高中数学10.3 频率与概率精练

这是一份高中数学10.3 频率与概率精练，共32页。试卷主要包含了3　频率与概率等内容，欢迎下载使用。

【考点梳理】
考点一 频率的稳定性
在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).
考点二 随机模拟
用频率估计概率，需做大量的重复试验，我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了.我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法.
【题型归纳】
题型一：频率与概率的计算
1．（2022·全国·高一）下列四个命题中正确的是（ ）
A．设有一批产品，其次品率为，则从中任取200件，必有10件是次品
B．做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面，因此出现正面的概率是
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D．抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是
2．（2020·天津东丽·高一期末）考虑掷硬币实验，设“正面朝上”，则下列论述正确的是（ ）
A．掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率为
B．掷10次硬币，事件发生的次数一定是5
C．重复掷硬币，事件发生的频率等于事件发生的概率
D．当投掷次数足够多时，事件发生的频率接近0.5
3．（2022·广东·深圳市龙岗区龙城高级中学高一期中）随着互联网的普及,网上购物已逐渐成为消费时尚,为了解消费者对网上购物的满意情况,某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答),统计结果如下表:
根据表中数据,估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是（ ）
A．B．C．D．
题型二、频率与概率的关系
4．（2022·陕西咸阳·高一期中）抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件“正面向上”，则下列说法正确的是（ ）
A．抛掷硬币10次，事件A必发生5次
B．抛掷硬币100次，事件A不可能发生50次
C．抛掷硬币1000次，事件A发生的频率一定等于0.5
D．随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小
5．（2022·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．某医院治疗某种疾病的治愈率为，前人没有治愈，则后两个人一定治愈
B．甲乙两人乒乓球比赛，乙获胜的概率为，则比赛场，乙胜场
C．某种药物对患有咳嗽的名病人进行治疗，结果有人有明显效果.现对咳嗽的病人服用此药，则估计会有明显疗效的可能性为
D．随机试验的频率与概率相等
6．（2023·全国·高一课时练习）以下是表述“频率”与“概率”的语句：
①在大量试验中，事件出现的频率与其概率很接近；
②概率可以作为当实验次数无限增大时频率的极限；
③计算频率通常是为了估计概率．
其中正确的语句为（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
题型三：用随机模拟估计概率
7．（2023·全国·高一）农历正月初一是春节，俗称“过年”，是我国最隆重、最热闹的传统节日.家家户户张贴春联，欢度春节，其中“福”字是必不可少的方形春联.如图，该方形春联为边长是的正方形，为了估算“福”字的面积，随机在正方形内撒100颗大豆，假设大豆落在正方形内每个点的概率相同，如果落在“福”字外的有65颗，则“福”字的面积约为（ ）
A．B．C．D．
8．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2019-2020学年高二上学期第一模块（期末）数学（理）试题）袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
232 321 230 023 123 021 132 220 001
231 130 133 231 031 320 122 103 233
由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2022·全国·高一专题练习）天气预报说，在接下来的一个星期里，每天涨潮的概率为20%，设计一个符合要求的模拟试验：利用计算机产生0~9之间取整数值的随机数，用1，2表示涨潮，用其他数字表示不涨潮，这样体现了涨潮的概率是20%，因为时间是一周，所以每7个随机数作为一组，假设产生20组随机数是：
则下个星期恰有2天涨潮的概率为___________.
题型四、概率思想的实际应用
一、单选题
10．（2022·全国·高一课时练习）(多选题)张明与李华两人做游戏,则下列游戏规则中公平的是
A．抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则李华获胜
B．同时抛掷两枚质地均匀的硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则李华获胜
C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则李华获胜
D．张明､李华两人各写一个数字6或8,两人写的数字相同则张明获胜,否则李华获胜
11．（2022·全国·高一课时练习）甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）完游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.
（1）设分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；
（2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
（3）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜，你认为此游戏是否公平，说明你的理由.
12．（2023·全国·高一课时练习）某校为庆祝中华人民共和国建国周年，以“不忘初心，牢记使命”为主题开展了“唱红歌”比赛，工作人员根据参赛选手的成绩绘制了如下不完整的统计图表：
请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）求上表中的数据、的值；
（2）通过计算，补全频数分布直方图；
（3）比赛成绩的中位数落在哪个分数段？
（4）如果比赛成绩在分以上（含分）的选手为获奖选手，那么我们随机的从本次参赛的所有选手中抽取出一个人，求恰好抽中获奖选手的概率？
【双基达标】
一：单选题
13．（2022·全国·高一专题练习）关于频率和概率，下列说法正确的是（ ）
①某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学每次投篮的命中率为；
②数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷12000次硬币，得到正面向上的频率为0.5016；抛掷24000次硬币，得到正面向上的频率为0.5005.如果他抛掷36000次硬币，正面向上的频率可能大于0.5005；
③某类种子发芽的概率为0.903，当我们抽取2000粒种子试种，一定会有1806粒种子发芽；
④将一个均匀的骰子抛掷6000次，则出现点数大于2的次数大约为4000次.
