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专题07 锐角三角函数（分层训练）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）
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这是一份专题07 锐角三角函数（分层训练）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用），文件包含专题07锐角三角函数分层训练-2024年中考数学总复习重难考点强化训练全国通用原卷版docx、专题07锐角三角函数分层训练-2024年中考数学总复习重难考点强化训练全国通用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共59页， 欢迎下载使用。
【基础训练】
一、单选题
1．（2022·吉林长春·校联考模拟预测）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：2（坡比是坡面铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC＝3m，则坡面AB的长度最接近（ ）（参考数据：3≈1.73，5≈2.24）
A．5.2mB．6mC．6.7mD．9m
2．（2023上·广西玉林·九年级统考期中）将直角边长为3cm的等腰直角ΔABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积( )
A．332cm2B．33cm2C．23cm2D．6cm2
3．（2023上·四川成都·九年级成都嘉祥外国语学校校考期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列四个三角比正确的是（ ）
A．sinA＝ACABB．csA＝ADACC．tanA＝CDBDD．csA＝CDAD
4．（2022上·山东潍坊·九年级统考阶段练习）如图，已知Rt△ABC，CD是斜边AB边上的高，那么下列结论正确的是（ ）
A．CD=AB⋅tanBB．CD=AD⋅tanA
C．CD=AC⋅sinBD．CD=BC⋅csA
5．（2022下·全国·九年级统考期中）若∠A为锐角，且tanA＝33，则csA的值为（ ）
A．12B．22C．32D．3
6．（2023·山东济宁·统考三模）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，在地面D处用高为1米的测角仪测得路灯A的仰角为30°，再向路灯方向前进2米到达E处，又测得路灯A的仰角为45°（点A，B，C，D，E，G在同一平面内），则路灯A离地面的高度为（ ）
A．3米B．(3+1)米C．(3+2)米D．2米
7．（2023上·山东德州·八年级校考期中）△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，D为BC上一点，且AD=2CD，则∠DAB=（ ）
A．30°B．45°C．60°D．15°
8．（2023·吉林长春·统考一模）如图，数学兴趣小组用测角仪和皮尺测量一座信号塔CD的高度，信号塔CD对面有一座高15米的瞭望塔AB，测得瞭望塔底B与信号塔底D之间的距离为25米，若从瞭望塔顶部A测得信号塔顶C的仰角为α，则信号塔CD的高为（ ）
A．15+25sinα米B．15+25⋅sinα米
C．15+25tanα米D．15+25⋅tanα米
9．（2023下·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十九中学校校考阶段练习）如图，线段AB和CD分别表示甲、乙两幢楼的高，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，从甲楼A处测得乙楼顶部C的仰角α=30°，测得乙楼底部点D的俯角β=60°，且AB=24米，则CD为（ ）米．
A．34B．36C．32D．24+83
10．（2022·河北衡水·校考模拟预测）如图，某渔船正在海上P处捕鱼，先向北偏东30°的方向航行10km到A处，然后右转40°再航行53km到B处．在点A的正南方向，点P的正东方向的C处有一条船，也计划驶往B处，那么它的航向是( )
A．北偏东10°B．北偏东30°C．北偏东35°D．北偏东40°
11．（2023·重庆·重庆八中校考一模）小明在某个斜坡AB上，看到对面某高楼BC上方有一块宣传“中国国际进口博览会”的竖直标语牌CD，小明在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，并且测得斜坡AB的坡度为i=1：3（B、C、D在同一条直线上），已知斜坡AB长20米，高楼高19米（即BC=19米），则标语牌CD的长是（ ）米．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：sin42°≈0.67，cs42°=0.74，tan42°≈0.9，3≈1.73）
A．2.3B．3.8C．6.5D．6.6
12．（2023·浙江杭州·校联考一模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的格点上，AB，CD相交于点E，则sin∠AEC的值为（ ）
A．255B．3510C．12D．104
13．（2023·陕西·统考二模）如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A=60°，BD:CD=2:1，BD=4，则△DBC的面积为（ ）
A．3B．2C．23D．33
14．（2023·河南南阳·统考二模）如图，反比例函数y=kx (k≠0)第一象限内的图象经过ΔABC的顶点A，C，AB=AC，且BC⊥y轴，点A，C，的横坐标分别为1，3，若∠BAC=120°，则k的值为（ ）
A．1B．2C．3D．2
15．（2023上·九年级单元测试）如图，小黄站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角是∠FDC=30∘，若小黄的眼睛与地面的距离DG是1.6米，BG=0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡AB的坡度为i=4:3，坡长AB=10.5米，则此时小船C到岸边的距离CA的长为（ ）米．（3≈1.7，结果保留两位有效数字）
A．11B．8.5C．7.2D．10
二、填空题
16．（2023·广东东莞·东莞市东华初级中学校考模拟预测）已知△ABC中，∠C=90°，csA=35，AC=6，那么AB的长是 ．
17．（2023·福建泉州·校联考一模）机器人沿着坡度为1:7的斜坡向上走了52米，则机器人在竖直方向上升的高度为 米.
