与12ya与−1bxy(a，b是常数且b≠0)的最简公分母为10xy3，则b= 【题型10 最简分式】【例10】（2023下·河南平顶山·八年级统考期末）下列分式：①22x+4；②x2+y2x+y；③x2−1x2+x；④x+1x2+1，其中最简分式有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式10-1】（2023·上海浦东新·八年级统考期末）下列分式是最简分式的是（　　）A．x2−14x−4 B．x2−2x−3x2−4x−5 C．2−x2x−1 D．3x3x−6【变式10-2】（2023上·福建福州·八年级统考期末）若m为实数，分式xx+2x2+m不是最简分式，则m= .【变式10-3】（2023上·河北邢台·八年级统考阶段练习）若9x9−△是一个最简分式，则“△”可以是（    ）A．3x B．x C．13x D．0.1x【题型11 约分、通分】【例11】（2023上·河北邯郸·八年级期末）小丽在化简分式∗x2−1=x−1x+1时，∗部分不小心滴上小墨水，请你推测（    ）A．x2﹣2x+1 B．x2+2x+1 C．x2﹣1 D．x2﹣2x﹣1【变式11-1】（2023上·八年级课时练习）分式3aa2−b2的分母经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分子应变为（　　）A．6a（a﹣b）2（a+b） B．2（a﹣b）C．6a（a﹣b） D．6a（a+b）【变式11-2】（2023上·黑龙江佳木斯·八年级统考期末）下列约分正确的有（   ）（1）a2−2a−3a2+2a+1=a−3a+1；（2） am−n3bn−m3=1；（3） 2+xyxy+2=0；（4） a+mb+m=abA．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式11-3】（2023下·江苏宿迁·八年级统考期中）（1）约分：3a2b6ab （2）通分：2b3a2与abc【题型12 运用分式的基本性质求值】【例12】（2023下·江苏无锡·八年级校联考期中）已知a、b、c为有理数，且aba+b=1，bcb+c=12，aca+c=13，那么abcab+bc+ca的值是多少？【变式12-1】（2023上·上海黄浦·八年级上海市卢湾中学校考期末）如果4xx2−4=ax+2−bx−2，那么a+b的值是 ．【变式12-2】（2023上·八年级课时练习）若1x+1y=2，则2x−xy+2y3x+5xy+3y= 【变式12-3】（2023上·四川达州·八年级统考期末）若2x−y+4z=0，4x+3y−2z=0．则xy+yz+zxx2+y2+z2的值为 专题15.1 分式【十二大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc12816" 【题型1 分式的判断】  PAGEREF _Toc12816 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc11819" 【题型2 分式有意义的条件】  PAGEREF _Toc11819 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc16112" 【题型3 分式值为零的条件】  PAGEREF _Toc16112 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc2450" 【题型4 分式的求值】  PAGEREF _Toc2450 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc20045" 【题型5 分式的规律性问题】  PAGEREF _Toc20045 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc32748" 【题型6 由分式的值为正（负）求字母的取值范围】  PAGEREF _Toc32748 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc25228" 【题型7 求使分式的值为整数时字母的的整数值】  PAGEREF _Toc25228 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc12131" 【题型8 利用分式的基本性质判断分式值的变化】  PAGEREF _Toc12131 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc6437" 【题型9 最简公分母】  PAGEREF _Toc6437 \h 17 HYPERLINK \l "_Toc8128" 【题型10 最简分式】  PAGEREF _Toc8128 \h 18 HYPERLINK \l "_Toc25152" 【题型11 约分、通分】  PAGEREF _Toc25152 \h 20 HYPERLINK \l "_Toc29181" 【题型12 运用分式的基本性质求值】  PAGEREF _Toc29181 \h 22【知识点1 分式的定义】 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式。