A．②④B．①④C．①②D．②③
14．（2022·全国·高一专题练习）将，两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下：
下面有三个推断：
①当投篮30次时，两位运动员都投中23次，所以他们投中的概率都是；
②随着投篮次数的增加，运动员投中频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计运动员投中的概率是；
③当投篮达到200次时，运动员投中次数一定为160次.
其中合理的是（ ）.A．①B．②C．①③D．②③
15．（2019·福建·莆田第十五中学高一期中）下列说法正确的有( )
①随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．
②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生．
③任意事件A发生的概率总满足.
④若事件A的概率为0，则A是不可能事件．
A．0个B．1个C．2个D．3个
16．（2023·全国·高一课时练习）袋子中有四个小球，分别写有“中、华、民、族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用代表“中、华、民、族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为（ ）
A．B．C．D．
17．（2023·全国·高一课时练习）下列不能产生随机数的是 ( )
A．抛掷骰子试验B．抛硬币
C．计算器D．正方体的六个面上分别写有，抛掷该正方体
18．（2023·广东·深圳中学高一期末）容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：
第3组的频数和频率分别是（ ）A．和14B．14和C．和24D．24和
19．（2022·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．任何事件的概率总是在（0，1）之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
20．（2022·全国·高一专题练习）某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：
812，832，569，683，271，989，730，537，925，907
由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
21．（2023·全国·高一课时练习）池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0~9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数：
据此估计四天中恰有三天下雨的概率为（ ）A．B．C．D．
22．（2023·全国·高一课时练习）在这个热“晴”似火的7月，多地持续高温，某市气象局将发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温37摄氏度以上的概率是．某人用计算机生成了20组随机数，结果如下：
若用0，1，2，3，4表示高温橙色预警，用5，6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（ ）A．B．C．D．
【高分突破】
一：单选题
23．（2023·全国·高一课时练习）池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6.现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0～9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下40组四位随机数：
9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869 3281 7890 2692
8280 8425 3990 8460 7980 2436 5987 3882 0753 8935
9635 2379 1805 9890 0735 4640 6298 8054 9720 5695
1574 8008 3216 6470 5080 6772 1642 7920 3189 0343
据此估计四天中恰有三天下雨的概率为（ ）
A．B．
C．D．
24．（2023·陕西咸阳·高一期末）某种心脏手术成功率为0.9，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率.先利用计算器或计算机产生09之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9，故我们用0表示手术不成功，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（ ）
A．0.9B．0.8C．0.7D．0.6
25．（2023·全国·高一课时练习）气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是（ ）
A．本市明天将有的地区降雨
B．本市明天将有的时间降雨
C．明天出行不带雨具肯定会淋雨
D．明天出行不带雨具可能会淋雨
26．（2022·陕西·武功县普集高级中学高一阶段练习）某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，3次中9环，4次中8环，1次未中靶，则此人中靶的频率是（ ）
A．0.2B．0.4C．0.5D．0.9
27．（2022·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．在相同条件下，进行大量重复试验，可以用频率来估计概率
B．掷一枚骰子次，“出现点”与“出现点”是对立事件
C．甲､乙两人对同一个靶各射击一次，记事件“甲中靶”，“乙中靶”，则“恰有一人中靶”
D．拋掷一枚质地均匀的硬币，若前次均正面向上，则第次正面向上的概率小于
28．（2022·全国·高一专题练习）经过科学的研究论证，人类的四种血型与基因类型的对应为：型的基因类型为，型的基因类型为或，型的基因类型为或，型的基因类型为，其中、是显性基因，是隐性基因.若一对夫妻的血型一个型，基因类型为，一个型，基因类型为.则他们的子女的血型为（ ）
A．型或型B．型或型
C．型或型D．型或型
29．（2022·全国·高一专题练习）在学习掷硬币的概率时，老师说：“掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是 ”，小明做了下列三个模拟实验来验证．
①取一枚新硬币，在桌面上进行抛掷，计算正面朝上的次数与总次数的比值；
②把一个质地均匀的圆形转盘平均分成偶数份，并依次标上奇数和偶数，转动转盘，计算指针落在奇数区域的次数与总次数的比值；
③将一个圆形纸板放在水平的桌面上，纸板正中间放一个圆锥(如图)，从圆锥的正上方往下撒米粒，计算其中一半纸板上的米粒数与纸板上总米粒数的比值．上面的实验中，不科学的有（ ）
A．0个B．1个
C．2个D．3个
二、多选题(共0分)
30．（2023·全国·高一课时练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．频率反映随机事件的频繁程度，概率反映随机事件发生的可能性大小；
B．频率是不能脱离次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；
C．做次随机试验，事件发生次，则事件发生的频率就是事件的概率；
D．频率是概率的近似值，而概率是频率的稳定值.
