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人教A版（2019）必修第二册第10章概率章末测试(提升)(原卷版+解析)
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这是一份人教A版（2019）必修第二册第10章概率章末测试(提升)(原卷版+解析)，共26页。
第10章 概率 章末测试（提升）考试时间：120分钟 满分：150分单选题(每题只有一个选择为正确答案，每题5分，8题共40分)1．（2022·高一单元测试）一个学习小组有5名同学，其中2名男生，3名女生．从这个小组中任意选出2名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为（ ）A． B． C． D．2．（2022秋·黑龙江哈尔滨）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．某天，齐王与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，则田忌获胜概率为（ ）．A． B． C． D．3．（2022河南南阳）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 A． B． C． D．4．（2022春·甘肃天水·高一校考期末）抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为（ ）A． B． C． D．5．（2022江西赣州）概率论起源于博弈游戏．17世纪，曾有一个“赌金分配“的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定，各出赌金48枚金币，先赢3局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局．问这96枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率“的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是A．甲48枚，乙48枚 B．甲64枚，乙32枚C．甲72枚，乙24枚 D．甲80枚，乙16枚6．（2022·高一单元测试）素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想.世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数，存在无穷多个素数对.其中当时，称为“孪生素数”，时，称为“表兄弟素数”.在不超过的素数中，任选两个不同的素数､()，令事件为孪生素数}，为表兄弟素数}，，记事件､､发生的概率分别为､､，则下列关系式成立的是（ ）A． B．C． D．7．（2022·高一课时练习）下列命题中正确的是（ ）A．事件发生的概率等于事件发生的频率B．一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是，说明这个骰子掷6次一定会出现一次3点C．掷两枚质地均匀的硬币，事件为“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，事件为“两枚都是正面朝上”，则D．对于两个事件、，若，则事件与事件互斥8．（2022湖北武汉）一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A． B． C． D．多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）9．（2023山东）下列说法正确的是（ ）A．甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是0.5，0.25，则题被解出的概率是0.125B．若，是互斥事件，则，C．某校200名教师的职称分布情况如下：高级占比20%，中级占比50%，初级占比30%，现从中抽取50名教师做样本，若采用分层抽样方法，则高级教师应抽取10人D．一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是10．（2022·全国·高一专题练习）某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为，，两人能否获得满分相互独立，则下列说法错误的是：（ ）A．两人均获得满分的概率为 B．两人至少一人获得满分的概率为C．两人恰好只有甲获得满分的概率为 D．两人至多一人获得满分的概率为11．（2022秋·河南南阳·高一校考期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位､十位､百位､千位……，上面一粒珠子(简称上珠)代表5，下面一粒珠子(简称下珠)代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠､十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位､十位､百位､千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数能被3整除”，“表示的四位数能被5整除”，则（ ）A． B． C． D．12．（2022秋·山东威海·高一乳山市第一中学校考阶段练习）下列对各事件发生的概率判断正确的是（）A．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为C．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是三、填空题(每题5分，4题共20分)13．（2022秋·广东汕头）若三个原件A，B，C按照如图的方式连接成一个系统，每个原件是否正常工作不受其他元件的影响，当原件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时，系统就正常工作，若原件A，B，C正常工作的概率依次为0.7，0.8，0.9，则这个系统正常工作的概率为______14．（2022·高一课时练习）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________.①与为对立事件；②与是互斥事件；③与是对立事件：④；⑤.15．（2023湖北）将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．16．（2023陕西）由1， 2， 3， …，1000这个1000正整数构成集合，先从集合中随机取一个数，取出后把放回集合，然后再从集合中随机取出一个数，则的概率为______．四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）17．（2022·高一单元测试）4月23日是世界读书日，树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名.经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图：（以各组的区间中点值代表该组的各个值）（1）从一周课外阅读时间为的学生中按比例分配抽取6人，从这6人中任意抽取2人，求恰好一男一女的概率；（2）分别估计男生和女生一周课外阅读时间的平均数，；（3）估计总样本的平均数和方差.