人教版（2024）八年级上册15.3 分式方程习题

这是一份人教版（2024）八年级上册15.3 分式方程习题，共62页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc23005" 【题型1 行程问题】 PAGEREF _Tc23005 \h 1
\l "_Tc24232" 【题型2 工程问题】 PAGEREF _Tc24232 \h 2
\l "_Tc1109" 【题型3 销售问题】 PAGEREF _Tc1109 \h 3
\l "_Tc18769" 【题型4 数字问题】 PAGEREF _Tc18769 \h 4
\l "_Tc8641" 【题型5 图形问题】 PAGEREF _Tc8641 \h 5
\l "_Tc1522" 【题型6 和差倍分问题】 PAGEREF _Tc1522 \h 6
\l "_Tc9679" 【题型7 比值问题】 PAGEREF _Tc9679 \h 7
\l "_Tc25115" 【题型8 航行问题】 PAGEREF _Tc25115 \h 8
\l "_Tc5627" 【题型9 素材问题】 PAGEREF _Tc5627 \h 9
\l "_Tc19138" 【题型10 方案问题】 PAGEREF _Tc19138 \h 13
【题型1 行程问题】
【例1】（2023上·山西吕梁·八年级统考期末）我国的铁路旅客列车，按不同的运行速度、运行范围、设备配置、作业特征等，分为不同的级别，列车的级别由车次开头的字母来表示（部分是纯数字）．如G字头，表示高速动车组旅客列车；D字头，表示动车组旅客列车；C字头，表示城际旅客列车；K字头，表示快速旅客列车，等等．吕梁站至太原南站约180km，随着交通的发展吕梁站至太原南站已开通了多次列车，其中“C150”次列车与“K1334”次列车相比，时速加快，并安全性更好．已知“C150”次列车的平均速度是速度是“K1334”次列车的43倍，并“C150”次列车从吕梁站至太原南站所用时间比“K1334”次列车少用30分钟（两列车中途停留时间均除外）．求“C150”次列车和“K1334”次列车从吕梁站至太原南站的平均速度分别是多少．
【变式1-1】（2023上·湖南长沙·八年级统考期末）八年级（1）班组织同学乘大巴车前往“韶山红色教育基地”开展爱国教育活动，基地离学校有120公里，队伍8:00从学校出发，刘老师因有事情，推迟了半个小时从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前10分钟到达基地，问：
(1)大巴与小车的平均速度各是多少？
(2)刘老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？
【变式1-2】（2023·福建省泉州第一中学八年级期末）如图，小刚家、王老师家、学校在同一条路上，小刚家到王老师家的路程为3千米，王老师家到学校的路程为0.5千米.由于小刚的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车送小刚上学.已知王老师骑自行车的速度是步行的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？
【变式1-3】（2023上·河北保定·八年级校联考期末）某日，河北经贸大学的青年志愿者协会举办了以“低碳生活，绿色出行”为主题的志愿活动．为响应“低碳生活，绿色出行”的号召，赵琦每天骑自行车或步行上学，已知赵琦家距离学校4千米，赵琦骑自行车的速度是步行速度的2.5倍（骑自行车和步行均是匀速），骑自行车上学比步行上学早到0.6小时．
(1)求赵琦步行上学的速度．
(2)若赵琦某次上学步行了0.5千米后发现没有带数学作业，于是他原速原路返回家拿数学作业，然后骑自行车去上学，他到家后开门、拿数学作业、取自行车等共用0.15小时，为了不迟到，赵琦以高于平时骑自行车的速度匀速向学校行驶．若赵琦从步行出门到最后到学校共用了0.6小时，求赵琦这次骑自行车的速度．
【题型2 工程问题】
【例2】（2023上·河北唐山·八年级统考期末）某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用30天时间完成整个工程．当一号施工队工作10天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前8天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程．
（1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
（2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？
【变式2-1】（2023下·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学校考期末）重庆育才成功学校食堂有10个供应饭菜的窗口，第1到5号窗口的每一位工作人员的打饭速度是相同的，第6到10号窗口是炒菜炒饭特色窗口，它的每一位工作人员的打饭速度是第1到5号窗口的每一位工作人员速度的18．小主人委员会同学在执勤时发现：第1到5号窗口分别都有相同数量的同学在排队，第6、7、8号窗口分别都有1号窗口数量的16的同学在排队，第9、10号窗口分别都有1号窗口数量的110同学在排队，从此时开始计时，第1到5号窗口在10分钟后结束排队，第6、7、8号窗口在18分钟以后结束排队，第9、10号窗口在15分钟以后结束排队．后来小主人委员会的同学从伙食团团长处了解到：第1到5号窗口全部安排给了甲组工作人员负责打饭，第6到10号窗口全部安排给了乙组工作人员负责打饭，其中乙组工作人员的35在6、7、8三个窗口打饭，另外的25在9、10号两个窗口打完饭后，再到6、7、8号窗口帮忙直到排队结束，如果在排队期间，每个窗口单位时间里来排队吃饭的同学数量相同，则甲、乙两组工作人员的人数之比是 ．
【变式2-2】（2023下·江苏盐城·八年级东台市三仓镇中学校考期中）某一项工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元，工程领导小组根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；
（3）若甲、乙两队合作4天，余下的工程由乙队单独也正好如期完成．
据上述条件解决下列问题：
①规定期限是多少天？写出解答过程；
②在不耽误工期的情况下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款?
【变式2-3】（2023下·重庆南岸·八年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）重庆市某垃圾填埋场生态修复工程全面竣工验收，全国最大垃圾填埋场摇身变为环境优美、空气宜人的生态绿地，实现了城市土地的循环再利用．修复之初，一期工程共有7500吨垃圾要运走，计划由甲、乙两个工程队运走垃圾．已知甲、乙两个工程队，原计划甲平均每天运走的垃圾比乙平均每天运走的垃圾多23，这样甲运走4500吨垃圾的时间比乙运走剩下垃圾的时间少两天．
(1)求原计划甲平均每天运垃圾多少吨？
(2)实际施工时，甲平均每天运走的垃圾比原计划增加了5a吨，乙平均每天运走的垃圾比原计划增加了a150，甲、乙合作7天后，甲临时有其他任务，剩下的垃圾由乙再单独工作2天完成．若运走每吨垃圾的运输费用为40元，请求出甲工程队的运输费用．
【题型3 销售问题】
【例3】（2023下·山东泰安·八年级肥城市实验中学校考期中）某个体经营户了解到有一种盒装商品能畅销市场，就用4万元购进这种商品，面市后果然供不应求，他又用8.8万元购进了第二批这种商品，所购数量是第一批购进量的2倍，但每盒单价涨了4元，他在销售这种盒装商品时每盒定价都是56元，最后剩下的150盒按八折销售，很快售完．
(1)该盒装商品两次的单价分别是多少元？
(2)在这两笔生意中，这位个体经营户共赢利多少元？
【变式3-1】（2023下·河南南阳·八年级南阳市第三中学校考阶段练习）《非机动车管理办法》规定：电动自行车驾驶人和乘坐人员应该戴安全头盔．某商店用1600元购进一批电动车头盔，销售发现供不应求，于是，又用5400元再购进一批头盔，第二批头盔的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵10元．第一批头盔进货单价多少元?
【变式3-2】（2023上·云南红河·八年级统考期末）昭通苹果和天麻美味可口，小明在昆明某超市购买1市斤昭通苹果和2市斤小草坝天麻需要支付105元，购买3市斤昭通苹果和5市斤小草坝天麻需要265元．
(1)1市斤昭通苹果和1市斤小草坝天麻的单价分别是多少元？
(2)昆明到昭通的距离大约350km，以前超市老板都会亲自去往昭通选果，但今年的疫情原因，只能选择专车托运，以前花240元进购的苹果现在要花300元，进货单价比原来贵了1元，原来1市斤苹果进货单价为多少？
【变式3-3】（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考阶段练习）成都大运会期间，吉祥物“蓉宝”的周边商品的销量不断上升．一家网店的店主统计了前两周的“蓉宝”单肩包的销售情况，发现第一周A型单肩包的销量是100个，B型单肩包销量是120个，总利润是2800元；第二周A型单肩包的销量是180个，B型单肩包的销量是200个，总利润是4800元．
(1)请问1个A型单肩包、1个B型单肩包的利润分别是多少元？
(2)店主在第三周调整了价格，A型单肩包每个涨价a元，B型单肩包每个降价a元，统计后发现，调整后的这周A、B两种型号单肩包的销量一样，并且A型单肩包的总利润达2400元，B型单肩包的总利润达2600元．求出a的值．
【题型4 数字问题】
【例4】（2023上·贵州铜仁·八年级校考期中）一个两位数的十位数字是6，如果把十位数字与个位数字对调，那么所得的两位数与原来的两位数之比是47，原来得两位数是 ．
【变式4-1】（2023上·全国·八年级专题练习）有一个最简分数，如果分子加1，分子则比分母少2；如果分母加1，则分数值等于12，原分数是 ．
【变式4-2】（2023·福建省泉州第一中学八年级期末）有一个两位数，它的个位数字比十位数字大1，这个两位数被个位数字除时，商是8，余数是2，求这个两位数．
【变式4-3】（2023上·山东潍坊·八年级校联考期末）一个二位数的十位数字与个位数字的和是12，如果交换十位数字与个位数字的位置并把所得到的新的二位数作为分子，把原来的二位数作为分母，所得的分数约分为47，则这个二位数是 ．
【题型5 图形问题】
【例5】（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考阶段练习）如图1，在一张长方形纸片的四个角分别剪去一个边长相等的正方形，可折叠成如图2的一个无盖长方体纸盒．
图1 图2
(1)若图1中原长方形纸片长20cm，宽16cm，被剪掉的正方形边长为acm，折叠得到的无盖长方体纸盒的长、宽、高之和为24cm，求a的值；
(2)现有60张同样规格的长方形纸片，可制作成60个无盖长方体纸盒，剪下来的正方形恰好全部制作成正方体（每个正方体需要6个正方形），现把20名同学分为甲、乙两组，甲组制作无盖长方体纸盒，乙组制作正方体，若甲组平均每人制作的无盖长方体纸盒个数是乙组平均每人制作的正方体个数的一半，求甲组有多少名同学？
【变式5-1】（2023下·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考阶段练习）一根水管因使用日久，内壁均匀地形成一层厚2mm的附着物，而导致流通截面面积减少至原来的916，这根水管原来的内壁直径是（ ）
A．8mmB．9mmC．16mmD．18mm
【变式5-2】（2023下·浙江杭州·八年级阶段练习）为抗击新冠疫情，义乌市某企业承接了一批口罩所需包装盒的制作业务，该企业进行了前期的试生产，如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱，（加工时接缝材料不计）
（1）该企业原计划用若干天加工纸箱300个，后来由于提升工作效率，实际加工时每天加工速度为原计划的1.5倍，这样提前3天超额完成了任务，且总共比原计划多加工15个，问原计划每天加工包装盒多少个；
（2）若该企业购进正方形纸板550张，长方形纸板1200张．问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完；
（3）该企业某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板100张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且150【变式5-3】（2023·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米a>1的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为a−1米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg．
(1)①“丰收1号”单位面积产量为__________kg/m2，
“丰收2号”单位面积产量为___________kgm2（以上结果均用含a的式子表示）；
②由图可知，_____________（填“1号”或“2号”）小麦的单位面积产量高；
(2)若高的单位面积产量比低的单位面积产量的多40a−12kg/m2，求a的值；
(3)某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，两种小麦试种的单位面积产量与实验田一致，“丰收1号”小麦种植面积为n平方米（n为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少55平方米．若两种小麦种植后，收获的产量相同，当a<8且a为整数时，符合条件的n的值为___________（直接写出结果）．
【题型6 和差倍分问题】
【例6】（2023上·四川广元·八年级统考期末）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的35？
(1)求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米；
(2)该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求最多建多少个A类摊位．
【变式6-1】（2023上·福建福州·八年级福建省福州屏东中学校考期中）学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习．甲同学跳120个所用的时间，乙同学可以跳180个；又已知甲每分钟比乙少跳20个，求每人每分钟各跳多少个？
