专题02 图形的初步（2）（知识串讲+15大考点）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

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知识一遍过
（一）角的相关概念
（1）角的概念：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。角也可以看做由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图。
（2）角的分类：
（3）角的表示法（四种）：
①角可以用三个大写字母表示,但表示顶点的字母一定要写在中间，如∠ABC（B为顶点）
②用一个字母表示角, 必须是以这个字母为顶点的角，而且只有一个，如∠A
③用一个数字表示角,在靠近顶点处画上弧线,写上数字，如∠1
④用一个希腊字母表示,在靠近顶点处画上弧线,写上希腊字母，如∠ɑ
（二）角平分线及其性质
角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。
如图：AC是∠BCD的角平分线，则
∵AC平分∠BCD
∴∠ACD=∠ACB=12∠ACD
（三）角度制
（1）时针和分针所成的角度：钟表一周为360°，每一个大格为30°，每一个小格为6°.（每小时，时针转过30°，即一个大格，分针转过360°，即一周；每分钟，分针转过6°即一个小格）
（2）角的度量：1°=60′；1′=60″；
1直角=90°；1平角=180 °；1周角=360°
（四）相交线所形成的角
两条直线相交所成的四个角中：
（1）相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补；
①邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线。具有这种关系的两个角，互为邻补角。如：∠1、∠2。
（2）相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。性质是对顶角相等。
②对顶角：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两条边，分别是另一个角的两条边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角。如：∠1、∠3。对顶角相等。
（五）垂线及其性质
（1）垂直：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直；交点叫垂足；垂直是特殊的相交。
（2）垂线特点：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
（六）三线八角
（1）同位角：形如“F”型；在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。如：∠1和∠5。
（2）内错角：形如“Z”型；在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。如：∠3和∠5。
（3）同旁内角：形如“U”型；在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。如：∠3和∠6。
（七）平行公理及其推论
（1）平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
（2）平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
几何描述 ：∵∥，∥
∴∥
（八）平行线的判定与性质
（1）平行线的判定
判定方法1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简称：同位角相等，两直线平行
判定方法2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
简称：内错角相等，两直线平行
判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简称：同旁内角互补，两直线平行
几何符号语言：
∵ ∠3＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
∵ ∠1＝∠2
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
∵ ∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
（2）平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.。
几何符号语言：
∵AB∥CD
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD
∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）
∵AB∥CD
∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
考点一遍过
考点1：角的概念
典例1：（2023上·黑龙江佳木斯·七年级校考期末）下列各图中有关角的表示正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1】（2023上·北京房山·七年级统考期末）下列四个图中，能用∠1、∠O、∠MON三种方法表示同一个角的是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023下·六年级课时练习）若∠A为钝角，∠B为锐角，则∠A−∠B是（ ）
A．钝角B．锐角
C．直角D．都有可能
【变式3】（2023上·江苏扬州·七年级统考期末）下列四个图中的∠1也可以用∠AOB,∠O表示的是（ ）
A．B．C．D．
考点2：钟面角
典例2：（2023下·山东烟台·六年级统考期中）已知本学期某学校下午上课的时间为14时20分，则此时刻钟表上的时针与分针的夹角为（ ）度．
A．40°B．50°C．60°D．70°
【变式1】（2022上·江苏淮安·七年级校考期末）下列时刻中，时针和分针所成的角为90°的是（ ）
A．11点20分B．3点C．10点10分D．9点30分
【变式2】（2023上·天津东丽·七年级统考期末）钟面上，下列时刻分针与时针构成的角是直角的是（ ）
A．3点整B．12点15分C．6点45分D．1点20分
【变式3】（2022上·重庆·七年级重庆一中校考阶段练习）图①钟面的角与图②钟面的角分别是（ ）度
A．20；15B．30；25C．30；22.5D．22.5；15
考点3：方向角
典例3：（2024上·北京海淀·七年级统考期末）如图，在正方形网格中有A，B两点，点C在点A的南偏东60°方向上，且点C在点B的东北方向上，则点C可能的位置是图中的（ ）
A．点C1处B．点C2处C．点C3处D．点C4处
【变式1】（2023下·河北邢台·七年级校考期中）利用平面直角坐标系画出的某景区示意图如图所示（图中每个小正方形边长代表100m，每个小正方形的对角线长为1002m），规定正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，并且景点D和景点B的坐标分别是−200,−100和300,300．嘉嘉、淇淇分别对景点C的位置进行了描述，则下列判断正确的是（ ）
嘉嘉：景点C的坐标是0,0；
淇淇：景点C在景点B的南偏东45°方向，相距3002m处

A．只有嘉嘉说得对B．只有淇淇说得对
C．两人说得都对D．两人说得都不对
【变式2】（2023上·江苏·八年级专题练习）如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l．下列说法错误的是（ ）