参考数据和公式：男生和女生一周课外阅读时间方差的估计值分别为和.，和分别表示男生和女生一周阅读时间的样本，其中.18．（2022春·新疆乌鲁木齐·高一兵团二中校考期末）某校社团活动深受学生欢迎，每届高一新生都踊跃报名加入.现已知高一某班60名同学中有4名男同学和2名女同学参加摄影社，在这6名同学中，2名同学初中毕业于同一所学校，其余4名同学初中毕业于其他4所不同的学校现从这6名同学中随机选取2名同学代表社团参加校际交流（每名同学被选到的可能性相同).（1）在该班随机选取1名同学，求该同学参加摄影社的概率；（2）求从这6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的概率；（3）求从这6名同学中选出的2名同学代表来自不同的初中学校的概率.19．（2022·高一单元测试）某数学老师对本校2018届高三学生某次联考的数学成绩进行分析，按1：50进行分层抽样抽取20名学生的成绩进行分析，分数用茎叶图记录如图所示（部分数据丢失），得到的频率分布表如下：（1）表中a，b的值及分数在范围内的学生，并估计这次考试全校学生数学成绩及格率（分数在范围为及格）；（2）从大于等于110分的学生随机选2名学生得分，求2名学生的平均得分大于等于130分的概率．20．（2022贵州六盘水）已知关于的二次函数，令集合，，若分别从集合、中随机抽取一个数和，构成数对.（1）列举数对的样本空间；（2）记事件为“二次函数的单调递增区间为”，求事件的概率；（3）记事件为“关于的一元二次方程有4个零点”，求事件的概率.21．（2022黑龙江）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．(1)求第七组的频率；(2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求．22．（2022·高一单元测试）某市小型机动车驾照“科二”考试中共有项考查项目，分别记作①、②、③、④、⑤.(1)某教练将所带名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并计算从恰有项成绩不合格的学员中任意抽出人进行补测（只测不合格的项目），求补测项目种类不超过项的概率.(2)“科二”考试中，学员需缴纳元的报名费，并进行轮测试（按①、②、③、④、⑤的顺序进行）；如果某项目不合格，可免费再进行轮补测；若第轮补测中仍有不合格的项目，可选择“是否补考”；若补考则需缴纳元补考费，并获得最多轮补测机会，否则考试结束；每轮补测都按①，②，③，④，⑤的顺序进行，学员在任何轮测试或补测中个项目均合格，方可通过“科二”考试，每人最多只能补考次，某学员每轮测试或补考通过①、②、③、④、⑤各项测试的概率依次为、、、、，且他遇到“是否补考”的决断时会选择补考.求该学员能通过“科二”考试的概率. 男生一周阅读时间频数分布表小时频数92533分数段（分）合计频数b频率a第10章 概率 章末测试（提升）考试时间：120分钟 满分：150分单选题(每题只有一个选择为正确答案，每题5分，8题共40分)1．（2022·高一单元测试）一个学习小组有5名同学，其中2名男生，3名女生．从这个小组中任意选出2名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】5人小组中，设2男生分别为a,b，3名女生分别为A,B,C，则任意选出2名同学，共有:10个基本事件，其中选出的同学中既有男生又有女生共有6个基本事件，所以,故选：C2．（2022秋·黑龙江哈尔滨）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．某天，齐王与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，则田忌获胜概率为（ ）．A． B． C． D．【答案】B【解析】设齐王的三匹马分别为，田忌的三匹马分别为，所有比赛的情况:：、、，齐王获胜三局；、、，齐王获胜两局；、、，齐王获胜两局；、、，齐王获胜两局；、、，田忌获胜两局；、、，齐王获胜两局，共6种情况，则田忌胜1种情况，故概率为故选：B3．（2022河南南阳）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 A． B． C． D．【答案】A【解析】甲要获得冠军共分为两个情况：一是第一场就取胜，这种情况的概率为一是第一场失败，第二场取胜，这种情况的概率为则甲获得冠军的概率为故选：A．4．（2022春·甘肃天水·高一校考期末）抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，∴P(A)，P(B)，又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，所以事件A和事件B为互斥事件，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为P（A∪B）＝P(A)+P(B)，故选：A．5．（2022江西赣州）概率论起源于博弈游戏．17世纪，曾有一个“赌金分配“的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定，各出赌金48枚金币，先赢3局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局．问这96枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率“的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是A．甲48枚，乙48枚 B．甲64枚，乙32枚C．甲72枚，乙24枚 D．甲80枚，乙16枚【答案】C【解析】根据题意，甲、乙两人每局获胜的概率均为，假设两人继续进行比赛，甲获取96枚金币的概率，乙获取96枚金币的概率，则甲应该获得枚金币；乙应该获得枚金币；故选：C．.6．（2022·高一单元测试）素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想.世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数，存在无穷多个素数对.其中当时，称为“孪生素数”，时，称为“表兄弟素数”.在不超过的素数中，任选两个不同的素数､()，令事件为孪生素数}，为表兄弟素数}，，记事件､､发生的概率分别为､､，则下列关系式成立的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【解析】不超过的素数有、、、、、、、、、，共10个，随机选取两个不同的素数、()，有(种)选法，事件发生的样本点为、、、共4个，事件发生的样本点为、、、共4个，事件发生的样本点为、、、、、、、、、，共个，∴，，故.故选：D.7．（2022·高一课时练习）下列命题中正确的是（ ）A．事件发生的概率等于事件发生的频率B．一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是，说明这个骰子掷6次一定会出现一次3点C．掷两枚质地均匀的硬币，事件为“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，事件为“两枚都是正面朝上”，则D．