【变式6-2】（2023上·山东东营·八年级校考期中）某学校决定购买A，B两种的亚运会纪念徽章作为“校园读书节”活动奖品，已知A种比B种每件多20元，预算资金为1600元．
(1)其中700元购买A种徽章，其余资金购买B种徽章，且购买B种的数量是A种的3倍．求A，B两种徽章的单价．
(2)购买当日，正逢“十一”大促销，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案：在不超过预算资金的前提下，准备购买A，B两种徽章共120件；问最多购买A种徽章的多少件？
【变式6-3】（2023上·湖南永州·八年级统考期中）在甲、乙两公司全体员工捐款活动中，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：
甲公司员工：我们公司的人数比你们公司少20人
乙公司员工：我们公司的人均捐款数是你们公司的76倍
(1)甲、乙两公司各有多少人？
(2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种物资，A种物资每箱15000元，B种物资每箱12000元．若购买B种物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来．（注：A、B两种物资均需购买，并按整箱配送．）
【题型7 比值问题】
【例7】（2023上·重庆江北·八年级统考期末）“巩固脱贫成果，长兴乡村经济”，大力发展高山生态经济林是一重大举措．某村委会决定在红光、红旗、红锦三个村民小组种植高山脆李和晚熟香桃两种果树，初步预算这三个村民小组各需两种果树之和的比为4∶5∶6，其中需要高山脆李树的棵数分别为4千棵，3千棵和7千棵，并且红光、红旗两个村民小组所需晚熟香桃树之比为2∶3．在购买这两种果树时，高山脆李树的价格比预算低了10%，晚熟香桃树的价格高了20%，晚熟香桃树购买数量减少了12.5%．结果发现购买两种果树的总费用与预算总费用相等，则实际购买高山脆李树的总费用与实际购买晚熟香桃树的总费用之比为 ．
【变式7-1】（2023上·河北保定·八年级校联考期末）数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声d，mi，s，研究15，12，10这三个数的倒数发现：112−115=110−112．我们称15，12，10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x，5，3（x>5），则可列关于x的方程为 （无需整理），解得x= ．
【变式7-2】（2023上·重庆·八年级重庆一中校考期末）腊味食品是川渝人民的最爱，去年12月份，某销售商出售腊肠、腊舌、腊肉的数量之比为3:5:3，腊肠、腊舌、腊肉的单价之比为3:3:2．今年1月份，该销售商将腊肠单价上调20%，腊舌、腊肉的单价不变，并加大了宣传力度，预计今年1月份的营业额将会增加，其中腊肉增加的营业额占总增加营业额的14，今年1月份腊肉的营业额将达到今年1月份总营业额的730．若腊舌今年1月份增加的营业额与今年1月份总营业额之比为1:5，则今年1月份出售腊肠与腊肉的数量之比是 ．
【变式7-3】（2023上·重庆大足·八年级统考期末）随着期末考试来临，李勇同学原计划延时服务期间复习语文、数学、英语的时间为2:4:4，班主任李老师提醒要学科均衡，补短板．他便将数学复习时间的20%分给了语文和英语，调整后语文和英语的复习时间之比为3:5．李勇同学非常刻苦，实际复习时还挤出部分休息时间分给了三个学科，其中20%分给了语文，余下的80%分别分给数学和英语，这样语文的总复习时间与三科总复习时间比为1:4．若李勇同学最终希望使数学与英语总复习时间比为5:6，那么数学的总复习时间与最后三科总复习时间之比为 ．
【题型8 航行问题】
【例8】（2023上·天津和平·八年级天津市汇文中学校考期末）一条船往返于甲，乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶，已知船在静水中的速度为8km/h，平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为2:1，某天恰逢暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了9h．则甲，乙两港之间的距离为（ ）
A．160km3B．15kmC．252kmD．20km
【变式8-1】（2023·浙江杭州·八年级期末）一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行108km所用时间是以最大航速逆流航行60km所用时间的1.2倍，则江水的流速为多少km/h？
【变式8-2】（2023上·河北唐山·八年级统考期中）一小船由A港顺流而下到B港需6h，由B港逆流而上到A港需8h．某天早晨6点，该船由A港出发驶向B港，到达B港时，发现船上一救生圈在途中掉入水中，于是立刻返回，1h后遇到救生圈．
(1)该船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小时？
(2)救生圈是何时掉入水中的？
【变式8-3】（2023上·江苏盐城·八年级校联考期末）图书管理员小张要骑车从学校到教育局，一出校门，遇到了王老师，王老师说：“今天有风，而且去时逆风，要吃亏了”，小张回答说：“去时逆风，回来时顺风，和无风往返一趟所用时间相同”．（顺风速度＝无风时骑车速度＋风速，逆风速度＝无风时骑车速度－风速）
（1）如果学校到教育局的路程是15 km，无风时小张骑自行车的速度是20 km/h，他逆风去教育局所用时间是顺风回学校所用时间的53倍，求风速是多少？
（2）如果设从学校到教育局的路程为s千米，无风时骑车速度为v千米/时，风速为a千米/时（v＞a），那么有风往返一趟的时间 无风往返一趟的时间（填“＞”、“＜”或“＝”），试说明理由．
【题型9 素材问题】
【例9】（2023下·浙江温州·八年级苍南县金乡镇第二中学校联考阶段练习）根据以下素材，探索完成任务.
【变式9-1】（2023下·浙江湖州·八年级校考期末）根据素材，完成活动任务：
【变式9-2】（2023下·浙江绍兴·八年级统考期末）根据以下素材，探索完成任务．
【变式9-3】（2023下·浙江温州·八年级阶段练习）根据素材，完成任务．
【题型10 方案问题】
【例10】（2023上·湖南永州·八年级校考阶段练习）永州市万达广场筹建之初的一项挖土工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款2.4万元，付乙工程队工程款1.8万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
(方案一)甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完成；
(方案二)乙队单独完成这项工程要比规定工期多用6天；
(方案三)若由甲、乙两队合作做5天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工．
(1)请你求出完成这项工程的规定时间；
(2)如果你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案?说明理由．
【变式10-1】（2023上·广西贵港·八年级统考期中）某开发公司生产的1920件新产品需要精加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知乙厂单独加工完这批产品比甲厂单独加工完这批产品多用20天，而乙厂每天加工的数量是甲厂每天加工数量的23，公司需付甲厂加工费用每天120 元，需付乙厂加工费用每天80元．
(1)甲、乙两个工厂每天各能加工多少个新产品？
(2)公司制定产品加工方案如下∶可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成；在加工过程中，公司派一名工程师到厂进行技术指导，并负担每天20元的午餐补助费．请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．
【变式10-2】（2023上·湖南永州·八年级统考期中）在甲、乙两公司全体员工捐款活动中，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：
甲公司员工：我们公司的人数比你们公司少20人
乙公司员工：我们公司的人均捐款数是你们公司的76倍
(1)甲、乙两公司各有多少人？
(2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种物资，A种物资每箱15000元，B种物资每箱12000元．若购买B种物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来．（注：A、B两种物资均需购买，并按整箱配送．）
【变式10-3】（2023上·广西南宁·八年级广西大学附属中学校考期中）为了丰富校园文化生活，某校八年级计划举办一场年级篮球赛．该校计划为篮球赛购置若干个篮球，经过与某体育用品经销商沟通，A型号篮球的单价比B型号的篮球单价多40元，且用1200元购买A型号篮球个数与用600元购买B型号篮球的个数相等．
(1)求A型号篮球和B型号篮球的单价分别是多少元？
(2)该体育用品店给出了两种让利活动，购买时只能选择其中一种方案．
方案一：所有商品打9折销售；
方案二：买3个A型号篮球，免费赠送1个B型号篮球（不足3个不赠送）．
若该校需要购买15个A型号篮球和xx≥5个B型号篮球，则上述两种购买方案中，哪一种方案更省钱，并说明理由．
专题15.4 分式方程的实际应用【十大题型】
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc23005" 【题型1 行程问题】 PAGEREF _Tc23005 \h 1
\l "_Tc24232" 【题型2 工程问题】 PAGEREF _Tc24232 \h 4
\l "_Tc1109" 【题型3 销售问题】 PAGEREF _Tc1109 \h 8
\l "_Tc18769" 【题型4 数字问题】 PAGEREF _Tc18769 \h 11
\l "_Tc8641" 【题型5 图形问题】 PAGEREF _Tc8641 \h 13
\l "_Tc1522" 【题型6 和差倍分问题】 PAGEREF _Tc1522 \h 19
\l "_Tc9679" 【题型7 比值问题】 PAGEREF _Tc9679 \h 22
\l "_Tc25115" 【题型8 航行问题】 PAGEREF _Tc25115 \h 27
\l "_Tc5627" 【题型9 素材问题】 PAGEREF _Tc5627 \h 30
\l "_Tc19138" 【题型10 方案问题】 PAGEREF _Tc19138 \h 39
【题型1 行程问题】
【例1】（2023上·山西吕梁·八年级统考期末）我国的铁路旅客列车，按不同的运行速度、运行范围、设备配置、作业特征等，分为不同的级别，列车的级别由车次开头的字母来表示（部分是纯数字）．如G字头，表示高速动车组旅客列车；D字头，表示动车组旅客列车；C字头，表示城际旅客列车；K字头，表示快速旅客列车，等等．吕梁站至太原南站约180km，随着交通的发展吕梁站至太原南站已开通了多次列车，其中“C150”次列车与“K1334”次列车相比，时速加快，并安全性更好．已知“C150”次列车的平均速度是速度是“K1334”次列车的43倍，并“C150”次列车从吕梁站至太原南站所用时间比“K1334”次列车少用30分钟（两列车中途停留时间均除外）．求“C150”次列车和“K1334”次列车从吕梁站至太原南站的平均速度分别是多少．
【答案】“C150”次列车和“K133”次列车从吕梁站至太原南站的平均速度分别为90km/h，120km/h．
【分析】设“K1334”次列车的平均速度是xkm/h，则“C150”次列车的平均速度为43xkm/h，根据题意列出分式方程求解即可．
【详解】解：设“K1334”次列车的平均速度是xkm/h，则“C150”次列车的平均速度为43xkm/h
由题意，得18043x+12=180x，
整理，得135x+12=180x，
方程两边乘2x，得270+x=360，
解得，x=90，
经检验x=90是原方程的解，43x=43×90=120．
答：“C150”次列车和“K133”次列车从吕梁站至太原南站的平均速度分别为90km/h，120km/h．
【点睛】本题考查分式方程的应用．根据题意，正确的列出分式方程，是解题的关键．
【变式1-1】（2023上·湖南长沙·八年级统考期末）八年级（1）班组织同学乘大巴车前往“韶山红色教育基地”开展爱国教育活动，基地离学校有120公里，队伍8:00从学校出发，刘老师因有事情，推迟了半个小时从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前10分钟到达基地，问：
(1)大巴与小车的平均速度各是多少？
(2)刘老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？
【答案】(1)大巴的平均速度为60公里/时，则小车的平均速度为90公里/时
(2)刘老师追上大巴的地点到基地的路程有30公里
【分析】（1）根据“大巴车行驶全程所需时间=小车行驶全程所需时间+小车晚出发的时间+小车早到的时间”列分式方程求解可得；
（2）根据“从学校到相遇点小车行驶所用时间+小车晚出发时间=大巴车从学校到相遇点所用时间”列方程求解可得．
【详解】（1）解：设大巴的平均速度为x公里/时，则小车的平均速度为1.5x公里/时，根据题意，得：
120x=1201.5x+12+1060，
解得：x=60，
经检验：x=60是原方程的解，
∴1.5x=90（公里/时），
答：大巴的平均速度为60公里/时，则小车的平均速度为90公里/时；
（2）解：设刘老师赶上大巴的地点到基地的路程有y公里，根据题意得：
12+120−y90=120−y60，
解得：y=30，
答：刘老师追上大巴的地点到基地的路程有30公里．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系，并依据相等关系列出方程．
【变式1-2】（2023·福建省泉州第一中学八年级期末）如图，小刚家、王老师家、学校在同一条路上，小刚家到王老师家的路程为3千米，王老师家到学校的路程为0.5千米.由于小刚的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车送小刚上学.已知王老师骑自行车的速度是步行的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？
【答案】王老师的步行速度是5 km/h，则王老师骑自行车的速度是15 km/h.