31．（2023·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．一个人打靶，打了10发子弹，有6发子弹中靶，因此这个人中靶的概率为0.6
B．某地发行福利彩票，其回报率为47%，有个人花了100元钱买彩票，一定会有47元回报
C．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，则乙与甲中奖的可能性相同
D．大量试验后，可以用频率近似估计概率.
32．（2022·全国·高一单元测试）利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的件产品，其中一等品有件，合格品有件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件为“是一等品”， 为“是合格品”， 为“是不合格品”，则下列结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
33．（2022·贵州·遵义市南白中学高一期末）豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为0～10的分值（一星2分，二星4分，三星6分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字.国庆爱国影片《长津湖》的豆瓣评分情况如图，假如参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则下列说法正确的是（ ）
A．m的值是32%
B．随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星
C．随机抽取一名观众，其评价是三星或五星的概率约为0.56
D．若从已作评价的观众中随机抽取3人，则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件
34．（2023·全国·高一课时练习）对下面的描述：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A发生的概率；③频率是不能脱离具体的n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的说法有（ ）
A．①B．②C．③D．④
35．（2023·全国·高一单元测试）（多选）关于频率和概率，下列说法正确的是（ ）
A．某同学投篮3次，命中2次，则该同学每次投篮命中的概率为
B．费勒抛掷10000次硬币，得到硬币正面向上的频率为0.4979；皮尔逊抛掷24000次硬币，得到硬币正面向上的频率为0.5005．如果某同学抛掷36000次硬币那么得到硬币正面向上的频率可能大于0.5005
C．某类种子发芽的概率为0.903，若抽取2000粒种子试种，则一定会有1806粒种子发芽
D．将一颗质地均匀的骰子抛掷6000次，则掷出的点数大于2的次数大约为4000次
36．（2022·全国·高一课时练习）下列说法错误的是（ ）
A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率
B．某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票一定能中奖
C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为
D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水
三、填空题(共0分)
37．（2023·全国·高一课时练习）今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类.某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为____.
38．（2022·陕西·西北农林科技大学附中高一期中）从存放号码分别为1，2，3，…，10的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下：
取到号码为奇数的频率为______．
39．（2022·全国·高一课时练习）袋子中有四个小球，分别写有“中､华､民､族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用代表“中､华､民､族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为____________.
40．（2023·全国·高一课时练习）假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
据此估计，该运动员两次掷飞镖恰有一次正中靶心的概率为______．
41．（2023·全国·高一课时练习）我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为________．
42．（2022·全国·高一课时练习）从某自动包装机包装的食品中，随机抽取20袋，测得各袋的质量（单位：g）分别为：492，496，494，495，498，497，503，506，508，507，497，501，502，504，496，492，496，500，501，499.根据抽测结果估计该自动包装机包装的袋装食品质量在497.5～501.5 g之间的概率为_______.
四、解答题(共0分)
43．（2023·陕西·宝鸡市陈仓区教育体育局教学研究室高一期末）2020年新型冠状病毒席卷全球，美国是疫情最严重的国家，截止2020年6月8日美国确诊病例约为200万人，经过随机抽样，从感染人群中抽取1000人进行调查，按照年龄得到如下频数分布表：
（Ⅰ）求a的值及这1000例感染人员的年龄的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（Ⅱ）用频率估计概率，求感染人群中年龄不小于60岁的概率.
44．（2023·全国·高一课时练习）某制造商2019年8月份生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测得每个乒乓球的直径（单位:mm），将数据分组如下表:
（1）请将上表补充完整；
（2）已知标准乒乓球的直径为，试估计这批乒乓球的直径误差不超过的概率.
45．（2022·全国·高二课时练习）某水产试验厂进行某种鱼卵的人工孵化，6个试验小组记录了不同的鱼卵数所孵化出的鱼苗数，如下表所示:
（1）表中①②对应的频率分别为多少（结果保留三位小数）?
（2）估计这种鱼卵孵化成功的概率.
（3）要孵化5000尾鱼苗，大概需要鱼卵多少个（精确到百位）?
46．（2023·全国·高一课时练习）某中学有教职工130人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调查，其结果如下：
从这130名教职工中随机地抽取一人，求下列事件的概率；
（1）具有本科学历；
（2）35岁及以上；
（3）35岁以下且具有研究生学历.
47．（2023·全国·高一课时练习）有人说:“掷一枚骰子一次得到的点数是2的概率是,这说明掷一枚骰子6次会出现一次点数是2.”对此说法,同学中出现了两种不同的看法:一些同学认为这种说法是正确的.他们的理由是:因为掷一枚骰子一次得到点数是2的概率是,所以掷一枚骰子6次得到一次点数是2的概率P=×6=1,即“掷一枚骰子6次会出现一次点数是2”是必然事件,一定发生.还有一些同学觉得这种说法是错误的,但是他们却讲不出是什么理由来.你认为这种说法对吗?请说出你的理由.