对于两个事件、，若，则事件与事件互斥【答案】C【解析】对于A选项，频率与实验次数有关，且在概率附近摆动，故A选项错误；对于B选项，根据概率的意义，一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是，表示一次实验发生的可能性是，故骰子掷6次出现3点的次数也不确定，故B选项错误；对于C选项，根据概率的计算公式得，，故，故C选项正确；对于D选项，设，A事件表示从中任取一个数，使得的事件，则，B事件表示从中任取一个数，使得的事件，则，显然，此时A事件与B事件不互斥，故D选项错误.8．（2022湖北武汉）一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A． B． C． D．【答案】B【解析】设与中至少有一个不闭合的事件为与至少有一个不闭合的事件为，则，所以灯亮的概率为 ， 故选B.多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）9．（2023山东）下列说法正确的是（ ）A．甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是0.5，0.25，则题被解出的概率是0.125B．若，是互斥事件，则，C．某校200名教师的职称分布情况如下：高级占比20%，中级占比50%，初级占比30%，现从中抽取50名教师做样本，若采用分层抽样方法，则高级教师应抽取10人D．一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是【答案】BCD【解析】对于A，∵他们各自解出的概率分别是，，则此题不能解出的概率为，则此题能解出的概率为，故A错；对于B，若，是互斥事件，则，，故B正确；对于C，高级教师应抽取人，故C正确；对于D，由列举法可知，两位女生相邻的概率是，故D正确.故选：BCD.10．（2022·全国·高一专题练习）某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为，，两人能否获得满分相互独立，则下列说法错误的是：（ ）A．两人均获得满分的概率为 B．两人至少一人获得满分的概率为C．两人恰好只有甲获得满分的概率为 D．两人至多一人获得满分的概率为【答案】BCD【解析】∵甲、乙两人能得满分的概率分别为，，两人能否获得满分相互独立，分别记甲、乙得满分的事件为，则独立.∴两人均获得满分的概率为:,故正确;两人至少一人获得满分的概率为:，故错误；两人恰好只有甲获得满分的概率为:，故错误；两人至多一人获得满分的概率为:，故错误.故选：.11．（2022秋·河南南阳·高一校考期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位､十位､百位､千位……，上面一粒珠子(简称上珠)代表5，下面一粒珠子(简称下珠)代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠､十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位､十位､百位､千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数能被3整除”，“表示的四位数能被5整除”，则（ ）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1或5，四位数的个数是，能被3整除的数字1和5各出现2个，因此满足条件的四位数和个数是，所以，能被5带除的四位数个数为，，能被15带除的是能被3整除的四位数的个数是5，因此满足这个条件的四位数的个数是，概率为，．故选：ACD．12．（2022秋·山东威海·高一乳山市第一中学校考阶段练习）下列对各事件发生的概率判断正确的是（）A．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为C．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是【答案】AC【解析】对于A,该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯,第3个路口是红灯,所以概率为,故A正确；对于B,用A、B、C分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码,则,,,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为,所以此密码被破译的概率为,故B不正确；对于C,设“从甲袋中取到白球”为事件A,则,设“从乙袋中取到白球”为事件B,则,故取到同色球的概率为,故C正确；对于D,易得,即,即,∴,又,∴,∴,故D错误故选AC三、填空题(每题5分，4题共20分)13．（2022秋·广东汕头）若三个原件A，B，C按照如图的方式连接成一个系统，每个原件是否正常工作不受其他元件的影响，当原件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时，系统就正常工作，若原件A，B，C正常工作的概率依次为0.7，0.8，0.9，则这个系统正常工作的概率为______【答案】0.686【解析】由题意，系统正常工作的情况分成两个步骤，A正常工作且B，C至少有一个正常工作的情况，其中正常工作的概率为0.7；正常工作的概率为0.8, 正常工作的概率为0.9，则与至少有一个正常工作的概率为，所以这个系统正常工作的概率为：0.7×0.98＝0.686；故答案为：0.686；14．（2022·高一课时练习）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________.①与为对立事件；②与是互斥事件；③与是对立事件：④；⑤.【答案】①④【解析】口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件 “取出的两球同色”， “取出的2球中至少有一个黄球”， “取出的2球至少有一个白球”， “取出的两球不同色”， “取出的2球中至多有一个白球”，①，由对立事件定义得与为对立事件，故①正确；②，与有可能同时发生，故与不是互斥事件，故②错误；③，与有可能同时发生，不是对立事件，故③错误；④，（C），（E），，从而（C）（E），故④正确；⑤，，从而（B）（C），故⑤错误．故答案为：①④．15．（2023湖北）将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．【答案】【解析】基本事件总数为36，点数之和小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为16．（2023陕西）由1， 2， 3， …，1000这个1000正整数构成集合，先从集合中随机取一个数，取出后把放回集合，然后再从集合中随机取出一个数，则的概率为______．【答案】【解析】由题可知，，且，要使得，即：，则有：当时，或，有2种取法；当时，的取值增加3、4、5，有2+3种取法；当时，的取值增加6、7、8，有种取法；当时，有种取法；当时，都有1000种取法.故.故答案为：.四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）17．（2022·高一单元测试）4月23日是世界读书日，树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名.经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图：（以各组的区间中点值代表该组的各个值）（1）从一周课外阅读时间为的学生中按比例分配抽取6人，从这6人中任意抽取2人，求恰好一男一女的概率；（2）分别估计男生和女生一周课外阅读时间的平均数，；（3）估计总样本的平均数和方差.