注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。【题型1 分式的判断】【例1】（2023上·内蒙古赤峰·八年级统考期末）下列各式中，分式有（    ）个  x3，1n，1a+5，a+b15，zx2y，2aba+b2A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】分母是整式且整式中含有字母，根据这点判断即可．【详解】∵x3中的分母是3，不含字母，∴x3不是分式；∵1n中的分母是n，是整式，且是字母，∴1n是分式；∵1a+5中的分母是a+5，是多项式，含字母a，∴1a+5是分式；∵a+b15中的分母是15，不含字母，∴a+b15不是分式；∵zx2y中的分母是x2y，是整式，含字母x，y，∴zx2y是分式；∵2aba+b2中的分母是(a+b)2，是整式，含字母a，b，∴2aba+b2是分式；共有4个，故选A．【点睛】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式构成的两个基本能条件是解题的关键．【变式1-1】（2023下·全国·八年级统考期末）下列各式中，是分式的是(　　)A．3x2＋2x－13 B．x2+x−2π2−1 C．2x−3x−1 D．2x−1313−π【答案】C【详解】试题解析：2x−3x−1这个式子分母中含有字母，因此是分式．其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．故选C．【变式1-2】（2023下·八年级课时练习）把下列各式填入相应的括号内:  －2a，1a−b，x+y3，2sπ，1x，3x，x−2y9整式集合：{                       …}；分式集合：{                       …}【答案】整式集合：{ －2a，x+y3，2sπ，x−2y9，…}；分式集合：{ 1a−b，1x，3x，…}【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【详解】－2a，x+y3，2sπ，x−2y9的分母没有字母是整式，1a−b，1x，3x式子的分母含有字母是分式．故答案为：整式集合：{ －2a，x+y3，2sπ，x−2y9，…}；分式集合：{ 1a−b，1x，3x，…}【点睛】本题考查了整式和分式的定义，熟练掌握相关概念是解题关键，注意：π不是字母，是常数．【变式1-3】（2023下·江苏扬州·八年级校联考期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：83=6+23=2+23=223．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． x−1x+1,x2x−1，这样的分式就是假分式；再如：3x+1,2xx2+1这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：x−1x+1=x+1−2x+1=1−2x+1；解决下列问题：(1)分式 13x2是________________（填“真分式”或“假分式”）；(2)将假分式4a+12a−1化为整式与真分式的和的形式：4a+12a−1 =____________；(3)若假分式4a+12a−1的值为正整数，则整数a的值为________________；(4)将假分式x2−2x−1x−1化为带分式（写出完整过程）．【答案】(1)真分式(2)2+32a−1(3)1，0，2，−1(4)x−1−2x−1【分析】（1）根据定义即可求出答案；（2）根据定义进行化简即可得到答案；（3）根据题意列出方程即可求出a的值；（4）先化为x2−2x−1x−1=x−12−2x−1，在计算即可．【详解】（1）解：由题意得：分式 13x2是真分式，故答案为：真分式；（2）解：根据题意可得：4a+12a−1=4a−2+32a−1=22a−1+32a−1=2+32a−1，故答案为：2+32a−1；（3）解：由（2）可得：4a+12a−1=2+32a−1，当2+32a−1为正整数时，2a−1=±1或±3，∴a=1，0，2，−1，故答案为：1，0，2，−1；（4）解：根据题意可得：x2−2x−1x−1=x−12−2x−1=x−1−2x−1．【点睛】本题主要考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型．【题型2 分式有意义的条件】【例2】（2023上·山东烟台·八年级统考期中）无论a取何值，下列分式中，总有意义的是（　　）A．1a3−1 B．a−2a C．a2−1a−1 D．a2a2+1【答案】D【分析】根据分式有意义的条件逐项判断即可．