18．（2023上·安徽安庆·九年级安徽省安庆市外国语学校校考阶段练习）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：2（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC＝4m，则坡面AB的长度是 m．
19．（2023·江苏苏州·统考二模）如图，平面直角坐标系xOy中，∠AOB=60°，AO=BO，点B在x轴的正半轴上，点P是x轴正半轴上一动点，连接AP，以AP为边长，在AP的右侧作等边△APQ．设点P的横坐标为x，点Q的纵坐标为y，则y与x的函数关系式是 ．
20．（2023·江苏苏州·统考一模）如图，在⊙O中，∠ACB=∠D=60°，AC=3，则⊙O的直径为 .
21．（2023·浙江杭州·校考三模）如图，将△ABC沿BC翻折得到△DBC，再将△DBC绕C点逆时针旋转60°得到△FEC，延长BD交EF于H，已知∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，AC＝1，则线段DE的长为 ，四边形CDHF的面积为 .
22．（2023·陕西宝鸡·统考三模）如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE=2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C,D分别落在边BC下方的点C′,D′处，且点C′,D′,B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F,D′F与BE交于点G．设AB=3，那么△EFG的周长为 ．
23．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）身高1.5m的小明想在校园里测量红旗杆的高度，他从仰角45°的地方靠近6米后发现仰角变成了60°，则红旗杆的高度约为 ．（计算结果保留根号）．
24．（2022上·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，2），点A（4，2），以点P为旋转中心，把点A按逆时针方向旋转60°，得点B，在M1（−33，0），M2（−3，﹣1），M3（1，4），M4（2，112）四个点中，直线PB经过的点是 ．
25．（2023·湖北随州·统考模拟预测）如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，若tan∠EAC=13，AB=4，则BE= ；若点G是AD中点，点H是直线CD上的一动点，连GH，将△DGH沿着GH翻折得到△PGH,连PB交AE于Q，连PA、PD，当BPPQ最小值时，则△PAD的面积为 ．
三、解答题
26．（2023上·上海浦东新·九年级校联考期中）求值2sin30∘+10cs60∘−4tan45∘：
27．（2024上·安徽池州·九年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC=10，sinB=45．
(1)求BC的长；
(2)求csA的值．
28．（2023·山西·校联考一模）如图，已知在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A(0,2)，B(−3,−2)，C(−2,−4)．
（1）将△ABC向右平移4个单位长度后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2；
（3）连接OA2，求sin∠OA2C2的值．
29．（2023上·辽宁鞍山·九年级统考期中）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△EDC，若点A、D、E在同一条直线上，∠ACB=15°，∠BAC=45°，
(1)求∠ACD的度数；
(2)若BC=6，求AD的长．
30．（2024上·北京平谷·九年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ABC=135°，AB=22，sin∠C=25，求BC的长．
31．（2022·重庆·西南大学附中校考三模）北京冬奥会的成功举办，点燃了小明和小代的健身热情，两人立即制定好计划积极投入到健身中，如图，小明家住在A地，小代家住在B地，健身馆在C地，在A处测得健身馆C在A的北偏东15°方向上，在B处测得健身馆C在B的北偏西45°方向上，B在A的北偏东60°方向上．某天小明和小代分别从自己家出发到C地健身，他们约定先在AC上的D处汇合，小明沿着AC方慢跑，小代沿着正西方向以180m/min的速度跑了5分钟到D．（参考数据：3≈1.73，2≈1.41，6≈2.45）
(1)求小明家A到小代家B的距离；（结果精确到0.1m）
(2)他们在D处汇合的时间恰好为13：57，若他们要在预定的14：00到达健身馆C，请问他们汇合之后的速度至少应为多少？
32．（2023·湖南邵阳·统考一模）某县城为加快5G网络信号覆盖，在高度BC为90米的小山顶上架设了信号发射塔，如图所示．小茜为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端D点的仰角是45°，测得发射塔底部C点的仰角是30°．请你帮小茜计算出信号发射塔DC的高度．（结果精确到0.1米，3≈1.732）
33．（2023·江苏苏州·统考二模）计算：2cs60°﹣（﹣3）﹣3+（π﹣3）0﹣|﹣2|．
34．（2023·江西·校联考模拟预测）如图1，一扇门ABCD，宽度AB＝1m，A到墙角E的距离AE＝0.5m，设E，A，B在一条直线上，门打开后被与门所在墙面垂直的墙阻挡（EA⊥EB′），边BC靠在墙B'C'的位置．
（1）求∠BAB'的度数；
