高中数学7.2 复数的四则运算课后练习题

这是一份高中数学7.2 复数的四则运算课后练习题，共21页。

（1）加法：，即实部与实部相加，虚部与虚部相加；
几何意义： 设对应向量，对应向量，则对应的向量为．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．
例1（2020·上海普陀·三模）在复平面内，点对应的复数z，则___________
举一反三
（1）．（2022·全国·高一课时练习）已知复数，则等于( )
A． B．6 C． D．
2．（2022·全国·高一）如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是，则__________．
（3）．（2022·全国·高一）如图所示，已知复数，所对应的向量，，它们的和为向量．请根据两个向量相加的运算写出对应的复数运算过程．
（2）减法：，即实部与实部相减，虚部与虚部相减；
几何意义： 设对应向量，对应向量，则对应的向量为．
表示、两点之间的距离，也等于向量的模．
例2（1）（2021·全国·高考真题（理））设，则（ ）
A．B．C．D．
（2）（2022·四川省高县中学校模拟预测（文））在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（ ）
A．1+iB．1－iC．－1+iD．－1－i
举一反三
（1）．（2022·河南·模拟预测（理））已知，则（ ）
A．B．
C．D．
（2）．（2021·山东章丘·模拟预测）复数z1，z2满足z1∈R，，则z1＝（ ）
A．1B．2C．0或2D．1或2
（3）．（2021·广东广州·二模）已知，都是复数，的共轭复数为，下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则为实数
复数的乘除运算
设，
（1）乘法： ， 特别；
例3（1）．（2021·全国·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
（2）．（2019·北京·高考真题（理））已知复数z=2+i，则
A．B．C．3D．5
举一反三
（1）．（2022·浙江·模拟预测）复数（i为虚数单位）的共扼复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
（2）．（2022·山西临汾·一模（理））已知a，，i是虚数单位.若，则（ ）
A．B．C．D．
（3）．（2022·四川攀枝花·二模（理））若复数的实部与虚部相等，则的值为（ ）
A．B．C．1D．2
（2）除法（是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数，即分子分母同时乘以分母的共轭复数，然后再化简：；
（3四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。即对有:
, ,
例4.（1）．（2021·江苏·高考真题）若复数满足，则的虚部等于（ ）
A．4B．2C．-2D．-4
（2）．（2021·全国·高考真题（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
举一反三
（1）．（2021·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
（2）．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））已知复数为z的共轭复数，则（ ）
A．B．C．D．
（3）．（2022·江西九江·一模（理））若复数z满足，则（ ）．A．B．
C．D．
巩固提升
一、单选题
1．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·全国·高考真题（文））设，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·全国·绵阳中学模拟预测（理））已知复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·江苏南通·一模）已知复数与都是纯虚数，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（理））复数z满足，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．（2022·广东·模拟预测）18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义．例如，，即复数的模的几何意义为在复平面内对应的点到原点的距离．在复平面内，若复数对应的点为，为曲线上的动点，则与之间的最小距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
二、多选题
7．（2021·全国·模拟预测）若复数满足，则（ ）
A．B．
C．在复平面内对应的点在直线上D．的虚部为
8．（2021·辽宁·建平县实验中学模拟预测）设，是复数，则（ ）
A．B．若，则
C．若，则D．若，则
三、填空题
9．（2021·山东潍坊·模拟预测）已知复数z满足，则的虚部为_________．
10．（2022·浙江·模拟预测）若关于的复系数一元二次方程的一个根为，则另一个根________．
四、解答题
11．（2021·黑龙江肇州·模拟预测（文））已知复数（），且为纯虚数（是的共轭复数）.
（1）设复数，求；
（2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
12．（2021·上海·复旦附中模拟预测）已知关于的方程的虚数根为、.
（1）求的取值范围；
（2）若，求实数的值.
7.2复数的四则运算（讲义+例题+小练）
一。复数的加减运算
设，
（1）加法：，即实部与实部相加，虚部与虚部相加；
几何意义： 设对应向量，对应向量，则对应的向量为．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．
例1（2020·上海普陀·三模）在复平面内，点对应的复数z，则___________
【答案】
【解析】
【分析】
由点的坐标写出复数，再计算。
【详解】
由题意，∴。
故答案为：。
【点睛】
本题考查复数的几何意义，考查复数的模，属于基础题。
举一反三
（1）．（2022·全国·高一课时练习）已知复数，则等于( )
A． B．6 C． D．
【答案】B
【解析】
【详解】
由题可知：
故选：B
2．（2022·全国·高一）如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是，则__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
由已知求得,进一步求得.