【详解】解：A．当a=1时，分式1a3−1没有意义．故本选项不合题意；B．当a=0时，分式a−2a没有意义．故本选项不合题意；C．当a=1时，分式a2−1a−1没有意义．故本选项不合题意；D．因为a2≥0，所以2a2+1≠0，所以分式a2a2+1总有意义，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．【变式2-1】（2023下·浙江温州·八年级统考期末）当x=3时，分式x−bx+2b没有意义，则b的值为（    ）A．−3 B．−32 C．32 D．3【答案】B【分析】先将x=3代入分式x−bx+2b，再根据分母等于0时分式没有意义即可得到答案．【详解】解：当x=3，x−bx+2b=3−b3+2b，∵分式3−b3+2b没有意义，∴3+2b=0，∴b=−32，故选：B．【点睛】本题考查分式没有意义的条件，熟知当分母为零时分式没有意义是解题的关键．【变式2-2】（2023·内蒙古呼和浩特·八年级校考期中）要使分式x−11+11+x有意义，则x的取值范围为 ．【答案】x≠−1且x≠−2【分析】根据分式的分母不能为0，可得答案．【详解】解：1+x≠0，1+11+x≠0，x≠﹣1，x≠﹣2故答案为：x≠﹣1且x≠﹣2．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．【变式2-3】（2023上·河北邢台·八年级统考期末）若x=−1使某个分式无意义，则这个分式可以是（    ）A．x−12x+1 B．2x+1x+1 C．2x−1x−1 D．x+12x+1【答案】B【分析】根据分式无意义分母为零即可判断．【详解】A、当x＝−1时，分母2x＋1＝−1≠0，所以分式x−12x+1有意义；故本选项不符合题意；B、当x＝−1时，分母x＋1＝0，所以分式2x+1x+1无意义；故本选项符合题意；C、当x＝−1时，分母x-1=-2≠0，所以分式2x−1x−1有意义；故本选项不符合题意；D、当x＝−1时，分母2x+1＝-1≠0，所以分式x+12x+1有意义；故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了分式有(无)意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．【题型3 分式值为零的条件】【例3】（2023上·河南周口·八年级校联考期末）若分式x−1xx−2的值为0，则x的取值是（    ）A．x=1 B．x=0 C．x=2 D．x=−1【答案】A【分析】根据题意可得x−1=0且xx−2≠0，即可确定出x的值．【详解】解：由题意得：x−1xx−2=0，则x−1=0且xx−2≠0，解得：x=1，故选：A．【点睛】本题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式3-1】（2023下·江苏泰州·八年级统考期中）若分式x−12x+2的值为零，则x的值等于（    ）A．﹣1 B．0 C．2 D．1【答案】D【分析】根据分式值为零的条件列出x−1=0，且值需保证2x+2≠0，即可得到答案．【详解】解：要使分式x−12x+2的值为零，必须x−1=0 ，2x+2≠0 ，解得，x=1 ，故选：D．【点睛】本题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．【变式3-2】（2023上·湖北荆门·八年级校联考期末）若分式b2−1b2−2b+1的值为0，则b的值（    ）A．2 B．1 C．−1 D．±1【答案】C【分析】根据题意，可得：b2−1=0 ①b2−2b+1≠0 ②，据此求出b的值即可．【详解】解：∵分式b2−1b2−2b+1的值为0，∴ b2−1=0 ①b2−2b+1≠0 ②，由①，可得：b=−1或b=1，由②，可得：b≠1，∴b=−1．故选：C．【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少．【变式3-3】（2023上·山东菏泽·八年级统考期末）若分式|x−2|−1x2−6x+9的值为0，则x的值为 ．【答案】1【分析】根据分式的值为零的条件列出方程和不等式求解，即可以求出x的值．【详解】解：∵分式|x−2|−1x2−6x+9的值为0，∴|x﹣2|﹣1＝0且x2﹣6x+9≠0，解得：x﹣2＝﹣1或1且x≠3，则x﹣2＝﹣1．则x＝1故答案为：1．【点睛】本题考查分式值为0的条件下，解答本题特别注意分式分母不为0这一条件．【题型4 分式的求值】【例4】（2023下·贵州毕节·八年级期末）已知 m2−3m−2=0，则2m2−3m+4m2值为（　　）A．10 B．11 C．15 D．16【答案】C【分析】根据已知变形得到m2−3m=2，进而可得m−2m=3，求出m2+4m2=13，再将所求代数式变形得到即可答案．【详解】解：∵m2−3m−2=0，且根据题意有：m≠0，∴m2−3m=2，即m−3=2m，即m−2m=3，∴m−2m2=32=9， 即m2+4m2=13，则2m2−3m+4m2=m2−3m+m2+4m2=2+13=15．