【分析】王老师接小刚上学走的路程÷骑车的速度-平时上班走的路程÷步行的速度=2060小时．
【详解】设王老师的步行速度是x km/h，则王老师骑自行车是3x km/h，
由题意可得：3+3+0.53x−0.5x=2060，解得：x=5，
经检验，x=5是原方程的根，
∴3x=15
答：王老师的步行速度是5 km/h，则王老师骑自行车的速度是15 km/h.
【点睛】本题考查列分式方程解应用题.重点在于准确地找出相等关系，需注意①王老师骑自行车接小刚所走路程是（3+3+0.5）千米；②注意单位要统一.
【变式1-3】（2023上·河北保定·八年级校联考期末）某日，河北经贸大学的青年志愿者协会举办了以“低碳生活，绿色出行”为主题的志愿活动．为响应“低碳生活，绿色出行”的号召，赵琦每天骑自行车或步行上学，已知赵琦家距离学校4千米，赵琦骑自行车的速度是步行速度的2.5倍（骑自行车和步行均是匀速），骑自行车上学比步行上学早到0.6小时．
(1)求赵琦步行上学的速度．
(2)若赵琦某次上学步行了0.5千米后发现没有带数学作业，于是他原速原路返回家拿数学作业，然后骑自行车去上学，他到家后开门、拿数学作业、取自行车等共用0.15小时，为了不迟到，赵琦以高于平时骑自行车的速度匀速向学校行驶．若赵琦从步行出门到最后到学校共用了0.6小时，求赵琦这次骑自行车的速度．
【答案】(1)4千米/时
(2)20千米/时
【分析】（1）设赵琦步行上学的速度为x千米/时，根据“赵琦家距离学校4千米，赵琦骑自行车的速度是步行速度的2.5倍（骑自行车和步行均是匀速），骑自行车上学比步行上学早到0.6小时”列出分式方程，解方程检验后可得答案；
（2）设赵琦这次骑自行车的速度为y千米/时，根据从步行出门到最后到学校共用了0.6小时列出分式方程，解方程检验后可得答案．
【详解】（1）解：设赵琦步行上学的速度为x千米/时，
根据题意，得：4x−42.5x=0.6，
解得x=4，
经检验，x=4是原方程的解，且符合题意，
答：赵琦步行上学的速度为4千米/时；
（2）解：设赵琦这次骑自行车的速度为y千米/时，
根据题意，得：2×0.54+0.15+4y=0.6，
解得y=20，
经检验，y=20是原方程的解，且符合题意，
答：赵琦这次骑自行车的速度为20千米/时．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找出合适的等量关系列出方程是解题的关键．
【题型2 工程问题】
【例2】（2023上·河北唐山·八年级统考期末）某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用30天时间完成整个工程．当一号施工队工作10天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前8天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程．
（1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
（2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？
【答案】（1）若由二号施工队单独施工，完成整个工期需要45天；（2）若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要18天
【分析】（1）设二号施工队单独施工需要x天，根据题意得，两队一起施工和一号施工队单独施工30天的总工作量相同；两队一起施工时，一号施工队工作30−8天，二号施工队工作30−8−10天，通过列方程并求解，即可得到答案；
（2）结合（1）的结论，根据题意，工程一号、二号施工队同时进场施工和一号施工队单独施工30天的总工作量相同，通过列方程并求解，即可得到答案．
【详解】（1）设二号施工队单独施工需要x天，
根据题意得：30−830+30−8−10x=1，
解得：x=45，
经检验，x=45是原分式方程的解
∴若由二号施工队单独施工，完成整个工期需要45天；
（2）一号、二号施工队同时进场施工需要的天数为x天
根据题意得：130+145x=1
∴x=18
∴若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要18天．
【点睛】本题考查了分式方程、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握分式方程、一元一次方程的性质，从而完成求解．
【变式2-1】（2023下·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学校考期末）重庆育才成功学校食堂有10个供应饭菜的窗口，第1到5号窗口的每一位工作人员的打饭速度是相同的，第6到10号窗口是炒菜炒饭特色窗口，它的每一位工作人员的打饭速度是第1到5号窗口的每一位工作人员速度的18．小主人委员会同学在执勤时发现：第1到5号窗口分别都有相同数量的同学在排队，第6、7、8号窗口分别都有1号窗口数量的16的同学在排队，第9、10号窗口分别都有1号窗口数量的110同学在排队，从此时开始计时，第1到5号窗口在10分钟后结束排队，第6、7、8号窗口在18分钟以后结束排队，第9、10号窗口在15分钟以后结束排队．后来小主人委员会的同学从伙食团团长处了解到：第1到5号窗口全部安排给了甲组工作人员负责打饭，第6到10号窗口全部安排给了乙组工作人员负责打饭，其中乙组工作人员的35在6、7、8三个窗口打饭，另外的25在9、10号两个窗口打完饭后，再到6、7、8号窗口帮忙直到排队结束，如果在排队期间，每个窗口单位时间里来排队吃饭的同学数量相同，则甲、乙两组工作人员的人数之比是 ．
【答案】5：4．
【分析】设1到5号窗口每分钟来排队吃饭的同学为x人，甲组有a名工作人员负责打饭，乙组有b名工作人员负责打饭，根据“第6到10号窗口是炒菜炒饭特色窗口，它的每一位工作人员的打饭速度是第1到5号窗口的每一位工作人员速度的18”列出方程便可解决问题．
【详解】解：设1到5号窗口每分钟来排队吃饭的同学为x人，则6到8号窗口每分钟来排队吃饭的同学为16x人，9、10号窗口每分钟来排队吃饭的同学为110x人，设甲组有a名工作人员负责打饭，乙组有b名工作人员负责打饭，根据题意得，
10x×5a÷10×18=15×110x×225b÷15，
∴ ab=54，
故答案为：5:4．
【点睛】本题是一个分式应用题，关键是弄清题目中各个数量关系，特别是等量关系：第6到10号窗口是炒菜炒饭特色窗口，它的每一位工作人员的打饭速度是第1到5号窗口的每一位工作人员速度的18．涉及的数量多，数量关系很复杂，给题目增加了解答的难度．
【变式2-2】（2023下·江苏盐城·八年级东台市三仓镇中学校考期中）某一项工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元，工程领导小组根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；
（3）若甲、乙两队合作4天，余下的工程由乙队单独也正好如期完成．
据上述条件解决下列问题：
①规定期限是多少天？写出解答过程；
②在不耽误工期的情况下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款?
【答案】规定期限20天；方案（3）最节省
【分析】设这项工程的工期是x天，根据甲队单独完成这项工程刚好如期完成，乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天，若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成以及工作量=工作时间×工作效率可列方程求解．再看费用情况：方案（1）、（3）不耽误工期，符合要求，可以求费用，方案（2）显然不符合要求．
【详解】解：设规定期限x天完成，则有：
4x+xx+5=1，
解得x=20．
经检验得出x=20是原方程的解；
答：规定期限20天．
方案（1）：20×1.5=30（万元）
方案（2）：25×1.1=27.5（万元 ），
方案（3）：4×1.5＋1.1×20=28（万元）．
所以在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．
所以方案（3）最节省．
点睛：本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系②列出方程③解出分式方程④检验⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．
【变式2-3】（2023下·重庆南岸·八年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）重庆市某垃圾填埋场生态修复工程全面竣工验收，全国最大垃圾填埋场摇身变为环境优美、空气宜人的生态绿地，实现了城市土地的循环再利用．修复之初，一期工程共有7500吨垃圾要运走，计划由甲、乙两个工程队运走垃圾．已知甲、乙两个工程队，原计划甲平均每天运走的垃圾比乙平均每天运走的垃圾多23，这样甲运走4500吨垃圾的时间比乙运走剩下垃圾的时间少两天．
(1)求原计划甲平均每天运垃圾多少吨？
(2)实际施工时，甲平均每天运走的垃圾比原计划增加了5a吨，乙平均每天运走的垃圾比原计划增加了a150，甲、乙合作7天后，甲临时有其他任务，剩下的垃圾由乙再单独工作2天完成．若运走每吨垃圾的运输费用为40元，请求出甲工程队的运输费用．
【答案】(1)原计划甲平均每天运垃圾250吨
(2)甲工程队的运输费用为210000元
【分析】（1）原计划乙平均每天运垃圾x吨，则原计划甲平均每天运垃圾1+23x吨，由题意：甲运走4500吨垃圾的时间比乙运走剩下垃圾的时间少两天．列出分式方程，解方程即可；
（2）由题意：实际施工时，甲平均每天运走的垃圾比原计划增加了5a吨，乙平均每天运走的垃圾比原计划增加了a150，甲、乙合作7天后，甲临时有其他任务；剩下的垃圾由乙再单独工作2天完成，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题．
【详解】（1）解：设原计划乙平均每天运垃圾x吨，则甲平均每天运垃圾1+23x吨，
根据题意得：45001+23x+2=7500−4500x，
解得x=150，
经检验x=150是原方程的解且符合题意，
则53x=53×150=250，
答：原计划甲平均每天运垃圾250吨．
（2）解：根据题意得：
250+5a×7+150×1+a150×7+2=7000，
解得a=100，
则250+5×100×7×40=210000，
答：甲工程队的运输费用为210000元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出分式方程；②找准等量关系，正确列出一元一次方程．
【题型3 销售问题】
【例3】（2023下·山东泰安·八年级肥城市实验中学校考期中）某个体经营户了解到有一种盒装商品能畅销市场，就用4万元购进这种商品，面市后果然供不应求，他又用8.8万元购进了第二批这种商品，所购数量是第一批购进量的2倍，但每盒单价涨了4元，他在销售这种盒装商品时每盒定价都是56元，最后剩下的150盒按八折销售，很快售完．
(1)该盒装商品两次的单价分别是多少元？
(2)在这两笔生意中，这位个体经营户共赢利多少元？
【答案】(1)40元和44元．
(2)38320元
【分析】（1）设第一批进货的单价为x元，则第二批进货的单价为(x+4)元，根据第二批进货是第一批购进数量的2倍，列方程求出x的值即可．
（2）根据（1）中的结果，求出盈利即可．
【详解】（1）解：设第一批进货的单价为x元，则第二批进货的单价为(x+4)元，依题意有
40000x×2=88000x+4，
解得：x=40，
经检验x=40是原分式方程的解，且符合题意，
x+4=44，第二次进货的单价为44元，
所以，该盒装商品两次的单价分别是40元和44元．
（2）解：由（1）可知，第一次进货1000件，
第二次进货的单价为44元，第二次进货2000件，
总盈利为：(56−40)×1000+(56−44)×(2000−150)+150×(56×0.8−44)
=16000+22200+120
=38320（元)．
答：这位个体经营户共赢利38320元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
【变式3-1】（2023下·河南南阳·八年级南阳市第三中学校考阶段练习）《非机动车管理办法》规定：电动自行车驾驶人和乘坐人员应该戴安全头盔．某商店用1600元购进一批电动车头盔，销售发现供不应求，于是，又用5400元再购进一批头盔，第二批头盔的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵10元．第一批头盔进货单价多少元?