【详解】
由题意可知,.
所以
故答案为:2.
（3）．（2022·全国·高一）如图所示，已知复数，所对应的向量，，它们的和为向量．请根据两个向量相加的运算写出对应的复数运算过程．
【答案】答案见解析．
【解析】
【分析】
由向量加法的坐标表示可得复数加法过程．
【详解】
，
对应的两个复数相加的运算过程：
（2）减法：，即实部与实部相减，虚部与虚部相减；
几何意义： 设对应向量，对应向量，则对应的向量为．
表示、两点之间的距离，也等于向量的模．
例2（1）（2021·全国·高考真题（理））设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.
【详解】
设，则，则，
所以，，解得，因此，.
故选：C.
（2）（2022·四川省高县中学校模拟预测（文））在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（ ）
A．1+iB．1－iC．－1+iD．－1－i
【答案】C
【解析】
【分析】
根据复数加法的几何意义及法则即可求解.
【详解】
因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，
又因为，
所以由复数加法的几何意义可得，
.
故选：C.
举一反三
（1）．（2022·河南·模拟预测（理））已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
结合共轭复数的概念以及复数的运算和复数相等得到，进而可以求出结果.
【详解】
设，则．由得，则，所以，，所以．
故选：B.
（2）．（2021·山东章丘·模拟预测）复数z1，z2满足z1∈R，，则z1＝（ ）
A．1B．2C．0或2D．1或2
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可设z1＝a，结合复数求模的公式即可得出结果.
【详解】
解：因为z1∈R，可设z1＝a，且a∈R，
由z2＝1+i，得z1﹣z2＝（a﹣1）﹣i，
又因为|z1﹣z2|＝，
所以（a﹣1）2+（﹣1）2＝2，
解得a＝0或a＝2，
所以z1＝0或2．
故选：C．
（3）．（2021·广东广州·二模）已知，都是复数，的共轭复数为，下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则为实数
【答案】D
【解析】
【分析】
先设，（），则；通过特殊值法，可判断ABC选项错误；根据复数相等，以及复数的运算，可判断D正确.
【详解】
设，（），则；
A选项，若，则，此时不一定有（如），故A错；
B选项，若，则，都是实数，所以，若，，则，故B错；
C选项，若，则；若，则，即C错；
D选项，若，则，所以，故D正确.
故选：D.
复数的乘除运算
设，
（1）乘法： ， 特别；
例3（1）．（2021·全国·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【详解】
因为，故，故
故选：C.
（2）．（2019·北京·高考真题（理））已知复数z=2+i，则
A．B．C．3D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
题先求得，然后根据复数的乘法运算法则即得.
【详解】
∵ 故选D.
【点睛】
本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的定义等知识，属于基础题..
举一反三
（1）．（2022·浙江·模拟预测）复数（i为虚数单位）的共扼复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
先化简复数，再得共轭复数，由复数的几何意义可判断对应的点所在象限.
【详解】
，所以共轭复数为，在复平面内对应的点的坐标为，可知该点在第四象限.
故选：D
（2）．（2022·山西临汾·一模（理））已知a，，i是虚数单位.若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数相等求出a，b，再借助复数平方运算计算作答.
【详解】
因，a，，则有，
所以.
故选：B
（3）．（2022·四川攀枝花·二模（理））若复数的实部与虚部相等，则的值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据复数乘法运算化简，再由实部虚部相等求解即可.
【详解】
，
，
故选：B
（2）除法（是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数，即分子分母同时乘以分母的共轭复数，然后再化简：；
（3四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。即对有:
, ,
例4.（1）．（2021·江苏·高考真题）若复数满足，则的虚部等于（ ）
A．4B．2C．-2D．-4
【答案】C
【解析】
【分析】
利用复数的运算性质，化简得出.
【详解】
若复数满足，则
，
所以的虚部等于.
故选：C.
（2）．（2021·全国·高考真题（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知得，根据复数除法运算法则，即可求解.
