高中人教A版 (2019)7.2 复数的四则运算课时练习

这是一份高中人教A版 (2019)7.2 复数的四则运算课时练习，共18页。试卷主要包含了复数的加减运算，复数的乘除运算，共轭复数，在复数内解方程，复数的综合运用等内容，欢迎下载使用。


典例精讲
考点一 复数的加减运算
【例1】（2022·高一课时练习）已知为虚数单位，计算下列各式．
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【一隅三反】
1．（2022广东湛江）计算：
(1)； (2)；
（3）； （4）；
（5）； （6）.
（7） （8）
考点二 复数的乘除运算
【例2-1】（2022·高一课时练习）计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【例2-2】（2022·高一课时练习）计算：
(1)； (2)．（3）i＋2i2＋3i3＋…＋2 020i2 020＋2 021i2 021.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高一假期作业）设，则_______.
2．（2023·高一课时练习）______．（其中i是虚数单位）
3（2023·高一课时练习）计算．
(1)； (2)．
(3)； (4)；(5).
考点三 共轭复数
【例3】（2022春·吉林长春·高一校考期中）已知复数，则的共轭复数为___________.
【一隅三反】
1．（2022·高一单元测试）已知为虚数单位，复数的共轭复数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高一专题练习）在复平面内，复数（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）．
A．第一象限；B．第二象限；C．第三象限；D．第四象限．
3．（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第四十中学校考阶段练习）已知复数z满足，其中为虚数单位，则z的共轭复数为___________.
考点四 在复数内解方程
【例4-1】（2022·全国·高一专题练习）已知是关于x的方程的根，则实数______.
【例4-2】（2022春·上海浦东新·高一校考期末）已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
【例4-3】（2022·高一课时练习）在复数范围内分解因式：
(1)；(2)．
.
【一隅三反】
1．（2022春·福建泉州·高一校考阶段练习）已知是关于x的方程的一个根，则该方程的另一个根为________．
2．（2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末）已知是实系数一元二次方程的两个虚数根，且满足方程．
(1)求和．
(2)写出一个以和为根的实系数一元二次方程．
3．（2022春·江西上饶·高一校联考期末）已知复数，其中i为虚数单位.
(1)若z是纯虚数，求实数m的值；
(2)若，z是关于x的实系数方程的一个复数根，求实数的值.
考点五 复数的综合运用
【例5-1】（2022春·山东临沂·高一统考期末）（多选）已知复数：满足，则（ ）
A．B．z的虚部为
C．z的共轭复数为D．z是方程的一个根
【例5-2】（2022春·上海闵行·高一闵行中学校考阶段练习）已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ）
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若是虚数，则都是虚数.
A．①④B．②C．②③D．①②③
【一隅三反】
1．（2022春·广东广州·高一校联考期中）（多选）已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ）
A．B．复数的虚部为
C．若复数为纯虚数，则D．若为复数，则为实数
2．（2022·高一单元测试）（多选）下列关于复数的命题中，正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
3．（2023·高一课时练习）已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，求：
(1)点D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
7.2 复数的四则运算（精讲）思维导图
典例精讲
考点一 复数的加减运算
【例1】（2022·高一课时练习）已知为虚数单位，计算下列各式．
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4).
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【一隅三反】
1．（2022广东湛江）计算：
(1)； (2)；
（3）； （4）；
（5）； （6）.
（7） （8）
【答案】(1)(2)（3）；（4）；（5）0；（6）8.（7）；（8）.
【解析】(1)；
(2)；
（3）
（4）
（5）
（6）=8
（7）；
（8）.
考点二 复数的乘除运算
【例2-1】（2022·高一课时练习）计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)4(2)(3)(4)
【解析】（1）．
（2）原式．
（3）．
（4）原式．
【例2-2】（2022·高一课时练习）计算：
(1)； (2)．（3）i＋2i2＋3i3＋…＋2 020i2 020＋2 021i2 021.
【答案】(1)(2)（3）1010＋1011i
【解析】（1）原式．
原式
（3）原式＝(i－2－3i＋4)＋(5i－6－7i＋8)＋(9i－10－11i＋12)＋…＋(2017i－2018－2019i＋2020)＋2021i＝505·(2－2i)＋2 021i＝1010＋1011i.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高一假期作业）设，则_______.
【答案】
【解析】由题意化简，
则，故答案为：
2．（2023·高一课时练习）______．（其中i是虚数单位）
【答案】
【解析】.故答案为：
3（2023·高一课时练习）计算．
(1)； (2)．
(3)； (4)；(5).