【答案】80
【分析】设第一批头盔进货单价x元，则第二批进价为x+10元，再根据等量关系“第二批头盔的数量是第一批的3倍”列分式方程求解即可．
【详解】解：设第一批头盔进货单价x元，则第二批进价为x+10元，
根据题意可得：1600x×3=5400x+10，解得：x=80，
经检验，x=80是分式方程1600x×3=5400x+10的解，
答：第一批头盔进货单价80元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意、正确列出分式方程是解答本题的关键．
【变式3-2】（2023上·云南红河·八年级统考期末）昭通苹果和天麻美味可口，小明在昆明某超市购买1市斤昭通苹果和2市斤小草坝天麻需要支付105元，购买3市斤昭通苹果和5市斤小草坝天麻需要265元．
(1)1市斤昭通苹果和1市斤小草坝天麻的单价分别是多少元？
(2)昆明到昭通的距离大约350km，以前超市老板都会亲自去往昭通选果，但今年的疫情原因，只能选择专车托运，以前花240元进购的苹果现在要花300元，进货单价比原来贵了1元，原来1市斤苹果进货单价为多少？
【答案】(1)一市斤昭通苹果和一市斤小草坝天麻的单价分别是5元和50元
(2)原来一市斤苹果进货单价为4元
【分析】（1）设一市斤昭通苹果和一市斤小草坝天麻的单价分别是x元和y元，根据购买1市斤昭通苹果和2市斤小草坝天麻需要支付105元，购买3市斤昭通苹果和5市斤小草坝天麻需要265元，列出方程组，解方程组即可；
（2）设问原来一市斤苹果进货单价为a元，则现在的进货单价为a+1元，根据以前花240元进购的苹果现在要花300元，求出结果即可．
【详解】（1）解：设一市斤昭通苹果和一市斤小草坝天麻的单价分别是x元和y元，
列方程组：x+2y=1053x+5y=165，
解方程组得：x=5y=50，
∴一市斤昭通苹果和一市斤小草坝天麻的单价分别是5元和50元．
（2）解：设问原来一市斤苹果进货单价为a元，则现在的进货单价为a+1元，由题可得：
240a=300a+1，
∴解得：a=4
经检验，a=4是原方程的解，且符合题意，
∴原来一市斤苹果进货单价为4元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程，准确计算．
【变式3-3】（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考阶段练习）成都大运会期间，吉祥物“蓉宝”的周边商品的销量不断上升．一家网店的店主统计了前两周的“蓉宝”单肩包的销售情况，发现第一周A型单肩包的销量是100个，B型单肩包销量是120个，总利润是2800元；第二周A型单肩包的销量是180个，B型单肩包的销量是200个，总利润是4800元．
(1)请问1个A型单肩包、1个B型单肩包的利润分别是多少元？
(2)店主在第三周调整了价格，A型单肩包每个涨价a元，B型单肩包每个降价a元，统计后发现，调整后的这周A、B两种型号单肩包的销量一样，并且A型单肩包的总利润达2400元，B型单肩包的总利润达2600元．求出a的值．
【答案】(1)1个A型单肩包的利润是10元，1个B型单肩包的利润是15元
(2)a=2
【分析】（1）设1个A型单肩包的利润是x元，1个B型单肩包的利润是y元，根据题中第一周和第二周的销量情况和总利润，列二元一次方程即可解答；
（2）根据两种单肩包的销量一样，列分式方程，即可解答．
【详解】（1）解：设1个A型单肩包的利润是x元，1个B型单肩包的利润是y元，
由题意可得100x+120y=2800180x+200y=4800，
解得x=10y=15，
∴1个A型单肩包的利润是10元，1个B型单肩包的利润是15元；
（2）解：根据题意可得：240010+a=260015−a，
解得a=2，
经检验，a=2是原方程的解，且符合题意，
∴a=2．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系列方程．
【题型4 数字问题】
【例4】（2023上·贵州铜仁·八年级校考期中）一个两位数的十位数字是6，如果把十位数字与个位数字对调，那么所得的两位数与原来的两位数之比是47，原来得两位数是 ．
【答案】63
【分析】设这个两位数个位上的数为x，，再根据等量关系列出方程，最后检验并作答．
【详解】解：设这个两位数个位上的数为x，
则可列方程：10x+66×10+x=47，
整理得66x＝198，
解得x＝3，
经检验x＝3是原方程的解，则60+x＝63，
故答案为：63．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系②列出方程③解出分式方程④检验⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．
【变式4-1】（2023上·全国·八年级专题练习）有一个最简分数，如果分子加1，分子则比分母少2；如果分母加1，则分数值等于12，原分数是 ．
【答案】47
【分析】由分子加1，分子则比分母少2可知，原来分子比分母少1+2=3，如果设原来的分子是x，则分母是x+3，又由分母加1，则分数值等于12即可列出方程，由此解答即可．
【详解】解：设原分数的分子是x，则分母是x+1+2，由题意列出方程
xx+1+2+1=12
所以xx+4=12，
所以2x=x+4，
解得：x=4，经检验符合题意；
所以4+1+2=7；
因此这个分数是47；
故答案为：47
【点睛】此题考查的目的是理解掌握分数的基本性质及应用，关键是找出等量关系，设出未知数，列方程解答比较简便．
【变式4-2】（2023·福建省泉州第一中学八年级期末）有一个两位数，它的个位数字比十位数字大1，这个两位数被个位数字除时，商是8，余数是2，求这个两位数．
【答案】34
【分析】设十位上的数字为x，则个位上的数字为x+1，两位数是10x+x+1，利用两位数减2除以个位数字，商是8列出方程，解方程求出方程的根，检验后求出两位数即可．
【详解】解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为x+1，
则：10x+(x+1)−2x+1=8，
解方程得：x=3，
经检验：x=3是原方程的根，
所以个位上的数字为：x+1＝3＋1＝4，
所以这个两位数是：3×10＋4＝34．
答：这个两位数是34．
【点睛】本题考查数字问题分式方程应用题，掌握分式方程解应用题的步骤与解法，关键是抓住两位数减2除以个位数字，商是8列出方程．
【变式4-3】（2023上·山东潍坊·八年级校联考期末）一个二位数的十位数字与个位数字的和是12，如果交换十位数字与个位数字的位置并把所得到的新的二位数作为分子，把原来的二位数作为分母，所得的分数约分为47，则这个二位数是 ．
【答案】84
【分析】设这个二位数的十位数字为x，则个位数字为（12﹣x），根据“如果交换十位数字与个位数字的位置并把所得到的新的二位数作为分子，把原来的二位数作为分母，所得的分数约分为47”，即可得出关于x的分式方程，经检验后即可得出结论．
【详解】设这个二位数的十位数字为x，则个位数字为（12﹣x），
根据题意得：1012−x+x10x+12−x＝47，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是所列分式方程的解，且符合题意，
∴12﹣x＝4．
故答案为84．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【题型5 图形问题】
【例5】（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考阶段练习）如图1，在一张长方形纸片的四个角分别剪去一个边长相等的正方形，可折叠成如图2的一个无盖长方体纸盒．
图1 图2
(1)若图1中原长方形纸片长20cm，宽16cm，被剪掉的正方形边长为acm，折叠得到的无盖长方体纸盒的长、宽、高之和为24cm，求a的值；
(2)现有60张同样规格的长方形纸片，可制作成60个无盖长方体纸盒，剪下来的正方形恰好全部制作成正方体（每个正方体需要6个正方形），现把20名同学分为甲、乙两组，甲组制作无盖长方体纸盒，乙组制作正方体，若甲组平均每人制作的无盖长方体纸盒个数是乙组平均每人制作的正方体个数的一半，求甲组有多少名同学？
【答案】(1)4
(2)15名
【分析】（1）根据“折叠得到的无盖长方体纸盒的长、宽、高之和为24cm”，列出方程，即可求解；
（2）设甲组有x名同学，则乙组有20−x名同学，根据“甲组平均每人制作的无盖长方体纸盒个数是乙组平均每人制作的正方体个数的一半”，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：20−2a+16−2a+a=24
解得：a=4
答：a的值为4．
（2）解：设甲组有x名同学，则乙组有20−x名同学，根据题意得：
60x=60×4620−x×12，
解得：x=15
经检验，x=15是原方程的解且符合题意．
答：甲组有15名同学．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
【变式5-1】（2023下·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考阶段练习）一根水管因使用日久，内壁均匀地形成一层厚2mm的附着物，而导致流通截面面积减少至原来的916，这根水管原来的内壁直径是（ ）
A．8mmB．9mmC．16mmD．18mm
【答案】C
【分析】设这根水管原来的内壁半径是xmm，然后根据内壁均匀地形成一层厚2mm的附着物，而导致流通截面面积减少至原来的916，列出方程求解即可．
【详解】解：设这根水管原来的内壁半径是xmm，
由题意得πx−22πx2=916，
∴x−2x=34，即4x−8=3x，
解得x=8，
经检验x=8是原方程的解，
∴这根水管原来的内壁直径是16mm
故选C．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于能够根据题意列出方程．
【变式5-2】（2023下·浙江杭州·八年级阶段练习）为抗击新冠疫情，义乌市某企业承接了一批口罩所需包装盒的制作业务，该企业进行了前期的试生产，如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱，（加工时接缝材料不计）
（1）该企业原计划用若干天加工纸箱300个，后来由于提升工作效率，实际加工时每天加工速度为原计划的1.5倍，这样提前3天超额完成了任务，且总共比原计划多加工15个，问原计划每天加工包装盒多少个；
（2）若该企业购进正方形纸板550张，长方形纸板1200张．问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完；
（3）该企业某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板100张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且150【答案】（1）30个；（2）竖式纸盒加工150个，横式纸盒加工200个；（3）155、160和165．
【分析】（1）设原计划每天加工礼盒x个，则实际加工时每天加工礼盒1.5x个，根据“提前3天超额完成了任务，且总共比原计划多加工15个”即可得出关于x的分式方程，解方程即可得出x值；
（2）设竖式纸盒加工m个，横式纸盒加工n个，恰好能将购进的纸板全部用完．根据“竖式纸盒需要4个长方形和1个正方形纸板，横式纸盒需要3个长方形和2个正方形纸板”即可得出关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（3）设该天横式纸盒加工t个，则竖式纸盒加工（100-2t）个，根据“竖式纸盒需要4个长方形和1个正方形纸板，横式纸盒需要3个长方形和2个正方形纸板”即可得出a与t之间的关系式，再结合a的取值范围即可求出t的取值范围，根据t为正整数，即可得出t的值，从而即可得出a的所有可能值．
【详解】解：（1）设原计划每天加工礼盒x个，则实际加工时每天加工礼盒1.5x个，
根据题意得：300x−300+151.5x=3，
解得：x=30，
经检验：x=30为分式方程的解．
答：原计划每天加工礼盒30个．
（2）设竖式纸盒加工m个，横式纸盒加工n个，恰好能将购进的纸板全部用完．
由已知得：4m+3n=1200m+2n=550，解得：m=150n=200，
答：竖式纸盒加工150个，横式纸盒加工200个，恰好能将购进的纸板全部用完．
（3）设该天横式纸盒加工t个，则竖式纸盒加工（100-2t）个，
由题意得：a=3t+4×（100-2t）=-5t+400，
∵150＜a＜168，
∴150＜-5t+400＜168，
解得：4625＜t＜50，
∵t为整数，
∴t=47、48、49，
∴a=165、160、155．
答：在这一天加工两种纸盒时a的所有可能值为155、160和165．