参考数据和公式：男生和女生一周课外阅读时间方差的估计值分别为和.，和分别表示男生和女生一周阅读时间的样本，其中.【答案】（1）；（2），；（3），.【解析】（1）一周课外阅读时间为的学生中男生有3人，女生有人，若从中按比例分配抽取6人，则男生有1人，记为，女生有5人，记为，，，，，则样本空间，记事件“恰好一男一女”，则，所以，所以从这6人中任意抽取2人恰好一男一女的概率为；（2）估计男生一周课外阅读时间平均数；估计女生一周课外阅读时间的平均数.（3）估计总样本的平均数，∵，∴，，，，∴，所以估计总样本的平均数和方差分别是3.6和3.18．（2022春·新疆乌鲁木齐·高一兵团二中校考期末）某校社团活动深受学生欢迎，每届高一新生都踊跃报名加入.现已知高一某班60名同学中有4名男同学和2名女同学参加摄影社，在这6名同学中，2名同学初中毕业于同一所学校，其余4名同学初中毕业于其他4所不同的学校现从这6名同学中随机选取2名同学代表社团参加校际交流（每名同学被选到的可能性相同).（1）在该班随机选取1名同学，求该同学参加摄影社的概率；（2）求从这6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的概率；（3）求从这6名同学中选出的2名同学代表来自不同的初中学校的概率.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）依题意，该班60名同学中共有6名同学参加摄影社，所以在该班随机选取1名同学，该同学参加摄影社的概率为.（2）设表示参加摄影社的男同学，表示参加摄影社的女同学，则从6名同学中选出的2名同学代表共有15种等可能的结果：，其中至少有1名女同学的结果有9种：，根据古典概率计算公式，从6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的概率为（3）用1，2，3，4表示这6名同学中选出的4同学代表来自不同的初中学校的同学，用e，f表示2名来自同一个学校的2名同学.从6名同学中选出2名，有：12，13，14，1e，1f，23，24，2e，2f，34，3e，3f，4e，4f，ef共15种不同情况，其中2名同学代表来自不同的初中学校12，13，14，1e，1f，23，24，2e，2f，34，3e，3f，4e，4f有14种，所以从这6名同学中选出的2名同学代表来自不同的初中学校的概率19．（2022·高一单元测试）某数学老师对本校2018届高三学生某次联考的数学成绩进行分析，按1：50进行分层抽样抽取20名学生的成绩进行分析，分数用茎叶图记录如图所示（部分数据丢失），得到的频率分布表如下：（1）表中a，b的值及分数在范围内的学生，并估计这次考试全校学生数学成绩及格率（分数在范围为及格）；（2）从大于等于110分的学生随机选2名学生得分，求2名学生的平均得分大于等于130分的概率．【答案】（1），，及格率为；（2）.【解析】（1）由茎叶图可知分数在范围内的有2人，在范围内的有3人，∴，．又分数在范围内的频率为，∴分数在范围内的频率为，∴分数在范围内的人数为，由茎叶图可知分数范围内的人数为4人，∴分数在范围内的学生数为（人）．从茎叶图可知分数在范围内的频率为0.25，所以有（人），∴数学成绩及格的学生为：人，∴估计全校数学成绩及格率为．（2）设A表示事件“大于等于110分的学生中随机选2名学生得分，平均得分大于等于130分”，由茎叶图可知大于等于110分有5人，记这5人分别为 ，则选取学生的所有可能结果为，，，，，，，，，，基本事件数为10，事件“2名学生的平均得分大于等于130分”也就是“这两个学生的分数之和大于等于260”，所以可能结果为，，，，共4种情况，基本事件数为4，∴．20．（2022贵州六盘水）已知关于的二次函数，令集合，，若分别从集合、中随机抽取一个数和，构成数对.（1）列举数对的样本空间；（2）记事件为“二次函数的单调递增区间为”，求事件的概率；（3）记事件为“关于的一元二次方程有4个零点”，求事件的概率.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由题意可得，，，数对的样本空间为；（2）若二次函数的单调递增区间为，则二次函数的对称轴，即，由（1）可得，总的基本事件个数为20个，符合的基本事件为：，，，共4个，所以；（3）因为，二次函数的图象开口向上，方程有4个零点，即方程和各有2个零点，等价于二次函数的最小值小于，所以，即，样本空间中符合的基本事件有：，，，，，，，，，，，共11个，所以.21．（2022黑龙江）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．(1)求第七组的频率；(2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求．【答案】(1)；(2)平均数为，中位数为；(3)．【解析】：(1)第六组的频率为，∴第七组的频率为．(2)由直方图得，身高在第一组的频率为，身高在第二组的频率为，身高在第三组的频率为，身高在第四组的频率为，由于，，设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则，由得，所以这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm，平均数为．(3)第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为a，b，c，d，第八组的抽取人数为，设所抽取的人为A，B，则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况，因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以．22．（2022·高一单元测试）某市小型机动车驾照“科二”考试中共有项考查项目，分别记作①、②、③、④、⑤.(1)某教练将所带名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并计算从恰有项成绩不合格的学员中任意抽出人进行补测（只测不合格的项目），求补测项目种类不超过项的概率.(2)“科二”考试中，学员需缴纳元的报名费，并进行轮测试（按①、②、③、④、⑤的顺序进行）；如果某项目不合格，可免费再进行轮补测；若第轮补测中仍有不合格的项目，可选择“是否补考”；若补考则需缴纳元补考费，并获得最多轮补测机会，否则考试结束；每轮补测都按①，②，③，④，⑤的顺序进行，学员在任何轮测试或补测中个项目均合格，方可通过“科二”考试，每人最多只能补考次，某学员每轮测试或补考通过①、②、③、④、⑤各项测试的概率依次为、、、、，且他遇到“是否补考”的决断时会选择补考.求该学员能通过“科二”考试的概率.【答案】(1)(2)【解析】（1）根据题意，学员（1）、（2）、（4）、（6）、（9）恰有两项不合格，从中任意抽出人，所有可能的情况如下：由表可知，全部种可能的情况中，有种情况补测项数不超过，故所求概率为；（2）由题意可知，该学员顺利完成每轮测试（或补测）的概率为：，由题意，该学员无法通过“科二”考试，当且仅当其测试与次补测均未能完成项测试，相应概率为，故学员能通过“科二”考试的概率为 男生一周阅读时间频数分布表小时频数92533分数段（分）合计频数b频率a学员编号补测编号项数（1）（2）②③⑤3（1）（4）②③④⑤4（1）（6）③④⑤3（1）（9）①③⑤3（2）（4）②④⑤3（2）（6）②③④⑤4（2）（9）①②⑤3（4）（6）②③④3（4）（9）①②④⑤4（6）（9）①③④⑤4