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)
【解析】（1）解法1：原式．
解法2：原式．
（2）原式．
（3）原式.
（4）原式.
（5），，，
原式.
考点三 共轭复数
【例3】（2022春·吉林长春·高一校考期中）已知复数，则的共轭复数为___________.
【答案】
【解析】因为，所以，所以的共轭复数为.
故答案为：
【一隅三反】
1．（2022·高一单元测试）已知为虚数单位，复数的共轭复数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，共轭复数为.故选：C.
2．（2023·全国·高一专题练习）在复平面内，复数（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）．
A．第一象限；B．第二象限；C．第三象限；D．第四象限．
【答案】D
【解析】，所以其共轭复数为，它在复平面所对应的点坐标为，位于第四象限.故选：D.
3．（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第四十中学校考阶段练习）已知复数z满足，其中为虚数单位，则z的共轭复数为___________.
【答案】
【解析】由于，所以，所以.故答案为：
考点四 在复数内解方程
【例4-1】（2022·全国·高一专题练习）已知是关于x的方程的根，则实数______.
【答案】2
【解析】因为是关于x的方程的根，所以也是方程的根，
所以，得，故答案为：2
【例4-2】（2022春·上海浦东新·高一校考期末）已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【解析】因为方程有两个虚根和，
所以，则，
又由求根公式知两虚根为，，
所以，则，解得，满足要求，
所以.故选：C.
【例4-3】（2022·高一课时练习）在复数范围内分解因式：
(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由于，所以.
（2）由于，所以.
【一隅三反】
1．（2022春·福建泉州·高一校考阶段练习）已知是关于x的方程的一个根，则该方程的另一个根为________．
【答案】
【解析】是关于的方程的一个根，设该方程的另一个根为，
可得，解得.故答案为：．
2．（2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末）已知是实系数一元二次方程的两个虚数根，且满足方程．
(1)求和．
(2)写出一个以和为根的实系数一元二次方程．
【答案】(1)，(2)（答案不唯一）
【解析】(1)因为是实系数一元二次方程的两个虚数根，则互为共轭复数，
设，，代入中，得，
整理得，，解得，，；
(2)；，
以和为根的实系数一元二次方程可以为．
3．（2022春·江西上饶·高一校联考期末）已知复数，其中i为虚数单位.
(1)若z是纯虚数，求实数m的值；
(2)若，z是关于x的实系数方程的一个复数根，求实数的值.
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)因为复数是纯虚数，
所以解得：.
(2)当时，.
因为z是关于x的实系数方程的一个复数根，所以z的共轭复数也是实系数方程的根，所以，，解得：，，故.
考点五 复数的综合运用
【例5-1】（2022春·山东临沂·高一统考期末）（多选）已知复数：满足，则（ ）
A．B．z的虚部为
C．z的共轭复数为D．z是方程的一个根
【答案】AD
【解析】因为，所以，
对A：，故选项A正确；
对B：z的虚部为，故选项B错误；
对C：z的共轭复数为，故选项C错误；
对D：因为方程的根为，
所以z是方程的一个根，故选项D正确.
故选：AD.
【例5-2】（2022春·上海闵行·高一闵行中学校考阶段练习）已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ）
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若是虚数，则都是虚数.
A．①④B．②C．②③D．①②③
【答案】C
【解析】为复数，
①若，因为没有大小（虚部为0，即为实数时除外），故是错误的，
②若，设，则，由，得，所以，正确，
③若，则，正确，
④若是虚数，不一定都是虚数，比如，而是虚数，故错误，
故②③正确，
故选：C.
【一隅三反】
1．（2022春·广东广州·高一校联考期中）（多选）已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ）
A．B．复数的虚部为
C．若复数为纯虚数，则D．若为复数，则为实数
【答案】AD
【解析】A：，故A正确；
B：对于复数的虚部为-1，故B错误；
C：由复数z为纯虚数，设()，
则，所以，故C错误；
D：设复数()，则，
所以，故D正确.
故选：AD
2．（2022·高一单元测试）（多选）下列关于复数的命题中，正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ABC
【解析】对于A：因为，则，则，所以，故A正确；
对于B：若，则，故B正确；
对于C：令，，，
由，所以，
所以，则，同理可得，
所以，故C正确；
对于D：令，，则，但是、，所以，故D错误；
故选：ABC
3．（2023·高一课时练习）已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，求：
(1)点D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
【答案】(1)5(2)7
【解析】（1）向量对应的复数为,所以向量，
对应的复数为,所以向量，
，
，
，
点对应的复数为5 .
（2），
，
，，
.
故平行四边形面积为7.