初中数学人教版八年级上册第十五章 分式综合与测试优秀同步达标检测题

过关卷15.1-2 分式的性质及运算

一、选择题（每小题3分，共36分）

1．（2021·湖南·衡南县北斗星中学八年级期中）代数式1－是（    ）

A．单项式 B．多项式 C．分式 D．整式

【答案】C

【分析】

根据分式的概念进行判断即可．

【详解】

解：代数式的分母中含有字母x，则它是分式．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了分式的概念，注意：分母中含有字母的式子叫分式．

2．（2021·山东·济宁市实验初中八年级月考）若分式的值为0，则（　　）

A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝2 D．x＝1或x＝2

【答案】C

【分析】

根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零解答即可．

【详解】

解：根据题意，则

，，

∴，；

故选：C．

【点睛】

本题考查分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．

3．（2021·河北·石家庄新世纪外国语学校八年级月考）要使分式有意义，则应满足的条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

直接利用分式有意义则分母不等于零，进而得出答案．

【详解】

解：∵分式有意义，

∴x+1≠0，

解得：x≠-1．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．

4．（2021·湖南·衡阳市华新实验中学八年级月考）下列分式是最简分式的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

利用最简分式定义判断即可．

【详解】

解：A、原式为最简分式，符合题意；
B、原式=，不符合题意；
C、原式=，不符合题意；
D、原式=，不符合题意．
故选：A．

【点睛】

本题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的判定方法是解题的关键．

5．（2021·广西岑溪·七年级期末）下列分式中，把x，y的值同时扩大2倍后，值不变的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

把，的值同时扩大2倍后，运用分式的基本性质进行化简，即可得出结论．

【详解】

解：A选项，把，的值同时扩大2倍后得：，值发生了变化，故该选项不符合题意；

B选项，把，的值同时扩大2倍后得：，值缩小了一半，故该选项不符合题意；

C选项，把，的值同时扩大2倍后得：，值不变，故该选项符合题意；

D选项，把，的值同时扩大2倍后得：，值变成了原来的2倍，故该选项不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．

6．（2021·安徽·九年级专题练习）下列关于分式的说法，错误的是(　　)

A．当x>-2时，分式的值一定为负数

B．当x=0时，分式没有意义

C．当x<-2时，分式的值一定为正数

D．当x=-2时，分式的值为0

【答案】A

【分析】

根据“分式的分子分母同号时，分式的值为正数，当分式的分子分母异号时，分式的值为负数”判断A，C选项；根据“分式的分母为0时，分式没有意义”判断B选项；根据“当分式的分母不为0，且分子为0时，分式的值为0”判断D选项．

【详解】

解：A项：当x=1时，分式的值为正数，故此选项错误，符合题意；

B项：当x=0时，分式没有意义，正确，故此选项不合题意；

C项：当x<-2时，分式的值一定为正数，正确，故此选项不合题意；

D项：当x=-2时，分式的值为0，正确，故此选项不合题意．

故选A．

【点睛】

本题考查了分式的值为0的条件，分式无意义的条件，以及分式的值为正数或负数的条件．正确掌握相关性质是解题的关键．

7．（2020·全国·八年级课时练习）计算的结果为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

先除法转化为乘法，再约分即可得．

【详解】

解：

．

故选：．

【点睛】

本题考查了分式的除法，解题关键是明确分式除法法则，准确进行计算．

8．（2021·全国·八年级课时练习）下列各分式运算结果正确的是（    ）

①；②；③；④

A．①③ B．②④ C．①② D．③④

【答案】C

【分析】

根据分式乘除法则逐一计算判断即可．

【详解】

解：①，计算正确；

②，计算正确；

③，计算错误；

④，计算错误；

故选C．

【点睛】

本题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．

9．（2021·湖南永兴·八年级月考）把数据0.0000046用科学计数法表示为（     ）

A．46×10-7 B．4.6×10-6 C．4.6×10-7 D．0.46×10-5

【答案】B

【分析】

用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．

【详解】

故选B

【点睛】

此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，确定a与n的值是解题的关键．

10．（2021·北京昌平·八年级期中）对于正数x，规定f（x）＝，例如f（4）＝，，则f（2021）+f（2020）+…+f（2）+f（1）+f（）+…的结果是（　　）

