数学必修 第二册第七章 复数7.2 复数的四则运算优秀教学设计

这是一份数学必修 第二册第七章 复数7.2 复数的四则运算优秀教学设计，共8页。教案主要包含了第一课时，教学过程，第二课时等内容，欢迎下载使用。




【第一课时】


复数的加、减运算及其几何意义


【教学过程】


一、问题导入


预习教材内容，思考以下问题：


1．复数的加、减法运算法则是什么？运算律有哪些？


2．复数的加、减法的几何意义是什么？


二、新知探究


探究点1：


复数的加、减法运算


（1）计算：（5－6i）＋（－2－i）－（3＋4i）；


（2）设z1＝x＋2i，z2＝3－yi（x，y∈R），且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2．


解：（1）原式＝（5－2－3）＋（－6－1－4）i＝－11i．


（2）因为z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，


所以（3＋x）＋（2－y）i＝5－6i，


所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3＋x＝5，,2－y＝－6，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝8，))所以z1－z2＝（2＋2i）－（3－8i）＝（2－3）＋[2－（－8）]i＝－1＋10i．


eq \a\vs4\al()


解决复数加、减运算的思路


两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）．


探究点2：


复数加、减法的几何意义


已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i．





（1）求eq \(AO,\s\up6(→))表示的复数；


（2）求eq \(CA,\s\up6(→))表示的复数．


解：（1）因为eq \(AO,\s\up6(→))＝－eq \(OA,\s\up6(→))，


所以eq \(AO,\s\up6(→))表示的复数为－（3＋2i），即－3－2i．


（2）因为eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))，


所以eq \(CA,\s\up6(→))表示的复数为（3＋2i）－（－2＋4i）＝5－2i．


互动探究：


1．变问法：若本例条件不变，试求点B所对应的复数．


解：因为eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，所以eq \(OB,\s\up6(→))表示的复数为（3＋2i）＋（－2＋4i）＝1＋6i．所以点B所对应的复数为1＋6i．


2．变问法：若本例条件不变，求对角线AC，BO的交点M对应的复数．


解：由题意知，点M为OB的中点，


则eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))，由互动探究1中知点B的坐标为（1，6），得点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))，所以点M对应的复数为eq \f(1,2)＋3i．


eq \a\vs4\al()


复数加、减法几何意义的应用技巧


（1）复数的加减运算可以转化为点的坐标或向量运算．


（2）复数的加减运算转化为向量运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．


三、课堂总结


1．复数加、减法的运算法则及加法运算律


（1）加、减法的运算法则


设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，则z1＋z2＝（a＋c）＋（b＋d）i，z1－z2＝（a－c）＋（b－d）i．


（2）加法运算律


对任意z1，z2，z3∈C，有


①交换律：z1＋z2＝z2＋z1．


②结合律：（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）．


2．复数加、减法的几何意义


如图所示，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）对应的向量分别为eq \(OZ1,\s\up6(→))，eq \(OZ2,\s\up6(→))，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是eq \(OZ,\s\up6(→))，与z1－z2对应的向量是eq \(Z2Z1,\s\up6(→))．





四、课堂检测


1．（6－3i）－（3i＋1）＋（2－2i）的结果为（ ）


A．5－3iB．3＋5i


C．7－8iD．7－2i


解析：选C．（6－3i）－（3i＋1）＋（2－2i）＝（6－1＋2）＋（－3－3－2）i＝7－8i．


2．已知复数z1＝（a2－2）－3ai，z2＝a＋（a2＋2）i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a的值为____________．


解析：由z1＋z2＝a2－2＋a＋（a2－3a＋2）i是纯虚数，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－2＋a＝0，,a2－3a＋2≠0))⇒a＝－2．


