人教版（2024）七年级上册（2024）4.1 整式精品巩固练习

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【知识点一】单项式
1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
【要点提示】
（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．
（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．
2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
【要点提示】
（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；
（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；
（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成．
3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
【要点提示】
单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：
（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；
（2）不能将数字的指数一同计算．
【知识点二】多项式
1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．
【要点提示】
“几个”是指两个或两个以上．
2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．
【要点提示】
多项式的每一项包括它前面的符号．
一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式．
3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．
【要点提示】
（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．
（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．
【知识点三】整式
单项式与多项式统称为整式．
【要点提示】
（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．
即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立．
（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】单项式系数、次数
【例1】（22-23七年级上·广东东莞·期中）若是关于x，y的单项式，且系数为，次数是3，求a和b的值．
【答案】，或
【分析】本题主要考查单项式次数和系数的问题，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数，据此可得，解之即可得到答案．
解：∵是关于x，y的单项式，且系数为，次数是3，
∴，
∴
∴或．
【变式1】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）单项式的系数是（ ）
A．5B．3C．D．1
【答案】C
【分析】本题考查的是单项式．根据单项式系数的定义“单项式中的数字因数叫做单项式的系数”进行解答即可．
解：单项式的数字因数是，
此单项式的系数是．
故选：C．
【变式2】（22-23七年级上·江苏南京·期中）单项式的系数是 ，次数是 ．
【答案】 4
【分析】根据单项式的系数和次数的定义即可解答．
解：∵单项式的数字因数是，所有字母指数的和是，
∴此单项式的系数是，次数是4．
故答案为，4．
【点拨】本题主要考查了单项式的系数和次数，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
【题型2】与单项式系数、次数有关规律题
【例2】（24-25七年级上·全国·假期作业）【观察与发现】
，，，，，，，
（1）直接写出：第7个单项式是 ；第8个单项式是 ；
（2）第大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数．
【答案】(1)， (2)第个单项式为：，它的系数为：，次数为：
【分析】本题是以单项式为背景的规律题目，确定单项式的系数规律、字母指数规律是解题关键．
（1）观察单项式的系数、字母指数，即可求解；
（2）根据题意可得出通用规律，即可求解．
解：（1）由题意可知：
单项式的系数依次为：1，，5，，9，，，，
x的指数都是2，的指数依次为：1，2，3，4，5，6，，，
故第7个单项式是：，
第8个单项式是：．
故答案为：，；
（2）由（1）可得出第个单项式为：，它的系数为：，次数为：．
【变式1】（23-24八年级下·云南楚雄·期末）按一定规律排列的单项式：．则第7个单项式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查数字变化−规律型，根据观察总结规律求解即可．
解：由题意得，第n个单项式为，
∴第7个单项式是，
故选：B．
【变式2】（23-24七年级上·河北保定·期末）请你写出一个单项式，同时满足下列条件：①含有字母x、y；②系数是；③次数是5，则写出的单项式为 （写一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查单项式，掌握单项式的系数、次数的概念是解题的关键．
根据单项式系数、次数的定义写出符合题意的单项式即可．
解：根据题意可得：符合题意的单项式为：（答案不唯一）．
故答案为： (答案不唯一) ．
【题型3】多项式的项、项数与次数
【例3】（22-23七年级上·河南新乡·期中）已知多项式是五次四项式，单项式与该多项式的次数相同．
（1）求m、n的值．
（2）若，求这个多项式的值．
【答案】(1) (2)
【分析】本题考查了多项式的项和次数，单项式的次数，绝对值以及偶次方的非负性，有理数的混合运算，根据题意求出题目中未知数的值是解本题的关键．
（1）根据多项式是五次四项式，可得，根据单项式与该多项式的次数相同可得，求解即可；
（2）把代入多项式中求解即可．
解：（1）∵多项式是五次四项式，且单项式与多项式的次数相同，
，
解得：；
（2）∵，
∴这个多项式是，
当时，
．
【变式1】（2024六年级上·上海·专题练习）式子是关于x的一次式，则a、b的值可能为（ ）
A．0，1B．1，2C．0，3D．1，1
【答案】B
【分析】本题考查了一次式的定义，解题的关键是掌握含未知数的项的最高次数为1的整式是一次式．
根据题意得出，求出a和b的值，再结合给出的选项即可得出答案
解：∵多项式是关于x的一次式，
∴，
∴，
∴a、b的值可能为1，2；
故选：B．
【变式2】（2024六年级上·上海·专题练习）一次式中b的系数是 ，常数项是 ．
【答案】 1
【分析】本题考查单项式、多项式及相关概念，解题的关键是掌握单项式系数、次数及多项式项数、次数等相关概念．单项式中，所有字母的指数和叫单项式的次数，数字因数叫单项式的系数，通常系数不为0，多项式的每一项都有次数，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数．据此即可解答．