48．（2022·全国·高二课时练习）一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜.判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等.
在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次.据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的.你更支持谁的结论？为什么？
49．（2023·全国·高一课时练习）有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种:
A．猜“是奇数”或“是偶数”
B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”
C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”
请回答下列问题:
(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜?为什么?
(2)为了保证游戏的公平性,你认为应制定哪种猜数方案?为什么?
(3)请你设计一种其他的猜数方案,并保证游戏的公平性.
满意情况
不满意
比较满意
满意
非常满意
人数
200
2100
1000
分数段
频数
频率
投篮次数
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
投中次数
7
15
23
30
38
45
53
60
68
75
投中频率
投中次数
8
14
23
32
35
43
52
61
70
80
投中频率
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
频数
10
13
14
15
13
12
9
9533
9522
0018
7472
0018
3879
5869
3281
7890
2692
8280
8425
3990
8460
7980
2436
5987
3882
0753
8935
116
785
812
730
134
452
125
689
024
169
334
217
109
361
908
284
044
147
318
027
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到次数
17
8
5
7
6
9
18
9
12
9
93
28
12
45
85
69
68
34
31
25
73
93
02
75
56
48
87
30
11
35
年龄（岁）
频数
50
a
320
300
80
分组
频数
频率
10
20
50
20
合计
100
鱼卵数
200
600
900
1200
1800
2400
孵化出的鱼苗数
188
548
817
1067
1614
2163
孵化成功的频率
0.940
0.913
0.908
①
0.897
②
本科
研究生
合计
35岁以下
50
35
85
35-50岁
20
13
33
50岁以上
10
2
12
【答案详解】
1．D
【解析】
【分析】
依据频率与概率的基本知识进行判断即可.
【详解】
对于A，次品率是大量产品的估计值，并不是必有10件是次品，故A错误；
对于B，抛硬币出现正面的概率是，而不是，故B错误；
对于C，频率与概率不是同一个概念，故C错误；
对于D，利用频率计算公式求得频率，故D正确.
故选：D
2．D
【解析】
【分析】
对A，根据随机事件的概率即可求解；对B，C，D，根据随机事件的频率和概率的定义即可判断.
【详解】
解：对A，掷2次硬币，有个基本事件，
其中“一个正面，一个反面”有两个基本事件，
故该事件发生的概率为，故A错误；
对B，掷10次硬币，事件发生的次数不一定是5，故 B 错 误；
对C，重复掷硬币，事件发生的频率接近于事件发生的概率，故C错误；
对D，当投掷次数足够多时，事件发生的频率接近事件发生的频率，即0.5，故 D 正 确.
故 选：D.
3．C
【解析】
由题意得,,随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为,所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为,即可求得答案.
【详解】
由题意得,,
随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为,
随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为.
由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为.
故选:C
【点睛】
本题考查了用频率估计概率,解题关键是频率和概率的定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
4．D
【解析】
【分析】
根据频率与概率的关系可得答案.
【详解】
不管抛掷硬币多少次，事件A发生的次数是随机事件，故ABC错误；
随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小；
故选：D
5．C
【解析】
【分析】
利用概率的概念，性质，意义直接求解即可.
【详解】
解：在A中，某医院治疗某种疾病的治愈率为，是说明有多大把握治愈，而不是具体的多少人能够治愈，故A错误；
在B中，概率是说明事件发生的可能性大小，其发生具有随机性，
虽然乙获胜的概率为，但是比赛场，乙胜场的说法不符合定义，故B错误；
在C中，估计会有明显疗效的可能性为，故C正确；
在D中，频率和概率是两个不同的概念，故D错误.
故选：C.
6．D
【解析】
【分析】
由频率和概率的定义以及频率和概率的关系判断①②③，即可得正确答案.
【详解】
事件的频率是指事件发生的频数与次事件中事件出现的次数比，
随机事件在每次实验中是否会发生是不能预料的，但在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件发生的频率会逐渐稳定在区间中的某个常数上，这个常数就是事件的概率．所以随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率．计算频率通常是为了估计概率．
所以①②③都正确，
故选：D.
7．B
【解析】
【分析】
设“福”字的面积为，由几何概型建立比例关系，可以求出.
【详解】
设“福”字的面积为，
根据几何概型可知，解得.
故选：B.
【点睛】
本题考查几何概型的应用，属于基础题.
8．C
【解析】
根据题意，结合古典概型计算公式进行求解即可.