（2）打开门后，门角上的点B在地面扫过的痕迹为弧BB'，设弧BB'与两墙角线围成区域（如图2）的面积为S（m2），求S的值（π≈3.14，3≈1.73，精确到0.1）．
35．（2022·广东东莞·石龙三中校考三模）如图，AB为⊙O的直径CE与⊙O相切于点D，与BA的延长线交于点E，EF⊥CO交CO延长线于点F，连接OD，CB，已知CB=3,EB=4,∠FEB=∠FCB．
(1)求证：CB是⊙O的切线；
(2)求⊙O的半径；
(3)连接BF，求sin∠FBE．
【能力提升】
36．（2023上·湖南娄底·九年级统考期末）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的体现，在计算tan15°时，如图1，在Rt△ACB中，∠C=90°,∠ABC=30°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=15°，所以tan15°=ACCD=12+3=2−32+32−3=2−3．类比这种方法，
(1)类比这种方法，求得tan22.5°=______；
(2)如图2，锐角∠ABC=α，已知tanα=m，求证：tanα2=m2+1−1m．
37．（2023下·福建龙岩·九年级校考期中）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad），如图①，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=底边腰=BCAB．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1)sad90°=________．
(2)对于0°(3)如图②，已知sinA=35，其中∠A为锐角，试求sadA的值．
38．（2023上·山东潍坊·九年级统考阶段练习）根据以下素材，探索完成任务
39．（2023·河南信阳·校考三模）天王寺善济塔位于河南省新乡市，修建于元朝至元四年（1267），为七级六角形砖塔，该塔是第七批全国重点文物保护单位，某校数学“综合与实践”小组的同学把“测量善济塔的高度”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，他们在善济塔前的一棵树底部D处测得塔顶A处的仰角为α，在塔底部B处测得大树顶部C处的仰角为β，测得树高CD为10m，为了减小测量误差，小组在测量两个仰角的度数时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．
任务一：表中m=___________；
任务二：请你帮小组的同学求出天王寺善济塔AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin53°≈45，cs53°≈35，tan53°≈43，3≈1.73）
任务三：该小组要写一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目？（写出一条即可）
40．（2023·吉林·统考中考真题）某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：
填写人：王朵 综合实践活动报告 时间：2023年4月20日
请结合图①、图④和相关数据写出α的度数并完成【步骤四】．探究纸伞中的数学问题
素材1
我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图1，伞不管是张开还是收拢，AP是伞柄，伞骨AB=AC，且AE=13AB，AF=13AC，D点为伞圈，DE=DF．
素材2
伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D滑动到D′的位置，且A、E、D′三点共线，测得AD′=50cm，AE=20cm，伞完全张开时∠BAC=120°，如图1所示．（参考值：600≈24.5）
素材3
项目化学习小组同学经过研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线BM与地面夹角为60°小明同学站在伞圈D点的正下方G处，记为GH，此时，发现身上被雨淋湿，测得BN=150cm．
问题解决
任务1
判断AP位置
（1）求证：AP是∠BAC的角平分线
任务2
探究伞圈移动距离
（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D移动的距离；
任务3
拟定撑伞
（3）求伞至少向下移动距离多少，使得人站在G处身上不被雨淋湿．（直接写出答案）
课题
测量天王寺善济塔的高度
测量示意图
说明：线段CD表示大树，线段AB表示天王寺善济塔，点B，D在同一条直线上，且点A，B，C，D 都在同一竖直平面内
测量数据
测量项目
第一次
第二次
平均值
α
52.8°
53.2°
m
β
30.3°
29.7°
30°
…
…
活动任务：测量古树高度
活动过程
【步骤一】设计测量方案
小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．
【步骤二】准备测量工具
自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示准备皮尺．
【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点．
如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角α．
测出眼睛到地面的距离AB．
测出所站地方到古树底部的距离BD．
α=________．
AB=1.54m．
BD=10m．
【步骤四】计算古树高度CD．（结果精确到0.1m）
（参考数据：sin40°=0.643，cs40°=0.766，tan40°=0.839）
【基础训练】
一、单选题