A． B．4039 C． D．4041

【答案】C

【分析】

根据已知规定，可得，进而可以解决问题．

【详解】

解：∵f（x）＝，，

∴，

∴f（2021）+f（2020）+…+f（2）+f（1）+f（）+…

=

=

=，

故选：C．

【点睛】

本题考查了规律型：数字的变化类，分式的加法．解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．

11．（2021·山东·济宁市实验初中八年级月考）若ab＝1，m＝，则m2021的值为（　　）

A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2

【答案】A

【分析】

先把进行化简，然后代入计算，即可得到答案．

【详解】

解：∵ab＝1，

∴

；

∴；

故选：A．

【点睛】

本题考查了分式的化简求值，解题的关键是正确的进行化简．

12．（2021·江苏苏州·七年级月考）如果关于x的不等式组的解集为，且整数m使得关于的二元一次方程组的解为整数（均为整数），则符合条件的所有整数m的和是（    ）

A． B．2 C．4 D．12

【答案】C

【分析】

解不等式组，结合其解集得出m≤4；解方程组得出其解，结合解均为整数得出整数m的值；综合前面m的取值范围确定m的最终取值，从而得出答案．

【详解】

解：解不等式＞0，得：x＞m，

解不等式﹣x＜﹣4，得：x＞4，

∵不等式组的解集为x＞4，

∴m≤4，

解方程组得，

∵x，y均为整数，

∴m＝4或m＝8或m＝2或m＝﹣2，

又m≤4，

∴m＝4或m＝2或m＝﹣2，

则符合条件的所有整数m的和是4，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查解一元一次不等式组和二元一次方程组以及分式的整数值，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组和二元一次方程组以及求分式的整数值的能力，并据此得出m的最终取值．

二、填空题（每小题3分，共18分）

13．（2021·四川成都·八年级期末）若，则的值是______．

【答案】

【分析】

直接利用已知得出m＝n，再代入化简得出答案．

【详解】

解：∵，

∴m＝n，

∴＝．

故答案为：．

【点睛】

此题主要考查了分式的求解，正确代入化简是解题关键．

14．（2021·山东·济宁市实验初中八年级月考）分式，的最简公分母为___．

【答案】

【分析】

根据最简公分母的确定方法解答．

【详解】

解：分式，的最简公分母为；

故答案为：；

【点睛】

本题考查的是最简公分母的概念，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．

15．（2021·山东·济宁市第十三中学八年级月考）计算：__________．

【答案】

【分析】

根据分式的乘法和除法运算，将除法转化为乘法运算，进而根据同底数幂的乘法进行计算即可．

【详解】

．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了分式的乘除法运算，同底数幂的乘法运算，将除法转化为乘法运算是解题的关键．

16．（2021·湖南·衡阳市华新实验中学八年级月考）计算：并将结果化为正整指数幂的形式________．

【答案】

【详解】

故答案为：

【点睛】

本题考查了积的乘方以及同底数幂相乘，负整数指数幂，掌握以上知识是解题的关键．

17．（2021·湖南·衡南县北斗星中学八年级期中）若（A、B为常数），则A•B的值为______．

【答案】7

【分析】

通过通分得到分子的对应项，从而求得A、B的值，则易求A⋅B的值．

【详解】

解：∵，

∴，

∴，解得，

∴．

故答案是：7．

【点睛】

本题考查了分式的加减法，先通分，然后进行同分母分式加减运算．

18．（2021·四川成都·八年级期末）甲、乙两位采购员同去一家面粉公司购买两次面粉，两次面粉的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买800kg，乙每次用去600元，而不管购买多少面粉．设两次购买的面粉单价分别为元/kg和元/kg（，是正数，且），那么甲所购面粉的平均单价是______元，在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为______．（结果用含，的代数式表示，需化为最简形式）