第10章 概率 章末测试（提升）考试时间：120分钟 满分：150分单选题(每题只有一个选择为正确答案，每题5分，8题共40分)1．（2022·高一单元测试）一个学习小组有5名同学，其中2名男生，3名女生．从这个小组中任意选出2名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为（ ）A． B． C． D．2．（2022秋·黑龙江哈尔滨）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．某天，齐王与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，则田忌获胜概率为（ ）．A． B． C． D．3．（2022河南南阳）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 A． B． C． D．4．（2022春·甘肃天水·高一校考期末）抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为（ ）A． B． C． D．5．（2022江西赣州）概率论起源于博弈游戏．17世纪，曾有一个“赌金分配“的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定，各出赌金48枚金币，先赢3局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局．问这96枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率“的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是A．甲48枚，乙48枚 B．甲64枚，乙32枚C．甲72枚，乙24枚 D．甲80枚，乙16枚6．（2022·高一单元测试）素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想.世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数，存在无穷多个素数对.其中当时，称为“孪生素数”，时，称为“表兄弟素数”.在不超过的素数中，任选两个不同的素数､()，令事件为孪生素数}，为表兄弟素数}，，记事件､､发生的概率分别为､､，则下列关系式成立的是（ ）A． B．C． D．7．（2022·高一课时练习）下列命题中正确的是（ ）A．事件发生的概率等于事件发生的频率B．一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是，说明这个骰子掷6次一定会出现一次3点C．掷两枚质地均匀的硬币，事件为“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，事件为“两枚都是正面朝上”，则D．对于两个事件、，若，则事件与事件互斥8．（2022湖北武汉）一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A． B． C． D．多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）9．（2023山东）下列说法正确的是（ ）A．甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是0.5，0.25，则题被解出的概率是0.125B．若，是互斥事件，则，C．某校200名教师的职称分布情况如下：高级占比20%，中级占比50%，初级占比30%，现从中抽取50名教师做样本，若采用分层抽样方法，则高级教师应抽取10人D．一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是10．（2022·全国·高一专题练习）某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为，，两人能否获得满分相互独立，则下列说法错误的是：（ ）A．两人均获得满分的概率为 B．两人至少一人获得满分的概率为C．两人恰好只有甲获得满分的概率为 D．两人至多一人获得满分的概率为11．（2022秋·河南南阳·高一校考期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位､十位､百位､千位……，上面一粒珠子(简称上珠)代表5，下面一粒珠子(简称下珠)代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠､十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位､十位､百位､千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数能被3整除”，“表示的四位数能被5整除”，则（ ）A． B． C． D．12．（2022秋·山东威海·高一乳山市第一中学校考阶段练习）下列对各事件发生的概率判断正确的是（）A．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为C．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是三、填空题(每题5分，4题共20分)13．（2022秋·广东汕头）若三个原件A，B，C按照如图的方式连接成一个系统，每个原件是否正常工作不受其他元件的影响，当原件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时，系统就正常工作，若原件A，B，C正常工作的概率依次为0.7，0.8，0.9，则这个系统正常工作的概率为______14．（2022·高一课时练习）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________.①与为对立事件；②与是互斥事件；③与是对立事件：④；⑤.15．（2023湖北）将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．16．（2023陕西）由1， 2， 3， …，1000这个1000正整数构成集合，先从集合中随机取一个数，取出后把放回集合，然后再从集合中随机取出一个数，则的概率为______．四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）17．（2022·高一单元测试）4月23日是世界读书日，树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名.经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图：（以各组的区间中点值代表该组的各个值）（1）从一周课外阅读时间为的学生中按比例分配抽取6人，从这6人中任意抽取2人，求恰好一男一女的概率；（2）分别估计男生和女生一周课外阅读时间的平均数，；（3）估计总样本的平均数和方差.参考数据和公式：男生和女生一周课外阅读时间方差的估计值分别为和.，和分别表示男生和女生一周阅读时间的样本，其中.18．（2022春·新疆乌鲁木齐·高一兵团二中校考期末）某校社团活动深受学生欢迎，每届高一新生都踊跃报名加入.