1．（2022·吉林长春·校联考模拟预测）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：2（坡比是坡面铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC＝3m，则坡面AB的长度最接近（ ）（参考数据：3≈1.73，5≈2.24）
A．5.2mB．6mC．6.7mD．9m
2．（2023上·广西玉林·九年级统考期中）将直角边长为3cm的等腰直角ΔABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积( )
A．332cm2B．33cm2C．23cm2D．6cm2
3．（2023上·四川成都·九年级成都嘉祥外国语学校校考期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列四个三角比正确的是（ ）
A．sinA＝ACABB．csA＝ADACC．tanA＝CDBDD．csA＝CDAD
4．（2022上·山东潍坊·九年级统考阶段练习）如图，已知Rt△ABC，CD是斜边AB边上的高，那么下列结论正确的是（ ）
A．CD=AB⋅tanBB．CD=AD⋅tanA
C．CD=AC⋅sinBD．CD=BC⋅csA
5．（2022下·全国·九年级统考期中）若∠A为锐角，且tanA＝33，则csA的值为（ ）
A．12B．22C．32D．3
6．（2023·山东济宁·统考三模）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，在地面D处用高为1米的测角仪测得路灯A的仰角为30°，再向路灯方向前进2米到达E处，又测得路灯A的仰角为45°（点A，B，C，D，E，G在同一平面内），则路灯A离地面的高度为（ ）
A．3米B．(3+1)米C．(3+2)米D．2米
7．（2023上·山东德州·八年级校考期中）△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，D为BC上一点，且AD=2CD，则∠DAB=（ ）
A．30°B．45°C．60°D．15°
8．（2023·吉林长春·统考一模）如图，数学兴趣小组用测角仪和皮尺测量一座信号塔CD的高度，信号塔CD对面有一座高15米的瞭望塔AB，测得瞭望塔底B与信号塔底D之间的距离为25米，若从瞭望塔顶部A测得信号塔顶C的仰角为α，则信号塔CD的高为（ ）
A．15+25sinα米B．15+25⋅sinα米
C．15+25tanα米D．15+25⋅tanα米
9．（2023下·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十九中学校校考阶段练习）如图，线段AB和CD分别表示甲、乙两幢楼的高，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，从甲楼A处测得乙楼顶部C的仰角α=30°，测得乙楼底部点D的俯角β=60°，且AB=24米，则CD为（ ）米．
A．34B．36C．32D．24+83
10．（2022·河北衡水·校考模拟预测）如图，某渔船正在海上P处捕鱼，先向北偏东30°的方向航行10km到A处，然后右转40°再航行53km到B处．在点A的正南方向，点P的正东方向的C处有一条船，也计划驶往B处，那么它的航向是( )
A．北偏东10°B．北偏东30°C．北偏东35°D．北偏东40°
11．（2023·重庆·重庆八中校考一模）小明在某个斜坡AB上，看到对面某高楼BC上方有一块宣传“中国国际进口博览会”的竖直标语牌CD，小明在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，并且测得斜坡AB的坡度为i=1：3（B、C、D在同一条直线上），已知斜坡AB长20米，高楼高19米（即BC=19米），则标语牌CD的长是（ ）米．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：sin42°≈0.67，cs42°=0.74，tan42°≈0.9，3≈1.73）
A．2.3B．3.8C．6.5D．6.6
12．（2023·浙江杭州·校联考一模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的格点上，AB，CD相交于点E，则sin∠AEC的值为（ ）
A．255B．3510C．12D．104
13．（2023·陕西·统考二模）如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A=60°，BD:CD=2:1，BD=4，则△DBC的面积为（ ）
A．3B．2C．23D．33
14．（2023·河南南阳·统考二模）如图，反比例函数y=kx (k≠0)第一象限内的图象经过ΔABC的顶点A，C，AB=AC，且BC⊥y轴，点A，C，的横坐标分别为1，3，若∠BAC=120°，则k的值为（ ）
A．1B．2C．3D．2
15．（2023上·九年级单元测试）如图，小黄站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角是∠FDC=30∘，若小黄的眼睛与地面的距离DG是1.6米，BG=0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡AB的坡度为i=4:3，坡长AB=10.5米，则此时小船C到岸边的距离CA的长为（ ）米．（3≈1.7，结果保留两位有效数字）
A．11B．8.5C．7.2D．10
二、填空题
16．（2023·广东东莞·东莞市东华初级中学校考模拟预测）已知△ABC中，∠C=90°，csA=35，AC=6，那么AB的长是 ．
17．（2023·福建泉州·校联考一模）机器人沿着坡度为1:7的斜坡向上走了52米，则机器人在竖直方向上升的高度为 米.