故选：C．【点睛】此题考查已知式子的值求分式的值，完全平方公式，由m−2m2=32=9， 得到m2+4m2=13，是解题的关键．【变式4-1】（2023·全国·八年级假期作业）若xy=32，则x+yy的值为（    ）A．13 B．−13 C．12 D．52【答案】D【分析】根据等式的性质求出x=32y，代入所求式子中，即可求出答案．【详解】∵xy=32，∴x=32y，∴x+yy=32y+yy=52yy=52，故选：D．【点睛】本题考查了等式的性质，分式的求值，能灵活运用等式的性质进行变形是解此题的关键．【变式4-2】（2023上·云南昆明·八年级统考期末）若a3+3a2+a=0，则2023a2a4−2030a2+1= ．【答案】0或−1【分析】当a=0时，原式为0，当a≠0时，根据已知条件是得到a+1a=−3，再根据完全平方公式的变形得到a2+1a2=7，所求式子分子分母同时除以a2变形为2023a2+1a2−2030，由此代值计算即可．【详解】解：①若a=0，则2023a2a4−2030a2+1=0．②若a≠0，则每项都除以a得a2+3a+1=0，每项都除以a得a+1a=−3，∴a2+1a2=a+1a2−2=7，则2023a2a4−2030a2+1=2023a2+1a2−2030=20237−2030=−1∴2023a2a4−2030a2+1的值为0或−1，故答案为：0或−1．【点睛】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式的变形求解，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．【变式4-3】（2023·浙江杭州·八年级期末）设非零实数a、b、c满足a+2b+3c=02a+3b+4c=0则ab+bc+caa2+b2+c2的值为（    ）A．−12 B．0 C．12 D．1【答案】A【分析】把已知方程组的两个方程相减，求出a+b+c的值，再把所得的等式两边同平方，进行化简变形，即可求出所求式子的值．【详解】{a+2b+3c=0①2a+3b+4c=0②，②−①得：a+b+c=0，即：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+ca+bc)=0，∴ab+bc+ca=−12 (a2+b2+c2)，∴ab+bc+caa2+b2+c2=−12．故选A．【点睛】本题主要考查三元一次方程组以及分式的求值，熟练掌握加减消元法以及等式的基本性质，是解题的关键．【题型5 分式的规律性问题】【例5】（2023上·贵州铜仁·八年级统考期末）已知一列分式，x2y，−x5y3，x10y6，−x17y10,x26y15,−x37y21…，观察其规律，则第n个分式是 ．【答案】(−1)n+1xn2+1y12n(n+1)【分析】分别找出符号，分母，分子的规律，从而得出第n个分式的式子．【详解】观察发现符号规律为：正负间或出现，故第n项的符号为：(−1)n+1分母规律为：y的次序依次增加2、3、4等等，故第n项为：y1+2+3+⋯+n=y12n(n+1)分子规律为：x的次数为对应项的平方加1，故第n项为：xn2+1故答案为：(−1)n+1xn2+1y12n(n+1)．【点睛】本题考查找寻规律，需要注意，除了寻找数字规律外，我们还要寻找符号规律．【变式5-1】（2023下·贵州铜仁·八年级统考期末）小苗探究了一道有关分式的规律题，1x+3，3x+5，4x+7，7x+9，11x+11， ，29x+15，…请按照此规律在横线上补写出第6个分式．【答案】18x+13【分析】利用给出的式子的每一项和项数的关系，找到规律，即每一项的分母中的常数都是项数的2倍加1，分子都是前两个分式分子和得答案．【详解】解：由给出的式子的特点，即每一项的分母中的常数都是项数的2倍加1，分子都是前两个分式分子和，由此可得第6个式子是7+11x+2×6+1=18x+13．故答案为18x+13．【点睛】本题考查了归纳推理，这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理成为归纳推理．【变式5-2】（2023下·安徽安庆·八年级安庆市第四中学校考期末）已知y1＝1x−1，y2＝11−y1，y3＝11−y2，y4＝11−y3，…，yn＝11−yn−1，请计算y2020＝ （请用含x的代数式表示）．【答案】1x−1【分析】通过计算发现运算结果1x−1，x−1x−2，2−x循环出现，则y2020＝y1＝1x−1．【详解】解：∵y1＝1x−1，∴y2＝11−y1＝11−1x−1＝x−1x−2，y3＝11−y2＝11−x−1x−2＝2−x，y4＝11−y3＝11−2+x＝1x−1，……，∴运算结果1x−1，x−1x−2，2−x循环出现，∵2020÷3=673⋯⋯1，∴y2020＝y1＝1x−1，故答案为：1x−1．【点睛】本题考查数字的变化规律，通过计算，探索出运算结果的循环规律是解题的关键．