现已知高一某班60名同学中有4名男同学和2名女同学参加摄影社，在这6名同学中，2名同学初中毕业于同一所学校，其余4名同学初中毕业于其他4所不同的学校现从这6名同学中随机选取2名同学代表社团参加校际交流（每名同学被选到的可能性相同).（1）在该班随机选取1名同学，求该同学参加摄影社的概率；（2）求从这6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的概率；（3）求从这6名同学中选出的2名同学代表来自不同的初中学校的概率.19．（2022·高一单元测试）某数学老师对本校2018届高三学生某次联考的数学成绩进行分析，按1：50进行分层抽样抽取20名学生的成绩进行分析，分数用茎叶图记录如图所示（部分数据丢失），得到的频率分布表如下：（1）表中a，b的值及分数在范围内的学生，并估计这次考试全校学生数学成绩及格率（分数在范围为及格）；（2）从大于等于110分的学生随机选2名学生得分，求2名学生的平均得分大于等于130分的概率．20．（2022贵州六盘水）已知关于的二次函数，令集合，，若分别从集合、中随机抽取一个数和，构成数对.（1）列举数对的样本空间；（2）记事件为“二次函数的单调递增区间为”，求事件的概率；（3）记事件为“关于的一元二次方程有4个零点”，求事件的概率.21．（2022黑龙江）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．(1)求第七组的频率；(2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求．22．（2022·高一单元测试）某市小型机动车驾照“科二”考试中共有项考查项目，分别记作①、②、③、④、⑤.(1)某教练将所带名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并计算从恰有项成绩不合格的学员中任意抽出人进行补测（只测不合格的项目），求补测项目种类不超过项的概率.(2)“科二”考试中，学员需缴纳元的报名费，并进行轮测试（按①、②、③、④、⑤的顺序进行）；如果某项目不合格，可免费再进行轮补测；若第轮补测中仍有不合格的项目，可选择“是否补考”；若补考则需缴纳元补考费，并获得最多轮补测机会，否则考试结束；每轮补测都按①，②，③，④，⑤的顺序进行，学员在任何轮测试或补测中个项目均合格，方可通过“科二”考试，每人最多只能补考次，某学员每轮测试或补考通过①、②、③、④、⑤各项测试的概率依次为、、、、，且他遇到“是否补考”的决断时会选择补考.求该学员能通过“科二”考试的概率. 男生一周阅读时间频数分布表小时频数92533分数段（分）合计频数b频率a第10章 概率 章末测试（提升）考试时间：120分钟 满分：150分单选题(每题只有一个选择为正确答案，每题5分，8题共40分)1．（2022·高一单元测试）一个学习小组有5名同学，其中2名男生，3名女生．从这个小组中任意选出2名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】5人小组中，设2男生分别为a,b，3名女生分别为A,B,C，则任意选出2名同学，共有:10个基本事件，其中选出的同学中既有男生又有女生共有6个基本事件，所以,故选：C2．（2022秋·黑龙江哈尔滨）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．某天，齐王与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，则田忌获胜概率为（ ）．A． B． C． D．【答案】B【解析】设齐王的三匹马分别为，田忌的三匹马分别为，所有比赛的情况:：、、，齐王获胜三局；、、，齐王获胜两局；、、，齐王获胜两局；、、，齐王获胜两局；、、，田忌获胜两局；、、，齐王获胜两局，共6种情况，则田忌胜1种情况，故概率为故选：B3．（2022河南南阳）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 A． B． C． D．【答案】A【解析】甲要获得冠军共分为两个情况：一是第一场就取胜，这种情况的概率为一是第一场失败，第二场取胜，这种情况的概率为则甲获得冠军的概率为故选：A．4．（2022春·甘肃天水·高一校考期末）抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，∴P(A)，P(B)，又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，所以事件A和事件B为互斥事件，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为P（A∪B）＝P(A)+P(B)，故选：A．5．（2022江西赣州）概率论起源于博弈游戏．17世纪，曾有一个“赌金分配“的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定，各出赌金48枚金币，先赢3局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局．问这96枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率“的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是A．甲48枚，乙48枚 B．甲64枚，乙32枚C．甲72枚，乙24枚 D．甲80枚，乙16枚【答案】C【解析】根据题意，甲、乙两人每局获胜的概率均为，假设两人继续进行比赛，甲获取96枚金币的概率，乙获取96枚金币的概率，则甲应该获得枚金币；乙应该获得枚金币；故选：C．.6．（2022·高一单元测试）素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想.世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数，存在无穷多个素数对.其中当时，称为“孪生素数”，时，称为“表兄弟素数”.在不超过的素数中，任选两个不同的素数､()，令事件为孪生素数}，为表兄弟素数}，，记事件､､发生的概率分别为､､，则下列关系式成立的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【解析】不超过的素数有、、、、、、、、、，共10个，随机选取两个不同的素数、()，有(种)选法，事件发生的样本点为、、、共4个，事件发生的样本点为、、、共4个，事件发生的样本点为、、、、、、、、、，共个，∴，，故.故选：D.7．（2022·高一课时练习）下列命题中正确的是（ ）A．事件发生的概率等于事件发生的频率B．一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是，说明这个骰子掷6次一定会出现一次3点C．掷两枚质地均匀的硬币，事件为“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，事件为“两枚都是正面朝上”，则D．对于两个事件、，若，则事件与事件互斥【答案】C【解析】对于A选项，频率与实验次数有关，且在概率附近摆动，故A选项错误；对于B选项，根据概率的意义，一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是，表示一次实验发生的可能性是，故骰子掷6次出现3点的次数也不确定，故B选项错误；对于C选项，根据概率的计算公式得，，故，故C选项正确；对于D选项，设，A事件表示从中任取一个数，使得的事件，则，B事件表示从中任取一个数，使得的事件，则，显然，此时A事件与B事件不互斥，故D选项错误.8．