必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直一课一练

这是一份必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直一课一练，共25页。试卷主要包含了线面垂直，面面垂直，线线垂直，判断与性质定理的辨析等内容，欢迎下载使用。


典例精讲
考点一 线面垂直
【例1-1】（2022·高一课时练习）如图，正方体，求证：平面．
【例1-2】（2022·高一课时练习）如图，已知四棱柱中，各棱长都为，底面是正方形，顶点在平面上的射影是正方形的中心，求证：平面．
【例1-3】（2022·高一课时练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
【一隅三反】
1．（2022·高一课时练习）如图，在圆柱中，是圆柱的母线，是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异于、的点．求证：平面．
2．（2022·高一课时练习）如图，在三棱锥中，分别为的中点，，且，．求证：平面．
3．（2022春·全国·高一期末）如图，四边形是矩形，平面，平面，，．
(1)证明：平面平面；
(2)求三棱锥的体积．
考点二 面面垂直
【例2】（2022秋·陕西咸阳·高一统考期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，分别为棱，的中点，为棱上的动点.求证：
(1)平面；
(2)平面平面.
【一隅三反】
1．（2022秋·陕西汉中·高一校联考期末）如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，，点E是PB的中点.求证：
(1)平面PAB；
(2)平面平面PBC.
2．（2022陕西榆林·高一陕西省榆林中学校考阶段练习）如图所示，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，分别是的中点.求证：
(1)平面PCE
(2)平面平面
3．（2022春·湖南郴州·高一安仁县第一中学校考期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱上一点，且，为棱的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)求四棱锥的体积．
考点三 线线垂直
【例3-1】（2022春·山西晋中·高一校考阶段练习）空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝，EF＝3.求证：AC⊥BD.
【例3-2】（2022陕西咸阳）已知四棱锥的底面是菱形，平面.
(1)设平面平面，求证：；
(2)求证：.
【一隅三反】
1．（2022·高一课时练习）如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．证明：AD⊥C1E.
2．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC．
3．（2022春·广西玉林·高一校考阶段练习）如图，四棱锥的底面为矩形，底面，，点是棱的中点．
(1)求证：；
(2)若，，求三棱锥的体积．
考点四 判断与性质定理的辨析
【例4-1】（2022河北唐山）若m、n、l表示不同的直线，、表示不同的平面，则下列推理正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【例4-2】（2021秋·河南安阳·高一安阳市第三十九中学校考期末）已知为三个不同的平面，为一条直线，给出下列四个命题
①若，则； ②若，则
③若，； ④若，，则；
其中，是假命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【一隅三反】
1．（2022·全国·高一专题练习）已知为不同的直线，为不同的平面，以下四个命题
① ②
③ ④
其中正确的序号为（ ）
A．①②B．③④C．②③D．②③④
2．（2022辽宁）已知三个互不重合的平面，，，且，，，给出下列命题：
①若，，则；
②若，则；
③若，，则；
④若，则．
其中正确命题个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2022春·福建福州·高一福建省福州高级中学校考期末）（多选）已知不同直线l、m、n与不同平面、，下列推论正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则或
8.6.1 空间直线、平面的垂直（精讲）
思维导图
典例精讲
考点一 线面垂直
【例1-1】（2022·高一课时练习）如图，正方体，求证：平面．
【答案】证明见解析
【解析】证明：∵平面，平面∴
∵四边形是正方形∴
又平面，平面，∴平面．
∵平面∴．
同理可证：．
又平面，平面，，∴平面．
【例1-2】（2022·高一课时练习）如图，已知四棱柱中，各棱长都为，底面是正方形，顶点在平面上的射影是正方形的中心，求证：平面．
【答案】证明见解析
【解析】证明：在正方形中，，则为、的中点，且，
平面，平面，，则，
，，，
在四棱柱中，，，
平面，平面，，
，，、平面，平面，
平面，，
，、平面，因此，平面.
【例1-3】（2022·高一课时练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
【答案】证明见解析
【解析】因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB，
又AB∥CD，所以AE⊥CD.
因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，
所以AE⊥平面PCD.
因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.
又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.
【一隅三反】
1．（2022·高一课时练习）如图，在圆柱中，是圆柱的母线，是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异于、的点．求证：平面．
【答案】证明见解析
【解析】证明：由已知可知，是圆柱的母线，所以平面，平面，∴．
∵点是上异于、的点，是的直径，所以．
又，平面∴平面．
2．（2022·高一课时练习）如图，在三棱锥中，分别为的中点，，且，．求证：平面．
【答案】证明见解析.
【解析】∵在中，D是AB的中点，，∴,
∵E是PB的中点，D是AB的中点，∴，∴，
又，，平面，平面，∴平面，
∵平面，∴，
又，，平面，平面，∴平面．
3．（2022春·全国·高一期末）如图，四边形是矩形，平面，平面，，．
(1)证明：平面平面；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析(2)1
【解析】(1)证明：平面，平面，
，
又平面，平面，
平面，
在矩形中，，且平面，平面，
平面，
又，
∴平面平面．
(2)平面，
∴点到平面的距离为，
∵四边形是矩形，，，
，
．
考点二 面面垂直
【例2】（2022秋·陕西咸阳·高一统考期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，分别为棱，的中点，为棱上的动点.求证：
(1)平面；
(2)平面平面.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）如图，取的中点，连接，.
为棱的中点，，且.
又为棱的中点，且底面为正方形，
，且，
，且，
四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，
平面.
（2）为棱的中点，，.
底面，平面，，
又，，平面，
平面，
平面，.
，平面，
平面.
平面，平面平面.
【一隅三反】
1．（2022秋·陕西汉中·高一校联考期末）如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，，点E是PB的中点.求证：
(1)平面PAB；
(2)平面平面PBC.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）∵底面ABCD为矩形，∴.