【详解】
，
.
故选：B.
举一反三
（1）．（2021·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据复数的加减法运算及除法运算即可得解.
【详解】
解：因为，
所以.
故选：A.
（2）．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））已知复数为z的共轭复数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用共轭复数、复数除法运算等知识求得正确答案.
【详解】
，
.
故选：A
（3）．（2022·江西九江·一模（理））若复数z满足，则（ ）．A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则求得复数，再求其共轭复数即可.
【详解】
因为，故.
故选：C．
巩固提升
一、单选题
1．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】
由题意可得：.
故选：D.
2．（2021·全国·高考真题（文））设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.
【详解】
由题意可得：.
故选：C.
3．（2021·全国·绵阳中学模拟预测（理））已知复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先化简复数，再求模即可.
【详解】
∵，∴，∴．
故选：D．
4．（2022·江苏南通·一模）已知复数与都是纯虚数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意设，根据复数的四则运算可得出关于的等式与不等式，求出的值，即可得解.
【详解】
因为为纯虚数，设，则，
由题意可得，解得，因此，.
故选：C.
5．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（理））复数z满足，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算求得z,则可得 ，即可得答案.
【详解】
因为，所以 ，
故 ，则在复平面内对应的点位于第四象限，
故选：D.
6．（2022·广东·模拟预测）18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义．例如，，即复数的模的几何意义为在复平面内对应的点到原点的距离．在复平面内，若复数对应的点为，为曲线上的动点，则与之间的最小距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
化简，得到，再根据的几何意义和圆的性质，即可求解.
【详解】
因为，所以，
又因为曲线表示以为圆心，1为半径的圆，
所以，故与之间的最小距离为.
故选：B.
二、多选题
7．（2021·全国·模拟预测）若复数满足，则（ ）
A．B．
C．在复平面内对应的点在直线上D．的虚部为
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据复数的基本概念和复数的运算逐项判断即可.
【详解】
设，则，由， 得，
整理得，
所以，解得，.
所以，所以，故选项A错误；
因为，所以，所以，B正确；在复平面内对应的点为，显然在直线上，C正确；
因为，所以的虚部为，D正确.
故选：BCD.
8．（2021·辽宁·建平县实验中学模拟预测）设，是复数，则（ ）
A．B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】
结合共轭复数、复数运算等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
设，，a，b，x，，
，A成立；
，则，所以，，
从而，所以，C成立；
对于B，取，，满足，但结论不成立；
对于D，取，，满足，但结论不成立.
故选：AC
三、填空题
9．（2021·山东潍坊·模拟预测）已知复数z满足，则的虚部为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据复数的四则运算结合共轭复数的定义得出的虚部.
【详解】
，则，即的虚部为
故答案为：
10．（2022·浙江·模拟预测）若关于的复系数一元二次方程的一个根为，则另一个根________．
【答案】
【解析】
【分析】
代入，求解可得，结合韦达定理即得解
【详解】
由题意，
故
即
故复系数一元二次方程
由韦达定理可知：
故
故答案为：
四、解答题
11．（2021·黑龙江肇州·模拟预测（文））已知复数（），且为纯虚数（是的共轭复数）.
（1）设复数，求；
（2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先根据条件得到，进而得到，由复数的模的求法得到结果；
（2）由第一问得到，根据复数对应的点在第一象限得到不等式，进而求解.
【详解】
（1）∵为纯虚数，
∴，，解得.
∴，则.
（2），
复数在复平面对应的点在第一象限，
∴，，解得.
∴实数的取值范围是.
【点睛】
结论点睛：如果是复平面内表示复数的点，则①当，时，点位于第一象限；当，时，点位于第二象限；当，时，点位于第三象限；当，时，点位于第四象限；②当时，点位于实轴上方的半平面内；当时，点位于实轴下方的半平面内．
12．（2021·上海·复旦附中模拟预测）已知关于的方程的虚数根为、.
（1）求的取值范围；
（2）若，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意，从而，由复数的运算可得，根据判别式得出的范围，从而得出答案.
（2）将平方，将韦达定理代入，结合判别式得出的范围，可得答案.
【详解】
由题意知，，则，，
（1），
因为，所以，故的取值范围是.
（2）
因为，所以，所以.