解：一次式中b的系数是，常数项是1．
故答案为：，1．
【题型4】多项式的升（降）幂排列与次数、指数的相关求值问题
【例4】（23-24七年级上·吉林松原·期中）已知关于x、y的多项式是六次五项式．
（1）m的值是______，该多项式的常数项是______；
（2）将此多项式按x的降幂排列．
【答案】(1)4； (2)
【分析】本题主要考查了多项式的次数和项的定义及按降幂排列，
（1）根据多项式的次数和多项式的项求m的值和常数项即可；
（2）将m值代入多项式并按x降幂排列即可．
解：（1）∵多项式是六次五项式，
∴，解得，且多项式的常数项是；
（2）根据（1）得多项式为，
∴按x的降幂排列为．
【变式1】（23-24七年级上·吉林长春·期末）将多项式按的升幂排列的结果是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据升幂的定义结合题意对多项式进行排序，即可求解，本题考查了多项式的升幂排列，解题的关键是：明确是关于哪个字母，按升幂还是降幂排列．
解：由题意得将多项式按的升幂排列的结果是：，
故选：D．
【变式2】（23-24七年级上·吉林·期中）若多项式是关于的二次三项式，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了多项式的概念，根据二次三项式的定义可得，且，解之即可求解，掌握多项式的概念是解题的关键．
解：∵多项式是关于的二次三项式，
∴，且，
解得，
故答案为：．
【题型5】整式的认识
【例5】（23-24七年级上·江苏·周测）把下列代数式的序号填入相应的横线上：
①；③；④；⑤0；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩．
（1）单项式：_______； （2）多项式：_______；
（3）整式：_______； （4）二项式：_______．
【答案】(1)④⑤⑩ (2)①③⑥ (3)①③④⑤⑥⑩ (4)③⑥
【分析】根据单项式，多项式，整式，二项式的定义即可求解．
解：（1）解：单项式：④⑤⑩，
故答案为：④⑤⑩；
（2）多项式：①③⑥，
故答案为：①③⑥；
（3）整式：①③④⑤⑥⑩，
故答案为：①③④⑤⑥⑩；
（4）二项式：③⑥，
故答案为：③⑥；
【点拨】此题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，整式的定义．单项式及相关概念：数或字母的积叫单项式．（单独的一个数或一个字母也是单项式）多项式及相关概念：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．整式：单项式与多项式统称为整式．
【变式1】（22-23六年级上·山东烟台·期末）对代数式，，，，，判断正确的是（ ）
A．只有个单项式B．只有个单项式
C．有个整式D．有个二次多项式
【答案】A
【分析】本题考查了整式，单项式，多项式的概念，熟练掌握整式，单项式，多项式的概念是解答本题的关键．单项式和多项式统称为整式；数与字母的乘积，这样的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式；次数最高的项的次数，叫做多项式的次数；按照以上概念逐个判断即可．
解：、、是单项式，
是二次多项式，是三次多项式，
、、、、是整式，
以上代数式中共有个单项式，个二次多项式，个三次多项式，个整式，
故选：A．
【变式2】（2024七年级上·上海·专题练习）下列式子：，其中单项式有 ；整式有 ．
【答案】
【分析】本题主要考查整式、单项式的概念．数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．有限个单项式求和得到的代数式叫做整式．根据整式、单项式的概念，紧扣概念作出判断．
解：单项式有：，
整式有：，
故答案为：；．
【题型6】数字类规律探索
【例6】（22-23七年级上·内蒙古乌海·阶段练习）（1）已知，求的值；
（2）若a、b互为倒数，c、d互为相反数，．求的值；
（3）观察数表．
根据其中的规律，在数表中的方框内填入适当的数．
【答案】（1）48；（2）9或；（3）10，15．
【分析】本题考查了绝对值非负性的应用，求整式的值，倒数的定义，相反数的定义，规律探究；
（1）由绝对值的非负性得，，，求出、、，然后代入，即可求解；
（2）由倒数的定义及相反数的定义，绝对值的定义得，，，①当，，时， ②当，，时，分别进行代值计算，即可求解；
（3）由表得出规律：每一行的数的个数依次递加一个，每一行的第奇数个数是正，第偶数个数是负，且两端数的绝对值为，中间的数的绝对值恰是它上边两个数的绝对值之和；据此规律，即可求解；
理解绝对值非负性，倒数的定义，相反数的定义，找出规律是解题的关键．
解：（1），
，
，
，
，
，
，
；
（2）由题意得
，，，
①当，，时，
原式
；
②当，，时，
原式
；
故值为9或；
（3）由表得：每一行的数的个数依次递加一个，每一行的第奇数个数是正，第偶数个数是负，且两端数的绝对值为，中间的数的绝对值恰是它上边两个数的绝对值之和．
，
，
故答案：，．
【变式1】（23-24七年级上·广东深圳·期末）观察下列算式：，，，，，，…，用你所发现的规律得出的末位数字是（ ）
A．3B．9C．7D．1
【答案】C
【分析】本题考查尾数特征及规律型：数字的变化类，通过观察得出3的乘方的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，再用除以4得到余数，即可求得答案.
解：根据题意得末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，
，
∴的末位数字与的末位数字相同，
故选：C．
【变式2】（23-24七年级上·广东佛山·期末）一列数，，，…，满足，（，且n为整数），则 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查数字的变化规律，通过计算发现，运算结果每3次循环出现一次，则．
解：∵，
∴，，⋯，
∴运算结果每3次循环出现一次，
∵，
∴．
故答案为：2
【题型7】图形类规律探索
【例7】（2024七年级上·江苏·专题练习）观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，记第n个图中小黑点的个数为y．
①填表：
②当时， ．
③你能发现n与y之间的关系吗？
【答案】①见解析；②57；③
【分析】本题考查了图形类规律探索，找出一般规律是解题关键．
①根据已知图形数出黑点个数是解题关键；
②根据题意得出一般规律：图n黑点的个数是：，据此即可求解；
③根据②作答即可．
解：①由图形可知，时，；，，
填表如下：
②由题意可知，图1黑点的个数是：1；
图2黑点的个数是：；
图3黑点的个数是：；
…
观察可知，图n黑点的个数是：，
即时，，
故答案为：57；
③由②可知，n与y之间的关系为．
【变式1】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为， …， 依次类推， 则 的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查图形的变化类，解题的关键是得出 及．
解：
，
，
，
；
，
故选: D．
【变式2】（23-24七年级上·广东汕头·期末）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第①个图案有4个三角形，第②个图案有7个三角形，第③个图案有10个三角形，…依此规律，第2023个图案有多少个三角形 ．