【详解】
因为随机模拟产生18组随机数，
由随机产生的随机数可知，恰好第三次就停止的有：
，，，，共4个基本事件，
根据古典概型的概率公式可得，恰好第三次就停止的概率为，
故选：C
9．.
【解析】
【分析】
由题意可知，恰有2天涨潮就是在这组数中，恰有两个是1或2，从这20组数找出恰有两个是1或2的个数，然后利用古典概型的概率公式求解即可
【详解】
产生20组随机数相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个是1或2，就表示恰有两天涨潮，它们分别是3142486，5241478，3215687，1258697，共有4组数，于是一周内恰有两天涨潮的概率近似值为，
故答案为：
10．ACD
【解析】
分别判断每个游戏每人获胜的概率是否相等即可.
【详解】
选项A中,向上的点数为奇数与向上的点数为偶数的概率相等,A符合题意;
选项B中,张明获胜的概率是,而李华获胜的概率是,故游戏规则不公平,B不符合题意;选项C中,扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率相等,C符合题意;
选项D中,两人写的数字相同与两人写的数字不同的概率相等,D符合题意.
故选：ACD
【点睛】
本题主要考查了根据事件的概率判断游戏是否公平的问题,属于基础题型.
11．（1）见解析；（2）；（3）不公平
【解析】
【详解】
（1）甲乙二人抽到的牌的所有情况（方片4用4’表示，红桃2，红桃3，红桃4分别用2，3，4表示）为：
（2，3）、（2，4）、（2，4’）、（3，2）、（3，4）、（3，4’）、
（4，2）、（4，3）、（4，4’）、（4’，2）、（4’，3）、（4’，4）
共12种不同情况
（2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4’
因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为
（3）由甲抽到的牌比乙大的有
（3，2）、（4，2）、（4，3）、（4’，2）、（4’，3）5种，
甲胜的概率，乙获胜的概率为，∵
∴此游戏不公平．
考点：列举法及古典概型的计算公式等有关知识的综合运用．
12．（1），；（2）图见解析；（3）分；（4）.
【解析】
（1）根据频数、频率和样本容量三者之间的关系可求得、的值；
（2）计算出至分段以及至分段的人数，由此可补充条形图；
（3）根据中位数的定义以及条形图可得出中位数所在的分数段；
（4）计算出比赛成绩在分的选手所占的频率，由此可得出结论.
【详解】
（1）总人数（人），，；
（2）由（1）的计算知至分段的人数为人，
至分段的人数为人，
补全条形图如下图所示：
（3）比赛成绩在的人数为，比赛成绩在的人数为，
因此，比赛成绩的中位数落在分；
（4）恰好抽中获奖选手的概率为：.
【点睛】
本题考查条形图的应用，同时也考查了中位数、频率的计算以及条形统计图的完善，属于基础题.
13．A
【解析】
【分析】
根据频率和概率的定义对各个选项进行判断即可.
【详解】
①某同学投篮三次，命中两次，只能说明在这次投篮中命中的频率为，不能说概率，故错误；
②进行大量的实验，硬币正面向上的频率在0.5附近摆动，可能大于0.5，也可能小于0.5,故正确；
③只能说明可能有1806粒种子发芽，具有随机性，并不是一定有1806粒种子发芽，故错误；
④出现点数大于2的次数大约为4000次，正确.
故选：A
【点睛】
本题考查频率与概率的区别，属于基础题.
14．B
【解析】
事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此可得解答.
【详解】
解：①在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的频率估计它的概率，投篮30次，次数太少，不可用于估计概率，故①推断不合理；
②随着投篮次数增加，A运动员投中的频率显示出稳定性，因此可以用于估计概率，故②推断合理；
③频率用于估计概率，但并不是准确的概率，因此投篮200次时，只能估计投中160次，而不能确定一定是160次，故③不合理；
故选：B.
【点睛】
此题考查了利用频率估计概率的知识，属于容易题.
15．C
【解析】
【分析】
根据概率与频率的关系判断①正确，根据基本事件的特点判断②正确，根据必然事件，不可能事件，随机事件的概念判断③错误，根据小概率事件的概念判断④错误．
【详解】
不可能事件的概率为0，但概率为0的事件不一定是不可能事件，如几何概率中“单点”的长度、面积、体积都是0，但不是不可能事件，∴④不对；抛掷一枚骰子出现1点和出现2点是不同的基本事件，在同一次试验中，不可能同时发生，故②正确；任意事件A发生的概率P(A)满足，∴③错误；又①正确．∴选C.
【点睛】
本题主要考查了概率的概念和有关性质，属于概念辨析题，对一些易混概念必须区分清．
16．C
【解析】
从18组随机数中，找到恰好第三次就停止的有4组，由古典概型概率公式可得结果.
【详解】
由随机产生的随机数可知恰好抽取三次就停止的有，共4组随机数，
恰好抽取三次就停止的概率约为，
故选C.