18．（2023上·安徽安庆·九年级安徽省安庆市外国语学校校考阶段练习）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：2（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC＝4m，则坡面AB的长度是 m．
19．（2023·江苏苏州·统考二模）如图，平面直角坐标系xOy中，∠AOB=60°，AO=BO，点B在x轴的正半轴上，点P是x轴正半轴上一动点，连接AP，以AP为边长，在AP的右侧作等边△APQ．设点P的横坐标为x，点Q的纵坐标为y，则y与x的函数关系式是 ．
20．（2023·江苏苏州·统考一模）如图，在⊙O中，∠ACB=∠D=60°，AC=3，则⊙O的直径为 .
21．（2023·浙江杭州·校考三模）如图，将△ABC沿BC翻折得到△DBC，再将△DBC绕C点逆时针旋转60°得到△FEC，延长BD交EF于H，已知∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，AC＝1，则线段DE的长为 ，四边形CDHF的面积为 .
22．（2023·陕西宝鸡·统考三模）如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE=2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C,D分别落在边BC下方的点C′,D′处，且点C′,D′,B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F,D′F与BE交于点G．设AB=3，那么△EFG的周长为 ．
23．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）身高1.5m的小明想在校园里测量红旗杆的高度，他从仰角45°的地方靠近6米后发现仰角变成了60°，则红旗杆的高度约为 ．（计算结果保留根号）．
24．（2022上·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，2），点A（4，2），以点P为旋转中心，把点A按逆时针方向旋转60°，得点B，在M1（−33，0），M2（−3，﹣1），M3（1，4），M4（2，112）四个点中，直线PB经过的点是 ．
25．（2023·湖北随州·统考模拟预测）如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，若tan∠EAC=13，AB=4，则BE= ；若点G是AD中点，点H是直线CD上的一动点，连GH，将△DGH沿着GH翻折得到△PGH,连PB交AE于Q，连PA、PD，当BPPQ最小值时，则△PAD的面积为 ．
三、解答题
26．（2023上·上海浦东新·九年级校联考期中）求值2sin30∘+10cs60∘−4tan45∘：
27．（2024上·安徽池州·九年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC=10，sinB=45．
(1)求BC的长；
(2)求csA的值．
28．（2023·山西·校联考一模）如图，已知在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A(0,2)，B(−3,−2)，C(−2,−4)．
（1）将△ABC向右平移4个单位长度后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2；
（3）连接OA2，求sin∠OA2C2的值．
29．（2023上·辽宁鞍山·九年级统考期中）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△EDC，若点A、D、E在同一条直线上，∠ACB=15°，∠BAC=45°，
(1)求∠ACD的度数；
(2)若BC=6，求AD的长．
30．（2024上·北京平谷·九年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ABC=135°，AB=22，sin∠C=25，求BC的长．
31．（2022·重庆·西南大学附中校考三模）北京冬奥会的成功举办，点燃了小明和小代的健身热情，两人立即制定好计划积极投入到健身中，如图，小明家住在A地，小代家住在B地，健身馆在C地，在A处测得健身馆C在A的北偏东15°方向上，在B处测得健身馆C在B的北偏西45°方向上，B在A的北偏东60°方向上．某天小明和小代分别从自己家出发到C地健身，他们约定先在AC上的D处汇合，小明沿着AC方慢跑，小代沿着正西方向以180m/min的速度跑了5分钟到D．（参考数据：3≈1.73，2≈1.41，6≈2.45）
(1)求小明家A到小代家B的距离；（结果精确到0.1m）
(2)他们在D处汇合的时间恰好为13：57，若他们要在预定的14：00到达健身馆C，请问他们汇合之后的速度至少应为多少？
32．（2023·湖南邵阳·统考一模）某县城为加快5G网络信号覆盖，在高度BC为90米的小山顶上架设了信号发射塔，如图所示．小茜为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端D点的仰角是45°，测得发射塔底部C点的仰角是30°．请你帮小茜计算出信号发射塔DC的高度．（结果精确到0.1米，3≈1.732）
33．（2023·江苏苏州·统考二模）计算：2cs60°﹣（﹣3）﹣3+（π﹣3）0﹣|﹣2|．
34．（2023·江西·校联考模拟预测）如图1，一扇门ABCD，宽度AB＝1m，A到墙角E的距离AE＝0.5m，设E，A，B在一条直线上，门打开后被与门所在墙面垂直的墙阻挡（EA⊥EB′），边BC靠在墙B'C'的位置．
（1）求∠BAB'的度数；