（2022湖北武汉）一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A． B． C． D．【答案】B【解析】设与中至少有一个不闭合的事件为与至少有一个不闭合的事件为，则，所以灯亮的概率为 ， 故选B.多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）9．（2023山东）下列说法正确的是（ ）A．甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是0.5，0.25，则题被解出的概率是0.125B．若，是互斥事件，则，C．某校200名教师的职称分布情况如下：高级占比20%，中级占比50%，初级占比30%，现从中抽取50名教师做样本，若采用分层抽样方法，则高级教师应抽取10人D．一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是【答案】BCD【解析】对于A，∵他们各自解出的概率分别是，，则此题不能解出的概率为，则此题能解出的概率为，故A错；对于B，若，是互斥事件，则，，故B正确；对于C，高级教师应抽取人，故C正确；对于D，由列举法可知，两位女生相邻的概率是，故D正确.故选：BCD.10．（2022·全国·高一专题练习）某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为，，两人能否获得满分相互独立，则下列说法错误的是：（ ）A．两人均获得满分的概率为 B．两人至少一人获得满分的概率为C．两人恰好只有甲获得满分的概率为 D．两人至多一人获得满分的概率为【答案】BCD【解析】∵甲、乙两人能得满分的概率分别为，，两人能否获得满分相互独立，分别记甲、乙得满分的事件为，则独立.∴两人均获得满分的概率为:,故正确;两人至少一人获得满分的概率为:，故错误；两人恰好只有甲获得满分的概率为:，故错误；两人至多一人获得满分的概率为:，故错误.故选：.11．（2022秋·河南南阳·高一校考期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位､十位､百位､千位……，上面一粒珠子(简称上珠)代表5，下面一粒珠子(简称下珠)代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠､十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位､十位､百位､千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数能被3整除”，“表示的四位数能被5整除”，则（ ）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1或5，四位数的个数是，能被3整除的数字1和5各出现2个，因此满足条件的四位数和个数是，所以，能被5带除的四位数个数为，，能被15带除的是能被3整除的四位数的个数是5，因此满足这个条件的四位数的个数是，概率为，．故选：ACD．12．（2022秋·山东威海·高一乳山市第一中学校考阶段练习）下列对各事件发生的概率判断正确的是（）A．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为C．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是【答案】AC【解析】对于A,该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯,第3个路口是红灯,所以概率为,故A正确；对于B,用A、B、C分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码,则,,,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为,所以此密码被破译的概率为,故B不正确；对于C,设“从甲袋中取到白球”为事件A,则,设“从乙袋中取到白球”为事件B,则,故取到同色球的概率为,故C正确；对于D,易得,即,即,∴,又,∴,∴,故D错误故选AC三、填空题(每题5分，4题共20分)13．（2022秋·广东汕头）若三个原件A，B，C按照如图的方式连接成一个系统，每个原件是否正常工作不受其他元件的影响，当原件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时，系统就正常工作，若原件A，B，C正常工作的概率依次为0.7，0.8，0.9，则这个系统正常工作的概率为______【答案】0.686【解析】由题意，系统正常工作的情况分成两个步骤，A正常工作且B，C至少有一个正常工作的情况，其中正常工作的概率为0.7；正常工作的概率为0.8, 正常工作的概率为0.9，则与至少有一个正常工作的概率为，所以这个系统正常工作的概率为：0.7×0.98＝0.686；故答案为：0.686；14．（2022·高一课时练习）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________.①与为对立事件；②与是互斥事件；③与是对立事件：④；⑤.【答案】①④【解析】口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件 “取出的两球同色”， “取出的2球中至少有一个黄球”， “取出的2球至少有一个白球”， “取出的两球不同色”， “取出的2球中至多有一个白球”，①，由对立事件定义得与为对立事件，故①正确；②，与有可能同时发生，故与不是互斥事件，故②错误；③，与有可能同时发生，不是对立事件，故③错误；④，（C），（E），，从而（C）（E），故④正确；⑤，，从而（B）（C），故⑤错误．故答案为：①④．15．（2023湖北）将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．【答案】【解析】基本事件总数为36，点数之和小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为16．（2023陕西）由1， 2， 3， …，1000这个1000正整数构成集合，先从集合中随机取一个数，取出后把放回集合，然后再从集合中随机取出一个数，则的概率为______．【答案】【解析】由题可知，，且，要使得，即：，则有：当时，或，有2种取法；当时，的取值增加3、4、5，有2+3种取法；当时，的取值增加6、7、8，有种取法；当时，有种取法；当时，都有1000种取法.故.故答案为：.四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）17．（2022·高一单元测试）4月23日是世界读书日，树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名.经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图：（以各组的区间中点值代表该组的各个值）（1）从一周课外阅读时间为的学生中按比例分配抽取6人，从这6人中任意抽取2人，求恰好一男一女的概率；（2）分别估计男生和女生一周课外阅读时间的平均数，；（3）估计总样本的平均数和方差.参考数据和公式：男生和女生一周课外阅读时间方差的估计值分别为和.