A．公路l走向是南偏西45°
B．公路l走向是北偏东45°
C．从点P向北走3km后，再向西走3km到达l
D．从点P向北偏西45°走3km到达l
【变式3】（2023上·河北石家庄·九年级校考期中）对于题目∶“如图所示，一艘渔船以30海里/时的速度由西向东航行在A处看见小岛C在船北偏东60°的方向上．40min后，渔船行驶到B处，此时小岛C在船北偏东30°的方向上．己知以小岛C为中心，10海里为半径的范围内是多暗礁的危险区，如果这艘渔船继续向东航行，有没有进入危险区的可能？”小明同学在求解这个题过程中，求出了下面4个数据，错误的是（ ）
A．AB=20海里
B．∠ACB=30°
C．BC=20海里
D．过点C向AB的延长线引垂线，垂足为D，求得CD=83，小明得出结论有触礁危险
考点4：角的单位与角度制
典例4：（2024上·广东揭阳·七年级统考期末）如图，一副三角板(直角顶点重合) 摆放在桌面上，若∠AOD=143.67°，则∠BOC等于（ ）

A．36°19′48″B．36°18′108″
C．36°30′33″D．36°30′3″
【变式1】（2023上·山西运城·七年级统考期末）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1=26°50′，则∠2的度数是（ ）
A．56°50′B．33°10′C．26°50′D．63°10′
【变式2】（2023上·广东广州·七年级统考期末）如图，OC是∠AOB的平分线，∠AOC=26°18'，则∠AOB的度数为（ ）

A．42°32'B．52°36'C．48°24'D．50°38'
【变式3】（2023上·内蒙古乌海·七年级统考期末）已知∠α=21',∠β=0.36°,则∠α和∠β的大小关系是（ ）
A．∠α=∠βB．∠α>∠βC．∠αα=β C．α=γ>β D．γ＜α＜β
【变式1】（2022下·山东烟台·六年级统考期中）若∠1=25°15′，∠2=25°13′30″，∠3=25.35°，则（ ）
A．∠3>∠1>∠2B．∠2>∠1>∠3C．∠1>∠3>∠2D．∠1>∠2>∠3
【变式2】（2023上·七年级课时练习）已知∠A=25.12°，∠B=25°12′，∠C=1518′，那么的大小关系为（ ）
A．∠A＞∠B＞∠CB．∠A＜∠B＜∠CC．∠B＞∠A＞∠CD．∠C＞∠A＞∠B
【变式3】（2023上·北京通州·七年级统考期末）已知∠A=20°50′，∠B=20.5°，∠C=19°58′ 那么( )
A．∠A>∠B>∠CB．∠A=∠B>∠C
C．∠C>∠A=∠BD．∠B>∠A>∠C
考点6：角度制运算
典例6：（2023上·七年级课时练习）下列关于度、分、秒的换算正确的是（ ）
A．83.3°=83°30'B．26°12'15"=26.3°C．15°18'18''=15'36°D．41.15°=41°9'
【变式1】（2023上·山东枣庄·七年级校联考阶段练习）下列各式计算正确的是（ ）
A．（12）°＝118″B．38°15′＝38.15°
C．24.8°×2＝49.6°D．90°－85°45′＝4°55′
【变式2】（2023上·四川眉山·七年级统考期末）下面等式成立的是（ ）
A．83.5°=83°50'B．90°−57°23＇ 27＂=32°37＇ 33＂
C．15°48'36''+37°27＇ 59＂=52°16＇ 35＂D．41.25°=41°15＇
【变式3】（2023下·山东东营·六年级校考阶段练习）下列各式中，正确的是（ ）
A．35.5°=35°50'B．15°12′36″=15.48°
C．28°18′18″=28.33°D．65.25°=65°15'
考点7：角平分线计算
典例7：（2023上·全国·七年级专题练习）如图，直线AB、CD相交于点O，射线OE在∠DOB内部，且∠DOE=2∠BOE．过点O作OF⊥OE．
(1)若∠COF=54°，求∠BOE的度数；
(2)若∠COF=∠DOE，那么OB平分∠DOF吗？为什么？
【变式1】（2024上·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期末）如图，∠AOB为钝角，射线OC平分∠AOB，射线OD在∠AOC内部，射线OE平分∠BOD．
(1)若∠COD=10°，∠AOB=140°．求∠COE的度数．
(2)请写出∠AOD与∠COE度数之间的等量关系，并说明理由．
【变式2】（2024上·江苏·七年级校考周测）已知∠AOB=120°，射线OC在∠AOB的内部，射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线．
(1)若OC平分∠AOB，求∠MON的度数；
(2)小明说：当射线OC绕点O在∠AOB的内部旋转时，∠MON的度数始终保持不变，你认为小明的说法是否正确？说明理由；
(3)若OM、ON、OA、OB中有两条直线互相垂直，请直接写出∠AOC所有可能的值．
【变式3】（2022上·河北·七年级校联考期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1:2两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，∠AOB=2∠BOC，则OB是∠AOC的一条三分线．
(1)如图1，若∠AOC=57°，则∠BOC= ；
(2)如图2，若∠AOB=120°，OC，OD是∠AOB的两条三分线，且∠BOC