【点睛】本题考查了解分式方程、二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出关于x的分式方程；（2）根据数量关系列出关于m、n的二元一次方程组；（3）根据数量关系找出a关于t的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（方程组或函数关系式）是关键．
【变式5-3】（2023·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米a>1的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为a−1米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg．
(1)①“丰收1号”单位面积产量为__________kg/m2，
“丰收2号”单位面积产量为___________kgm2（以上结果均用含a的式子表示）；
②由图可知，_____________（填“1号”或“2号”）小麦的单位面积产量高；
(2)若高的单位面积产量比低的单位面积产量的多40a−12kg/m2，求a的值；
(3)某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，两种小麦试种的单位面积产量与实验田一致，“丰收1号”小麦种植面积为n平方米（n为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少55平方米．若两种小麦种植后，收获的产量相同，当a<8且a为整数时，符合条件的n的值为___________（直接写出结果）．
【答案】(1)①500a2−1；500a−12；②2号
(2)24
(3)110，165，220
【分析】（1）①用“总产量÷面积”列式求得单位面积的产量；
②根据a>1，并利用不等式的性质作出比较；
（2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得a的值；
（3）根据题意列出方程，并结合a<8，列不等式求解．
【详解】（1）解：①由题意，“丰收1号”小麦的试验田的面积为a2−1m2，
∴“丰收1号”单位面积产量为500a2−1kg；
由题意，“丰收2号”单位面积为a−12m2，
∴“丰收2号”单位面积产量为500a−12kg．
故答案为：500a2−1；500a−12．
②∵a>1，
∴a2−1=a+1a−1>0，a−12>0，
∴a+1>a−1，
∴a2−1>a−12，
∴500a2−1<500a−12，
即“丰收2号”小麦的单位面积产量高．
故答案为：2号．
（2）根据题意，得：
500a−12−500a2−1=40a−12，
解得：a=24，
经检验：a=24是原方程的解且符合题意．
∴a的值是24．
（3）根据题意，得：
500na2−1=500n−55a−12，
整理，可得：a=2n−5555，
∴n=55a+12，
当a<8时，2n−5555<8，
解得：n<4952，
又∵n为正整数，且满足n=55a+12，
当a=3时，n=55×42=110，
当a=5时，n=55×62=165，
当a=7时，n=55×82=220，
∴符合条件的n的值为110，165，220．
故答案为：110，165，220．
【点睛】本题考查分式方程的应用，不等式的应用．理解分式的基本性质，不等式的基本性质，根据题意列出方程是解题关键．
【题型6 和差倍分问题】
【例6】（2023上·四川广元·八年级统考期末）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的35？
(1)求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米；
(2)该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求最多建多少个A类摊位．
【答案】(1)每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位占地面积为3平方米
(2)最多建22个A类摊位
【分析】（1）设每个A类摊位占地面积为x平方米，则每个B类摊位占地面积为x−2平方米，由题意：用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的35，列出分式方程，然后解方程即可；
（2）设A类摊位的数量为m个，则B类摊位的数量为90−m个，由题意：建造B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍，列出一元一次不等式，然后解不等式即可．
【详解】（1）解：设每个A类摊位占地面积为x平方米，则每个B类摊位占地面积为x−2平方米，
依题意，得：60x=60x−2×35，
解得：x=5，
经检验，x=5是原分式方程的解，且符合题意，
则x−2=5−2=3．
答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位占地面积为3平方米．
（2）设A类摊位的数量为m个，则B类摊位的数量为90−m个，
依题意，得：90−m≥3m，
解得：m≤22.5，
因为m取整数，所以m的最大值为22．
答：最多建22个A类摊位．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用．解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程：（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
【变式6-1】（2023上·福建福州·八年级福建省福州屏东中学校考期中）学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习．甲同学跳120个所用的时间，乙同学可以跳180个；又已知甲每分钟比乙少跳20个，求每人每分钟各跳多少个？
【答案】甲每分钟跳40个，乙每分钟跳60个．
【分析】设甲每分钟跳x个，则乙每分钟跳x+20个，然后根据“甲同学跳120个所用的时间，乙同学可以跳180个”列分式方程求解即可．
【详解】解：设甲每分钟跳x个，则乙每分钟跳x+20个，
由题意可得：120x=180x+20，解得：x=40，
经检验，x=40是分式方程的解
所以，甲每分钟跳40个，乙每分钟跳40+20=60个．
答：甲每分钟跳40个，乙每分钟跳60个．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、找到等量关系、列出分式方程是解答本题的关键．
【变式6-2】（2023上·山东东营·八年级校考期中）某学校决定购买A，B两种的亚运会纪念徽章作为“校园读书节”活动奖品，已知A种比B种每件多20元，预算资金为1600元．
(1)其中700元购买A种徽章，其余资金购买B种徽章，且购买B种的数量是A种的3倍．求A，B两种徽章的单价．
(2)购买当日，正逢“十一”大促销，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案：在不超过预算资金的前提下，准备购买A，B两种徽章共120件；问最多购买A种徽章的多少件？
【答案】(1)A种徽章的单价为35元，B种徽章的单价为15元
(2)10件
【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式的实际应用，
（1）设B种徽章的单价为x元，则A种徽章的单价为x+20元，根据题意列出分式方程求解，最后要检验；
（2）设购买A种徽章m件，则购买B种徽章120−m件，根据题意列出一元一次不等式求解即可；
正确得出等量关系是解题关键．
【详解】（1）设B种徽章的单价为x元，则A种徽章的单价为x+20元，
依题意得：1600−700x=3×700x+20，
解得：x=15，
经检验，x=15是原方程的解，且符合题意，
∴x+20=15+20=35．
答：A种徽章的单价为35元，B种徽章的单价为15元．
（2）设购买A种徽章m件，则购买B种徽章120−m件，
依题意得：35×0.8m+15×0.8120−m≤1600，
解得：m≤10，
∴m的最大值为10．
答：最多购买A种徽章10件．
【变式6-3】（2023上·湖南永州·八年级统考期中）在甲、乙两公司全体员工捐款活动中，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：
甲公司员工：我们公司的人数比你们公司少20人
乙公司员工：我们公司的人均捐款数是你们公司的76倍
(1)甲、乙两公司各有多少人？
(2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种物资，A种物资每箱15000元，B种物资每箱12000元．若购买B种物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来．（注：A、B两种物资均需购买，并按整箱配送．）
【答案】(1)甲公司有100人，乙公司有120人
(2)购买方案有2种：一种A物资买8箱，B物资买10箱．另一种是A物资买4箱，B物资买15箱
【分析】（1）设甲公司有x人，则乙公司有(x+20)人，根据“乙公司的人均捐款数是甲公司的76倍”，再建立分式方程求解即可；
（2）设购买A种物资x箱，购买B种物资y箱，且y≥10，x，y都是正整数．根据“恰好将捐款用完”再建立方程，利用方程的正整数解即可解决问题．
【详解】（1）解：设甲公司有x人，则乙公司有(x+20)人，根据题意得
100000x×76=140000x+20
解得：x=100
检验：把x=100代入6x(x+20)=6×100×(100+20)≠0
故x=100是所列方程的解．
则x+20=100+20=120（人）
答：甲公司有100人，乙公司有120人．
（2）设购买A种物资x箱，购买B种物资y箱，且y≥10，x，y都是正整数．
根据题意得
15000x+12000y=100000+140000
∴5x=80−4y
∴x=16−45y，
当y=10时，x=16−45×10=8 符合题意．
当y=15时，x=16−45×15=4 符合题意．
当y=20时，x=16−45×20=0 不符合题意．
综上所述，购买方案有2种：一种A物资买8箱，B物资买10箱．另一种是A物资买4箱，B物资买15箱．
【点睛】本题考查的是二元一次方程的整数解问题的应用，分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．
【题型7 比值问题】
【例7】（2023上·重庆江北·八年级统考期末）“巩固脱贫成果，长兴乡村经济”，大力发展高山生态经济林是一重大举措．某村委会决定在红光、红旗、红锦三个村民小组种植高山脆李和晚熟香桃两种果树，初步预算这三个村民小组各需两种果树之和的比为4∶5∶6，其中需要高山脆李树的棵数分别为4千棵，3千棵和7千棵，并且红光、红旗两个村民小组所需晚熟香桃树之比为2∶3．在购买这两种果树时，高山脆李树的价格比预算低了10%，晚熟香桃树的价格高了20%，晚熟香桃树购买数量减少了12.5%．结果发现购买两种果树的总费用与预算总费用相等，则实际购买高山脆李树的总费用与实际购买晚熟香桃树的总费用之比为 ．
【答案】37
【分析】设红光村需要晚熟香桃树为2x棵，红旗村需要晚熟香桃树为3x棵，红锦村需要晚熟香桃树y棵，根据三个村民小组各需两种果树之和的比为4∶5∶6列出方程求出x=4000，y=11000，从而求出三个村民小组种植两种果树的情况；设高山脆李的预算价格为a元，晚熟香桃树的预算几个为b元，分别表示出预算总费用，实际两种果树的费用和实际两种果树的总费用，再根据预算总费用和实际总费用相等求出ab=3128，然后代值计算即可得到答案．
【详解】解：设红光村需要晚熟香桃树为2x棵，红旗村需要晚熟香桃树为3x棵，红锦村需要晚熟香桃树y棵
∴2x+40003x+3000=45，
解得x=4000，
经检验，x=4000是原方程的解，
∴红光村需要晚熟香桃树为8000棵，红旗村需要晚熟香桃树为12000棵，
∴8000+4000y+7000=46，
解得y=11000，
经检验，y=11000是原方程的解，
∴红锦村需要晚熟香桃树11000棵；
设高山脆李的预算价格为a元，晚熟香桃树的预算几个为b元，
∴预算总费用为8000+12000+11000b+4000+3000+7000a
=31000b+14000a，
实际购买晚熟香桃树的费用为8000+12000+11000×1−12.5%b×1+20%
=32550b，
实际购买高山脆李的费用为4000+3000+7000b×1−10%=12600a
实际总费用为32550b+12600a，
∴31000b+14000a=32550b+12600a，
∴31b=28a，即ab=3128
∴实际购买高山脆李树的总费用与实际购买晚熟香桃树的总费用之比为12600a32550b=37，
故答案为：37．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键．