∵底面ABCD，底面ABCD ∴.
又∵，平面PAB，
∴平面PAB.
（2）∵平面PAB，平面PAB，
∴.
∵，E是PB的中点，∴.
又∵，平面PBC，
∴平面PBC.
又∵平面AEC，
∴平面平面PBC.
2．（2022陕西榆林·高一陕西省榆林中学校考阶段练习）如图所示，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，分别是的中点.求证：
(1)平面PCE
(2)平面平面
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）取的中点，连接，如图所示：
因为分别为的中点，所以，且.
又因为是的中点，所以，.
所以，，即四边形为平行四边形，即.
因为平面，平面，，
所以平面.
（2）因为平面，平面，所以.
因为，，，平面，所以平面.
又因为平面，所以.
因为为中点，，所以.
因为，，，平面，所以平面.
又因为，所以平面.
又因为平面，所以平面平面.
3．（2022春·湖南郴州·高一安仁县第一中学校考期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱上一点，且，为棱的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)求四棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明：由题意，，
，
平面平面，平面，平面平面，
平面，
又平面，
平面平面；
（2）解：设的中点为，连接，
，所以是等腰三角形，
，即是梯形底边上的高，，
由题意知，，所以，
是的中点，到底面的距离为，
四棱锥的体积为；
综上，四棱锥的体积为．
考点三 线线垂直
【例3-1】（2022春·山西晋中·高一校考阶段练习）空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝，EF＝3.求证：AC⊥BD.
【答案】证明见解析
【解析】∵点G，E分别是CD，BC的中点，∴GEBD，同理GFAC.∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角．
在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3，满足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即异面直线AC与BD所成的角是90°.∴AC⊥BD.
【例3-2】（2022陕西咸阳）已知四棱锥的底面是菱形，平面.
(1)设平面平面，求证：；
(2)求证：.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）平面平面，
平面，
又平面，平面平面，
.
（2）平面平面，
四棱锥的底面是菱形，，
平面，
平面，
又平面.
【一隅三反】
1．（2022·高一课时练习）如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．证明：AD⊥C1E.
【答案】证明见解析
【解析】因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.①
又在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面ABC，
而AD平面ABC，所以AD⊥BB1.②
BC，BB1为平面BB1C1C内两条相交直线由①②得AD⊥平面BB1C1C.
由点E在棱BB1上运动，得C1E平面BB1C1C，所以，AD⊥C1E.
2．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC．
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图所示，取BD的中点H，连接EH，FH．
因为E是AB的中点，且AD=2，
所以EH∥AD，EH=1．同理FH∥BC，FH=1．
所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角．
因为EF=，所以EH2+FH2=EF2，
所以EFH是等腰直角三角形，EF是斜边，
所以∠EHF=90°，即AD与BC所成的角是90°，
所以AD⊥BC．
3．（2022春·广西玉林·高一校考阶段练习）如图，四棱锥的底面为矩形，底面，，点是棱的中点．
(1)求证：；
(2)若，，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）平面，平面，；
四边形为矩形，，又，平面，
平面，又平面，.
（2）平面，平面，，又为中点，
，
由（1）知：平面，.
考点四 判断与性质定理的辨析
【例4-1】（2022河北唐山）若m、n、l表示不同的直线，、表示不同的平面，则下列推理正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】B
【解析】在正方体中，记平面为平面，平面为平面
，为，为，为，
对于A选项，，，但和相交，所以A错；
对于C选项，，，但和相交，所以C错；
对于D选项，，，但与相交，所以D错；
对于B选项，由线面垂直的性质可知B对；
故选：B
【例4-2】（2021秋·河南安阳·高一安阳市第三十九中学校考期末）已知为三个不同的平面，为一条直线，给出下列四个命题
①若，则； ②若，则
③若，； ④若，，则；
其中，是假命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】对于①②③，在正方体中，
平面看成平面，平面看成平面，平面看成平面，所以①不正确；
平面看成平面，平面看成平面，平面看成平面，所以②不正确；
对于③因为，则可能平行，故③不正确；
对于④因为，过任作平面与相交，设，由线面平行的性质定理得
又因为，所以，又因为，所以，故④错误.
综上假命题的有①②③④故选：D
【一隅三反】
1．（2022·全国·高一专题练习）已知为不同的直线，为不同的平面，以下四个命题
① ②
③ ④
其中正确的序号为（ ）
A．①②B．③④C．②③D．②③④
【答案】C
【解析】①或，故错误；
②由线面垂直的性质定理知，正确；
③由线面垂直的性质定理知，正确；
④，m，n相交或异面，故错误；
故选：C
2．（2022辽宁）已知三个互不重合的平面，，，且，，，给出下列命题：
①若，，则；
②若，则；
③若，，则；
④若，则．
其中正确命题个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】对于①，当三条交线交于一点时，若，，则b，c夹角不确定，故①不正确，
对于②，若，则，，即，，所以，所以，故②正确，
对于④，若又，，所以，
又，且，所以，故④正确，
对于③，由④可同理得若，则，与矛盾，故不平行，
故，，与相交，则，
又，得到，故③正确，
综上可知三个命题正确，
故选：C．
3．（2022春·福建福州·高一福建省福州高级中学校考期末）（多选）已知不同直线l、m、n与不同平面、，下列推论正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则或
【答案】ABD
【解析】对于A，根据直线平行的传递性可知，A正确；
对于B，根据平面与平面垂直的判断定理可知，B正确；
对于C，若，，与也可能相交，故C错误；
对于D，根据平面与平面垂直的性质定理以及直线与平面垂直的概念可知，D正确.
故选：ABD.