【变式5-3】（2023上·江苏徐州·八年级校联考期末）观察分析下列方程：①x+2x＝3；②x+6x＝5；③x+12x＝7，请利用他们所蕴含的规律，写出这一组方程中的第n个方程是 ．【答案】x+n(n+1)x ＝n+（n+1）【分析】方程中的分式的分子变化规律为：n（n+1），方程的右边的变化规律为n+（n+1）．【详解】∵第1个方程为x+1×2x＝1+2，第2个方程为x+2×3x＝2+3，第3个方程为x+3×4x＝3+4，…∴第n个方程为x+n(n+1)x＝n+（n+1）．故答案是：x+n(n+1)x＝n+（n+1）．【点睛】本题考查了分式的定义.该题属于寻找规律的题目，对于此类题型，应观察哪部分没有发生变化，哪部分发生了变化，变化的规律是什么.【题型6 由分式的值为正（负）求字母的取值范围】【例6】（2023下·江苏·八年级期中）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：当x取何值时，分式1−x2x−1的值为正？解：依题意，得1−x2x−1>0则有(1)2x−1>01−x>0或(2)2x−1<01−x<0解不等式组(1)得：120(1)或3x+2>0x−2<0(2)解不等式组(1)得：无解；解不等式组(2)得：−23−2且x≠1【分析】由分式x+2x2−2x+1的值为正数，得到x2−2x+1=x−12>0，x+2>0，即可得到x的取值范围．【详解】解：∵分式x+2x2−2x+1的值为正数，∴x2−2x+1=x−12>0，x+2>0，解得x>−2且x≠1，即x的取值范围是x>−2且x≠1．故答案为：x>−2且x≠1【点睛】此题考查了分式的性质，熟练掌握两数相除，同号得正，异号得负是解题的关键．【题型7 求使分式的值为整数时字母的的整数值】【例7】（2023上·上海徐汇·八年级上海市西南模范中学校考期中）当整数x＝ 时，分式2x+2x2−1的值为正整数．【答案】2或3．【分析】先把分式2x+2x2−1进行因式分解，然后约分，再根据分式的值是正整数，得出x-1的取值，从而得出x的值．【详解】2x+2x2−1＝2(x+1)(x+1)(x−1)=2x−1，要使2x−1的值是正整数，则分母x﹣1必须是2的约数，即x﹣1＝1或2，则x＝2或3，故答案为：2或3【点睛】此题考查了分式的值，解题的关键是根据分式式2x+2x2−1的值是正整数，讨论出分母x-1的得数．【变式7-1】（2023上·上海浦东新·八年级校考期中）当x满足 时，分式3x−x4x的值为整数．【答案】x<0【分析】分当x>0和x<0时两种情况讨论，去绝对值符号即可求解．【详解】解：当x>0时，3x−x4x=3x−x4x=2x4x=12，当x<0时，3x−x4x=−3x−x4x=−4x4x=−1，是整数，故答案为：x<0．【点睛】本题考查了求分式的值，绝对值的性质，分类求解是解题的关键．【变式7-2】（2023下·湖南株洲·八年级株洲二中校考期末）使分式7x−1的值为整数的所有整数x的和为（    ）A．8 B．4 C．0 D．−2【答案】B【分析】由整除的性质可知，x−1是7的因数，即可分别得出符合题意的x值，再求和即可．【详解】解：∵ 7x−1的值为整数，∴x−1为7的因数，∴x−1=±1，或x−1=±7．又∵x为整数，∴x=2，或x=0，或x=8，或x=−6，∴2+0+8−6=4，故选：B．【点睛】本题考查了分式的值，掌握整除的性质是解题的关键．本题是基础知识的考查，比较简单．【变式7-3】（2023上·安徽宣城·八年级校考期中）当x​为何整数时，(1)​分式42x+1的值为正整数；(2)​分式x+2x−1​的值是整数．【答案】(1)0(2)2​或0​或4​或−2【分析】（1）​若使该式的值为正整数，则2x+1​能够被4​整除，所以2x+1​可以为1​，2​，4​；即x=0​，0.5​，1.5；由x​为整数得，x=0​即可；（2）​分式x+2x−1​进行变形，化为1+3x−1​，若要使x+2x−1​值为整数，则3x−1​的值一定是整数，则x−1​一定是3​的约数，从而求得x​的值．【详解】（1）解：若使该式的值为正整数，则2x+1​能够被4​整除，∴2x+1​可以为1​，2​，4​，∴x=0​，0.5​，1.5​，∵x​为整数，∴x=0​；（2）解：x+2x−1=x−1+3x−1=1+3x−1​，∵x+2x−1​的值为整数，且x​为整数；∴x−1​为3​的约数，∴x−1​的值为1​或−1​或3​或−3​；∴x​的值为2​或0​或4​或−2​．【点睛】此题考查了分式的值，分式的加减，解决此题的关键是要熟练掌握分式的加减法法则．【知识点2 分式的基本性质】分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。；（C≠0）。【题型8 利用分式的基本性质判断分式值的变化】【例8】（2023下·山西运城·八年级统考期末）下列分式的变形正确的是（　　）A．1−a−b=−1a−b B．x2+y2x+y=x+yC．ab=a+1b+1 D．a2−1a+1=a−1【答案】D【分析】根据分式的基本性质依次判断即可．