专题06 相似三角形（知识串讲+13大考点）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

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知识一遍过
（一）图形相似的性质
（1）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（2）全等多边形的相似比为1的相似多边形是全等形．
（3）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等．
（4）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形
（二）平行线平分线段成比例
（1）比例线段在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即ab=cd，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
（2）比例的基本性质
①基本性质：ab=cd⇔ad＝bc；（b、d≠0）
②合比性质：ab=cd⇔a±bb＝c±dd；（b、d≠0）
③等比性质：ab=cd＝…＝mn＝k（b＋d＋…＋n≠0）⇔a+c+…+mb+d+…+n＝k．（b、d、…、n≠0）
（3）平行线分线段成比例定理及推论
①两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
即如图所示，若l3∥l4∥l5，则ABBC=DEEF．
②平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
即如图所示，若AB∥CD，则OAOD=OBOC．
③平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC．
（4）黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果eq \f(AC,AB)＝=eq \f(\r(5)－1,2)≈0．618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
（三）相似三角形的判定
（四）相似三角形的性质
（五）常见的相似模型
模型一：A字模型
模型二：8字模型
模型三：子母模型（射影定理）
模型四：一线三等角模型
模型五：手拉手模型（旋转模型）
（六）相似三角形的应用举例
（1）测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
（2）测量物体宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
考点一遍过
考点1：比例的性质
典例1：（2023上·河南郑州·九年级河南省实验中学校考期末）已知2ab+c=2ba+c=2ca+b=k，则k=（ ）
A．1B．±1C．1或−2D．2
【答案】C
【分析】本题考查了比例的性质，熟悉等比性质是解题的关键．分两种情况进行讨论：①当a+b+c≠0时，根据等比性质计算得出结果；②当a+b+c=0时，则a+b=−c，代入k=2ca+b计算得出结果．
【详解】解：分两种情况：
①当a+b+c≠0时，得k=2a+2b+2cb+c+a+c+a+b=1；
②当a+b+c=0时，
则a+b=−c，k=2ca+b=−2；
综上所述，k的值为1或−2．
故选：C．
【变式1】（2024上·北京石景山·九年级统考期末）若3x=4yy≠0，则xy的值是（ ）
A．34B．43C．74D．73
【答案】B
【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质．
【详解】∵3x=4yy≠0，
∴设x=4k，y=3k（k≠0），
∴xy=4k3k=43，
故选：B．
【变式2】（2023上·甘肃酒泉·九年级统考期中）如果ab=23，那么a+bb等于（ ）．
A．3:2B．2:5C．5:3D．3:5
【答案】C
【分析】由ab=23可得a=23b，然后再代入a+bb计算即可；掌握比和除法的关系以及分式的约分是解题的关键．
【详解】解：∵ab=23，
∴a=23b，
∴a+bb=23b+bb=53bb=53，即5:3．
故选C．
【变式3】（2023上·江西抚州·九年级江西省抚州市第一中学校考期中）已知正数a、b、c，且ab+c=bc+a=ca+b=k，则下列四个点中在正比例函数y=kx图象上的点的坐标是（ ）
A．1,12B．1,2C．1,−12D．1,−1
【答案】A
【分析】本题考查比例的性质，正比例函数的性质等知识，解题的关键是求出k的，学会利用待定系数法，解决问题．
根据ab+c=bc+a=ca+b=k，可得a+b=ck，b+c=ak，a+c=bk，相加可得2(a+b+c)=1k(a+b+c)，由此可求出k的值，将k代入函数y=kx可确定此函数解析式，将选项中的坐标一一代入函数解析式中进行验证即可．
【详解】解：∵ab+c=bc+a=ca+b=k，a、b、c为正数，
∴a+b=ck，b+c=ak，a+c=bk，
上式连加得2(a+b+c)=1k(a+b+c)，
解得k=12，
将k=12代入y=kx有y=12x，
A、把x=1代入y=12x中可得y=12×1=12，所以点1,12在正比例函数y=kx图象上，故此选项符合题意；
B、把x=1代入y=12x中可得y=12×1=12≠2，所以点1,2不在正比例函数y=kx图象上，故此选项不符合题意；
C、把x=1代入y=12x中可得y=12×1=12≠−12，所以点1,−12不在正比例函数y=kx图象上，故此选项不符合题意；
D、把x=1代入y=12x中可得y=12×1=12≠−1，所以点1,−1不在正比例函数y=kx图象上，故此选项不符合题意；
故选：A．
考点2：线段的比
典例2：（2023上·浙江绍兴·九年级统考期末）已知点P是线段AB的黄金分割点，AP>PB，则AP:PB的值为（ ）
A．5−12B．5+12C．0.618D．5−1
【答案】B
【分析】根据黄金分割比求出AP，PB计算即可；
【详解】∵点P是线段AB的黄金分割点，AP>PB，
∴APAB=5−12，
令AB=x，
∴AP=5−12·x，
PB=x−5−12·x=3−52·x，
∴APPB=5−13−5=5+12；
故答案选B．
【点睛】本题主要考查了黄金分割的知识点，准确计算是解题的关键．
【变式1】（2023上·四川·九年级校考阶段练习）△ABC中，F是AC的中点，D、E三等分BC、BF与AD、AE分别交于P、Q，则BP:PQ:QF=（ ）．
A．5:3:2B．3:2:1C．4:3:1D．4:3:2
【答案】A
【分析】过F作FN//BC，交AE于M，AD于N，利用F为AC中点，得到FM是△AEC中位线，由中位线性质有MF=12CE，CE=2FM，从辅助线FM//BC看出△PMQ∽△BEQ得FQBQ=FMBE， 由中位线FN//BC看△FNP∽△BDP，的BPPF=BDFN，通过计算BP=12BF，FQ=15BF，PQ=PF−QF=310BF．三者作比即可．
【详解】过F作FN//BC，交AE于M，AD于N，
∵F为AC中点，∴FM是△AEC中位线，
∴MF=12CE，CE=2FM，
∵BD=DE=CE，
∴BE=2CE=4FM，
∵FM//BC，
∴△FMQ∽△BEQ，
∴FQBQ=FMBE=14，
∵FN是△ADC的中位线，
∴FN=12CD=CE=BE
∵FN//BC，
∴△FNP∽△BDP，
∴BPPF=BDFN=1，
∴BP=PF，
∵FQBQ=14，
∴FQBF=15，
∴FQ=15BF，
∵BP=12BF，FQ=15BF，
∴PQ=PF−QF=12BF−15BF=310BF，
∴BP:PQ:QF=12BF:310BF:15BF=5:3:2．
故选择：A．
【点睛】本题考查一直线上三条线段的比值问题，掌握比例线段的性质，利用平行线辅助线构成相似三角形作媒介找到三条线段之间的关系是解决问题的关键．
【变式2】（2023·河北唐山·统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则DF∶BF等于（ ）
A．2∶5B．2∶3C．3∶5D．3∶2
【答案】A
【分析】利用平行四边形的性质可得出AB∥CD且AB＝CD，结合DE∶EC＝2∶3可得出DEDC＝25，由AB∥CD可得出△DEF∽△BAF，再利用相似三角形的性质即可求出DF∶BF的值．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD．
∵DE∶EC＝2∶3，
∴DEDC＝DEDE+EC＝25＝DEBA．
∵AB∥CD，
∴△DEF∽△BAF，
∴DFBF＝DEBA＝25．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，利用平行四边形的性质结合DE：EC=2：3找出DE：BA的值是解题的关键．
【变式3】（2023上·九年级校考单元测试）把一个矩形剪去一个尽可能大的正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，那么原矩形的长与宽（宽