专题01 实数及其运算（知识串讲+10大考点）-2024年中考数学一轮总复习重难考点强化训练（全国通用）

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知识一遍过
（一）实数的分类
（1）实数分类

（2）无理数的几种常见类型
①开方开不尽的数，如，等；
②有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如等；
③有特定结构的数，如0.1010010001…等无限不循环小数；
（二）实数的相关概念
（1）绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。
（2）相反数：实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零).从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。
（3）倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
（4）数轴：①数轴的三要素为原点、正方向和单位长度，数轴上的点与实数构成一一对应．
②数轴上a，b两点之间的距离=
（三）科学计数法
（1）形式：a×10n,其中1≤|a|＜10，n为整数
（2）确定n的方法：对于数位较多的大数，n等于原数的整数为减去1；对于小数，写成， 1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）
（四）实数的大小比较
有理数的比较大小的法则在实数范围内同样适用。
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，
，
，
（3）求商比较法：设a、b是两正实数，
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。
（5）平方法：设a、b是两负实数，则。
备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。
（五）开方运算
（1）平方根、算数平方根：
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根(或二次方根)。一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数a的平方根记做“”。
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
（2）立方根：
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根(或a的三次方根)。一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
（六）实数运算
常考的运算法则：
（1）乘方：（-2）3=-8
（2）-1的奇偶次幂：（偶次为1，奇次为-1）
（3）零次幂：a0=1（a≠0）
（4）负指数幂：a-n=（按正指数，再倒数）
（5）绝对值运算：
（6）特殊角的三角函数：sin30°=等
实数的运算顺序：
实数的运算顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果有括号，一般先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算大括号里面的，同级运算应从左到右依次进行．
运算律：
（1）加法交换律：a+b=b+a．
（2）加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）．
（3）乘法交换律：ab=ba．
（4）乘法结合律：（ab）c=a（bc）．
（5）分配律：a（b+c）=ab+ac．
考点一遍过
考点1：实数的分类
典例1：（22·23下·长沙·模拟预测）在实数−5，0，1，3中，为负数的是（ ）
A．−5B．0C．1D．3
【变式1】（22·23下·温州·三模）小赫制作了如图所示的实数分类导图，下列选项能按序正确填入两个空格的是（ ）

A．−2；−πB．9；−17C．−9；−38D．2；−5
【变式2】（22·23下·金华·三模）在实数−2，137，5，0.1122中，无理数的是（ ）
A．−2B．137C．5D．0.1122
【变式3】（22·23下·长沙·模拟预测）实数−2023.2023，7，0，364，−π，411，0.15中，有理数的个数为a，无理数的个数为b，则a−b的值是（ ）
A．1B．3C．5D．7
考点2：数轴的相关计算
典例2：（22·23下·朔州·模拟预测）a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列数量关系中正确的是（ ）

A．ab