【答案】       

【分析】

根据题意可用含的代数式表示出平均单价，根据总价除以总重量即可求得，进而根据甲的单价减去乙的单价进而求得其差值．

【详解】

解：由题意可得，甲购买面粉的平均单价是：

，

乙购买面粉的平均单价是：

在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为：

高的平均单价与低的平均单价的差值为：．

故答案为：，．

【点睛】

本题考查了列代数式，分式的减法运算，理解题意列出代数式是解题的关键．

三、解答题（19题6分，其余每题8分，共46分）

19．（2021·全国·八年级课时练习）当x为何值时，下列分式有意义？

（1）；（2）；（3）

【答案】（1）；（2）；（3）

【分析】

（1）根据分式有意义的条件，即分母不等于0求解；

（2）根据分式有意义的条件，即分母不等于0求解；

（3）根据分式有意义的条件，即分母不等于0求解．

【详解】

解：（1）要有意义，则有：

（2）要有意义，则有：

（3）要有意义，则有：x≠0
【点睛】

本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不等于0是解答此题的关键．

20．（2021·全国·八年级课时练习）通分和．

【答案】，

【分析】

先将两个分式的分母因式分解，然后找到两个分式的最简公分母，然后根据分式的性质，分母乘以多少，分子也乘以多少，化简整理即可．

【详解】

解：∵，

∴两个分式的最简公分母为，

∴

；

．

【点睛】

本题主要考查了通分，通分的关键是最简公分母，注意运用分式的性质，分子分母同时扩大相同的倍数，分式的值不变．

21．（2021·全国·八年级课时练习）化简下列分式：

（1）；

（2）；

（3）．

【答案】（1）；（2）；（3）

【分析】

（1）根据分式的约分的方法可以化简本题；

（2）分式的分子分母能因式分解的先因式分解，然后约分即可解答本题；

（3）分式的分子分母能因式分解的先因式分解，然后约分即可解答本题．

【详解】

解：（1）；

（2）；

（3）．

【点睛】

本题考查了约分，解题的关键是明确分式约分的方法．

22．（2021·河北·石家庄新世纪外国语学校八年级月考）先化简，然后从的范围内选择一个合适的整数作为的值代入求值

【答案】，或1，原式值为1或3

【分析】

按运算顺序，先算括号里的减法，再算除法，最后化简即可；再在的整数中，排除使分式无意义的整数，余下的整数均合适，取其中一个代入求值即可．

【详解】

原式

．

 −2<a≤2 的范围内选择一个合适的整数有-1，0，1，2

由分式有意义的条件可知：，，

∴或

当时，原式

当时，原式

故原式值为1或3．

【点睛】

本题是分式的化简求值问题，考查了分式的混合运算及求代数式的值，关键是分式的运算，注意的是：运算顺序不要出错，计算不要出错；所取a的值必须使分式有意义．

23．（2021·安徽瑶海·七年级期末）观察下列等式：

，①，②

，③，④，⑤……

（1）请按上述规律写出第2021个算式，然后把一共2021个算式两边分别相加并计算出等式右边；

（2）根据第（1）小题计算，总结规律并填空：________；

（3）根据发现的规律，在小于60的正整数中，求出8个数，使得它们的倒数和等于1

【答案】（1），；（2）；（3）2，6，12，20，30，42，56，8

【分析】

（1）规律为分母为两个自然数的乘积，分子是分母乘式中乘数与被乘数的差，其结果为连续的两个自然数的倒数的差，根据规律写出算式即可；

（2）根据（1）中的结论计算即可；

（3）根据题意设计倒数和为1的8个数即可．

【详解】

解：（1）

．

（2）

．

（3）∵

∴

∴

∴这8个数为2，6，12，20，30，42，56，8．

【点睛】

本题考查了规律探索问题，有理数的加减混合运算，分式的计算，找到规律是解题的关键．

24．（2021·河南社旗·八年级月考）某地产公司为了吸引年轻人购房，持推出“主房+多变入户花园”的两种户型．即在图1中边长为a米的正方形主房进行改造．

户型一是在主房两侧均加长b米（0＜9b＜a）．阴影部分作为入户花园，如图2所示．

户型二是在主房一边减少b米后，另一边再增加b米，阴影部分作为入户花园．如图3所示．

解答下列问题：

（1）设两种户型的主房面积差为M，入户花园的面积差为N，试比较M和N的大小．

（2）若户型一的总价为50万元，户型二的总价为40万元，试判断哪种户型单价较低，并说明理由．

【答案】（1）M＜N；（2）户型二的单价较低．理由见解析．

【分析】

（1）分别计算两种户型的主房面积，相减可得M，再计算两种户型的入户花园的面积，相减可得N，计算M−N小于0，可以判断M和N的大小；

（2）根据总价÷总面积＝单价，计算两种单价差，即可作出判断．

【详解】

解：（1）∵M＝a2﹣a（a﹣b）＝a2﹣a2+ab＝ab，

N＝（a+b）2﹣a2﹣b（a﹣b）＝a2+2ab+b2﹣a2﹣ab+b2＝ab+2b2，

∴M﹣N＝ab﹣（ab+2b2）＝﹣2b2，

∵9b＞0，

∴﹣2b2＜0，

∴M﹣N＜0，

∴M＜N；

（2）户型一的单价为：万元，

户型二的单价为：万元，

∴

∵0＜9b＜a，

∴a﹣9b＞0，a﹣b＞0，

∴＞0，

∴户型二的单价较低．

【点睛】

此题考查了代数式大小比较及分式加减法的应用等知识，掌握整式混合运算与分式加减法的运算法则并利用作差法比较大小是解题关键．