【详解】A.1−a−b=−1a+b ，故此选项不符合题意；B.x2+y2x+y是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题；C.a+1b+1是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题意；D.a2−1a+1=a+1a−1a+1=a−1，正确，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了分式的基本性质和最简分式，分子分母不含公因式的分式叫做最简分式．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．【变式8-1】（2023上·八年级单元测试）若aa−a2=1a−1，则a的取值范围是（    ）A．a>0且a≠1 B．a≤0 C．a≠0且a≠1 D．a<0【答案】D【分析】直接利用分式与绝对值的基本性质，结合化简后结果得出a的取值范围．【详解】解：∵ |a|a−a2=1a−1，∴ |a|a−a2=−a−a(a−1)=1a−1，∴a<0，故选：D．【点睛】此题主要考查了分式的基本性质，正确结合最后结果得出a的符号是解题关键．【变式8-2】（2023下·江苏盐城·八年级统考期中）系数化成整数且结果化为最简分式：0.25a−0.2b0.1a+0.3b= ．【答案】5a−4b2a+6b【分析】利用分式的性质，分子分母同乘100，再进行化简即可．【详解】解：根据分式的基本性质得：0.25−0.2b0.1a+0.3b=100(0.25−0.2)100(0.1a+0.3b)=25a−20b10a+30b=5a−4b2a+6b，故答案为：5a−4b2a+6b．【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘或都除以同一个不为0的整式，分式的值不变．【变式8-3】（2023·全国·八年级专题练习）若把x，y的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（　　）A．xyx+y B．(x+y)2x2 C．y+2x+2 D．2xy2−x2【答案】B【分析】根据分式的性质化简即可；【详解】解：A、2x·2y2x+2y=2×xyx+y，分式的值不能保持不变，故此选项不符合题意；B、2x+2y22x2=x+y2x2，分式的值保持不变，故此选项符合题意；C、2y+22x+2=y+1x+1，分式的值不能保持不变，故此选项不符合题意；D、2×2x2y2−2x2=xy2−x2，分式的值不能保持不变，故此选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，准确分析判断是解题的关键．【题型9 最简公分母】【例9】（2023上·八年级课时练习）分式1x2−x，1x2+x的最简公分母是（   ）A．(x+1)(x−1) B．x(x+1)(x−1) C．x2(x+1)(x−1) D．x(x−1)2【答案】B【分析】根据确定最简公分母的方法逐项分析即可，确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．【详解】∵两个分式的分母分别是：x2-x=x(x-1)，x2+x=x(x+1)，∴最简公分母是x(x-1)(x+1)故选：B【点睛】本题考查了最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解答本题的关键，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母.【变式9-1】（2023上·湖北恩施·八年级校联考阶段练习）下列三个分式12x2、5x−14m−n、3x的最简公分母是（    ）A．4m−nx B．4m−nx2 C．14m−nx2 D．4m−nx2【答案】D【分析】确实最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母；【详解】分式 12x2 、5x−14(m−n) 、3x 的分母分别是2x2 、4(m−n) 、x ，故最简公分母是4(m−n)x2，故选：D．【点睛】本题考查了最简公分母的定义及求法，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母；正确掌握求最简公分母的方法是解题的关键．【变式9-2】（2023上·河南三门峡·八年级统考期末）1a+1−1a2−2a+1+11−a的最简公分母是(     )A．a+1a−1 B．a+1a2−2a+1a−1 C．a−1a2−2a+1 D．a+1a−12【答案】D【分析】确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积，②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母．【详解】解：1a+1−1a2−2a+1+11−a=1a+1−1a−12−1a−1的最简公分母为：a+1a−12．故选：D．