【点睛】
本题考查随机数的应用及古典概型概率公式，属于基础题.
17．D
【解析】
【详解】
D项中，出现的概率为，出现1，3，4，5的概率均是，则D项不能产生随机数，故选D.
点睛：本题考查随机数的定义，考查学生对概念的理解，比较基础；随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会一样，随机数应用很广泛，利用它可以帮助我们进行随机抽样，还可以利用它在某一个范围得到每一个数机会是均等的这一特征来模拟试验，这样可代替我们自己做大量重复的试验，从而使我们顺利地求出有关事件的概率.
18．B
【解析】
【分析】
根据样本容量和其它各组的频数，即可求得答案.
【详解】
由题意可得：第3组的频数为 ，
故第3组的频率为 ，
故选：B
19．C
【解析】
【分析】
由频率和概率的定义可得答案.
【详解】
不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故A错；
频率是由试验的次数决定的；故B错；概率是频率的稳定值，故C正确，D错.
故选：C.
20．A
【解析】
【分析】
由题可知10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的有2组，即求.
【详解】
解：由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心脏手术全部成功”的有： 569, 989，故2个，
故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为.
故选：A.
21．B
【解析】
【分析】
求出表中数据四天中恰有三天下雨的情况即可得出概率.
【详解】
由表中数据可得四天中恰有三天下雨的有9533，9522，0018，0018，3281，8425，2436，0753，共8组，
所以估计四天中恰有三天下雨的概率为.
故选：B.
22．A
【解析】
【分析】
运用列举法得，今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有12个，由古典概型公式可得选项.
【详解】
解：今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有12个，分别为：
116, 812, 730, 452, 125, 217, 109, 361, 284, 147, 318, 027,
则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是：，
故选：A.
23．B
【解析】
【分析】
根据题意找出0～5的整数恰出现3次的四位数的组数，再根据古典概型即可得出答案.
【详解】
解：在40组四位随机数中，0～5的整数恰出现3次的四位数有16组，故四天中恰有三天下雨的概率的估计值为.
故选：B.
24．B
【解析】
【分析】
由题可知10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的有8组，即求.
【详解】
由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心脏手术全部成功”的有：812,832,569,683,271,989, 537,925,故8个，
故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为.
故选：B.
25．D
【解析】
【分析】
根据概率的意义：是说“明天下雨发生的可能性”，找到正确选项即可．
【详解】
本市降雨的概率是，
是说明天下雨发生的可能性很大，
但不一定就一定会发生．
所以只有合题意．
故选：D．
26．D
【解析】
【分析】
直接利用频率的公式求解.
【详解】
由题得这个人中靶的次数为2+3+4=9，
所以此人中靶的频率是.
故选：D
27．A
【解析】
【分析】
根据频率与概率、互斥与对立、并事件、概率等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
对于A，在相同条件下，进行大量重复试验，可以用频率来估计概率，A正确；
对于B，掷一枚骰子次，“出现点”与“出现点”是互斥事件，但不是对立事件，B错误；
对于C，“靶被击中”，C错误；
对于D，抛掷一枚质地均匀的硬币，无论哪一次，正面向上的概率都等于，D错误.
故选：A.
28．D
【解析】
【分析】
利用已知条件，求出他们的子女的基因类型，即可得到答案.
【详解】
因为一对夫妻的血型一个型，基因类型为，一个型，基因类型为，
则他们的子女的基因类型为：、，
所以对应的血型为型或型.
故选：D.
29．A
【解析】
【分析】
根据随机事件的定义分析判断．
【详解】
①由于一枚质地均匀的硬币，只有正、反两面，故正面朝上的概率是；
②由于把一个质地均匀的圆形转盘平均分成偶数份，并依次标上奇数和偶数，标奇数和偶数的转盘各占一半．指针落在奇数区域的次数与总次数的比值为；
③由于圆锥是均匀的，所以落在圆形纸板上的米粒的个数也是均匀分布的，与纸板面积成正比，可验证其中一半纸板上的米粒数与纸板上总米粒数的比值为.
三个实验均科学．
故选：A.
30．ABD
【解析】
【分析】
根据频率、概率的概念，可得结果.
【详解】
频率是在一次试验中某一事件出现的次数与试验总数的比值，
随某事件出现的次数而变化
概率指的是某一事件发生的可能程度，是个确定的理论值
故选：ABD
【点睛】
本题主要考查频率、概率的概念，属基础题.