答案：－2


3．已知复数z1＝－2＋i，z2＝－1＋2i．


（1）求z1－z2；


（2）在复平面内作出复数z1－z2所对应的向量．


解：（1）由复数减法的运算法则得z1－z2＝（－2＋i）－（－1＋2i）＝－1－i．


（2）在复平面内作复数z1－z2所对应的向量，如图中eq \(OZ,\s\up6(→))．





【第二课时】


复数的乘、除运算


【教学过程】


一、问题导入


预习教材内容，思考以下问题：


1．复数的乘法和除法运算法则各是什么？


2．复数乘法的运算律有哪些？


3．如何在复数范围内求方程的解？


二、新知探究


探究点1：


复数的乘法运算


（1）（1－i）eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))（1＋i）＝（ ）


A．1＋eq \r(3)iB．－1＋eq \r(3)i


C．eq \r(3)＋iD．－eq \r(3)＋i


（2）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则（a＋bi）2＝（ ）


A．5－4iB．5＋4i


C．3－4iD．3＋4i


（3）把复数z的共轭复数记作eq \(z,\s\up6(－))，已知（1＋2i） eq \(z,\s\up6(－))＝4＋3i，求z．


解：（1）选B．（1－i）eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))（1＋i）


＝（1－i）（1＋i）eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))


＝（1－i2）eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))


＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))＝－1＋eq \r(3)i．


（2）选D．因为a－i与2＋bi互为共轭复数，


所以a＝2，b＝1，所以（a＋bi）2＝（2＋i）2＝3＋4i．


（3）设z＝a＋bi（a，b∈R），则eq \(z,\s\up6(－))＝a－bi，


由已知得，（1＋2i）（a－bi）＝（a＋2b）＋（2a－b）i＝4＋3i，由复数相等的条件知，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋2b＝4，


2a－b＝3，))解得a＝2，b＝1，


所以z＝2＋i．


eq \a\vs4\al()


复数乘法运算法则的应用


复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将i2换成－1，并将实部、虚部分别合并．多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，如（a＋bi）2＝a2＋2abi＋b2i2＝a2－b2＋2abi，（a＋bi）3＝a3＋3a2bi＋3ab2i2＋b3i3＝a3－3ab2＋（3a2b－b3）i．


探究点2：


复数的除法运算


计算：


（1）eq \f(（1＋2i）2＋3（1－i）,2＋i)；


（2）eq \f(（1－4i）（1＋i）＋2＋4i,3＋4i)．


解：（1）eq \f(（1＋2i）2＋3（1－i）,2＋i)＝eq \f(－3＋4i＋3－3i,2＋i)


＝eq \f(i,2＋i)＝eq \f(i（2－i）,5)＝eq \f(1,5)＋eq \f(2,5)i．


（2）eq \f(（1－4i）（1＋i）＋2＋4i,3＋4i)＝eq \f(5－3i＋2＋4i,3＋4i)＝eq \f(7＋i,3＋4i)


＝eq \f(（7＋i）（3－4i）,（3＋4i）（3－4i）)＝eq \f(21－28i＋3i＋4,25)＝eq \f(25－25i,25)＝1－i．


eq \a\vs4\al()


复数除法运算法则的应用


复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算．


探究点3：


i的运算性质


（1）复数z＝eq \f(1－i,1＋i)，则ω＝z2＋z4＋z6＋z8＋z10的值为（ ）


A．1B．－1


C．iD．－i


（2）eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i)))eq \s\up12(2 019)等于________．


解析：（1）z2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－i,1＋i)))eq \s\up12(2)＝－1，所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1．


（2）eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i)))eq \s\up12(2 019)＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(（1＋i）（1＋i）,（1－i）（1＋i）)))eq \s\up12(2 019)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2i,2)))eq \s\up12(2 019)＝i2 019＝（i4）504·i3＝1504·（－i）＝－i．


答案：（1）B


（2）－i


eq \a\vs4\al()