【点睛】本题考查了最简公分母，掌握求最简公分母的方法是解题的关键．【变式9-3】（2023下·江苏扬州·八年级校考阶段练习）已知分式与12ya与−1bxy(a，b是常数且b≠0)的最简公分母为10xy3，则b= 【答案】±5或±10【分析】根据题意可知2与b的最小公倍数是10，由此可解．【详解】解：依题意得：2与b的最小公倍数是10，a=3∴b=5或b=10∴b=±5或b=±10故答案为：±5或±10【点睛】本题考查最简公分母，掌握最简公分母的系数是分母数字因式的最小正公倍数是解题的关键．注意若分母出现多项式时确定最简公分母需要先因式分解．【题型10 最简分式】【例10】（2023下·河南平顶山·八年级统考期末）下列分式：①22x+4；②x2+y2x+y；③x2−1x2+x；④x+1x2+1，其中最简分式有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据最简分式的定义即可求出答案．【详解】解：①22x+4=22x+2=1x+2，故此分式不是最简分式，不符合题意；②x2+y2x+y是最简分式，符合题意；③x2−1x2+x=x+1x−1xx+1=x−1x，故此分式不是最简分式，不符合题意；④x+1x2+1是最简分式，符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了最简分式的判定，解的关键是正确理解最简分式的定义．【变式10-1】（2023·上海浦东新·八年级统考期末）下列分式是最简分式的是（　　）A．x2−14x−4 B．x2−2x−3x2−4x−5 C．2−x2x−1 D．3x3x−6【答案】C【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．【详解】A． x2−14x−4=(x+1)(x−1)4(x−1)=x+14，不符合题意；B．x2−2x−3x2−4x−5=(x+1)(x−3)(x+1)(x−5)=x−3x−5，不符合题意；C．2−x2x−1是最简分式，符合题意；D．3x3x−6=3x3(x−2)=xx−2，不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了最简分式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．分式化简时，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．【变式10-2】（2023上·福建福州·八年级统考期末）若m为实数，分式xx+2x2+m不是最简分式，则m= .【答案】0或－4【分析】由分式xx+2x2+m不是最简分式可得x或x+2是x2+m的一个因式，分含x和x+2两种情况，根据多项式乘以多项式的运算法则求出m的值即可.【详解】∵分式xx+2x2+m不是最简分式，∴x或x+2是x2+m的一个因式，当x是x2+m的一个因式x时，设另一个因式为x+a，则有x（x+a）=x2+ax=x2+m，∴m=0，当x+2是x2+m的一个因式时，设另一个因式为x+a，则有(x+2)(x+a)=x2+(a+2)x+2a=x2+m，∴a+2=0m=2a，解得：a=−2m=−4，故答案为：0或-4.【点睛】本题考查最简分式的定义及多项式乘以多项式，根据题意得出x或x+2是x2+m的一个因式是解题关键.【变式10-3】（2023上·河北邢台·八年级统考阶段练习）若9x9−△是一个最简分式，则“△”可以是（    ）A．3x B．x C．13x D．0.1x【答案】B【分析】根据最简分式的定义，即可求解．最简分式定义， 一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时 (即分子与分母互素)叫最简分式．【详解】解：A、9x9−3x=3x3−x，不是最简分式，故该选项不符合题意；B、9x9−x，是最简分式，故该选项符合题意；C、9x9−13x=27x27−x，不是最简分式，故该选项不符合题意；D、9x9−0.1x=90x90−x，不是最简分式，故该选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了最简分式，理解最简分式的定义是解题的关键．【题型11 约分、通分】【例11】（2023上·河北邯郸·八年级期末）小丽在化简分式∗x2−1=x−1x+1时，∗部分不小心滴上小墨水，请你推测（    ）A．x2﹣2x+1 B．x2+2x+1 C．x2﹣1 D．x2﹣2x﹣1【答案】A【分析】直接利用分式的性质结合约分得出答案．【详解】解：∵∗x2−1=x−1x+1，∴∗(x+1)(x−1)=(x−1)2(x+1)(x−1)=x2−2x+1x2−1，故*部分的式子应该是x2﹣2x+1．故选：A．【点睛】此题主要考查了约分，正确掌握分式的性质是解题关键．【变式11-1】（2023上·八年级课时练习）分式3aa2−b2的分母经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分子应变为（　　）A．