【答案】
【分析】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题目中的图形可以发现三角形个数的变化规律，可以求得第2023个图案中三角形的个数．
解：第①个图案有4个三角形，即
第②个图案有7个三角形，即
第③个图案有10个三角形，即
第个图案三角形个数为，
所以第2023个图案有三角形的个数为
故答案为：．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（ ）
A．90B．91C．92D．93
【答案】B
【分析】本题主要考查了规律型问题，解题的关键是仔细观察图形并找到有关图形个数的规律．仔细观察图形知道第1个图形有1个正方形，第2个有个，第3个图形有个，…由此得到规律求得第6个图形中正方形的个数即可．
解：第1个图形有1个正方形，
第2个图形有个正方形，
第3个图形有个正方形，
……
第6个图形有（个）正方形，
故选：B.
【例2】（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则 ， ．
【答案】 45 2
【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，解题的关键是找出规律：当正整数为时，若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行．
解：由图中排布可知，当正整数为时，
若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；
若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行；
∵，
而，在第行，第1列，
∴2024在第行，第2列，
∴，，
故答案为：45，2．
2、拓展延伸
【例1】（22-23八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，介绍了展开式的系数规律，称为“杨辉三角”．
如第行的个数是，恰好对应着展开式中的各项系数．利用上述规律计算：
．
【答案】
【分析】本题考查了根据杨辉三角系数的特点进行计算，根据杨辉三角得到第行的项系数是，将变形为，即可得到，计算即可求解，理解杨辉三角中各项系数的特点，并将原式进行正确变形是解题关键．
解：由题意得，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【例2】（2024·浙江·一模）已知且，我们定义，记为；，记为；……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；……；则的值为 ．
【答案】4160
【分析】本题考查了数字类规律探索，要先根据题意找到规律，多算几组，发现每三次变换为一个循环，进而可得到结果，准确计算、发现规律是解题的关键．
解：由题意得：
∴；

∴；
∴；
∴；
∴；
∴
∴，，
，
，
由规律可得每三次变换为一个循环，
∴
∴
故答案为：4160．
n
1
2
3
4
5
…
y
1
3

13

…
n
1
2
3
4
5
…
y
1
3
7
13
21
…