（2）打开门后，门角上的点B在地面扫过的痕迹为弧BB'，设弧BB'与两墙角线围成区域（如图2）的面积为S（m2），求S的值（π≈3.14，3≈1.73，精确到0.1）．
35．（2022·广东东莞·石龙三中校考三模）如图，AB为⊙O的直径CE与⊙O相切于点D，与BA的延长线交于点E，EF⊥CO交CO延长线于点F，连接OD，CB，已知CB=3,EB=4,∠FEB=∠FCB．
(1)求证：CB是⊙O的切线；
(2)求⊙O的半径；
(3)连接BF，求sin∠FBE．
【能力提升】
36．（2023上·湖南娄底·九年级统考期末）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的体现，在计算tan15°时，如图1，在Rt△ACB中，∠C=90°,∠ABC=30°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=15°，所以tan15°=ACCD=12+3=2−32+32−3=2−3．类比这种方法，
(1)类比这种方法，求得tan22.5°=______；
(2)如图2，锐角∠ABC=α，已知tanα=m，求证：tanα2=m2+1−1m．
37．（2023下·福建龙岩·九年级校考期中）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad），如图①，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=底边腰=BCAB．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1)sad90°=________．
(2)对于0°
38．（2023上·山东潍坊·九年级统考阶段练习）根据以下素材，探索完成任务
39．（2023·河南信阳·校考三模）天王寺善济塔位于河南省新乡市，修建于元朝至元四年（1267），为七级六角形砖塔，该塔是第七批全国重点文物保护单位，某校数学“综合与实践”小组的同学把“测量善济塔的高度”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，他们在善济塔前的一棵树底部D处测得塔顶A处的仰角为α，在塔底部B处测得大树顶部C处的仰角为β，测得树高CD为10m，为了减小测量误差，小组在测量两个仰角的度数时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．
任务一：表中m=___________；
任务二：请你帮小组的同学求出天王寺善济塔AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin53°≈45，cs53°≈35，tan53°≈43，3≈1.73）
任务三：该小组要写一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目？（写出一条即可）
40．（2023·吉林·统考中考真题）某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：
填写人：王朵 综合实践活动报告 时间：2023年4月20日
请结合图①、图④和相关数据写出α的度数并完成【步骤四】．探究纸伞中的数学问题
素材1
我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图1，伞不管是张开还是收拢，AP是伞柄，伞骨AB=AC，且AE=13AB，AF=13AC，D点为伞圈，DE=DF．
素材2
伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D滑动到D′的位置，且A、E、D′三点共线，测得AD′=50cm，AE=20cm，伞完全张开时∠BAC=120°，如图1所示．（参考值：600≈24.5）
素材3
项目化学习小组同学经过研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线BM与地面夹角为60°小明同学站在伞圈D点的正下方G处，记为GH，此时，发现身上被雨淋湿，测得BN=150cm．
问题解决
任务1
判断AP位置
（1）求证：AP是∠BAC的角平分线
任务2
探究伞圈移动距离
（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D移动的距离；
任务3
拟定撑伞
（3）求伞至少向下移动距离多少，使得人站在G处身上不被雨淋湿．（直接写出答案）
课题
测量天王寺善济塔的高度
测量示意图
说明：线段CD表示大树，线段AB表示天王寺善济塔，点B，D在同一条直线上，且点A，B，C，D 都在同一竖直平面内
测量数据
测量项目
第一次
第二次
平均值
α
52.8°
53.2°
m
β
30.3°
29.7°
30°
…
…
活动任务：测量古树高度
活动过程
【步骤一】设计测量方案
小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．
【步骤二】准备测量工具
自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示准备皮尺．
【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点．
如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角α．
测出眼睛到地面的距离AB．
测出所站地方到古树底部的距离BD．
α=________．
AB=1.54m．
BD=10m．
【步骤四】计算古树高度CD．（结果精确到0.1m）
（参考数据：sin40°=0.643，cs40°=0.766，tan40°=0.839）
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