6a（a﹣b）2（a+b） B．2（a﹣b）C．6a（a﹣b） D．6a（a+b）【答案】C【分析】分式3aa2−b2 的分母a2﹣b2=（a﹣b）（a+b），经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分母乘以了2（a﹣b），根据分式的基本性质，将分子3a乘以2（a﹣b），计算即可得解．【详解】解：3aa2−b2=3a·2a−ba+ba−b·2a−b=6aa−b2a−b2a+b．故选C．【变式11-2】（2023上·黑龙江佳木斯·八年级统考期末）下列约分正确的有（   ）（1）a2−2a−3a2+2a+1=a−3a+1；（2） am−n3bn−m3=1；（3） 2+xyxy+2=0；（4） a+mb+m=abA．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】原式各项约分得到结果，即可做出判断．【详解】（1）a-3a+1a+12=a-3a+1，故此项正确；（2） am−n3bn−m3=−am−n3bm−n3=−ab，故此项错误；（3） 2+xyxy+2=xy+2xy+2=1，故此项错误；（4） a+mb+m不能约分，故此项错误；综上所述答案选B【点睛】此题考查了约分，约分的关键是找出分子分母的公因式．【变式11-3】（2023下·江苏宿迁·八年级统考期中）（1）约分：3a2b6ab （2）通分：2b3a2与abc【答案】（1）a2；（2）2b2c3a2bc与3a33a2bc【分析】（1）直接利用分式的性质化简，进而得出答案；（2）首先得出最简公分母，进而得出答案．【详解】解：（1）3a2b6ab=3ab×a3ab×2=a2；（2）2b3a2与abc最简公分母为：3a2bc，则：2b3a2=2b×bc3a2×bc=2b2c3a2bc，abc=a×3a2bc×3a2=3a33a2bc．【点睛】本题主要考查了通分与约分，正确掌握分式的性质是解题关键．【题型12 运用分式的基本性质求值】【例12】（2023下·江苏无锡·八年级校联考期中）已知a、b、c为有理数，且aba+b=1，bcb+c=12，aca+c=13，那么abcab+bc+ca的值是多少？【答案】abcbc+ac+ab=13【分析】根据aba+b=1，得出a+bab=1，也即1a+1b=1，同理可得出1b+1c=2，1c+1a=3，继而得出1a+1b+1c=3，通分可得到bc+ac+ababc=3，倒过来即是abcbc+ac+ab=13.【详解】∵aba+b=1，∴a+bab=1，∵bcb+c=12，∴b+cbc=2，∵aca+c=13，∴a+cac=3，∴1a+1b=1，1b+1c=2，1c+1a=3，∴1a+1b+1c=3，∴bc+ac+ababc=3，∴abcbc+ac+ab=13.【点睛】本题属于拔高题，考查多项式的通分与求解运算，需要熟练运用倒数的关系.【变式12-1】（2023上·上海黄浦·八年级上海市卢湾中学校考期末）如果4xx2−4=ax+2−bx−2，那么a+b的值是 ．【答案】0【分析】先将分式方程每一部分的分母通分，然后观察方程的左边和右边，使方程两边的分子部分相同即可解决.【详解】解：4xx2−4=ax−2ax2−4−bx+2bx4−44xx2−4=(a−b)x−2(a+b)x2−4所以a−b=4，a+b=0故答案是：0【点睛】本题考查了分式通分，将方程两边变为同分母，然后比较分子得出结论是解决本题的关键.【变式12-2】（2023上·八年级课时练习）若1x+1y=2，则2x−xy+2y3x+5xy+3y= 【答案】311【分析】由1x+1y=2，得x+y=2xy，整体代入所求的式子化简即可．【详解】1x+1y=2，得x+y=2xy则2x−xy+2y3x+5xy+3y=2⋅2xy−xy3⋅2xy+5xy=3xy11xy=311，故答案为：311.【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题关键是用到了整体代入的思想．【变式12-3】（2023上·四川达州·八年级统考期末）若2x−y+4z=0，4x+3y−2z=0．则xy+yz+zxx2+y2+z2的值为 【答案】−16【分析】先由题意2x−y+4z=0 ，4x+3y−2z=0，得出用含x的式子分别表示y，z，然后带入要求的式中，化简便可求出.【详解】2x-y+4z= 0①，4x+3y- 2z= 0②，将②×2得: 8x+ 6y-4z=0③．①+③得: 10x+ 5y= 0，∴y= -2x，将y= - 2x代入①中得:2x- (-2x)+4z=0∴z=-x将y= -2x，z=-x，代入上式xy+yz+zxx2+y2+z2=x·−2x+−2x·−x+−x·xx2+−2x2+−x2=−2x2+2x2−x2x2+4x2+x2=−x26x2=−16故答案为：−16【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是根据题目，得出用含x的式子表示y，z.本题较难，要学会灵活化简.