31．CD
【解析】
【分析】
由概率统计的基本概念逐一核对四个选项得答案．
【详解】
解：、某人打靶，射击10次，击中6次，那么此人中靶的频率为0.6，故错误；
、买这种彩票是一个随机事件，中奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料，故错误；
、根据古典概型的概率公式可知C正确；
、大量试验后，可以用频率近似估计概率，故正确．
故选：CD．
【点睛】
本题考查命题的真假判断，考查概率统计的基本概念，属于基础题．
32．ABD
【解析】
【分析】
依题意可得、、为互斥事件，即可判断B、C，再根据古典概型的概率公式得到、、，即可判断A，最后根据和事件的概率公式判断D；
【详解】
解：由题意知、、为互斥事件，∴，故B正确、C错误；
∵从件中抽取产品符合古典概型的条件，∴、、，
则，∴A、D正确，
故选：ABD.
33．ACD
【解析】
【分析】
对A选项，由题意参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则二星及以上的频率加和为，即可求解；对B选项，由频率只能推出可能有24人符合条件；对C选项，将评价为三星和五星的频率加和即可；对D选项，“至多1人评价五星”即为无人评价或1人评价五星，依据互斥事件与对立事件定义判断即可.
【详解】
对A选项，参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，
则，所以，故A正确；
对B选项，随机抽取100名观众，可能有人评价五星，但不是一定的，故B错误；
对C选项，由A选项，评价是三星或五星的概率约为，故C正确；
对D选项，根据互斥事件和对立事件的定义可知，事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件，故D正确；
故选：ACD
34．ACD
【解析】
【分析】
根据频率和概率的关系可判断.
【详解】
由频率和概率的意义知，频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小，故①正确；
由频率和概率的关系知，频率是概率的近似值，是通过大量试验得到的，而概率是频率的稳定值，是确定的理论值，故②错误，③④正确.
故选：ACD.
35．BD
【解析】
【分析】
通过对频率和概率的定义的理解，即可判断各选项，从而得出答案.
【详解】
解：A中，某同学投篮3次，命中2次，只能说明频率为，而不能说明概率为，故A选项错误；
B中，当试验次数很多时，硬币正面向上的频率在0.5附近摆动，可能大于0.5，也可能小于0.5，故B选项正确；
C中，只能说明大约有1806粒种子发芽，并不是定有1806粒种子发芽，故C选项错误；
D中，点数大于2的概率为，故抛掷6000次点数大于2的次数大约为4000次，故D选项正确．
故选：BD．
36．BCD
【解析】
【分析】
根据概率的定义和生活中的概率判断各选项的对错.
【详解】
由频率和概率的关系可知随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率，A正确，
某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票不一定能中奖，B错误，
掷一枚硬币出现反面的概率为，C错误，
某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是明天有70%的可能会降水，D错误，
故选：BCD.
37．0.4
【解析】
【分析】
将买猪肉的人组成的集合设为A，买其它肉的人组成的集合设为B，
由韦恩图易得只买猪肉的人数，与100作比，即得结果.
【详解】
由题意，将买猪肉的人组成的集合设为A，买其它肉的人组成的集合设为B，
则韦恩图如下：中有30人，中有10人，又不买猪肉的人有30位，
∴中有20人，∴只买猪肉的人数为：100，
∴这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为=0.4，
故答案为；0.4
【点睛】
本题考查了用样本估计总体，用频率估计概率的方法，考查了韦恩图的应用，属于中档题.
38．0.58##
【解析】
【分析】
根据数表求出取到奇数号码的次数即可计算作答.
【详解】
由数表知，取到奇数号码的次数是：，
所以取到号码为奇数的频率为.
故答案为：0.58
39．
【解析】
【分析】
利用古典概型的随机数法求解.
【详解】
由随机产生的随机数可知恰好抽取三次就停止的有，共4组随机数，
所以恰好抽取三次就停止的概率约为，
故答案为：
40．##0.5
【解析】
【分析】
根据随机数以及古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】
解：两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1，2，3，4中的之一.
它们分别是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35共10个，
因此所求的概率为=0.5.
故答案为：.
41．169石
【解析】
【分析】
用样本频率估计总体频率，按比例计算．.
【详解】
这批米内所夹的谷（石）.
故答案为：169石.
42．0.25
【解析】
【分析】
找到质量在497.5～501.5 g之间的袋数由频率可得答案.
【详解】
质量在497.5～501.5 g之间的有498， 501， 500，501，499共5袋，
所以其频率为＝0.25，由此我们可以估计质量在497.5～501.5 g之间的概率为0.25.
故答案为：0.25.
43．（Ⅰ），平均数为52.2；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用抽取人数为人列方程，解方程求得，利用表格提供数据计算出平均数.
（Ⅱ）利用古典概型概率计算公式计算出所求概率.
【详解】
（Ⅰ）由题意知，
∴，
年龄平均数.
（Ⅱ）1000人中年龄不小于60岁的人有380人，
所以年龄不小于60岁的频率为，
用频率估计概率，所以感染人群中年龄不小于60岁的概率为.
【点睛】
本小题主要考查平均数的计算，考查频率估计概率，属于基础题.