（1）i的周期性要记熟，即in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0（n∈N*）．


（2）记住以下结果，可提高运算速度．


①（1＋i）2＝2i，（1－i）2＝－2i．


②eq \f(1－i,1＋i)＝－i，eq \f(1＋i,1－i)＝i．


③eq \f(1,i)＝－i．


探究点4：


在复数范围内解方程


在复数范围内解下列方程．


（1）x2＋5＝0；


（2）x2＋4x＋6＝0．


解：（1）因为x2＋5＝0，所以x2＝－5，


又因为（eq \r(5)i）2＝（－eq \r(5)i）2＝－5，


所以x＝±eq \r(5)i，


所以方程x2＋5＝0的根为±eq \r(5)i．


（2）法一：因为x2＋4x＋6＝0，


所以（x＋2）2＝－2，


因为（eq \r(2)i）2＝（－eq \r(2)i）2＝－2，


所以x＋2＝eq \r(2)i或x＋2＝－eq \r(2)i，


即x＝－2＋eq \r(2)i或x＝－2－eq \r(2)i，


所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±eq \r(2)i．


法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8<0，


所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根．


在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi（a，b∈R且b≠0），


则（a＋bi）2＋4（a＋bi）＋6＝0，


所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，


整理得（a2－b2＋4a＋6）＋（2ab＋4b）i＝0，


所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－b2＋4a＋6＝0，,2ab＋4b＝0，))


又因为b≠0，


所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－b2＋4a＋6＝0，,2a＋4＝0，))


解得a＝－2，b＝±eq \r(2)．


所以x＝－2±eq \r(2)i，


即方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±eq \r(2)i．


eq \a\vs4\al()


在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求解方法


（1）求根公式法


①当Δ≥0时，x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)．


②当Δ<0时，x＝eq \f(－b±\r(－（b2－4ac）)i,2a)．


（2）利用复数相等的定义求解


设方程的根为x＝m＋ni（m，n∈R），将此代入方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），化简后利用复数相等的定义求解．


三、课堂总结


1．复数乘法的运算法则和运算律


（1）复数乘法的运算法则


设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），


则z1·z2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i．


（2）复数乘法的运算律


对任意复数z1，z2，z3∈C，有


2．复数除法的运算法则


设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（c＋di≠0）（a，b，c，d∈R），


则eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i（c＋di≠0）．


■名师点拨


对复数除法的两点说明


（1）实数化：分子、分母同时乘以分母的共轭复数，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．


（2）代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．


四、课堂检测


1．若复数（1＋bi）（2＋i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b＝（ ）


A．－2B．－eq \f(1,2)


C．eq \f(1,2)D．2


解析：选D．因为（1＋bi）（2＋i）＝2－b＋（2b＋1）i是纯虚数，所以b＝2．


2．已知i为虚数单位，则复数eq \f(i,2－i)的模等于（ ）


A．eq \r(5)B．eq \r(3)


C．eq \f(\r(3),3)D．eq \f(\r(5),5)


解析：选D．因为eq \f(i,2－i)＝eq \f(i（2＋i）,（2－i）（2＋i）)＝eq \f(i（2＋i）,5)＝－eq \f(1,5)＋eq \f(2,5)i，


所以|eq \f(i,2－i)|＝|－eq \f(1,5)＋eq \f(2,5)i|＝eq \r(（－\f(1,5)）2＋（\f(2,5)）2)＝eq \f(\r(5),5)，故选D．


3．计算：（1）eq \f(2＋2i,（1－i）2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),1＋i)))eq \s\up12(2 018)；


（2）（4－i5）（6＋2i7）＋（7＋i11）（4－3i）．


解：（1）eq \f(2＋2i,（1－i）2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),1＋i)))eq \s\up12(2 018)


＝eq \f(2＋2i,－2i)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,2i)))eq \s\up12(1 009)＝i（1＋i）＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,i)))eq \s\up12(1 009)


＝－1＋i＋（－i）1 009＝－1＋i－i＝－1．


（2）原式＝（4－i）（6－2i）＋（7－i）（4－3i）


＝22－14i＋25－25i＝47－39i．教学重难点
教学目标
核心素养
复数加法、减法的运算
掌握复数代数形式的加法、减法运算法则
数学运算
复数加法的几何意义
理解复数代数形式的加法、减法运算的几何意义
直观想象
教学重难点
教学目标
核心素养
复数的乘除运算
掌握复数乘除运算的运算法则，能够进行复数的乘除运算
数学运算
复数乘法的运算律
理解复数乘法的运算律
逻辑推理
解方程
会在复数范围内解方程
数学运算
交换律
z1z2＝z2z1
结合律
（z1z2）z3＝z1（z2z3）
乘法对加法的分配律
z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3