【变式7-1】（2023上·河北保定·八年级校联考期末）数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声d，mi，s，研究15，12，10这三个数的倒数发现：112−115=110−112．我们称15，12，10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x，5，3（x>5），则可列关于x的方程为 （无需整理），解得x= ．
【答案】 15−1x=13−15 15
【分析】由调和数的定义列分式方程求解即可．
【详解】解：根据调和数的定义可得：
15−1x=13−15，解得：x=15，
经检验：x=15是分式方程的解．
故答案为：15−1x=13−15，15．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，根据调和数的定义列出分式方程是解答本题的关键．
【变式7-2】（2023上·重庆·八年级重庆一中校考期末）腊味食品是川渝人民的最爱，去年12月份，某销售商出售腊肠、腊舌、腊肉的数量之比为3:5:3，腊肠、腊舌、腊肉的单价之比为3:3:2．今年1月份，该销售商将腊肠单价上调20%，腊舌、腊肉的单价不变，并加大了宣传力度，预计今年1月份的营业额将会增加，其中腊肉增加的营业额占总增加营业额的14，今年1月份腊肉的营业额将达到今年1月份总营业额的730．若腊舌今年1月份增加的营业额与今年1月份总营业额之比为1:5，则今年1月份出售腊肠与腊肉的数量之比是 ．
【答案】20：21
【分析】设去年12月份腊肠的单价为3x，则去年12月份腊舌，腊肉的单价分别为3x，2x，今年1月份腊肠的单价为3.6x，去年12月份腊肠的销售数量为3y，则腊舌，腊肉的销售数量分别为5y、3y，1月份腊肉增加的营业额为z，则总增加营业额为4z；先求出去年12月份的销售额为30xy，1月份腊肉的销售额为6xy+z，从而得到今年1月份的总销售额为30xy+4z，再由今年1月份腊肉的营业额将达到今年1月份总营业额的730，推出z=15xy，即可求出今年1月份的总销售额为90xy，腊肉的销售额21xy，则腊肠今年1月份的营业额为90xy−33xy−21xy=36xy，设今年1月份出售腊肠与腊肉的数量分别为a和b，可以得到3.6ax=36xy2bx=21xy，由此求解即可．
【详解】解：设去年12月份腊肠的单价为3x，则去年12月份腊舌，腊肉的单价分别为3x，2x，今年1月份腊肠的单价为3.6x，去年12月份腊肠的销售数量为3y，则腊舌，腊肉的销售数量分别为5y、3y，1月份腊肉增加的营业额为z，则总增加营业额为4z，
∴去年12月份的销售额为3x⋅3y+5x⋅3y+2x⋅3y=30xy，1月份腊肉的销售额为2x⋅3y+z=6xy+z，
∴今年1月份的总销售额为30xy+4z，
∵今年1月份腊肉的营业额将达到今年1月份总营业额的730，
∴6xy+z30xy+4z=730，
∴z=15xy（经检验，符合分式方程有意义的条件），
∴今年1月份的总销售额为90xy，腊肉的销售额21xy
∵腊舌今年1月份增加的营业额与今年1月份总营业额之比为1：5，
∴腊舌今年1月份增加的营业额为18xy，
∴腊舌今年1月份的营业额为3x⋅5y+18xy=33xy，
∴腊肠今年1月份的营业额为90xy−33xy−21xy=36xy，
设今年1月份出售腊肠与腊肉的数量分别为a和b，
∴3.6ax=36xy2bx=21xy，
∴3.6a2b=3621，
∴ab=2021，
故答案为：20：21．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于能够根据题意设出相应的未知量，然后推导出对应的关系式．
【变式7-3】（2023上·重庆大足·八年级统考期末）随着期末考试来临，李勇同学原计划延时服务期间复习语文、数学、英语的时间为2:4:4，班主任李老师提醒要学科均衡，补短板．他便将数学复习时间的20%分给了语文和英语，调整后语文和英语的复习时间之比为3:5．李勇同学非常刻苦，实际复习时还挤出部分休息时间分给了三个学科，其中20%分给了语文，余下的80%分别分给数学和英语，这样语文的总复习时间与三科总复习时间比为1:4．若李勇同学最终希望使数学与英语总复习时间比为5:6，那么数学的总复习时间与最后三科总复习时间之比为 ．
【答案】1544
【分析】：设李勇同学原计划延时服务期间复习语文、数学、英语的时间分别为2x,4x,4x，设他分给语文的时间为a，则分给英语的时间为45x−a，此时语文时间为：2x+a，英语时间为：4x+45x−a，依据语文英语时间的比值解得：a=11x20，此时各科学习时间分别为语文：51x20，数学：165x，英语：85x20，设挤出的休息时间为b，则第二次调整后语文时间为：51x20+15b，依据语文时间的比求出b=x，则总学习时间为：2x+4x+4x+x=11x，设此时他的数学时间为5c，则英语6c，依据数学英语时间和占总时间的34，求出c=34x，从而求出数学时间以及和总时间的比值．
【详解】解：设李勇同学原计划延时服务期间复习语文、数学、英语的时间分别为2x,4x,4x，
依题意：
他分给语文和英语的复习时间和为20%×4x=45x，剩余数学时间为80%×4x=165x，
设他分给语文的时间为a，则分给英语的时间为45x−a，
此时语文时间为：2x+a，
英语时间为：4x+45x−a，
依题意得：2x+a4x+45x−a=35，
解得：a=11x20，
故第一次调整后语文时间为：2x+11x20=51x20，
数学时间为：165x，
英语时间为：4x+0.8x−11x20=85x20，
设挤出的休息时间为b，
则第二次调整后语文时间为：51x20+15b，
依题意得：51x20+15b2x+4x+4x+b=14，
解得b=x，
则总学习时间为：2x+4x+4x+x=11x，
设此时他的数学时间为5c，则英语6c，
依题意得5c+6c=34×11x，
解得：c=34x，
故数学的总复习时间与最后三科总复习时间之比为：
5c11x=5×34x11x=1544，
故答案为：1544或15:44．
【点睛】本题考查了分式的实际应用；解题的关键是用代数式准确表示出每次调整后各学科的时间，依据比例列方程求解．
【题型8 航行问题】
【例8】（2023上·天津和平·八年级天津市汇文中学校考期末）一条船往返于甲，乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶，已知船在静水中的速度为8km/h，平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为2:1，某天恰逢暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了9h．则甲，乙两港之间的距离为（ ）
A．160km3B．15kmC．252kmD．20km
【答案】D
【分析】本题有两个等量关系： ①平时逆水航行时间：顺水航行时间=2:1； ②雨天逆水航行时间+顺水航行时间=9，同时顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度，再列方程，解方程即可．
【详解】解：设甲、乙两港相距Skm，水流速度平时速度为xkm/ℎ． 根据平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为2:1，得：
∴S8−x:S8+x=2:1，即8+x8−x=2，
解得：x=83，经检验，符合题意且符合实际应用，
∵某天恰逢暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了9h．
∴S8−2×83+S8+2×83=9，
解得：S=20．
答：甲，乙两港相距20km．
故选D．
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，一元一次方程的应用，注意找好两个未知量之间的关键．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
【变式8-1】（2023·浙江杭州·八年级期末）一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行108km所用时间是以最大航速逆流航行60km所用时间的1.2倍，则江水的流速为多少km/h？
【答案】6km/h
【分析】根据题意可得顺水速度为（30+v）km/h，逆水速度为（30-v）km/h，根据题意可得等量关系：以最大航速沿江顺流航行108km所用时间=以最大航速逆流航行60km所用时间×1.2，根据等量关系列出方程求解即可．
【详解】解：设江水的流速为vkm/h，
根据题意得：10830+v=6030−v×1.2，
解得：v=6．
经检验，v=6是原方程的解．
答：江水的流速为6km/h．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，表示出顺水和逆水行驶速度，找出题目中等量关系，然后列出方程．
【变式8-2】（2023上·河北唐山·八年级统考期中）一小船由A港顺流而下到B港需6h，由B港逆流而上到A港需8h．某天早晨6点，该船由A港出发驶向B港，到达B港时，发现船上一救生圈在途中掉入水中，于是立刻返回，1h后遇到救生圈．
(1)该船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小时？
(2)救生圈是何时掉入水中的？
【答案】(1)小船按水流速度由A港漂流到B港需要48小时
(2)救生圈是在上午11点钟掉下水的
【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系列方程是解本题的关键．
（1）设小船按水流速度由A港漂流到B港需要x小时，由静水中速度不变列方程求解即可；
（2）设救生圈是在y点钟落下水中的，由（1）小题结果，救生圈每小时顺水漂流的距离等于全程的148，小船早晨6时从A港出发，顺流航行需6小时，它在中午12点钟到达B港．而救生圈在y点钟就已掉下水，到这时已漂流的时间为12−y小时，在这段时间里，每小时船行驶全程的16，救生圈沿着航行方向漂流全程的148，船与救生圈同向而行，距离拉大，船到B港后立刻掉头去找救生圈，1小时后找到，在这一小时内，船与救生圈相向而行，将原已拉开的距离缩短为0，再解方程求解即可．
【详解】（1）解：设小船按水流速度由A港漂流到B港需要x小时，根据题意得：
16−1x=18+1x
解得x=48，
经检验x=48符合题意，
答：小船按水流速度由A港漂流到B港需要48小时．
（2）设救生圈是在y点钟落下水中的，由（1）小题结果，救生圈每小时顺水漂流的距离等于全程的148，
∴12−y16−148=1×18+148
解得：y=11，
答：救生圈是在上午11点钟掉下水的．
【变式8-3】（2023上·江苏盐城·八年级校联考期末）图书管理员小张要骑车从学校到教育局，一出校门，遇到了王老师，王老师说：“今天有风，而且去时逆风，要吃亏了”，小张回答说：“去时逆风，回来时顺风，和无风往返一趟所用时间相同”．（顺风速度＝无风时骑车速度＋风速，逆风速度＝无风时骑车速度－风速）
（1）如果学校到教育局的路程是15 km，无风时小张骑自行车的速度是20 km/h，他逆风去教育局所用时间是顺风回学校所用时间的53倍，求风速是多少？
（2）如果设从学校到教育局的路程为s千米，无风时骑车速度为v千米/时，风速为a千米/时（v＞a），那么有风往返一趟的时间 无风往返一趟的时间（填“＞”、“＜”或“＝”），试说明理由．
【答案】（1）当天的风速为5 km/h；（2）＞，理由详见解析.
【分析】(1)首先设当天的风速为x km/h，则顺风的速度为（20+x）千米/时，逆风速度是（20-x）千米/时，根据逆风去教育局所用时间是顺风回学校所用时间的53倍列出方程即可；
(2)无风时的时间=总路程÷无风时的速度；有风时的时间=单程的路程÷顺风的速度+单程的路程÷逆风的速度，进而让两个代数式相减，根据作差比较法可知结论.
【详解】解：（1）设当天的风速为x km/h．根据题意，得
1520-x＝53×1520+x．
解这个方程，得x＝5．
经检验，x＝5是所列方程的解．
答：当天的风速为5 km/h．
（2）＞，理由如下：
有风往返一趟的时间为（sv-a+sv+a）小时，无风往返一趟的时间为2sv小时．
∵sv-a+sv+a-2sv＝2sa2v（v-a）(v+a） ，
又∵v>a，
∴2sa2v（v-a）(v+a）>0，即sv-a+sv+a＞2sv．
∴有风往返一趟的时间＞无风往返一趟的时间．
【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确表示出顺风的速度，逆风速度，再根据时间关系列出方程．根据相应的定值求得无风时往返的时间和有风时往返的时间是解决本题的突破点；比较两个代数式，通常让两个代数式相减，看结果是正数还是负数．
【题型9 素材问题】
【例9】（2023下·浙江温州·八年级苍南县金乡镇第二中学校联考阶段练习）根据以下素材，探索完成任务.