，和分别表示男生和女生一周阅读时间的样本，其中.【答案】（1）；（2），；（3），.【解析】（1）一周课外阅读时间为的学生中男生有3人，女生有人，若从中按比例分配抽取6人，则男生有1人，记为，女生有5人，记为，，，，，则样本空间，记事件“恰好一男一女”，则，所以，所以从这6人中任意抽取2人恰好一男一女的概率为；（2）估计男生一周课外阅读时间平均数；估计女生一周课外阅读时间的平均数.（3）估计总样本的平均数，∵，∴，，，，∴，所以估计总样本的平均数和方差分别是3.6和3.18．（2022春·新疆乌鲁木齐·高一兵团二中校考期末）某校社团活动深受学生欢迎，每届高一新生都踊跃报名加入.现已知高一某班60名同学中有4名男同学和2名女同学参加摄影社，在这6名同学中，2名同学初中毕业于同一所学校，其余4名同学初中毕业于其他4所不同的学校现从这6名同学中随机选取2名同学代表社团参加校际交流（每名同学被选到的可能性相同).（1）在该班随机选取1名同学，求该同学参加摄影社的概率；（2）求从这6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的概率；（3）求从这6名同学中选出的2名同学代表来自不同的初中学校的概率.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）依题意，该班60名同学中共有6名同学参加摄影社，所以在该班随机选取1名同学，该同学参加摄影社的概率为.（2）设表示参加摄影社的男同学，表示参加摄影社的女同学，则从6名同学中选出的2名同学代表共有15种等可能的结果：，其中至少有1名女同学的结果有9种：，根据古典概率计算公式，从6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的概率为（3）用1，2，3，4表示这6名同学中选出的4同学代表来自不同的初中学校的同学，用e，f表示2名来自同一个学校的2名同学.从6名同学中选出2名，有：12，13，14，1e，1f，23，24，2e，2f，34，3e，3f，4e，4f，ef共15种不同情况，其中2名同学代表来自不同的初中学校12，13，14，1e，1f，23，24，2e，2f，34，3e，3f，4e，4f有14种，所以从这6名同学中选出的2名同学代表来自不同的初中学校的概率19．（2022·高一单元测试）某数学老师对本校2018届高三学生某次联考的数学成绩进行分析，按1：50进行分层抽样抽取20名学生的成绩进行分析，分数用茎叶图记录如图所示（部分数据丢失），得到的频率分布表如下：（1）表中a，b的值及分数在范围内的学生，并估计这次考试全校学生数学成绩及格率（分数在范围为及格）；（2）从大于等于110分的学生随机选2名学生得分，求2名学生的平均得分大于等于130分的概率．【答案】（1），，及格率为；（2）.【解析】（1）由茎叶图可知分数在范围内的有2人，在范围内的有3人，∴，．又分数在范围内的频率为，∴分数在范围内的频率为，∴分数在范围内的人数为，由茎叶图可知分数范围内的人数为4人，∴分数在范围内的学生数为（人）．从茎叶图可知分数在范围内的频率为0.25，所以有（人），∴数学成绩及格的学生为：人，∴估计全校数学成绩及格率为．（2）设A表示事件“大于等于110分的学生中随机选2名学生得分，平均得分大于等于130分”，由茎叶图可知大于等于110分有5人，记这5人分别为 ，则选取学生的所有可能结果为，，，，，，，，，，基本事件数为10，事件“2名学生的平均得分大于等于130分”也就是“这两个学生的分数之和大于等于260”，所以可能结果为，，，，共4种情况，基本事件数为4，∴．20．（2022贵州六盘水）已知关于的二次函数，令集合，，若分别从集合、中随机抽取一个数和，构成数对.（1）列举数对的样本空间；（2）记事件为“二次函数的单调递增区间为”，求事件的概率；（3）记事件为“关于的一元二次方程有4个零点”，求事件的概率.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由题意可得，，，数对的样本空间为；（2）若二次函数的单调递增区间为，则二次函数的对称轴，即，由（1）可得，总的基本事件个数为20个，符合的基本事件为：，，，共4个，所以；（3）因为，二次函数的图象开口向上，方程有4个零点，即方程和各有2个零点，等价于二次函数的最小值小于，所以，即，样本空间中符合的基本事件有：，，，，，，，，，，，共11个，所以.21．（2022黑龙江）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．(1)求第七组的频率；(2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求．【答案】(1)；(2)平均数为，中位数为；(3)．【解析】：(1)第六组的频率为，∴第七组的频率为．(2)由直方图得，身高在第一组的频率为，身高在第二组的频率为，身高在第三组的频率为，身高在第四组的频率为，由于，，设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则，由得，所以这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm，平均数为．(3)第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为a，b，c，d，第八组的抽取人数为，设所抽取的人为A，B，则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况，因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以．22．（2022·高一单元测试）某市小型机动车驾照“科二”考试中共有项考查项目，分别记作①、②、③、④、⑤.(1)某教练将所带名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并计算从恰有项成绩不合格的学员中任意抽出人进行补测（只测不合格的项目），求补测项目种类不超过项的概率.(2)“科二”考试中，学员需缴纳元的报名费，并进行轮测试（按①、②、③、④、⑤的顺序进行）；如果某项目不合格，可免费再进行轮补测；若第轮补测中仍有不合格的项目，可选择“是否补考”；若补考则需缴纳元补考费，并获得最多轮补测机会，否则考试结束；每轮补测都按①，②，③，④，⑤的顺序进行，学员在任何轮测试或补测中个项目均合格，方可通过“科二”考试，每人最多只能补考次，某学员每轮测试或补考通过①、②、③、④、⑤各项测试的概率依次为、、、、，且他遇到“是否补考”的决断时会选择补考.求该学员能通过“科二”考试的概率.【答案】(1)(2)【解析】（1）根据题意，学员（1）、（2）、（4）、（6）、（9）恰有两项不合格，从中任意抽出人，所有可能的情况如下：由表可知，全部种可能的情况中，有种情况补测项数不超过，故所求概率为；（2）由题意可知，该学员顺利完成每轮测试（或补测）的概率为：，由题意，该学员无法通过“科二”考试，当且仅当其测试与次补测均未能完成项测试，相应概率为，故学员能通过“科二”考试的概率为 男生一周阅读时间频数分布表小时频数92533分数段（分）合计频数b频率a学员编号补测编号项数（1）（2）②③⑤3（1）（4）②③④⑤4（1）（6）③④⑤3（1）（9）①③⑤3（2）（4）②④⑤3（2）（6）②③④⑤4（2）（9）①②⑤3（4）（6）②③④3（4）（9）①②④⑤4（6）（9）①③④⑤4
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