44．（1）表见解析（2）
【解析】
（1）由频数除以100，即可得答案‘
（2）标准尺寸是，若要使误差不超过，则直径落在内，由（1）数据，即可得答案.
【详解】
（1）
（2）标准尺寸是，若要使误差不超过，则直径落在内.由（1）中表知，直径落在内的频率为，
所以这批乒乓球的直径误差不超过的概率约为.
【点睛】
本题考查频率计算、频率估计概率的思想，属于基础题.
45．（1）（2）0.9（3）
【解析】
（1）计算的值，即可得答案；
（2）从表中数据可看出，虽然频率都不一样，但随着试验的鱼卵数不断增多，孵化成功的频率稳定在0.9附近，即可得答案；
（3）利用频率等于频数除以总数计算，即可得答案.
【详解】
（1），所以①②对应的频率分别为.
（2）从表中数据可看出，虽然频率都不一样，但随着试验的鱼卵数不断增多，孵化成功的频率稳定在0.9附近，由此可估计该种鱼卵孵化成功的概率为0.9.
（3）大概需要鱼卵(个).
【点睛】
本题考查频率计算、频率估计概率的思想，属于基础题.
46．（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）先求出具有本科学历的人数，再由频率估计概率即可得解；
（2先求出35岁及以上的人数，再由频率估计概率即可得解；
（3）先求出35岁以下且具有研究生学历的人数，再由频率估计概率即可得解；
【详解】
解：（1）具有本科学历的共有（人），故所求概率为.
（2）35岁及以上的共有（人），故所求概率为.
（3）35岁以下且具有研究生学历的有35人，故所求概率为.
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率，重点考查了运算能力，属基础题.
47．见解析
【解析】
【详解】
这种说法是错误的.上述认为说法正确的同学,其计算概率的方法自然也是错误的.
为了弄清这个问题,我们不妨用类比法,即把问题变换一下说法.
原题中所说的问题,类似于“在一个不透明的盒子里放有6个标有数字1,2,3,4,5,6的同样大小的球,从盒中摸一个球恰好摸到2号球的概率是.那么摸6次球是否一定会摸到一次2号球呢?”
在这个摸球问题中,显然还缺少一个摸球的规则,即每次摸到的球是否需要放回盒子里?显然,如果摸到后不放回,那么摸6次球一定会摸到一次2号球.如果摸到球后需要放回,那么摸6次球就不一定会摸到一次2号球了.
由此看来,我们先要弄清这个摸球问题与上面的掷骰子问题是否完全类同,是否应当有每次摸到的球还要放回盒子里的要求.我们先看看上面掷骰子问题中的规则,在掷骰子问题中,表面上好像没写着什么规则,但实际上却藏有一个自然的规则,即第一次如果掷得某个数(如3),那么后面还允许继续掷得这个相同的数.于是摸球问题要想与掷骰子问题中的规则相同,显然每次摸到的球必须要放回盒子里才妥当.那么摸6次球就不一定会摸到一次2号球了.
48．支持甲对游戏公平性的判断，理由见解析
【解析】
根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率越来越接近概率.
【详解】
解：当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5；
当游戏玩了1000次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为0.7，
根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小.相对10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近.而游戏玩到1000次时，甲、乙获胜的频率分别是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由认为游戏是不公平的.因此，应该支持甲对游戏公平性的判断.
【点睛】
此题考查对频率稳定性的辨析，试验次数越多，频率偏离概率很大的可能性会越来越小.
49．(1) 应选方案B ,猜“不是4的整数倍数”;(2) 应当选择方案A;
(3) 可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”
【解析】
【详解】
试题分析：(1) 方案A中“是奇数”或“是偶数”的概率均为，案B中“不是4的整数倍数”的概率为，“是4的整数倍数”的概率为，方案C中“是大于4的数”的概率为，“不是大于4的数”的概率为，乙为了尽可能获胜,应选方案B,猜“不是4的整数倍数”. (2) 为了保证游戏的公平性,应当选择方案A. “是奇数”或“是偶数”的概率均为(3) “是大于5的数”或“不是大于5的数”发生的概率是一样的，也可以保证游戏的公平性
试题解析：
(1)如题图,方案A中“是奇数”或“是偶数”的概率均为=0.5;方案B中“不是4的整数倍数”的概率为=0.8,“是4的整数倍数”的概率为=0.2;方案C中“是大于4的数”的概率为=0.6,“不是大于4的数”的概率为=0.4.乙为了尽可能获胜,应选方案B,猜“不是4的整数倍数”.
(2)为了保证游戏的公平性,应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5,从而保证了该游戏是公平的.
(3)可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”,此方案也可以保证游戏的公平性.
点睛：本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，此外本题还考查了对于事件发生的可能性的计算．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
分组
频数
频率
10
0.1
20
0.2
50
0.5
20
0.2
合计
100
1.0