【答案】（1）“芝士杨梅”的定价为19元，“满杯杨梅”的定价为17元；（2）“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本均为9元/杯；（3）当利润最大时，两种奶茶共制作42杯
【分析】（1）设“芝士杨梅”的售价为x元/杯，“满杯杨梅”的定价为y元/杯，根据题意列方程求解即可；
（2）设“满杯杨梅”成本为a元/杯，则“满杯杨梅”利润为17−a元/杯，根据素材3列方程求解即可；
（3）设制作m杯“芝士杨梅”和n杯“满杯杨梅”，根据素材4列方程求解正整数解，再结合获利最大即可求解．
【详解】（1）设“芝士杨梅”的售价为x元/杯，“满杯杨梅”的定价为y元/杯，
由题意得：x−y=2x+2y=53，
解得x=19y=17，
答：“芝士杨梅”的定价为19元，“满杯杨梅”的定价为17元，
（2）设“满杯杨梅”成本为a元/杯，则“满杯杨梅”利润为17−a元/杯，
则“芝士杨梅”利润为54⋅17−a元/杯，
由题意4005417−a+20=48017−a ，
解得a=9，
经检验满足题意，
芝士杨梅成本：19−5417−a=19−5417−9=9（元/杯），
答：“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本均为9元/杯；
（3）设制作m杯“芝士杨梅”和n杯“满杯杨梅”，
由题意得：400m+500n=17500，变形得n=35−4m5，
∵芝士配料不低于3500mL，
∴m≥3500÷100=35且m是5的倍数，
∴解得m=40n=3，m=35n=7
∵“芝士杨梅”每杯减4元则每杯利润6元，“满杯杨梅”每杯利润8元，
当m=35n=7时，总利润为266元，
当m=40n=3时，总利润为264元，
∴当利润最大时，两种奶茶共制作42杯．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、二元一次方程组及二元一次方程的应用．找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式9-1】（2023下·浙江湖州·八年级校考期末）根据素材，完成活动任务：
【答案】任务一：5 3 1；任务二：8根，1根，费用450元；任务三：5
【分析】根据围栏材料不同裁剪方法，分别计算出需要的竖杠或横杠；利用方法②与方法③列出方程组求解即可；利用在单位时间内可以安装m根竖杠或(7−m)根横杠，所用的时间相同，建立分式方程，求解即可．
【详解】任务一：40÷8=5(根)
方法①：当只裁剪8dm长的竖杠时，最多可裁剪5根．
40−15÷8=318，
方法②：当先裁剪下1根15dm长的横杠时，余下部分最多能裁剪8dm长的竖杠3根．
40−2×15÷8=114，
方法③：当先裁剪下2根15dm长的横杠时，余下部分最多能裁剪8dm长的竖杠1根．
任务二：设方法②需裁剪x根，方法③需裁剪y根，依据题意得：
x+2y=103x+y=25，解得：x=8y=1．
50×8+1=450(元)．
答：方法②和方法③各裁剪8根与1根40dm长的围栏材料，才能刚好得到所需要的相应数量的用料，购买围栏材料的费用共需45元．
任务三：依据题意得25m=107−m，解得：m=5．
【点睛】本题考查了二元一次方程组与分式方程的应用，解题的关键是仔细审题，正确列出方程．
【变式9-2】（2023下·浙江绍兴·八年级统考期末）根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务1：笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元；
任务2：购买钢笔30支，笔记本20本．
任务3：文具店赠送2张兑换券时，其中1张兑换钢笔，1张兑换笔记本；文具店赠送5张兑换券，其中3张兑换钢笔，2张兑换笔记本；文具店赠送8张兑换券时，其中5张兑换钢笔，3张兑换笔记本．
【分析】任务1：设笔记本的单价为x元，根据用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件列出分式方程，解方程即可；
任务2：设购买钢笔为a支，笔记本为b本，根据总的花费为400元，购买钢笔和笔记本的数量之比为3:2，列出方程，求出a、b的值即可；
任务3：由任务2可知钢笔和笔记本数量的情况进行解答即可．
【详解】解：任务1：设笔记本的单价为x元，
根据题意，得120x=1602x+8，
解得x=5，
经检验，x=5是原方程的根，
这时2x=10．
∴笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元；
任务2：设购买钢笔为a支，笔记本为b本，
根据题意，得：10a+5b=4002a=3b，
解得a=30b=20，
∴购买钢笔30支，笔记本20本．
任务3：当原有钢笔30支，笔记本20本时，设有y张兑换券兑换钢笔，
根据题意，得30+10y=20+20(m−y)，
整理得y=2m−13，
∵1解得：m=2y=1或m=5y=3或m=8y=5，
∴文具店赠送2张兑换券时，其中1张兑换钢笔，1张兑换笔记本；文具店赠送5张兑换券时，其中3张兑换钢笔，2张兑换笔记本；文具店赠送8张兑换券时，其中5张兑换钢笔，3张兑换笔记本．
【点睛】本题主要考查了分式方程和二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程，准确解方程．
【变式9-3】（2023下·浙江温州·八年级阶段练习）根据素材，完成任务．
【答案】任务一：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子2根；任务二：a=0.5；制作一个甲款雪花模型需要13元；任务三：购买258根长管子，2130根短管子；购买261根长管子，2125根短管子；购买264根长管子，2120根短管子；购买267根长管子，2115根短管子；当购买267根长管子，2115根短管子时，制作的雪花模型最多
【分析】任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子x根，则短管子7x根，制作一个乙款雪花模型需要长管子y根，则短管子9y根，根据用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，列出方程组，解方程组即可；
任务二：根据题意列出关于a的方程，解方程即可，根据6月份的优惠方案求出制作一个甲款雪花模型需要的费用即可；
任务三：设学校中采购了m根长管子，n根短管子，根据总费用1280元列出方程2×0.5m+12n−m3=1280，得出n=2560−53m，根据商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，列出不等式组m≤2672560−53m≤2130，求出258≤m≤267，根据m必须能被3整除，得出m=258，261，264，267，从而得出购买方案，根据制作一个甲款雪花模型和制作一个乙款雪花模型，都需要3根长管子，得出长管子数越多制作的雪花模型越多，当购买267根长管子，2115根短管子时，制作的雪花模型最多．
【详解】解：任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子x根，则短管子7x根，制作一个乙款雪花模型需要长管子y根，则短管子9y根，根据题意得：
x+y=67x+9y=48，
解得：x=3y=3，
7x=21，9y=27，
答：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子2根；
任务二：∵5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根，
∴3202a+80=200a，
解得：a=0.5，
经检验a=0.5是原方程的根；
∵制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，且6月1日起购买3根长管子赠送一根短管子，
∴制作一个甲款雪花模型需要的费用为：
2×0.5×3+21−1×0.5=13（元）；
任务三：设学校中采购了m根长管子，n根短管子，根据题意得：
2×0.5m+12n−m3=1280，
解得：n=2560−53m，
∵商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，
∴m≤2672560−53m≤2130，
解得：258≤m≤267，
∵m必须能被3整除，
∴m=258，261，264，267，
当m=258时，n=2560−53×258=2130，
∵258÷3=86，
∴能制作甲、乙两款雪花模型共86个，需要的短管子最少为86×21=1806（根），最多为：86×27=2322（根），
∵1806<2130<2322，
∴此时短管子可以用完，
∴可以购买258根长管子，2130根短管子；
当m=261时，n=2560−53×261=2125，
∵261÷3=87，
∴能制作甲、乙两款雪花模型共87个，需要的短管子最少为87×21=1827（根），最多为：87×27=2349（根），
∵1827<2125<2349，
∴此时短管子可以用完，
∴可以购买261根长管子，2125根短管子；
当m=264时，n=2560−53×264=2120，
∵264÷3=88，
∴能制作甲、乙两款雪花模型共88个，需要的短管子最少为88×21=1848（根），最多为：88×27=2376（根），
∵1848<2120<2376，
∴此时短管子可以用完，
∴购买264根长管子，2120根短管子；
当m=267时，n=2560−53×258=2115，
∵267÷3=89，
∴能制作甲、乙两款雪花模型共89个，需要的短管子最少为89×21=1869（根），最多为：89×27=2403（根），
∵1869<2115<2403，
∴此时短管子可以用完，
∴可以购买267根长管子，2115根短管子；
∵制作一个甲款雪花模型和制作一个乙款雪花模型，都需要3根长管子，
∴长管子数越多制作的雪花模型越多，
∴当购买267根长管子，2115根短管子时，制作的雪花模型最多．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组、分式方程和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系列出方程或不等式．
【题型10 方案问题】
【例10】（2023上·湖南永州·八年级校考阶段练习）永州市万达广场筹建之初的一项挖土工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款2.4万元，付乙工程队工程款1.8万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
(方案一)甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完成；
(方案二)乙队单独完成这项工程要比规定工期多用6天；
(方案三)若由甲、乙两队合作做5天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工．
(1)请你求出完成这项工程的规定时间；
(2)如果你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案?说明理由．
【答案】(1)30天；
(2)选择方案三,理由为既节省了工程款且又能如期完工．
【分析】（1）设完成这项工程的规定时间为 x 天,则甲队单独完成这项工程为x天,乙队单独完成这项工程为x+6天，然后根据“甲、乙两队合作做5天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工”列分式方程求解即可；
（2）根据题意可知有方案一和方案三符合条件，然后分别求出方案一和方案三的工程款，然后比较即可解答．
【详解】（1）解：设完成这项工程的规定时间为 x 天,则甲队单独完成这项工程为x天,乙队单独完成这项工程为x+6天
由题意得：(1x+1x+6)×5+1x+6×(x−5)=1，解得: x=30
经检验: x=30是原分式方程的解.
答:完成这项工程的规定时间为30天.
（2）解：如期完工时，只有方案一和方案三符合条件
方案一工程款:30×2.4=72 (万元)
方案三工程款：5×2.4+1.8+30−5×1.8=66 (万元)
∵72＞66
∴选择方案三．
答:选择方案三,理由为既节省了工程款且又能如期完工．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、列代数式计算等知识点，灵活运用分式方程解决实际问题是解答本题的关键．
【变式10-1】（2023上·广西贵港·八年级统考期中）某开发公司生产的1920件新产品需要精加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知乙厂单独加工完这批产品比甲厂单独加工完这批产品多用20天，而乙厂每天加工的数量是甲厂每天加工数量的23，公司需付甲厂加工费用每天120 元，需付乙厂加工费用每天80元．
(1)甲、乙两个工厂每天各能加工多少个新产品？
(2)公司制定产品加工方案如下∶可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成；在加工过程中，公司派一名工程师到厂进行技术指导，并负担每天20元的午餐补助费．请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．
【答案】(1)甲：48个，乙：32个
(2)甲乙合作最省钱，见解析
【分析】（1）设甲每天加工新产品x件，根据题意列分式方程求解即可；
（2）分三种情况分别计算后比较即可．
【详解】（1）设甲每天加工新产品x件，则乙每天加工新产品 23x件
根据题意得：192023x−1920x=20
解得：x=48
检验：把x=48代入23x=23×48=32≠0符合题意
则23x=23×48=32
答：甲、乙两个工厂每天各能加工48个，32个新产品
（2）甲单独加工完成需要1920÷48=40（天）
费用为：40×(120+20)=5600元
乙单独加工完成需要1920÷32=60（天）
费用为：60×(80+20)=6000元
乙合作完成需要1920÷(48+32)=24（天）
费用为：24×(120+80+20)=5280元
所以既省时又省钱的加工方案是甲、乙合作完成．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，有理数混合运算的应用，正确列出分式方程是解题的关键．
【变式10-2】（2023上·湖南永州·八年级统考期中）在甲、乙两公司全体员工捐款活动中，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：
甲公司员工：我们公司的人数比你们公司少20人
乙公司员工：我们公司的人均捐款数是你们公司的76倍
(1)甲、乙两公司各有多少人？
(2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种物资，A种物资每箱15000元，B种物资每箱12000元．若购买B种物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来．（注：A、B两种物资均需购买，并按整箱配送．）
【答案】(1)甲公司有100人，乙公司有120人
(2)购买方案有2种：一种A物资买8箱，B物资买10箱．另一种是A物资买4箱，B物资买15箱
【分析】（1）设甲公司有x人，则乙公司有(x+20)人，根据“乙公司的人均捐款数是甲公司的76倍”，再建立分式方程求解即可；
（2）设购买A种物资x箱，购买B种物资y箱，且y≥10，x，y都是正整数．根据“恰好将捐款用完”再建立方程，利用方程的正整数解即可解决问题．
【详解】（1）解：设甲公司有x人，则乙公司有(x+20)人，根据题意得
100000x×76=140000x+20
解得：x=100
检验：把x=100代入6x(x+20)=6×100×(100+20)≠0
故x=100是所列方程的解．
则x+20=100+20=120（人）
答：甲公司有100人，乙公司有120人．
（2）设购买A种物资x箱，购买B种物资y箱，且y≥10，x，y都是正整数．
根据题意得
15000x+12000y=100000+140000
∴5x=80−4y
∴x=16−45y，
当y=10时，x=16−45×10=8 符合题意．
当y=15时，x=16−45×15=4 符合题意．
当y=20时，x=16−45×20=0 不符合题意．
综上所述，购买方案有2种：一种A物资买8箱，B物资买10箱．另一种是A物资买4箱，B物资买15箱．
【点睛】本题考查的是二元一次方程的整数解问题的应用，分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．
【变式10-3】（2023上·广西南宁·八年级广西大学附属中学校考期中）为了丰富校园文化生活，某校八年级计划举办一场年级篮球赛．该校计划为篮球赛购置若干个篮球，经过与某体育用品经销商沟通，A型号篮球的单价比B型号的篮球单价多40元，且用1200元购买A型号篮球个数与用600元购买B型号篮球的个数相等．
(1)求A型号篮球和B型号篮球的单价分别是多少元？
(2)该体育用品店给出了两种让利活动，购买时只能选择其中一种方案．
方案一：所有商品打9折销售；
方案二：买3个A型号篮球，免费赠送1个B型号篮球（不足3个不赠送）．
若该校需要购买15个A型号篮球和xx≥5个B型号篮球，则上述两种购买方案中，哪一种方案更省钱，并说明理由．
【答案】(1)A型号篮球的单价为80元，则B型号篮球的单价为40元
(2)当A型号篮球购买15个，B型号篮球购买个数为5≤x<20时，选择方案二购买更省钱；当A型号篮球购买15个，B型号篮球购买20个时，两种方案花费的钱一样多；当A型号篮球购买15个，B型号篮球购买个数为x>20时，选择方案一购买更省钱．
【分析】（1）设A型号篮球的单价为x元，则B型号篮球的单价为x−40元，根据“用1200元购买A型号篮球个数与用600元购买B型号篮球的个数相等”，列出分式方程，解方程即可得到答案；
（2）先分别计算出方案一、方案二所花费的金额，分三种情况：方案一花费金额大于方案二花费金额；方案一花费金额等于方案二花费金额；方案一花费金额小于方案二花费金额，分别计算即可得到答案．
【详解】（1）解：设A型号篮球的单价为x元，则B型号篮球的单价为x−40元，
根据题意可得：1200x=600x−40，
解得：x=80，
经检验x=80是原分式方程的解，
∴x−40=80−40=40（元），
答：A型号篮球的单价为80元，则B型号篮球的单价为40元；
（2）解：根据题意可得：
方案一所花费的金额为：y1=15×80+40x×0.9=36x+1080，
方案二所花费的金额为：y2=15×80+x−15÷3×40=40x+1000，
当y1>y2时，即36x+1080>40x+1000，
解得：x<20，
∵x≥5，
∴当A型号篮球购买15个，B型号篮球购买个数为5≤x<20时，选择方案二购买更省钱；
当y1=y2时，即36x+1080=40x+1000，
解得：x=20，
∴当A型号篮球购买15个，B型号篮球购买20个时，两种方案花费的钱一样多；
当y1解得：x>20，
∴当A型号篮球购买15个，B型号篮球购买个数为x>20时，选择方案一购买更省钱；
综上所述：当A型号篮球购买15个，B型号篮球购买个数为5≤x<20时，选择方案二购买更省钱；当A型号篮球购买15个，B型号篮球购买20个时，两种方案花费的钱一样多；当A型号篮球购买15个，B型号篮球购买个数为x>20时，选择方案一购买更省钱．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，不等式的应用，读懂题意，正确列出分式方程，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键．
奶茶销售方案制定问题
素材1
当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”．每杯“芝士杨梅”的售价比“满杯杨梅”贵2元，购买1杯“芝士杨梅”和2杯“满杯杨梅”共需53元．
素材2
两款奶茶配料表如下：
芝士杨梅
配料
芝士100mL/杯
茉莉清茶400mL/杯
杨梅肉
多肉
满杯杨梅
配料
茉莉清茶500mL/杯
杨梅肉
多肉

素材3
5月27日当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”的利润是每杯“满杯杨梅”的54倍，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯．
素材4
由于芝士保质期将至，为了去库存，5月28日决定对“芝士杨梅”每杯降价4元促销，并要求当天芝士消耗量不少于3500mL，配制的17500mL茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”．
问题解决
任务1
确定奶茶的售价
每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价是多少？
任务2
确定奶茶的成本
每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本是多少？（每杯利润=每杯售价−每杯成本=总利润数量）
任务3
拟定最优方案
为了使5月28日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共多少杯？
素材一
为鼓励学生积极参加学校劳动，养成劳动习惯，培养劳动品质某校“方志实践”劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地．已知围栏的横杠长为15dm，竖杠长为8dm
一副围栏由2个横杠，5个竖杠制作而成

素材二
项目化学习小组到市场了解到：现木材市场的这种规格的围栏材料每根长为40dm，价格为50元/根．为了深度参与学校蔬菜基地的建立，项目化小组打算自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏同时为了围栏的牢固性，用料不能是拼接而成．
解决问题
任务要求
解决办法
任务一
一根40dm长的围栏材料有哪些裁剪方法呢？（余料作废）．
方法①：当只裁剪8dm长的竖杠时，最多可裁剪_______________根；
方法②：当先裁剪下1根15dm长的横杠时，余下部分最多能裁剪8dm长的竖杠_______________根；
方法③：当先裁剪下2根15dm长的横杠时，余下部分最多能裁剪8dm长的竖杠________________根：
任务二
基地负责老师告诉项目化学习小组：搭建蔬菜基地需要用到的围栏长为75dm（即需要制作5副围栏，需要的用料为：25个竖杠，10个横杠），请完成裁剪并计算费用．
项目化小组打算用“任务一”中的方法②和方法③完成裁剪任务．请计算：分别用“任务一”中的方法②和方法③各裁剪多少根40dm长的围栏材料，才能刚好得到所需要的相应数量的用料？并求出购买围栏材料的费用．
任务三
某安装技术人员告诉项目化小组同学：我们在单位时间内可以安装m根竖杠或（7－m）根横杠．现需知道技术人员的安装效率．
任务二中的5副围栏安装完毕时，项目化小组发现技术人员安装竖杠所需的时间与安装横杠所需的时间相同，则m＝_______________．
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材1
某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件．
素材2
某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，购买钢笔和笔记本的数量之比为3:2．
素材3
学校花费400元后，文具店赠送m张(1
问题解决
任务1
探求商品单价
请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
任务2
探究购买方案
探究购买钢笔和笔记本的数量．
任务3
确定兑换方式
运用数学知识，确定兑换方式．
如何设计雪花模型材料采购方案？
素材一
学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制怍．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1∶7与1∶9．
素材二
某商店的店内广告牌如右图所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根．

素材三
6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料没有剩余），且采购经费恰好用完．
问题解决
任务一
分析雪花模型结构
求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？
任务二
确定采购费用
试求a的值并求出假如6月只制作一个甲款雪花模型的材料采购费．
任务三
拟定采购方案
求出所有满足条件的采购方案，并指出哪种方案得到的雪花总数最多．
奶茶销售方案制定问题
素材1
当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”．每杯“芝士杨梅”的售价比“满杯杨梅”贵2元，购买1杯“芝士杨梅”和2杯“满杯杨梅”共需53元．
素材2
两款奶茶配料表如下：
芝士杨梅
配料
芝士100mL/杯
茉莉清茶400mL/杯
杨梅肉
多肉
满杯杨梅
配料
茉莉清茶500mL/杯
杨梅肉
多肉

素材3
5月27日当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”的利润是每杯“满杯杨梅”的54倍，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯．
素材4
由于芝士保质期将至，为了去库存，5月28日决定对“芝士杨梅”每杯降价4元促销，并要求当天芝士消耗量不少于3500mL，配制的17500mL茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”．
问题解决
任务1
确定奶茶的售价
每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价是多少？
任务2
确定奶茶的成本
每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本是多少？（每杯利润=每杯售价−每杯成本=总利润数量）
任务3
拟定最优方案
为了使5月28日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共多少杯？
素材一
为鼓励学生积极参加学校劳动，养成劳动习惯，培养劳动品质某校“方志实践”劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地．已知围栏的横杠长为15dm，竖杠长为8dm
一副围栏由2个横杠，5个竖杠制作而成

素材二
项目化学习小组到市场了解到：现木材市场的这种规格的围栏材料每根长为40dm，价格为50元/根．为了深度参与学校蔬菜基地的建立，项目化小组打算自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏同时为了围栏的牢固性，用料不能是拼接而成．
解决问题
任务要求
解决办法
任务一
一根40dm长的围栏材料有哪些裁剪方法呢？（余料作废）．
方法①：当只裁剪8dm长的竖杠时，最多可裁剪_______________根；
方法②：当先裁剪下1根15dm长的横杠时，余下部分最多能裁剪8dm长的竖杠_______________根；
方法③：当先裁剪下2根15dm长的横杠时，余下部分最多能裁剪8dm长的竖杠________________根：
任务二
基地负责老师告诉项目化学习小组：搭建蔬菜基地需要用到的围栏长为75dm（即需要制作5副围栏，需要的用料为：25个竖杠，10个横杠），请完成裁剪并计算费用．
项目化小组打算用“任务一”中的方法②和方法③完成裁剪任务．请计算：分别用“任务一”中的方法②和方法③各裁剪多少根40dm长的围栏材料，才能刚好得到所需要的相应数量的用料？并求出购买围栏材料的费用．
任务三
某安装技术人员告诉项目化小组同学：我们在单位时间内可以安装m根竖杠或（7－m）根横杠．现需知道技术人员的安装效率．
任务二中的5副围栏安装完毕时，项目化小组发现技术人员安装竖杠所需的时间与安装横杠所需的时间相同，则m＝_______________．
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材1
某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件．
素材2
某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，购买钢笔和笔记本的数量之比为3:2．
素材3
学校花费400元后，文具店赠送m张(1
问题解决
任务1
探求商品单价
请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
任务2
探究购买方案
探究购买钢笔和笔记本的数量．
任务3
确定兑换方式
运用数学知识，确定兑换方式．
如何设计雪花模型材料采购方案？
素材一
学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制怍．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1∶7与1∶9．
素材二
某商店的店内广告牌如右图所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根．

素材三
6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料没有剩余），且采购经费恰好用完．
问题解决
任务一
分析雪花模型结构
求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？
任务二
确定采购费用
试求a的值并求出假如6月只制作一个甲款雪花模型的材料采购费．
任务三
拟定采购方案
求出所有满足条件的采购方案，并指出哪种方案得到的雪花总数最多．